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1 Klausur zur Theoretischen Physik E 3.. Prof. Dr. F.R. Klinkhamer; Dr. C. Adam Besrechung am 5.. Institut für theoretische Physik in der Vorlesung Aufgabe : Streuung an harter Kugel 4 Punkte Ein Teilchen soll an einer harten Kugel gestreut werden. Das Potential für eine harte Kugel mit Radius a ist V(r) für r a und V(r) ½ für r a. i) Die Wellenfunktion im Außenraum r a lautet P (r ) () 3 l i l (l )e iæ l [cos Æ l j l (kr) sin Æ l n l (kr)]p l (cos ) Leiten Sie aus der Anschlußbedingung für die Wellenfunktion einen Ausdruck für die Streuhasen Æ l her. Zeigen Sie insbesondere, daß Æ ka (für l gilt j () sin und n () cos ). ÏÐÐÒÙÒØÓÒ ÑÙ Ñ ÁÒÒÖÒ ÙÒ Ñ ÊÒ Ö ÃÙÐ ÚÖ ÛÒÒ ºº (r a) º ÙÒĐÒ ÚÓÒ ÐØ ÙÒ ÚÖ Ò P l ÙÒÒÖ ÓÖØÓÓÒÐ Ò ÑÙ ÒÙÒ ĐÙÖ Ò ÌÖÑ Ò Ö ËÙÑÑ ÜØÖ ÐØÒ ºº cos Æ l j l (ka) sin Æ l n l (ka) µ tan Æ l j l (ka) n l (ka) ËÔÞÐÐ ĐÙÖ l ÐØ j () sin ÙÒ n () cos ÙÒ Ö tan Æ sin(ka) tan(ka) tan( ka) cos(ka) ÓÐØ Æ kaº ii) Die Streuamlitude lautet P f () k l (l )e iæ l sin Æ l P l (cos ) Berechnen Sie hieraus, unter Verwendung des Resultats von i) für Æ l, den totalen Wirkungsquerschnitt, wobei Ê d sin P l (cos )P l ¼(cos ) [(l )]Æ ll ¼.

2 Ö ØÓØÐ ÏÖÙÒ ÕÙÖ ÒØØ Ø dω f () f () k d(cos) ll ¼ (l )(l ¼ )e i(æl Æl¼ sin Æ l sin Æ l ¼ P l(cos )P l ¼(cos ) ÛÓ 4 k (l ) sin Æ l l d(cos )P l (cos )P l ¼(cos ) l Æ ll ¼ ÒĐÙØÞØ ÛÙÖº Ù i) ÖØ ÛØÖ ÙÒ ÓÑØ tan Æ l sin Æ l sin Æ l j l (ka) n l (ka) µ sin Æ l j l (ka) j l (ka) n l (ka) 4 k l j (l l ) (ka) j l (ka) n l (ka) iii) Geben Sie den totalen Wirkungsquerschnitt für s-wellenstreuung im Limes kleiner Energie k an. Vergleichen Sie mit dem klassisch zu erwartenden geometrischen Streuquerschnitt. P ĐÙÖ Ò s¹ïððòòøð ØÓØÐÒ ÏÖÙÒ ÕÙÖ ÒØØ ÖĐÐØ ÑÒ 4 k sin Æ 4 k sin ( ka) ÙÒ Ñ ÄÑ k ³ 4 k (ka) 4a Û ÒÙ ÚÖ ÑÐ Ó ÖÓ Ø Û Ö Ð ÃÙÐÕÙÖ ÒØØ kl a º

