On isometries of Product of normed linear spaces

Bản ghi

1 On isometries of Product of normed linear spaces Mohammed Bachir To cite this version: Mohammed Bachir. On isometries of Product of normed linear spaces hal HAL Id: hal Submitted on 23 Nov 2014 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 ÇÒ ÓÑØÖ Ó ÈÖÓÙØ Ó ÒÓÖÑ ÐÒÖ Ô º ÅÓÑÑ Ö ÆÓÚÑÖ ¾ ¾¼½ ÄÓÖØÓÖ ËÅÅ ÍÒÚÖ Ø ÈÖ ½ ÈÒØÓÒ¹ËÓÖÓÒÒ ÒØÖ ÈºÅºº ¼ ÖÙ ÌÓÐ ÈÖ Ü ½ ÑÐ ÅÓÑѺÖÙÒÚ¹ÔÖ ½ºÖ ØÖغ Ï Ú ÓÒØÓÒ ÓÒ ÒÓÖÑ ÙÒÖ Û ØÛÓ ÚØÓÖ ÒÓÖÑ Ô X Ò Y Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ Ò ÓÒÐÝ X R Ò Y R Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº Ï Ð Ó ÔÖÓÚ ØØ Ø Ö ÙÐØ Ð ÓÖ ÖØÖÖÝ ÒÓÖÑ ÚÒ X = Y = R 2 Ý ÙÐÒ ÒÖ ÓÙÒØÖÜÑÔÐ º ÃÝÛÓÖ ÔÖ ÆÓÖÑ ÚØÓÖ Ô Ò ÓÑØÖ º ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ Ï Ö ÒØÖ Ø Ò Ø ÔÔÖ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÕÙ ØÓÒº ÄØ X Ò Y ÚØÓÖ Ô Ò ÐØ N X Ò N Y ØÛÓ ÒÓÖÑ ÓÒ (X R,N X ) Ò (Y R,N Y ) Ö ÔØÚÐݺ Ì ÒÓÖÑ N X ÓÒ X Ò Ò ÑÐÖ ÛÝ N Y µ ÒÓØ N X (x,0) ÓÖ ÐÐ x Xº ÈÖÓÐѺ ÁØ ØÖÙ ØØ (X R,N X ) Ò (Y R,N Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ Ò ÓÒÐÝ (X,N X ) Ò (Y,N Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ Ï Ò Ý ÓÛÒ ØØ Ò Ø ÒÖÐ Ø Ò ÛÖ ØÓ Ø ÕÙ ØÓÒ ÒÓ ÓÖ ÖØÖÖÝ ÒÓÖÑ N X Ò N Y ÚÒ ÛÒ X Ò Y Ö ØÛÓ ÑÒ ÓÒÐ ÚØÓÖ Ô Ý ÓÒ ØÖÙØÒ ÒÖ ÓÙÒØÖÜÑÔÐ Ë ÌÓÖÑ ½µº Ï ÔÖÓÚ ØÒ Ò ÌÓÖÑ ¾ ØØ Ø Ö ÙÐØ ØÖÙ ÓÖ ÐÐ ÒÓÖÑ (N X,N Y ) Ø ÝÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÖØÝ (P)º ÒØÓÒ ½ ÄØ X Ò Y ØÛÓ ÚØÓÖ Ô º ÄØ N X Ò N Y ØÛÓ ÒÓÖÑ ÓÒ X R Ò X R Ö ÔØÚÐݺ Ï Ý Ø Ø ÔÖ (N X,N Y ) Ø Ý Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P) ÓÖ ÐÐ x X Ò ÐÐ y Y N X (x,0) = N Y (y,0) N X (x,λ) = N Y (y,λ), λ R. ÁÒ ÐÐ Ø ÖØÐ Û ÒØÝ X ÛØ X {0} Ò Ø ÒÓÖÑ N X ÓÒ X ÒÓØ N X (x,0) ÓÖ ÐÐ x Xº ÜÑÔÐ ½ ÄØ (X,. X ) Ò (Y,. Y ) ØÛÓ ÒÓÖÑ ÚØÓÖ Ô º ÄØ p [1,+ [ Ò N X,p (x,t) := ( x p X + t p ) 1 p, N X, (x,t) := max( x X, t ), ÓÖ ÐÐ (x,t) X R. ÁÒ ÑÐÖ ÛÝ Û Ò N Y,p Ò N Y, º ÌÒ Ø ÔÖ (N X,p,N Y,p ) Ò (N X,,N Y, ) Ø Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P)º ½

