CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Căn bậc hai số học 2 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x =

Bản ghi

1 CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Căn bậc hai số học Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a, số âm kí hiệu là a Số có đúng một căn bậc hai là chính số, ta viết Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số cũng được gọi là căn bậc hai số học của. Với hai số không âm a, b, ta có a < b a < b II. Căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A. A xác định (hay có nghĩa) khi A. A.A A A A.A < B. BÀI MINH HỌA I. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN Dạng. Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa Bài. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: a) x b) x c) x + d) x + e) 9x f) 6x a A A Bài. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: x x x a) + x b) + x c) + x x x+ x d) e) f) x x + x + Bài. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: a) x + b) x + c) 9x 6x + d) x + x e) x + 5 f) x Bài. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa: a) x b) x 6 c) x d) x x e) x x+ f) x 5x+ 6 Bài : a)x b)x c)x d)x e)x f)x 9 6 Bài :. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

2 x a) x x + Điều kiện của biểu thức là x x x > x x Vậy điều kiện của biểu thức là x > x b) x x+ + Điều kiện của biểu thức là x x x x+ x Vậy điều kiện của biểu thức là x x c) x x + x x Điều kiện x > x x ± Vậy điều kiện của biểu thức là x > A d) dạng x B với A> Điều kiện x > x < x Vậy điều kiện của biểu thức là x < e) x +. Dạng A B với A> Điều kiện x + > x > x + Vậy điều kiện của biểu thức là x > f) x + dạng A B với A< Điều kiện x+ < x < x+ Vậy điều kiện của biểu thức là x< Bài. a) Vì x + > x. Vậy hàm số luôn xác định x b) Vì x + > x. Vậy hàm số luôn xác định x c) 9x 6x + ( x ). Vì Vậy hàm số xác định với mọi x x x d) x + x x x + x Hàm số xác định ( x ) x x Vậy hàm số xác định khi x. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

3 e) x+ 5 Điều kiện x+ 5 x+ 5 x 5 f) x Điều kiện x x + < x Vậy không tồn tại giá trị x để hàm số có nghĩa Bài. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) Điều kiện của biểu thức là x x x Vậy điều kiện của biểu thức là x b) Điều kiện của biểu thức là x 6 x 6 x hoặc x Vậy điều kiện của biểu thức là x hoặc x c) Điều kiện của biểu thức là x x x hoặc x Vậy điều kiện của biểu thức là x hoặc x x+ x x x x d) x x ( x )( x ) + x+ x x x x Vậy biểu thức xác định khi x hoặc x e) Điều kiện của biểu thức là x( x+ ) x hoặc x Vậy điều kiện của biểu thức là x hoặc x f) Điều kiện của biểu thức là x 5x+ 6 ( x )( x ) x hoặc x Vậy điều kiện của biểu thức là x hoặc x Dạng. Tính giá trị biểu thức Trong các bài toán tính giá trị biểu thức và bài toán rút gọn thường xuất hiện các dạng biểu thức ẩn của các hằng đẳng thức. Để tính toán và giải quyết nhanh bài toán, các em cần biến đổi, và sử dụng thành thạo các dạng của các hằng đẳng thức đáng nhớ. Để đơn giản hoá việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo sơ đồ bên dưới. Sử dụng hằng đẳng thức trong bài toán chứa căn Các hằng đẳng thức đáng nhớ a b a ab b Chú ý: x ( x ) x ; x x ( x ) Ví dụ minh họa ( 5) + 5+ ( 5+ ).x+ x + ( x) + x + ( x + ) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

4 a b a ab b ( 5) 5+ ( 5 ) ( 5) 5. + ( ) ( 5 ). x x 5 x 5 x x 5 x 5+ + x 5 + ( )( + ) x ( x) ( x )( x + ) a b a b a b. x x + x + x + a a a + a. + a a a a.x 7 x x + x + 9 ( )( + + ) a b a b a ab b a a a a + a + a. + a + a + a a a a + a + a+ a + a + ( + )( + ).x 7 ( x )( x + x + 9) a b a b a ab b x( x + ) a b a a b ab b a b a a b ab b ( + ) + ( + )( + ) x x x x x x + x x x x x. x x + x x + x x + x x x + x x + x+ x + + Bài. Thực hiện các phép tính sau: 6 9+ x x x x+ x 6 a),8,5 b) c) d) Bài. Thực hiện các phép tính sau: ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) a) b) c) d) e) 5 5 f ) 5 Bài. Thực hiện các phép tính sau:. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

5 a) b) c) + + d) e) f ) 6 + Bài. Thực hiện các phép tính sau: 8 + a) ( ) b) 6 + c) d) Bài : a) Biến đổi biểu thức,8 (,5),8,5,8.,5, Vậy biểu thức có giá trị là: -, 6 b) Biến đổi biểu thức Vậy biểu thức có giá trị là: c) Biến đổi biểu thức: ( ) vì < Vậy biểu thức có giá trị là d) Biến đổi biểu thức ( ) vì > Vậy biểu thức có giá trị là Bài : a) Biến đổi biểu thức: ( ) + ( + ) (vì > ) Vậy biểu thức có giá trị là: 6 b) Biến đổi biểu thức ( 5 6) ( 5+ 6) ( 5 6) ( 5+ 6) 6 (vì 5 6 > ) Vậy biểu thức có giá trị là: 6 c) Biến đổi biểu thức ( ) + ( ) + + (Vì > ; < ) Vậy biểu thức có giá trị là: d) Biến đổi biểu thức ( + ) ( ) + + ( ) (vì + > ; < ) Vậy biểu thức có giá trị là: e) Biến đổi biểu thức ( 5 ) + ( 5+ ) vì 5 > ; 5+ > 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

6 Vậy biểu thức có giá trị là: 5 f) Biến đổi biểu thức ( + ) ( 5) ( 5 ) (Vì + > ; 5 < ) Vậy biểu thức có giá trị là Bài : a) Ta có: ( + ) ; ( ) Nên ( + ) ( ) + ( + ) ( ) vì + > ; > Vậy biểu thức có giá trị là b) Ta có: ( 5 ) ; ( 5 + ) Nên 7 7+ ( 5 ) ( 5+ ) 5 5+ ( 5 ) ( 5+ ) vì 5 > ; 5+ > Vậy biểu thức có giá trị là c) Biến đổi biểu thức ( + ) +. + ( ) Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức Vậy biểu thức có giá trị 5 e) Biến đổi biểu thức 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

7 ( ) ( ) Vậy biểu thức có giá trị là f) Biến đổi biểu thức ( ) ( ) Vậy biểu thức có giá trị Bài. a) Biến đổi biểu thức 5+ 6 ( ) ( + ) ( ) + ( )( + ) ( ) ( ) b) Ta có: và ( ) ( + ) ( ) Suy ra Vậy biểu thức có giá trị c) Biến đổi biểu thức 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

8 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Vậy biểu thức có giá trị d) Biến đổi biểu thức Vậy biểu thức có giá trị 5+ Dạng. Rút gọn biểu thức Bài. Rút gọn các biểu thức sau: a)x x 6x 9 x b) x x x x x x + x x + ( > ) + ( < ) c) x d) x x x x Bài. Rút gọn các biểu thức sau: a) a + a a b)x y x xy + y x x + 5 c)x + x 8x + 6 d)x x 5 x x + x e) f ) ( x ) + x x 8x + 6 Bài. Cho biểu thức A x + x x x a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa? b) Tính A nếu x Bài. Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện xy + yz + xz Tính Bài. ( + y )( + z ) ( + z )( + x ) ( + x )( + y ) A x + y + z + x + y + z

9 a)x+ + x 6x+ 9( x ) x+ + ( x ) x+ + x (vì x nên x ( x ) ) x+ ( x ) 6 b) x + x + x ( x ) ( x+ ) + x x+ + x vì x nên x+ x+ và x nên x x x+ x x x + c) x x ( > ) x x x x x x Vì x > nên x x d) ( ) x x + x x + x + x x vì x < nên x ( x ) Biểu thức Bài. x x x + x + x+ x+ x x a + a a a a a a a) Biến đổi biểu thức Với a thì a nên a a ta có: a + a a a a a a a Với a thì a nên a a ta có: a + a a a a a a x y x xy+ y x y x y x y x y b) Biến đổi biểu thức Với x y thì x y ( x y) ta có 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x y x xy+ y x y x y x y+ x y x y Với x y thì x y x y ta có x y x xy+ y x y x y x y x y c) với x + x 8x + 6 x + x x + x thì x ( x ) x x x x + x 8x + 6 x + x x x ta có:

10 Với x x x hoặc x thì x + x 8x + 6 x + x x + x x ( ). TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com x x ta có: x x + 5 x 5 x 5 d) x x x x 5 x 5 x 5 Với x 5 x 5 x 5 x 5 ta có: thì x x + 5 x 5 x 5 x x x + x x 5 x 5 x 5 Với x 5 x 5 x 5 x 5 ta có: thì x x + 5 x 5 x 5 x x x x x 5 x 5 x 5 Bài. Biểu thức a) Biểu thức xác định khi b) Tính A với x A x + x x x A x + x x x ( x ) ( x ) x x x hoặc x x x x x x x Với x thì Vậy x x x x A x + + x x + + x x Bài. Cho số dương x,y,z thỏa điều kiện: xy + yz + zx. Tính ( + y )( + z ) ( + z )( + x ) ( + x )( + y ) A x + y + z + x + y + z Ta có: + y ( xy + yz + xz) + y xy + y + yz + zx y( x + y) + z( y + x) ( x + y)( y + z) Tương tự + z ( y+ z)( z+ x) + x ( z+ x)( x+ y) Suy ra ( + y )( + z ) ( x+ y)( y+ z)( x+ z)( y+ z) + x x+ y x+ z *x x x y+ z x y+ z ( + z )( + x ) ( z+ x)( y+ z)( x+ z)( x+ y) + y x+ y y+ z *y y y x+ z y x+ z ( + x )( + y ) ( x+ y)( x+ z)( x+ y)( y+ z) z x z y z *z z z x+ y z x+ y + + +

