BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 5: Phương trình vi phân Các kiến thức cần có Các bạn cần có kiến thức về phép tính đạo hàm vi phân (bài 2), sơ lược về

Kích thước: px
Bắt đầu hiển thị từ trang:

Download "BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Bài 5: Phương trình vi phân Các kiến thức cần có Các bạn cần có kiến thức về phép tính đạo hàm vi phân (bài 2), sơ lược về"

Bản ghi

1 BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Các kiến thức cần có Các bạn cần có kiến thức về phép tính đạo hàm vi phân (bài ), sơ lược về hàm nhiều biến (bài 4) Mục tiêu Nắm được khái niệm phương trình vi phân Làm được bài tập về phương trình vi phân Thời lượng Bài nà được trình bà trong 4 tiết lý thuết và tiết bài tập Nội dung Bài nà sẽ giới thiệu với các bạn các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân nói chung và một số vấn đề cơ bản như biểu diễn nghiệm, phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một, cấp hai đặc biệt Hướng dẫn học Bạn cần đọc kỹ và áp dụng phương pháp giải của các ví dụ để làm được các dạng bài tập MAT0_Bài 5_v005 95

2 5 Các khái niệm cơ bản 5 Các khái niệm chung về phương trình vi phân Trong thực tế, khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc ở dạng hàm số giữa các đối tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạo hàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấ Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình vi phân 5 Định nghĩa phương trình vi phân Định nghĩa: Phương trình vi phân là phương trình uất hiện biến số, hàm số cần tìm và các đạo hàm (vi phân) các cấp của hàm số đó Trong giáo trình nà, chúng ta ét phương trình vi phân trong đó hàm số cần tìm là hàm số của một biến số Loại phương trình nà được gọi là phương trình vi phân thường, mà ta ha gọi tắt là phương trình vi phân Ví dụ : Sau đâ là một số phương trình vi phân thường: a) a) b) ' uất hiện biến số, hàm số cần tìm () d ( )d 0 uất hiện biến số, hàm số và vi phân d,d d a d uất hiện biến số, hàm số, vi phân cấp hai d và đạo hàm '() d 5 Cấp của phương trình vi phân Định nghĩa: Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm hoặc vi phân của hàm số cần tìm uất hiện trong phương trình đó Ví dụ : c) b) c) ' là phương trình cấp một do phương trình có chứa đạo hàm cấp một ' d ( )d 0 là phương trình cấp một do trong phương trình uất hiện vi phân cấp một d của hàm số cần tìm d d a là phương trình cấp hai do vi phân cấp hai có mặt trong phương trình Định nghĩa: Phương trình vi phân thường cấp n là phương trình có dạng: (n) F(,, ',, ) 0 (5) trong đó F là hàm số của n + biến số 96 MAT0_Bài 5_v005

3 5 Nghiệm của phương trình vi phân Định nghĩa: Nghiệm của phương trình vi phân (5) là một hàm số khoảng a,b đồng nhất thức, sao cho khi tha () (n) (n) (), ' '(),, () ác định trong một vào (5) ta được (n) F, (), '(),, () 0 Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó 5 Phương trình vi phân cấp một Phương trình vi phân cấp một được cho dưới một trong các dạng sau đâ Dạng tổng quát: d F,, 0 d Dạng đã giải ra đạo hàm:, F(,, ') 0 d ' f (, ) d Dạng đối ứng: M(, )d N(, )d 0 Ta thấ rằng có thể dễ dàng chuển đổi giữa hai dạng của phương trình vi phân: Dạng đối ứng và giải ra đạo hàm 5 Nghiệm và tích phân của phương trình vi phân cấp một Trong phần trước chúng ta đã biết hàm số () được gọi là nghiệm của phương trình vi phân cấp một nếu như đồng nhất thức F(, (), ()) 0 được nghiệm đúng Tu nhiên có những trường hợp ta không giải được ra cụ thể hàm số của phương trình lại được tìm ra ở dạng: (), mà nghiệm (, ) 0 (5) Trong trường hợp nà, phương trình (5) được gọi là tích phân của phương trình vi phân Ví dụ : Phương trình ' có nghiệm là được ' Ce, trong đó C Ce Phương trình d d 0 có tích phân là là hằng số Ta dễ kiểm tra C, C là hằng số dương bất kỳ 5 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng Tích phân tổng quát và tích phân riêng Ta ét một phương trình đơn giản ' f(), đâ là phương trình vi phân cấp một cho ở dạng đã giải ra đạo hàm và vế phải khuết Trong bài, ta biết nghiệm của phương trình nà là f ()d, biểu thức nghiệm có mặt của hằng số C bất kỳ Nghiệm của một phương trình vi phân cấp một cũng đưa về việc lấ tích phân bất định, do đó nghiệm ấ sẽ có mặt một hằng số C : Ta có định nghĩa sau: (,C) MAT0_Bai5_v