3 Ï Ú Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÑÓÖ ÒÖÐ ÜÑÔÐ º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ÄØ N R 2 ÒÝ ÒÓÖÑ ÓÒ R 2 Ù ØØ N X (x,t) := N R 2( x X, t ) ÓÖ ÐÐ (x,t) X R Ò ÒÓÖÑ ÓÒ X R ËÑÐÖÐÝ Û Ò N Y ÓÒ Y Rµº ÌÒ (N X,N Y ) Ø Ý Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P)º ÈÖÓÓº ÄØ x X Ò y Y Ù ØØ N X (x,0) = N Y (y,0)º ÌÒ N R 2( x X,0) = N R 2( y Y,0) Ò Ó x X N R 2(1,0) = y Y N R 2(1,0) Û ÑÔÐ ØØ x X = y Y º ÁØ Óй ÐÓÛ ØØ N R 2( x X, λ ) = N R 2( y Y, λ ) ÓÖ ÐÐ λ Rº ÁÒ ÓØÖ ÛÓÖ N X (x,λ) = N Y (y,λ) ÓÖ ÐÐ λ Rº Ì ÔÖÓÐÑ ÑÒØÓÒ ÓÚ Û ÑÓØÚØ Ø Ø Ö Ø ØÑ Ò ½ Ý ÕÙ ØÓÒ ÓÒÒØ ØÓ Ø Ò¹ËØÓÒ ØÓÖÑ Ò ÓÐÚ ÔÓ ØÚÐÝ ÓÒÐÝ ÓÖ Ø ÔÖØÙÐÖ ÒÓÖÑ N X,p Ò N Y,p ÛÒ p [1,+ [\{2}º Ì ØÒÕÙ Ù Ò ½ ÒÓØ ÒÐÙ Ø Ô¾º Ì ÔÖÓÔÖØÝ (P) Ö ÑÓÖ ÒÖÐ Ò ÐÐÓÛ ØÓ ÒÐÙ ÚÖ ÒÓÖÑ º Ï Ú Ò ØÓÒº ÓØÖ ÑÔÐ ÜÑÔÐ Ó ÔÔÐØÓÒ Ó ÌÓÖÑ ¾º ¾ ÒÖ ÓÙÒØÖÜÑÔк ÌÓÖÑ ½ ÄØ X = Y = R 2 º ÓÖ ÒÓÖÑ. X ÓÒ X ØÖ Ü Ø ÒÓÖÑ. Y ÓÒ Y ÒÓÖÑ N X ÓÒ X R Ò ÒÓÖÑ N Y ÓÒ Y R Ù ØØ (1) (X,. X ) ÒÓØ ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ ØÓ (Y,. Y )º (2) (X R,N X ) ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ ØÓ (Y R,N Y )º (3) Ø Ö ØÖØÓÒ Ó N X ØÓ X ÓÒ ÛØ. X Ò Ø Ö ØÖØÓÒ Ó N Y ØÓ Y ÓÒ ÛØ. Y º ÈÖÓÓº ÄØ p [1,+ [º ÄØ Ù Ò N X Ò N Y ÓÐÐÓÛ Ò N X (x 1,x 2,t) := ( (x 1,x 2 ) p X + t p ) 1 p, (x1,x 2,t) X R N Y (y 1,y 2,s) := ( y 2 p + (y 1,s) p X) 1 p, (y1,y 2,s) Y R. a p ÏÖ a = (1,0) X º ÄØ Ù Ò Ø ÒÓÖÑ. Y,p ÓÒ Y ÓÐÐÓÛ (y 1,y 2 ) Y,p := ( y 1 p + y 2 p ) 1 p ÓÖ ÐÐ (y1,y 2 ) Y º ÐÖÐÝ Ò ËÒ (y1,0) p X a p ÓÑÓÖÔ Ñ N X (x 1,x 2,0) = (x 1,x 2 ) X, (x 1,x 2 ) X N Y (y 1,y 2,0) = ( y 1 p + y 2 p ) 1 p := (y1,y 2 ) Y,p, (y 1,y 2 ) Y. = y 1 (1,0) p X a p = y 1 µº ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Ø ÓÐÐÓÛÒ ÑÔ Ò ÓÑØÖ ÆÓÛ ØÖ Ü Ø ØÓ Θ : (X R,N X ) (Y R,N Y ) (x 1,x 2,t) (ax 1,t,ax 2 ). ½ Á ÚÖÝ ÔÓÒØ Ó Ø ÔÖ S X Ó X Ò ÜØÖÑ ÔÓÒØ Û ÓÓ p = 1 Ò Ó S Y ÒÓÒ ÜØÖÑ ÔÓÒØ Ò Ò Ø (y 1,y 2 ) Y,1 = y 1 + y 2 ÓÖ ÜÑÔÐ ( 1 2, 1 2 ) ÒÓØ ÜØÖÑ ÓÖ. Y,1 µº ÓÒ ÕÙÒØÐÝ X Ò Y ÒÒÓØ ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº ¾ Á ØÖ Ü Ø ÓÑ ÔÓÒØ Ó Ø ÔÖ S X Û ÒÓØ ÜØÖÑ ÔÓÒØ ØÒ Û ÓÓ p = 2 Ò Ó ÚÖÝ ÔÓÒØ Ó S Y Ò ÜØÖÑ ÔÓÒØ Ò (y 1,y 2 ) Y,2 = ( y y 2 2 ) 1 2 Ø ÙÐÒ ÒÓÖѺ Ð Ó X Ò Y ÒÒÓØ ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº ¾

4 Á ÓÑØÖ ØÛÒ ÔÖÓÙØ Ô º ÌÓÖÑ ¾ ÄØ X Ò Y ÚØÓÖ Ô º ËÙÔÔÓ ØØ (N X,N Y ) Ø Ý Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P)º ÌÒ (X R,N X ) Ò (Y R,N Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ Ò ÓÒÐÝ (X,N X ) Ò (Y,N Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº Ì ÔÖÓÓ Ó Ø ÓÚ ØÓÖÑ ÚÒ Ò ØÓÒ º¾ ØÖ ÓÑ ÐÑÑ º º½ ÆÓØØÓÒ Ò ÐÑÑ º Ï Ò ÓÑ ÒÓØØÓÒ Ò ÐÑÑ º ÄØ Θ : (X R,N X ) (Y R,N Y ) Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑØÖº Ï Ø (a,u) = Θ 1 (0,1) Ò (b,v) = Θ(0,1)º ÄØ Ù Ò Ø ÐÒÖ ÓÒØÒÙÓÙ ÑÔ χ X ÓÐÐÓÛ Ï Ò ÒÐÓÓÙ ÐÝ Ø ÑÔ χ Y Ý χ X : X R R (x, t) t χ Y : Y R R Ï ÓØÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÐÒÖ ÑÔ ÓÒ Y {0} (y, t) t χ X Θ 1 : Y {0} R ÒÐÓÓÙ ÐÝ Û Ú Ð Ó Ø ÐÒÖ ÑÔ ÓÒ X {0} χ Y Θ : X {0} R ÄØ Ù Ø X 0 := Ker(χ Y Θ) Ò Y 0 := Ker ( χ X Θ 1) º ÊÑÖ ½ Ì ÐÒÖ Ô X 0 Ò Y 0 Ö ÒÓØ Ò ÖÐÝ ÐÓ Ò χ X Ò χ Y Ö ÒÓØ Ò ÖÐÝ ÓÒØÒÙÓÙ º ÄÑÑ ½ X 0 Ò Y 0 Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ Ø ÑÔ Θ : (X 0,N X ) (Y 0,N Y ) (z,0) Θ(z,0) ½µ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑØÖº ÈÖÓÓº ËÒ Θ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑØÖ Ø Ù ØÓ ÓÛ ØØ Ø Ö ØÖØÓÒ Ó Θ ØÓ X 0 ÓÒØÓº ÁÒ ÐØ (y,0) Y 0 º ÐÖÐÝ (z,0) := Θ 1 (y,0) X 0 Ò χ Y Θ(Θ 1 (y,0)) = χ Y (y,0) = 0 Ò Û Ú (y,0) = Θ(z,0)º ÄÑÑ ¾ Ï Ú ÓÒÐÝ ØÛÓ º ½ u 0º ÁÒ Ø Û Ú X {0} = X 0 º ¾ u = 0º ÁÒ Ø Û Ú Θ 1 (0,1) = (a,0) Ò X {0} = X 0 R(a,0)º ËÑÐÖÐÝ Û Ú ½ v 0º ÁÒ Ø Û Ú Y {0} = Y 0 º ¾ v = 0º ÁÒ Ø Û Ú Θ(0,1) = (b,0) Ò Y {0} = Y 0 R(b,0)º

5 ÈÖÓÓº ÓÖ ÐÐ x X ØÖ Ü Ø (y x,λ x ) Y R Ù ØØ (x,0) = Θ 1 (y x,λ x ) = Θ 1 (y x,0)+λθ 1 (0,1) = Θ 1 (y x,0)+λ x (a,u) ¾µ = Θ 1 (y x,0)+(λ x a,λ x u) ËÒ Θ 1 (y x,0) X 0 X {0} Ò Ð Ó (x,0) X {0} ØÒ ÖÓÑ Ø ÓÚ ÕÙØÓÒ Û ÓØÒ ØØ (λ x a,λ x u) X {0} Û ÑÔÐ ØØ λ x u = 0º ËÓ Û Ú ½ u 0º ÁÒ Ø X {0} = X 0 º ÁÒ u 0 ØÒ λ x = 0 Ò Ó (x,0) = Θ 1 (y x,0) X 0 ÓÖ ÐÐx X ºX {0} X 0 º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Û ÒÓÛ ØØX 0 X {0}º ¾ u = 0º ÁÒ Ø Û Ú Θ 1 (0,1) = (a,0) Ò Ó X = X 0 R(a,0)º ÁÒ Ï Ú X 0 R(a,0) = (0,0) Ò α ÖÐ ÒÙÑÖ Ù ØØ α(a,0) X 0 ØÒ 0 = χ Y Θ(α(a,0)) = αχ Y (0,1) = αº ÁÒ ÓØÖ ÛÓÖ ÖÓÑ ¾µ ÓÖ ÐÐ x X ØÖ Ü Ø (y x,λ x ) Y R Ù ØØ (x,0) = Θ 1 (y x,0)+λ x (a,0). ÛØ Θ 1 (y x,0) X 0 º ÌÙ X {0} X 0 R(a,0) X {0} Ò Ó X {0} = X 0 R(a,0)º ÁÒ ÑÐÖ ÛÝ Û ÓØÒ Ø ÓÒ ÔÖØ Ó Ø ÐÑѺ ÄÑÑ Ï Ú u = 0 Ò ÓÒÐÝ v = 0º ÈÖÓÓº ËÙÔÔÓ ØØ v = 0º ÌÒ ÓÖ ÐÐ (x,t) X R Û Ú Θ(x,t) = Θ(x,0)+Θ(0,t) = Θ(x,0)+tΘ(0,1) = Θ(x,0)+t(b,v) = Θ(x,0)+(tb,0)º ÆÓÛ Û Ö ÓÒ ØÓ ÔÖÓÚ ØØ u = 0º ËÙÔÔÓ ØØ Ø ÓÒØÖÖÝ ÓÐ ØØ u 0º ÌÒ X {0} = X 0 Ë Ø ½º Ò ÄÑÑ ¾µº ËÓ Θ(x,0) Θ(X {0}) = Θ(X 0 ) = Y 0 Ò Θ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑØÖ ÖÓÑ X 0 ÓÒØÓ Y 0 Ë Ø ÓÖÑÙÐ ½µµº ÆÓÛ Ò Y 0 Y {0} ØÒ Θ(x,0)+t(b,0) Y {0}º ÁÒ ÓØÖ ÛÓÖ Θ(x,t) Y {0} ÓÖ ÐÐ (x,t) X Rº ËÓ Θ(X R) Y {0}º ÙØ Θ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ØÛÒ X R Ò Y Rº Ì ÑÔÐ ØØ Y {0} = Y R Û ÑÔÓ Ðº ÌÙ u = 0º ÁÒ ÑÐÖ ÛÝ Û ÓØÒ Ø ÓÒÚÖ º º¾ ÈÖÓÓ Ó ÌÓÖÑ ¾ Ò ÓÑ ÓÖÓÐÐÖ º Ï Ú ÒÓÛ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø ÑÒ Ö ÙÐغ ÈÖÓÓ Ó ÌÓÖÑ ¾º ÓÖ Ø ÔÖØ ÐØ T : (X,N X ) (Y,N Y ) Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó¹ ÑØÖº ÄØ Ù Ò Θ : (X R,N X ) (Y R,N Y ) Ý Θ(x,λ) = (T(x),λ)º ÌÒ ÐÖÐÝ Θ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ò Ý Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P) Ø Ð Ó ÓÑØÖº Ï ÔÖÓÚ ÒÓÛ Ø ÓÒÐÝ ÔÖغ Ý ÓÑÒÒ ÄÑÑ ¾ Ò ÄÑÑ Û Ú ØØ ½º Á u 0 Ò v 0 ØÒ X {0} = X 0 Ò Y {0} = Y 0 º ËÓ Ý ÄÑÑ ½ Û ÓÒÐÙ ØØ X {0} Ò Y {0} Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ ÓÖ Ø ÒÓÖÑ N X Ò N Y º ËÓ (X,N X ) Ò (Y,N Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº ¾º Á u = 0 Ò v = 0 Ù Ò ÄÑÑ ¾ Û Ú ØØ Θ 1 (0,1) = (a,0) Ò X {0} = X 0 R(a,0) Ò Θ(0,1) = (b,0) Ò Y {0} = Y 0 R(b,0)º ÆÓÛ Û ÔÖÓÚ ØØ Ø ÑÔ ψ : X {0} = X 0 R(a,0) Y {0} = Y 0 R(b,0) (z,0)+λ(a,0) Θ(z,0)+λ(b,0) Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑØÖº ÁÒ Ø Ø ØØ ψ ÐÒÖ Ò ÓÒØÓ ÑÔ ÐÖ Ý Ù Ò ÄÑÑ ½º ÄØ Ù ÔÖÓÚ ØØ ψ ÓÑØÖ ÓÖ Ø ÒÓÖÑ N X Ò N Y º ËÒ (z,0) X 0 Ý ½µ ØÖ Ü Ø (y,0) Y 0 Ù ØØ Θ(z,0) = (y,0)º ËÒ (z,0)+λ(a,0) = Θ 1 (Θ(z,0))+λΘ 1 (0,1) = Θ 1 (Θ(z,0)+(0,λ)) = Θ 1 (y,λ)

6 ØÒ Ù Ò Ø Ø ØØ Θ 1 ÓÑØÖ Û Ú N X ((z,0)+λ(a,0)) = N X (Θ 1 (y,λ)) = N Y (y,λ). µ ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Û ÒÓÛÒ ØØ (b,0) = Θ(0,1) Ó Θ(z,0)+λ(b,0) = Θ(z,0)+λΘ(0,1) = Θ(z,λ)º ÌÙ Ù Ò Ø Ø ØØ Θ ÓÑØÖ Û Ú N Y (ψ((z,0)+λ(a,0))) = N Y (Θ(z,0)+λ(b,0)) = N Y (Θ(z,λ)) = N X (z,λ). µ ÙØ N X (z,0) = N Y (y,0) Ò Θ(z,0) = (y,0) Ò Θ ÓÑØÖº ËÒ (N X,N Y ) Ø Ý Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P) ØÒ N X (z,λ) = N Y (y,λ)º ÌÙ Ù Ò Ø ÓÖÑÙÐ µ Ò µ Û ÓØÒ ØØ ψ ÓÑØÖº ÊÑÖ ¾ Ý ÒÙØÓÒ Û Ò ÐÝ ÜØÒ Ø ÓÚ ØÓÖÑ ØÓ X R n n N µ Û ÙÑ ØØ (N X,N Y ) ÔÖ Ó ÒÓÖÑ Ø ÝÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÔÖÓÔÖØÝ (P n ) ÓÖ ÐÐ x X ÐÐ y Y ÐÐ i {1,2,...n} Ò ÐÐ (s 1,s 2,...,s i );(s 1,s 2,...,s i ) Ri N X (x,s 1,s 2,...,s i,0,0,...,0) = N Y (y,s 1,s 2,...,s i,0,0,...,0) ØÒ N X (x,s 1,s 2,...,s i,λ,0,...,0) = N Y (y,s 1,s 2,...,s i,λ,0,...,0), λ Rº ÜÑÔÐ ¾ ÄØ p [1,+ [ Ò n N X,p (x,s 1,...,s n ) = ( x p X + s k p ) 1 p, k=1 N X, (x,s 1,...,s n ) = max( x X, s 1,..., s n ) ÓÖ ÐÐ (x,s 1,...,s n ) X R n º ÁÒ ÑÐÖ ÛÝ Û Ò N Y,p Ò N Y, º ÌÒ Ø ÔÖ (N X,p,N Y,p ) Ò (N X,,N Y, ) Ø Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P n )º ÓÖÓÐÐÖÝ ½ ÄØ X Ò Y ÚØÓÖ Ô º ÄØ n N Ò ÙÔÔÓ ØØ (N X,N Y ) Ø Ý (P n )º ÌÒ (X R n,n X ) Ò (Y R n,n Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ Ò ÓÒÐÝ (X,N X ) Ò (Y,N Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº ÖÑÖ Û Ú Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÖÓÐÐÖÝ ÓÖ ÒÒÖ ÔÖÓÙØ Ô º ÆÓØ ØØ ÒÓÒ ÓÑÔÐØ ÒÒÖ ÔÖÓÙØ Ô ÒÓ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ò ÒÖÐ Ë µº Ì ÝÑÓÐ = ÑÒ ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº ÓÖÓÐÐÖÝ ¾ ÄØ (H,. H ) Ò (L,. L ) ØÛÓ ÒÒÖ ÔÖÓÙØ Ô ÒÓØ Ò ÖÝ ÓÑÔÐصº ÌÒ (H,. H ) = (L,. L ) Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÐÐ ÒØ ÑÒ ÓÒÐ Ù Ô E H Ò F L Ù ØØ dim(e) = dim(f) Û Ú ØØ (E,. H ) = (F,. L )º ÏÖ E Ò F ÒÓØ Ø ÓÖØÓÓÒÐ Ó E Ò F Ö ÔØÚÐݺ ÈÖÓÓº ÄØ E H Ò F L Ù ØØ dim(e) = dim(f) = n ÓÖ n Nº Ý Ø Ð Ð ÔÖÓØÓÒ ØÓÖÑ ÓÒ ÓÑÔÐØ ÚØÓÖ Ù Ô Ó Ò ÒÒÖ ÔÖÓÙØ Ô Û Ú H = E E Ò L = F F º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Ø ÐÖ ØØ (H,. H ) = (E R n,n E,2) Ò (L,. L ) = (F R n,n F,2) ÛÖ N E,2 Ò N F,2 Ö Ò Ò Ø ÜÑÔÐ ¾ ÛØ p = 2º ËÒ (N E,2,N F,2) Ø Ý (P n ) ØÒ ÖÓÑ ÓÖÓÐÐÖÝ ½ Û ÓØÒ (E,. H ) = (F,. L )º Ì ÓÒÚÖ ÐÖº