11 Vậy A x ( y + z) + y( x + z) + z( x + y) ( xy + yz + xz) Dạng. Giải phương trình Để đơn giản hoá việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo sơ đồ bên dưới. Một số dạng phương trình cơ bản Dạng toán Ví dụ minh họa A B A± B ( ) A hay B A B A B B A B A B Nếu B < thì phương trình vô nghiệm B A B A B A B. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com.x x x hoặc x x x x ( PTVN). ( x ) x x x x x Vậy phương trình có nghiệm là x x x x + 5 x (thỏa) x + 5 x x x x x x x ( x ) x x x + x x x x ( loai) x x x( x ) x ( TM) Vậy nghiệm của phương trình là x x x 5 x 5 7 x 5 x 7 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; x + x + x x + x x x x + x x ( TM ) x + x x ( loai) 6 Vậy tập nghiệm của phương trình x + + x + x + x + x x x x x A B A Bhay A B x x Vậy tập nghiệm của phương trình S { ;}

12 A A + B B A A + B B Bài. Giải các phương trình sau: a) x x b) x x x 5 c) x + 6x 5 d) x + x Bài. Giải các phương trình sau: a) x + 5 x b) x x x c) x x d) x x Bài. Giải các phương trình sau: a) x + x x b) x x c) x x x d) x x + + Bài. Giải các phương trình sau: a) x x + x b) x x + x c) x x + x d) x + x + x Bài 5. Giải các phương trình sau: a) x+ x+ b) x x c) 9x x + x d) x + x + x + Bài. Giải các phương trình sau: a) x x x x x x x x x x 6 x x x x x x Vậy tập nghiệm của PT là x + + b) x x 5 x 5 x 5 5 x x 5 x+ 5 x 5 x 5 x x 5 x 5 x 5 Vậy nghiệm của phương trình: x 5 x + x+ x x x ± x x + x x Vậy nghiệm của phương trình: x -. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

13 5 x 5 x 5 5 x 5 5 x x 5 5 x x ( TM) x x 5 x 5 5 x dung x 5 Vậy tập nghiệm của PT là x c) Biến đổi biểu thức 6x 5 6x 5 x + 6x 5 6x 5 x 6x 5 x Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; d) x+ x ĐK: x Biến đổi biểu thức x+ x x + x + x x x x x x ( PTVN) x 9 x ( TM) Vậy nghiệm của phương trình là x Bài. x x x a) Biến đổi biểu thức x + 5 x x x + 5 x x x Vậy nghiệm của PT là x x x x b) Biến đổi biểu thức x x x x ( TM) x x x x x ( TM) Vậy tập nghiệm của phương trình là S { ; } x x x c) Biến đổi biểu thức x x x x x k TM x x x TM Vậy nghiệm của phương trình là x. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

14 x x d) x x x x x ( ktm) Vậy phương trình vô nghiệm Bài. x x a) Biến đổi biểu thức x + x x x x + x x x Vậy nghiệm của phương trình là x x x b) Biến đổi biểu thức x x x ( x ) ( x ) + x x x ( x ) + ( x )( x+ ) ( x ) ( x ) + ( x+ ) x x x ( ktm) x ( x ) x x ( TM) Vậy nghiệm của phương trình là x c) Biến đổi biểu thức x x x x x + x PTVN x x + ( x ) x x + x x + x Vậy phương trình vô nghiệm x d) Biến đổi biểu thức x x + x x x ( x ) x x x ( x ) ( x ) ( x )( x ) x x x x x x x x x ± ( TM ) x x x ± x { ; ;; } Vậy tập nghiệm của phương trình là x { ; ;; } Bài. Giải các phương trình sau: a) Biến đổi biểu thức x x + x x x x x. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

15 x x x x x x x KTM x x x x x ( x ) x TM x ( x ) x ( x )( x ) + + ( x )( x ) + x TM x Vậy tập nghiệm của phương trình là S { ;} b, Biến đổi biểu thức x x + x x x x x x x x x KTM x x x x ( x ) x x KTM Vậy phương trình vô nghiệm c) Biến đổi biểu thức x x + x x x x x x x x x x x x ( x ) ( x ) + ( x ) x x x( x ) x( x ) ( x )( x ) ( x ) + + ( x )( x+ ) x x ( KTM) x x x x ( KTM) Vậy tập nghiệm của phương trình là x d) Biến đổi biểu thức x + x+ x ( TM) 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

16 x+ x x+ x x x x x + x x x PTVN x + x x x ( KTM) Vậy phương trình vô nghiệm Bài 5. Giải các phương trình sau: a) Biến đổi biểu thức x+ x+ x x x + + x x ( x + + ) x x Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; x x b) Biến đổi biểu thức x x x x ( x )( x+ ) ( x ) ( x )( x+ ) + ( x ) ( x )( x+ ) ( x )( x+ + ) x x + x x + + x x x x Vậy tập nghiệm của phương trình là S { ; ; } c) Biến đổi biểu thức 9x x + x x x x x x x x x x x x x 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

17 Vậy tập nghiệm của phương trình là S ; d) Biến đổi biểu thức x + x + x + x x ( x )( x ) x + x x x + x + x + ( x+ ) x + x Vậy nghiệm của phương trình là x - Bài 5. Giải các phương trình sau a) x 6 x + 9+ x 7 ; b) x+ 6 x 5 + x + x 5. a) x 6 x + 9+ x 7 x + x 7 x + x 7 Trường hợp : Xét x phương trình có dạng: x + x 7 x 5 x± 5. Trường hợp : Xét x < phương trình có nghiệm: x + x 7 vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là S { 5;5}. b) x+ 6 x 5 + x + x 5 x 5 6 x x 5+ x 5+ ( x ) ( x ) x 5 + x 5+ Ta có: x 5 x 5 x 5 Vậy vế trái x 5+ x+ 5+. Do vậy vế trái bằng vế phải khi: 5 x 5 x 5 9 x 7. 5 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S x/ x 7. Dạng 6.Nâng cao Bài : Rút gọn biểu thức sau: a) A ; b) B a+ a a+ với a < Bài : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) A x x ; b) c) C x + y xy + x y + + y 8y +. Bài : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com B x x ;

18 a) A x x+ 6 + x 6x+ 6 b) B ( x ) + ( x 9) + ( x 95). Bài. Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca. Chứng minh rằng biểu thức ( a + )( b + ) A là một số hữu tỉ. c + Bài 5. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b.chứng minh rằng: a + 8b + b + 8a 6 Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A ( x 9) ( x ) + ; b) B ( x 8) ( y 9) ( x ) + + ; c) C ( x 7) ( x 8) ( x 9) ( x ) Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a+ a + a+ 5 8 a. x y Bài 8. Cho x, y thỏa mãn < x<, < y< và x + y.tính giá trị của biểu thức P x + y + x xy + y. Bài 9. Tính x y ( x+ y)( x y ) ( x ) > < và biết x ; y Bài : Rút gọn biểu thức sau: a) A ; b) a) Ta có A A A ( 5+ ) ( 5 ) A ( 5+ ) ( 5 ). ( x )( x y + xy + y ) với a < B a a a b) + + với a < B a a a B a+ a B a+ a a+ a a. Bài : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: a) A x x ; b) c) C x + y xy + x y + + y 8y +. a) Ta có: A x x ( x ) B x x ; Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi x. 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

19 b) Ta có: B x x ( x ) Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là khi x. c) Ta có: C x + y xy + x y + + y 8y + C x y y + C Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 5. x y+ x Khi. y y Bài : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) b) B ( x ) + ( x 9) + ( x 95). A x x x x a) Ta có: 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A x x+ 6 + x 6x+ 6 x 6 + x 8 A x 6 + x 8 x x x 6+ 8 x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi ( x )( x) b) Ta có: ( 9) ( 95) B x + x + x B x + x 9 + x hay 6 x 8. B x + 95 x + x 9 x + 95 x và x 9 tức là x 9. Bài. Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn ab + bc + ca. Chứng minh rằng biểu thức Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 9 khi ( x )( x) ( a + )( b + ) A c + là một số hữu tỉ. Ta có: a + a + ab + bc + ca a + a+ b a+ c Tương tự, ta có: b + ( b+ a)( b+ c) c + ( c+ a)( c+ b) ( ) Từ (),(), () suy ra ( a+ b)( a+ c)( b+ c)( b+ a) ( c+ a)( c+ b) A a+ b a+ b A a+ b. Vì a, b là các số hữu tỉ nên a+ b cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ. Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là một số hữu tỉ. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b

20 Chứng minh rằng: a + 8b + b + 8a 6 ( ) Cách. Thay a + b vào () ta có: Vế trái: a + b ( a + b ) + b + a ( a + b ) a + ab + b + b + ab + a ( a b ) a + b + b + a a + b + b + a Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. Cách. Từ giả thiết suy ra: b a ; a b thay vào () ta được: a + 8 a + b + 8 b a + b a + b (do a < ; b < ) a + b 6. Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh. Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A ( x 9) ( x ) + ; b) B ( x 8) ( y 9) ( x ) + + ; c) C ( x 7) ( x 8) ( x 9) ( x ) a) A x 9 + x x 9 + x x 9 + x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi x 9 và x hay 9 x. b) Giá trị nhỏ nhất của B là khi 8 x và y 9. c) Giá trị nhỏ nhất của C là khi 8 x 9. Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a+ a + a+ 5 8 a. Ta có: A a a + + a 8 a + 6 ( ) ( ) A a + a A a + a a + a A. Đẳng thức xảy ra khi a a 6. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi 5 a 7. x y Bài 8. Cho x, y thỏa mãn < x<, < y< và x + y.. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

21 Tính giá trị của biểu thức P x + y + x xy + y. x y + y x x y Từ giả thiết, suy ra: x+ y xy x xy+ y ( x+ y) ( x+ y) + ( x+ y ) Vậy P x y x xy y x y x y x Từ giả thiết, ta lại có: x x < < Tương tự ta có: y <. Suy ra < x+ y<, ta có P x+ y+ x y. Bài 9. Tính x y ( x+ y)( x y ) ( x ) > < và biết x ; y ( x )( x y + xy + y ) 6 Ta có: Với x> x> x > x > x x Do đó Từ đó ( x+ y)( x y )( x ) 6 ( x )( x y + xy + y ) ( x+ y)( x y ) ( x+ y)( x y)( x + xy+ y ) x y + xy + y y ( x + xy + y ) 6 6 x x y 6y x 7y 7 y x Mà x> ; y< nên 7 y.. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

22 II. TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ Câu. Cho số thực a. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của a? A. a. B. a. C. a. D. a. Câu. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số a.6? A., 6. B., 6. C., 9. D.,8. Câu. Khẳng định nào sau đây sai? A. A A khi A. B.. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com A A khi A. C. A B A B. D. AB A B. Câu. Biểu thức x có nghĩa khi A. x. B. Câu. So sánh hai số 5 và 5 x. C. x. D. x. A B C D. Chưa đủ điều kiện so sánh. Câu 5. Tìm các số x không âm thỏa mãn 5x A. x. B. x. C. x. D. x. Câu 6. Tìm giá trị biểu thức. A.. B.. C.. D.. 8 Câu 8. Tính giá trị biểu thức 9 (, 8). A.,6. B.. C., 8. D., 8. Câu 9. Tính giá trị biểu thức 6 (, 5) 8 (, 5). A. 5. B.. C.. D.. Câu. Tìm điều kiện xác định của 5 5x A. x 5. B. x 5. C. x 5. D. x. Câu. Tìm điều kiện xác định của 5 x A. 5 x. B. 5 x. C. x. D. 5 x. 5 Câu. Rút gọn biểu thức A a 9a với a. A. 9a. B. a. C. a. D. 9a. ( 5) Câu. Tìm x để có nghĩa 6 x A. x. B. x. C. x. D. x. Câu. Tìm x để A. x x. B. có nghĩa x. C. x. D. x.

23 Câu 5. Giá trị của biểu thức là: 5 8 A.. B.. C.. D. 5. Câu 6. Tìm giá trị của x không âm biết x. A. x 5. B. x 5. C. x 5. D. x 5. Câu 7. Tìm giá trị của x không âm biết 5 x 5 A. 5 x. B. x 5. C. x 5. D. Câu 8. Tính giá trị biểu thức A.. B. 8. C. 6. D. 8. Câu 9. Tính giá trị biểu thức A. 6. B. 6. C. 6. D.. 65 x. Câu. Rút gọn biểu thức a 8a 6 a 8a 6 với a ta được: A. a. B. 8. C. 8. D. a. Câu. Rút gọn biểu thức a a 9 a a 9 với a ta được: A. a. B. a. C. 6. D. 6. Câu. Tìm x thỏa mãn phương trình x x 6 x. A. x. B. x. C. x. D. x. Câu. Tìm x thỏa mãn phương trình x x x. A. x. B. x. C. x. D. x ; x. Câu. Nghiệm của phương trình x x là: A. x. B. x 5. C. x. D. x. Câu. Số nghiệm của phương trình x x x là: A.. B.. C.. D.. Câu 6. Nghiệm của phương trình A. x. B. x 6x 9 x x. C. là: x. D. x. x x 5 Câu 7. Rút gọn biểu thức với x 5 ta được: 5 x A.. B.. C.. D.. Câu 8.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. ( x y) ( x y) với mọi x> y >. x y + a B. + với mọi a >. a a a. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

24 C. ( ) ( ). 5 D Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B a a a a 9 A.. B.. C.. D.. Câu. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A m m m 8m 6 A.. B.9. C. 5. D... TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