4 Định nghĩa: Họ hàm số (,C) được gọi là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp một nếu với một hằng số C, C thuộc khoảng I, thì hàm số (,C) tương ứng là một nghiệm của phương trình Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C một giá trị ác định được gọi là một nghiệm riêng của phương trình Định nghĩa: Nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân viết dưới dạng hàm ẩn (,,C) 0 được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó Mỗi tích phân ứng với giá trị ác định C được gọi là một tích phân riêng của phương trình Ví dụ 4: a) Phương trình ' Nghiệm a) Phương trình có nghiệm tổng quát là C là một nghiệm riêng của phương trình ứng với d d 0 có tích phân tổng quát là Với C ta có tích phân riêng 5 Bài toán Cauch 6 Xét phương trình vi phân cấp một cho ở dạng: C C d ' f (, ) d (5) Bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình (5) thoả mãn điều kiện: ( ) (54) 0 0 được gọi là bài toán Cauch Điều kiện (54) được gọi là điều kiện ban đầu Ta thừa nhận định lý sau đâ về tính tồn tại và du nhất nghiệm của bài toán Cauch Định lý: Giả sử hàm số f(, ) ác định và liên tục trong một lân cận U của điểm M 0( 0, 0) và tồn tại một hằng số K 0 sao cho: f(, ) f(, ) K, (, ),(, ) U Khi đó tồn tại một giá trị 0 đủ nhỏ sao cho trong khoảng ( 0, 0 ), tồn tại du nhất nghiệm () của phương trình (5) thoả mãn điều kiện ban đầu (54) 5 Một số phương trình vi phân cấp một cầu phương được 5 Phương trình phân l biến số Phương trình phân l biến số có dạng: f()d Lấ tích phân hai vế ta được: g()d f ()d g()d F() G() C 98 MAT0_Bài 5_v005

5 trong đó F() là một nguên hàm của f(), G() là một nguên hàm của g() Các phương trình khuết ' f() và ' f() là các phương trình phân l biến số Ví dụ 5: Giải các phương trình vi phân sau: a) ( )d ( )d Nhận ét: và là hai nghiệm của phương trình nà Khi,, ta biến đổi tương đương Lấ tích phân hai vế ta có: d d ( )d ( )d ln ln C ln ( )( ) C Rõ ràng, là tích phân riêng ứng với C 0 Vậ tích phân tổng quát của phương trình ban đầu là ( )( ) C b) cos sin ' cos sin Nhận ét: () Nghiệm của phương trình cos sin 0 là nghiệm của phương trình vi phân đang ét cos sin 0 cos k k Vậ k, k là nghiệm của phương trình () 4 Khi: k, ta có: 4 () d d d d cos sin cos sin sin cos 8 8 Lấ nguên hàm hai vế ta được cotg tg C 8 8 Vậ phương trình đã cho có nghiệm là k, k và tích phân 4 tổng quát: cotg tg C 8 8 MAT0_Bai5_v

6 CHÚ Ý : Phương trình dạng d f (a b) có thể đưa về phương trình phân l biến số bằng d cách đổi biến Thật vậ, đặt z a b z' a b', ta có phương trình vi phân đối z ' a với, z : f (z) z ' bf (z) a b 5 Phương trình thuần nhất (phương trình đẳng cấp) Phương trình thuần nhất là phương trình có dạng: ' f (55) Đặt u, trong đó u() là hàm số của Ta có: Nếu f(u) u, ta có du ' u ' u f (u) f (u) u d du d, đâ là phương trình phân l biến số f (u) u Nếu f(u) u thì phương trình (55) có dạng là C ', nghiệm tổng quát của nó Nếu f(u) u có nghiệm u u0 thì ta có u0 cũng là nghiệm của (55) Ví dụ 6: Giải phương trình vi phân a) ' sin Đặt u ' u' u Tha vào phương trình ta được: (u' u) sinu u u' sinu Ta thấ sin u 0 u k,k thoả mãn u ' sin u Do đó k là các nghiệm của phương trình ban đầu Nếu sin u 0, ta có: du d u ln tg ln ln C tg C sin u b) ( )d d 0 và () Đặt u d du ud, tha vào phương trình ta được: ( u)d (ud du) 0 ( u)d du Ta thấ u không thoả mãn điều kiện ban đầu, nên đó không là nghiệm của phương trình Ta được phương trình tương đương 00 MAT0_Bài 5_v005