7 ÔÔÐØÓÒ º Ï Ú Ò Ø ØÓÒ ØÛÓ ÔÔÐØÓÒ Ó ÌÓÖÑ ¾º Ï ÒÓØ Ý (C 1 [0,1],N C 1 [0,1]) Ø Ô Ó ÓÒØÒÙÓÙ ÐÝ ÖÒØÐ ÙÒØÓÒ ÓÒ [0,1] ÒÓÛ ÛØ Ø ÒÓÖÑ N C 1 [0,1](f) := N R 2( f, f(0) ) ÛÖ N R 2 ÒÓØ ÒÝ ÒÓÖÑ Ø ÝÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½º ÄØ (X,. X ) Ò Ôº Ï ÒÓØ Ý N X Ø ÒÓÖÑ Ò ÓÒ X R Ý N X (x,t) := N R 2( x X, t ) ÓÖ ÐÐ (x,t) X Rº ÒÐÐÝ Û ÒÓØ Ý (C[0,1],. ) Ø Ô Ó ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ ÓÒ [0,1] ÒÓÛ ÛØ Ø ÙÔÖÑÙÑ ÒÓÖѺ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ Ï Ú (X R,N X ) = (C 1 [0,1],N C1 [0,1]) Ò ÓÒÐÝ (X,. X ) = (C[0,1],. )º ÈÖÓÓº ÄØ Ù Ò Ø ÒÓÖÑ N C[0,1] ÓÒ C[0,1] R Ý N C[0,1] (g,t) := N R 2( g, t ) ÓÖ ÐÐ (g,t) C[0,1] Rº ÄØ Ù ÓÒ Ö Ø ÑÔ χ : (C 1 [0,1],N C 1 [0,1]) (C[0,1] R,N C[0,1] ) f (f,f(0)) ÐÖÐÝ χ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÓÑØÖº ËÓ Û Ú (X R,N X ) = (C[0,1] R,N C[0,1] )º ËÒ (N X,N C[0,1] ) Ø Ý Ø ÔÖÓÔÖØÝ (P) Ý ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ØÒ Ù Ò ÌÓÖÑ ¾ Û Ó¹ ØÒ ØØ (X,. X ) = (C[0,1],. ) Ò N X ( x X,0) = x X N R 2(1,0) Ò N C[0,1] (g,0) = g N R 2(1,0)º ÄØ Ù ÖÐÐ ÓÑ ÒÓØÓÒ º ÄØ K Ò C ÓÒÚÜ Ù Ø Ó ÚØÓÖ Ô º ÙÒØÓÒ T : K C ØÓ Ò ÓÖ ÐÐ x,y K Ò 0 λ 1 T(λx + (1 λ)y) = λt(x)+(1 λ)t(y)º Ì Ø Ó ÐÐ ÓÒØÒÙÓÙ ÖйÚÐÙ Ò ÙÒØÓÒ ÓÒ ÓÒÚÜ Ù Ø K Ó ØÓÔÓÐÓÐ ÚØÓÖ Ô ÛÐÐ ÒÓØ Ý Aff(K)º ÐÖÐÝ ÐÐ ØÖÒ ÐØ Ó ÓÒØÒÙÓÙ ÐÒÖ ÙÒØÓÒÐ Ö ÐÑÒØ Ó (K) ÙØ Ø ÓÒÚÖ Ò ÒÓØ ØÖÙ Ò ÒÖÐ Ô ¾¾ºµº ÀÓÛÚÖ Û Ó Ú Ø ÓÐÐÓÛÒ ÖÐØÓÒ Ôº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ºµ ÙÑ ØØ K ÓÑÔØ ÓÒÚÜ Ù Ø Ó ÔÖØ ÐÓÐÐÝ ÓÒÚÜ Ô X ØÒ { } a Aff(K) : a = r+x K for some x X and some r R Ò Ò (Aff(K),. ) ÛÖ. ÒÓØ Ø ÒÓÖÑ Ó ÙÒÓÖÑ ÓÒÚÖÒº ÙØ Ò Ø ÔÖØÙÐÖ ÛÒ X Ò Ô Ò K = (B X,w ) Ø ÙÒØ ÐÐ Ó Ø ÙÐ Ô X ÒÓÛ ÛØ Ø Û ØÖ ØÓÔÓÐÓÝ Ø ÛÐÐ ÒÓÛÒ Ö ÙÐØ Ù ØÓ Ò Ò ÙÓÒÒ ØØ ØØ ÌÓÖÑ Ò¹ÙÓÒÒµº Ì Ô (Aff 0 (B X ),. ) ÓÑØÖÐÐÝ ÒØ ØÓ (X,. )º ÁÒ ÓØÖ ÛÓÖ Aff 0 (B