25 Câu. Đáp án A. HƯỚNG DẪN Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Câu. Đáp án B. Căn bậc hai số học của a, 6 là, 6, 6. Câu. Đáp án D. - Với hai số ab, không âm ta a b a b nên C đúng. - Với hai số ab, không âm ta có a b a b nên D sai. A khi A - Sử dụng hằng đẳng thức A A nên A, B đúng. A khi A Câu. Đáp án B. Ta có: x có nghĩa khi x x x. Câu. Đáp án C. Tách Vì Câu 5. Đáp án A. Điều kiện: 5x x Vì nên 5x 5x 5x x Kết hợp điều kiện x ta có x Vậy x. Câu 6. Đáp án B. mà (vì ) nên. Từ đó. Ta có mà (vì ) nên. Từ đó. Nên. Câu 8. Đáp án D. Ta có: và (, 8), 8, Nên 9 (,8) 9.,8,8,8. Câu 9. Đáp án C. 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

26 Ta có (, 5), 5, 5 và (, 5), 5, 5 Nên 6 (, 5) 8 (, 5) 6., 5 8., 5 5. Câu. Đáp án C. Ta có: 5 5x có nghĩa khi 5 5x 5x 5 x 5. Câu. Đáp án A. 5 Ta có 5 x có nghĩa khi 5x x 5 x. Câu. Đáp án C. Ta có: a a a mà a a nên a a hay ( ) a a Từ đó: A a 9a a 9a a.. Câu. Đáp án A. ( 5) ( 5) 5 Ta có: có nghĩa khi 6 x 6x 6x 6x 6 x x. Câu. Đáp án A. mà 5 Ta có x có nghĩa khi mà x x Câu 5. Đáp án B. x. Ta có: ; Nên Câu 6. Đáp án B Với x không âm ta có x x x 5 mà 5 nên x 5 Vậy x 5. Câu 7. Đáp án D. Điều kiện: x x x 5 x 5 (thỏa mãn). Ta có: 5 x 5 5 x 5 x 5 mà 5 65 x 5 x 5 x 65 x (thỏa mãn). 65 Vậy x. Câu 8. Đáp án D. nên 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

27 Ta có: Và (vì 6 ) Nên Câu 9. Đáp án A. Ta có Và (vì ) Nên Câu. Đáp án B. Ta có 8 6 ( ) a a a a Mà a a a a Hay a a a 8 6 với a Ta có a 8a 6 ( a ) Mà a a a a Hay a 8a 6 a với a Khi đó a 8a 6 a 8a 6 a a 8. Câu. Đáp án D. Ta có: a a 9 ( a)..a (a ) a a a a Mà a a a a a Hay: đó: a a 9 a và 9 a a a với a a 9 a a 9 a a 6. Câu. Đáp án D. ĐK: x x Với điều kiện trên, ta có x x x 6 x x x x x x x x 6 xx ( ) ( x) ( x)( x) a Khi 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

28 x x ( N) x x ( L) Vậy phương trình có nghiệm x. Câu. Đáp án A. ĐK: x x x Với điều kiện trên, ta có: x x x x x x x x x x 6x x x x x x xx ( ) ( x ) ( x) ( x) x x ( L) x x ( N) Vậy phương trình có nghiệm x. Câu. Đáp án C. ĐK: x x Với điều kiện trên ta có: x x x (x ) x 9x 6x 7x 6x 7x 7x x 7 x( x ) ( x ) 7x x 7 ( L ) x x ( N) Câu 5. Đáp án D. ( ) x x x x x x x 6x x x x x x Vậy phương trình có hai nghiệm Câu 6. Đáp án C. x ; x. x 6x 9 x ( x ) x x x ÐK : x x x x x ( TM) x x ( L) Vậy phương trình có nghiệm x. Câu 7. Đáp án B. Ta có: x x x x x x x 5 ( 5) 5 ( 5) (vì x 5 ). 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

29 x x 5 ( x 5) Nên. 5 x ( x 5) Câu 8.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. ( x y) ( x y) với mọi x> y >. x y + a B. + với mọi a >. a a a C. ( ) ( ). 5 D Chọn C ( ) ( ) Ta có. 6 Câu 9. Đáp án A. Ta có B a -a a -a 9 (a ) (a ) a a Ta có a a a a a a Dấu xảy ra khia a a a Suy ra GTNN của B là a. Câu. Đáp án C. Ta có A m m m 8m 6 ( m ) ( m ) m m. Ta có m m m m m m 5 Dấu xảy ra khi m m m m Suy ra GTNN của B là 5 m. 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

30 III.TỰ LUYỆN Dạng : Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai Bài : Tính a. 6 5 c. ( ) Bài : Tính a c Bài. Thực hiện các phép tính sau: b. (,5 ) d b. ( ) d. ( 8: ). 5 a b c. +. d Bài :Tính ) ) ) ) ) 6) 7 7) Bài 5:Tính: ) ( 5 7)( 5+ 7) ) Bài 6:Tính: 6 6 ) ) ) ( + ) 9 8 ) ) ( 5+ )( + + )( + ) ) ( + ) ) 5) ) ) Bài 7:Tính: + 6 ) ) + 75 ) ) ). TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