3 Aufgabe : System im äußeren Magnetfeld 5 Punkte Ein System in einem äußeren Magnetfeld senkrecht zur z-achse habe den Hamiltonoerator ( L ist der Drehimulsoerator, c ist eine reelle Konstante; es sei B z, B y ) H H L c(b z L z B y L y ) wobei H drehinvariant ist, nicht vom Drehimuls abhängt und daher für feste Hautquantenzahl als eine Konstante E betrachtet werden kann. i) Bestimmen Sie (für feste Hautquantenzahl, d.h. H E ) durch eine geeignete 3P Rotation des Koordinatensystems die exakten Energieeigenwerte und Energieeigenzustände dieses Hamilton-Oerators. ÖÑÔÙÐ ÒÞÙ ØĐÒ l m ĐÓÒÒÒ Ð ÐÞØ ÒÞÙ ØĐÒ ÚÓÒ L ÙÒ ÒÖ ÐÒ ÃÓÑÔÓÒÒØ ÖÑÔÙÐ ĐÐØ ÛÖÒº ĐÙÖ ÜØ ÄĐÓ ÙÒ ÛĐÐØ ÑÒ ÒØĐÙÖÐ ÃÓÑÔÓÒÒØ ÖÑÔÙÐ Ò ÊØÙÒ ÅÒØÐ ÙÒ ÞÒØ ÊØÙÒ Ö ÒØ ÐÖ Ð z ¼ ¹ÊØÙÒ ºº Ð z¹ãóóöòø Ò ÒÑ ÖØÒ ÃÓÓÖÒØÒ Ý ØÑ K ¼ B B y e y B z e z B z ¼e z ¼ ÑØ B z ¼ Õ B z B y H E L c(b z L z B y L y ) E L c B L E L cb z ¼L z ¼ ÒÞÙ ØĐÒ l m ¼ ÓÐÐÒ ÒÙÒ ÑÙÐØÒÒ ÒÞÙ ØĐÒ ÞÙ L ÙÒ L z ¼ ÒÖÒÛÖØ ÖØ Òº ĐÙÖ Hl m ¼ E l(l ) cb z ¼m ¼ l m ¼ ÛÓ ÑĐÓÐÒ ÏÖØ ÚÓÒ l ÙÒ m ¼ Û ĐÙÐ l ÙÒ m ¼ l l Òº ii) Betrachten Sie nun den Fall B z B y, behandeln Sie den Term cb y L y als Störterm und berechnen Sie die Energieeigenwerte in niedrigster nichtverschwindender (!) Ordnung Störungstheorie (wieder gilt H E ). Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem exakten Resultat von i). P Ö ÙÒ ØĐÓÖØ ÀÑÐØÓÒÓÔÖØÓÖ ÐÙØØ H u E L cb z L z º Ö Ø ÓÒÐ Ò Ö l m Ö ÒÞÙ ØĐÒ ÞÙ L ÙÒ L z º ËÒ ÒÛÖØ Ò H u l m (E l(l ) cb z m)l m E () l m lm

4 Ö ËØĐÓÖØÖÑ Ø H ¼ cb y L y cb y i (L L )º Ö ĐÙÖØ ÞÙ Ò ÒÖÓÖÖØÙÖÒ ÙÒ E () l mh ¼ l m cb y i l m(l L )l m E () l m ll mm l mh ¼ l m E () lm E() l m c B y 4 l m ll mm l m(l L )l m E () lm E() l m ÅØ L l m Ô (l m)(l m )l m ÖØ ÛØÖ E () c B y 4 ¼ (l m)(l m ) (l m)(l m ) E () lm E() lm E () lm E() lm ½ cb y 4B z ( (l m)(l m ) (l m)(l m )) cmb y B z ÒÖ ÞÙÖ ÞÛØÒ ÇÖÒÙÒ Ø Ð Ó E () E l(l ) cb z m cmb y B z ÜØ Ê ÙÐØØ ÒÒ Ò B y ÞÙÖ ÕÙÖØ Ò ÇÖÒÙÒ ÌÝÐÓÖ¹ÒØÛÐØ ÛÖÒ E lm ¼ E l(l ) cm ¼ B z ¼ l(l ) cm ¼ B z Õ (B y B z ) ³ l(l ) cm ¼ B z Û ĐÙÖ m m ¼ ÒÙ ÑØ Ñ ÔÖØÙÖØÚÒ Ê ÙÐØØ ĐÙÖÒ ØÑÑغ B y B z Aufgabe 3: -Level-System 6 Punkte Gegeben sei ein quantenmechanisches System mit den beiden orthonormalen Zuständen und sowie mit dem Hamiltonoerator ( und sind ositive Konstante) H i) Berechnen Sie die Eigenwerte und normierten Eigenzustände von H. 3P

5 Ò ÒÞÙ ØĐÒ ÀÑÐØÓÒÓÔÖØÓÖ ÛÖÒ Ð ÄÒÖÓÑÒØÓÒÒ «ÑØ Ö ÆÓÖÑÖÙÒ ÒÙÒ «Ò ØÞغ ÒÛÖØÐÙÒ ÐÙØØ H(«) E«(«) («) «E E Û Ò ÎØÓÖÒ ÙÒ ÐÒÖ ÙÒĐÒ Ò Ù Ò ÐÙÒÒ «( E) «( E) ÐÒÖ ÓÑÓÒ ÐÙÒ Ý ØÑ ĐÙÖ «ÙÒ Ø ÒÙÖ ÐĐÓ Ö ÛÒÒ ËĐÙÐÖÐÙÒ ÖĐÙÐÐØ Ø ( E) µ E ÛÓÑØ ÒÛÖØ ÚÓÒ H ØÑÑØ Òº ÒÞÙ ØĐÒ ÖÒ ÙÖ Øѹ ÑÙÒ Ö ÃÓÆÞÒØÒ «ÙÒ E : «( E ) µ «µ «Ô E Ô ( ) ÛÓ E ÒØĐÙÖÐ ÒÙÖ Ù Ò ÓÑÔÐÜ È ØÑÑØ Ø Ö Ö ÒØ ÐÖ ÞÙ ½ ÛĐÐØ Øµº ÒÐÓ ÖØ E : «( E ) µ «µ «Ô E Ô ( ) ÛÖ Ù Ò È º ii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß sich das System zum Zeitunkt t im Zustand befindet, wenn es sich zur Zeit t im Zustand befunden hat. 3P