X ) = { ẑ BX : z X }. ÏÖ Aff 0 (B X ) ÒÓØ Ø Ô Ó ÐÐ Ò Û ØÖ ÓÒØÒÙÓÙ ÙÒØÓÒ ØØ ÚÒ Ø 0 Ò ẑ : p p(z) ÓÖ ÐÐ p X Ò ẑ BX ÒÓØ Ø Ö ØÖØÓÒ Ó ẑ ØÓ B X º ÆÓÛ ÐØ X Ò Y ØÛÓ Ò Ô Ò ÐØ Ù ÒÓÛ Ø Ô Aff(B X ) Ò Ò ÑÐÖ ÛÝ Ø Ô Aff(B Y )µ ÛØ Ø ÒÓÖÑ N(f) := N R 2( f f(0), f(0) ) ÓÖ ÐÐ f Aff(B X ) ÛÖ N R 2 ÒÓØ ÒÝ ÒÓÖÑ ÓÒ R 2 Ø ÝÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½º Ï ÓØÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÚÖ ÓÒ Ó Ø Ò¹ËØÓÒ ØÓÖÑ ÓÖ Ò ÙÒØÓÒ ÓÖ ÑÓÖ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÙØ Ø Ò¹ËØÓÒ ØÓÖÑ ¾ Ò µº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÄØ X Ò Y ØÛÓ Ò Ô º ÌÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÖØÓÒ Ö ÕÙÚ¹ ÐÒغ (1) (Aff(B X ),N) Ò (Aff(B Y ),N) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº (2) (X,. X ) Ò (Y,. Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº

8 ÈÖÓÓº ÄØ Ñ Ø ÒÓÖÑ ÓÒ Aff 0(B X ) R Ò Ý Ñ(f 0,t) := N R 2( f 0, t ) ÓÖ ÐÐ (f 0,t) Aff 0 (B X ) Rº ÄØ Ù ÓÒ Ö Ø ÑÔ χ : (Aff(B X ),N) (Aff 0 (B X ) R,Ñ) f (f f(0),f(0)) ÐÖÐÝ χ Ò ÓÑØÖ ÓÑÓÖÔ Ñº ÌÙ Ù Ò ÌÓÖÑ ½ Û Ú ØØ (Aff(B X ),N) Ò (Aff(B X ),N) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ Ò ÓÒÐÝ (Aff 0 (B X ),. ) Ò(Aff 0 (B Y ),. ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔ Û ÕÙÚÐÒØ Ý ÌÓÖÑ ØÓ Ø Ø ØØ (X,. X ) Ò (Y,. Y ) Ö ÓÑØÖÐÐÝ ÓÑÓÖÔº ÒÓÛÐÑÒØ º Ì ÙØÓÖ ØÒ ÈÖÓ ÓÖ ÂÒ¹ÖÒÖ ÐÐÓÒ Ò ÈÖÓ ÓÖ ÐÐ ÓÖÓÝ ÓÖ Ø ÚÖ ÒÖÒ Ù ÓÒ º ÊÖÒ ½ ź Ö Ì Ò¹ÓÒÚÓÐÙØÓÒ ÐÛ Ó ÑÓÒÓº Ò ÒÐÓÙ ØÓ Ò¹ËØÓÒ ØÓÖÑ Âº Åغ Òк ÔÔÐ ¾¼ ¾¼½µ ÆÓº ½ ½¹½º ¾ ź Ö ËÙÖ Ð ÖÒØÐØ ÒÖÕÙ Ø Ð ØÓÖÑ Ò¹ËØÓÒ ºÊº º ˺ ÈÖ ¼ ¾¼¼¼µ ¹¼º źÁº ÖÖÓ Âºº ÂÖÑÐÐÓ ÎÖØÓÒ ÓÒ Ø Ò¹ËØÓÒ ÌÓÖÑ ÜØÖØ Åغ ÎÓк ½ ƺ ¾¼¼¾µ ½¹ º ʺ ÈÐÔ ÄØÙÖ ÓÒ ÓÕÙس ÌÓÖÑ ËÓÒ ØÓÒ ÄØÙÖ ÆÓØ Ò Åغ ÖÐÒ ½µº Ⱥ ÀÐÑÓ ÀÐÖØ ËÔ ÈÖÓÐÑ ÓÓ ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ÆÛ ÓÖ¹ÀÐÖ¹ÖÐÒ ½¾º