31 + 6) ) Dạng : Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa Bài : Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: 5 7 a. b. c. 7x d. + x e. f. 7 6x x x x Bài : Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a. x + b. x + 5x+ 6 x x + c. d. x + x + x+ 5 Dạng : Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Bài : Rút gọn các biểu thức sau: a. ( ) b. ( ) + c. d. 7+ Bài : Rút gọn các biểu thức sau: a. a với a b. c. ( a ) với a d.. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 6a + a với a < a a+ + a với 9 6 e. a + 6a+ 9 với a f. 5a a Dạng : So sánh Bài. So sánh a. 5 và 7 +. b. và 5. Bài. Tìm giá trị của x biết a. x + 6. b. x x. Bài :So sánh A và B : a) A + 5 ; B. b) A ; B +. c) A ;... 8 B. 5 Dạng : Phân tích đa thức thành nhân tử Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử a. x 7 b. c. x + 7x+ 7 d. Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử a. x b. c. x + x+ d. x 9x + 6 x+ 9x 5 x + x+ a <

32 Dạng 5: Giải phương trình Bài : Giải phương trình a. c. x b. x 9 d. Bài : Giải phương trình a. ( x + ) b. 9x 9x x+ x c. e. x x x x + + d. 9x + 6x+ x + x+ f. x x + ) Bài : Giải phương trình: x ) x x 5 + ) x + x ) 7) x x x 5) 5x x 9 x 7 x 9 x 6) x + x + + 8) x+ + x 5 9) x + x + x+ ) ) ) x + x + 7+ x+ 6 x x x x x x + 9x 8 5x TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

33 HƯỚNG DẪN Dạng : Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai Bài : Tính a. 6 5 c. ( ) a. b. (,5 ) d b. (,5),5 5 5 c. ( ) d Bài : Tính a c. ( 5+ 7) 8 7 a c. ( 5+ 7) b. ( ) d. ( 8: ). 5 b. ( ) d. ( 8: ). 5 8: Bài. Thực hiện các phép tính sau: a b c. +. d TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

34 a ( ) ( ) c. +. ( ) ( ) + b ( 5 ) ( 5 ) d. + + ( ) ( ) + +. Bài :Tính ) ) ) ) ) 6) 7 7) ) ) ) ) ) 7. + ( ). 6) 7 ( ). 7) ( 6) + ( 6) Bài 5:Tính: ) ( 5 7)( 5+ 7) ) 5 ) ) ( 5) ( 7) ) ( 5 7)( 5 7). TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) 5 7

35 ) ) ) 5 8 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) ) ( ) ( + ) Bài 6:Tính: ( ) ) ( + ) 9 8 ) ) ( 5+ )( + + )( + ) ) ( + ) 5 6 5) ) ) ) ( + ) 9 8 ( + ) 6. + ( + ). + ( ) ( + ) ( ) ( )( ) + 6. ) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( 5+ ) ( + ) ) ( 5 )( )( ) ( 5+ ) ( 5 ) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

36 ) ( ) ( 6) ) ( 5 + ) ( 5 ) ) ( ) + + ( ) + + 7) ( + ) ( + ) ( ) Bài 7:Tính: ) ) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ) ) ) 6) ) ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( + )( ) ( )( + )

37 ) ( 8 7)( 8+ 7) ( ) ) ( + ) ) ( + + ) + ( ) + + ( + + ) +. ( + + ) ) ( + 6 ). + ( + ) TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

38 ) ) ( + ).( ) ( + ).( ) ( + 5 ).( 5) ( ) 5 Dạng : Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa Bài : Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: 5 7 a. b. x x c. 7x d. + x f. 7 6x e. x 5 a. x x có nghĩa x 7 b. x x có nghĩa x c. 7x có nghĩa 7x x d. + x có nghĩa + x x 5 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

39 e. x x < có nghĩa x f. 7 6x có nghĩa 7 6x x 7 6 Bài : Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a. x + b. x c. x + a. x + có nghĩa x x + x c. x + có nghĩa x x + vì x + nên x x x Dạng : Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai Bài : Rút gọn các biểu thức sau: x + 5x+ 6 x + d. x + x+ 5 b. x + 5x+ 6 có nghĩa x + 5x+ 6 x+ x+ x x x + d. x + x+ 5 có nghĩa x + x + x+ 5 vì x + x+ 5 x+ + nên x + x x a. ( ) b. ( + ) c. d. 7+ a. ( ) b c. ( ) d. Bài : Rút gọn các biểu thức sau: a. a với a b. c. ( a ) với a d. e. a + 6a+ 9 với a f. 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a + a với a < 9 6 a a+ + a với 5a a a <