6 ÙØ ÏÖ ÒÐØ Ø P(t) (t) ÛÓ (t) ØÒØÛÐÙÒ Ù ØÒ (t ) Ø ºº (t) e iht ÐĐØ Ñ Ò ØÒ ÖÒÒ ÒÑ Ò Ò ÒÞÙ ØĐÒÒ ÚÓÒ H ÒØÛÐØ ÛÖº ÅÒ ÒØ ÐØ Ô (E E ) ÙÒ ÓÑØ (t) e iht e iht Ô (E E ) Ô (e ie t E e ie t E ) Ô e it (e i t E e i t E ) ËÓÑØ ÛÖ (t) ÞÙ (t) Ô e it (e i t E e i t E ) e it (e i t e i t ) ie it sin t ÙÒ ĐÍÖÒ ÛÖ ÒÐØ P(t) (t) sin t Aufgabe 4: Dirac-Gleichung 5 Punkte i) sei eine Lösung der Dirac-Gleichung P [i e A m] Leiten Sie die Gleichungen ab, die für Ý, sowie für den ladungskonjugierten Sinor c C T gelten. Hier bedeutet T Transosition, und die Ladungskonjugationsmatrix C erfüllt die Relation C( ) T C. Auch gilt ( ) Ý und ( k ) Ý k.

7 ÀÖÑØ ÃÓÒÙÖÒ Ö Ö¹ÐÙÒ ĐÙÖØ Ù Ý i[( ) Ý ( k ) Ý k] e[( ) Ý A ( k ) Ý A k ] m Ý i[ k k] e[ A k A k ] m ÛÓ ( ) Ý ÙÒ ( k ) Ý k ÚÖÛÒØ ÛÙÖº ÅÙÐØÔÐÞÖÒ ÑØ ÚÓÒ ÖØ ÙÒ ÙÖÓÑÑÙØÖÒ Ö ÅØÖÜ ÖØ ÑØ k k Ý i[ k k] e[ A k A k ] m ÙÒ Ò ÅÙÐØÔÐÞÖÒ ÑØ ÑØ Ý i[ ] e[ A ] m ĐÙÖ ÖÒÙÒ Ö ÐÙÒ ĐÙÖ c ØÖÒ ÔÓÒÖØ ÑÒ Ñ ØÒ Ó ÐÙÒ [ i( ) T e( ) T A m] T ÙÒ ÑÙÐØÔÐÞÖØ ÚÓÒ ÐÒ ÑØ Cº ÅÒ ÖĐÐØ C[ i( ) T e( ) T A m]c C T [i e A m] c ÛÓ C( ) T C ÚÖÛÒØ ÛÙÖº Ö ÐÙÒ ÓÒÙÖØ ËÔÒÓÖ ÖĐÙÐÐØ Ð Ó Ò ÖÐÙÒ Ò Ö ÎÓÖÞÒ Ö ÐØÖ Ò ÄÙÒ e ĐÒÖØ ÛÙÖº ii) Die Sinoren u () und u () seien Lösungen der freien Dirac-Gleichung mit ositiver Energie und beliebigem Imuls. In der Dirac-Darstellung sind sie gegeben als u () N ¼ x i y ½ u() N ¼ x iy z wobei N eine Normierungskonstante ist und c gesetzt wurde. Bestimmen Sie, welche Bedingung für den Imuls gelten muß, damit eine geeignet gewählte Linearkombination aus u () und u () eine Eigenfunktion zum Sinoerator S x x x ist. ½ 3P

8 ÒÛÖØÐÙÒ Ø S x («u () u () ) («u () u () ) ÓÖ ÜÔÐÞØ ¼ ½ ¾ ¼ «½ ¼ z ½ ¾ ¼ «½ ¼ z ½ ÛÓ x i y ĐÙÖÞØ ÛÙÖº ÅØÖÜ S x Ø ÐÓÓÒÐ Ö ĐÓÒÒÒ ÓÖÒ ÙÒ ÙÒØÖÒ ¾ ËÔÒÓÖÓÑÔÓÒÒØÒ ÛÐ ÔÖØ ØÖØØ ÛÖÒº ĐÙÖ ÓÖÒ ÃÓÑÔÓÒÒØÒ ÖØ «ÙÒ ÓÑØ «««µ «µ «ĐÙÖ ÙÒØÖÒ Ò ÃÓÑÔÓÒÒØÒ ÖØ Ò ÅÙÐØÔÐØÓÒ ÑØ (E m) «z z «ÙÒ ÑØ Ò ÓÒ Ê ÙÐØØÒ «z µ i y i y ÛÓ «ÙÒ i y ÚÖÛÒØ ÛÙÖº ÓÐØ y ºº ÑÙ Ò x¹êøùò ÓÖÒØÖØ Òº