40 a. a với a a a c. ( a ) với a a a ( a ) e. a + 6a+ 9 với a a+ a+ a+ b. 6a + a với a < a + a+ d. 9 6 a a+ + a với a < a a a a< f. 5a a 5a a a Dạng : So sánh Bài. So sánh a. 5 và 7 +. b. và 5. a. Ta có 6 + < < 7 +. b. Ta có 6 > 5 > 5. Bài. Tìm giá trị của x biết a. x + 6. a. Điều kiện x+ x. Ta có x+ 6 x 5 (thỏa mãn điều kiện). b. x x. b. Điều kiện x. Ta có x x x x x x Kết hợp điều kiện ta có x hoặc x. Bài :So sánh A và B : a) A + 5 ; B. b) A ; B +. c) A ;... a) A + 5 ; B. Ta có: < 5 < + < 5 + > TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 8 B. 5 5 > ( + )( ) ( 5 + )( 5 )

41 > 5 > 5 + B> A. Cách khác : Ta có A + 5 > A A <. +.. B > B. Suy ra A < B A< B(do AB>, ) b) So sánh A ; B +. Ta có: A A A B + +. Dễ thấy + > 9 và > >. Để so sánh A và Ta có: B ta chỉ cần so sánh và Mà > 9 và + > 9 nên > > > > > > >. A > B. A> B (Do A > và B > ). Dạng : Phân tích đa thức thành nhân tử. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

42 Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử a. x 7 b. x c. x + 7x+ 7 d. 9x + 6 x+ x 7 x 7 x 7 x x+ x a. ( + )( ) b. c. x + x+ ( x+ ) d x + 6 x+ x+ Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử a. x b. 9x 5 c. x + x+ d. x + x+ x x x 9x 5 x+ 5 x 5 a. ( + )( ) b. c. x + x+ x+ d. x + x+ x+ Dạng 5: Giải phương trinh Bài : Giải phương trình a. c. x b. x 9 d. a. x x x x Vậy S { ;} c. x 9 x 9 x 9 x 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b. 9x 9x 9x ( x) x x x x x Vậy S ; d. 9x 7x 7x 7x x x

43 9 x 9 x 9 9 Vậy S ; Bài : Giải phương trình a. ( x + ) b. Vậy S { ; } x+ x c. e. x x x x + + d. 9x + 6x+ x + x+ f. x x + a. ( x + ) x + x + x x Vậy S { ; } x x x c x x + x x x + x x + x x 5 x x (nhận) Vậy S e. x + x+ ( x ) + x b. x x + ( x) x x x x x 5 Vậy S { 5; } 9x + 6x+ x d. x x+ x x x+ x x+ x x x x Vậy S f. x x + ( x ) + x Vậy S { }. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

44 Vậy S { } ) Bài : Giải phương trình: x ) x x 5 + ) x + x ) 7) x x x 5) x 9 x 6) x + x x x+ x+ 8) x+ + x 5 9) x x x x + + x + x + x+ ) x + 9x 8 ) 5x 5 8 ) x + x + 7+ x+ 6 x 6 ) x ( ĐK : x + 9 với mọi x ) x x + x x 6 ( x. ) ( x+ ) x x Vậy nghiệm của phương trình là x, x ) + ( x ) x x 5 5 x 5 x Vậy nghiệm của phương trình là x ) x + x Đk: x x + x x + x + ( x ) + x + x + (vì với x thì x nên x + > ) x x x (thoả mãn điều kiện) ) x x x ĐK: x x x x x x x + x x x x x x (KTM) x x (TM) S { }. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

45 x x 9 x 5) x 9 x Đk : x x x x x 9 x x + x x x x x x x x+ x + ( + ) ( + ) x + x ( TM ) x x ( TM ) S { ;} 6) x + x x x x x x x+ x x+ x x x+ x x ( x )( x ) x x S { ; } (TM) 7) 5x x+ 9 x+ 7 ĐK: x 7 5x x+ 9 x + x+ 9 x x 6x x 6x x 5x x+ 5 x + 5 x + 5 x 5 x x (TM) x x 5 S ; 8) x+ + x 5(*) ĐK: x x+ u Đặt ( uv, ) x v u+ v 5 v 5 u v 5 u () (*) u + v 5 u + 5 u 5 u 5u+ () Xét () u 5u+ có 5 Suy ra hệ phương trình trên vô nghiệm Vậy phương trình (*) vô nghiệm 9) x x x x < nên phương trình () vô nghiệm + + ĐK: x x x + x x+ x x + x+ 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

46 x x x + x+ x + x+ >, x S { } x (TM) x + x + x+ ) ( x ) ( x ) + + (*) Ta có : ( x ) ( x ) +, x, x x x (*) ( L ) x + x Vậy phương trình vô nghiệm x + 9x 8 ) 5x x x + 6 x 5. x x + 6 x x + x x x (vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm ) x + x + 7+ x+ 6 x ( x ) ( x ) x + x + + x + 6 x x + + x + x x ( vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm TOÁN HỌC SƠ ĐỒ TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com