7 d du ln ln C ln u u C u () u(), nên C Vậ nghiệm của phương trình đang ét là: CHÚ Ý: Phương trình dạng: d a b c f ;(ab ab ) (56) d a b c có thể đưa về phương trình thuần nhất bằng cách đổi biến Thật vậ, do ab ab nên hệ phương trình a b c 0 a b c 0 có nghiệm du nhất ( 0, 0) Sử dụng phép đổi biến 0 u, 0 v, ta có d du,d dv a b c au bv a0 b0 c au bv a b c au bv a0 b0 c au bv dv a Phương trình (56) trở thành u bv f Đâ là phương trình vi phân thuần nhất du au bv đối với biến số u và hàm số v v(u) 5 Phương trình tuến tính Phương trình tuến tính cấp một có dạng: ' p() q() trong đó p(),q() là các hàm số liên tục Phương trình tuến tính gọi là thuần nhất nếu q() 0, là không thuần nhất nếu q() 0 Để giải phương trình tuến tính, ta chia làm ba bước: Bước : Giải phương trình thuần nhất tương ứng: ' p() 0 Đâ là phương trình ở dạng phân l biến số, ta giải ra Ce p()d Bước : Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: Nghiệm nà được tìm ở dạng Tha nghiệm ' p() q() vào phương trình trên ta được: p()d C()e Ở đâ, ta coi C là hàm số của p()d p()d C'() p()c() e p()c()e q() MAT0_Bai5_v0005 0

8 Su ra: C'() q()e p()d và p()d C() q()e d Bước : Nghiệm của phương trình vi phân tuến tính ban đầu là Như vậ nghiệm tổng quát của phương trình tuến tính không thuần nhất bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình tuến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất Ví dụ 7: Giải phương trình vi phân a) ( )' Giải phương trình thuần nhất tương ứng: d ( )' 0 d ln ln C ln( ) Su ra: C Dễ thấ một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất nghiệm của phương trình đang ét là: C, do đó Nếu bài toán êu cầu tìm nghiệm của phương trình thoả mãn (0) thì ta tìm ra C Nghiệm của phương trình với điều kiện ban đầu như trên là: b) ' ( e e ) Giải phương trình thuần nhất tương ứng: d d ' ln ln ln C Su ra: C Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng ( )e Tha vào phương trình ta được C'(), su ra: C() e e C() e d K Với: K 0, e Vậ nghiệm của phương trình cần tìm là: e C 0 MAT0_Bài 5_v005

9 54 Phương trình Bernoulli Phương trình Bernoulli có dạng: trong đó là số thực khác 0 và Nếu 0 Khi 0 Đặt z d p() q() d thì 0 là một nghiệm của phương trình Bernoulli chia hai vế cho, ta được:, ta có: p() q() d (57) d dz d ( ) d d Tha vào (57) ta thu được phương trình: dz ( )p()z ( )q() d Đâ là phương trình tuến tính đối với hàm số z() Ví dụ 8: Giải phương trình vi phân: ' 4 Đâ là phương trình Bernoulli với: 4 Ta thấ 0 là một nghiệm của phương trình nà Khi 0, chia cả hai vế của phương trình cho z ' z Giải phương trình tuến tính thuần nhất: 4, đặt z ' z 0 z C z, ta được phương trình Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất z C() Tha vào phương trình ta được Vậ nghiệm riêng: z ln Vậ phương trình đã cho có nghiệm: 0 và 55 Phương trình vi phân toàn phần 55 Phương trình vi phân toàn phần Phương trình vi phân toàn phần là phương trình có dạng: z ' z dưới dạng C'() C() ln / (C ln ) M(, )d N(, )d 0 (58) MAT0_Bai5_v0005 0

10 trong đó M(, );N(, ) là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp M N một trong một miền D và, (, ) D Khi đó tồn tại hàm số u(, ) sao cho du M(, )d N(, )d, tức là vế trái của phương trình (58) là một biểu thức vi phân toàn phần Ta có thể tìm được hàm số bởi một trong hai công thức sau đâ: u(, ) u(, ) M(, )d Q(, )d K u(, ) M(, )d Q(, )d K 0 0 trong đó K là một hằng số Giải phương trình (58) ta cần lấ tích phân hai vế và thu được tích phân tổng quát: u(, ) C Ví dụ 9: Giải phương trình vi phân: 0 a) ( )d ( )d 0 Vì: ( ) ( ) Chọn 0 0 0, ta tìm được: nên đâ là một phương trình vi phân toàn phần u(, ) ( )d ( )d 0 0 Vậ tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: C b) cos() sin() d cos()d 0 cos() sin() cos() Vì: cos() nên đâ là phương trình vi phân toàn phần Chọn 0, 0 0 ta có: sin() 0 0 u(, ) cos()d sin() sin() Vậ tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: sin() C 55 Phương pháp thừa số tích phân Trong nhiều trường hợp mặc dù phương trình vi phân: M(, )d N(, )d 0 04 MAT0_Bài 5_v005

11 không phải là một phương trình vi phân toàn phần, nhưng ta có thể chọn hàm số sao cho khi nhân vào hai vế, ta thu được phương trình vi phân (, ) toàn phần: Hàm số (, ) (, )M(, )d (, )N(, )d 0 (59) (, ) được gọi là thừa số tích phân Từ điều kiện để vế trái của (59) là vi phân hoàn chỉnh ta có: M N Nói chung thừa số tích phân (, ) giản khi thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào một biến số: Ví dụ 0: Giải phương trình: bằng cách tìm thừa số tích phân Từ điều kiện (50) ta có: ( )d (7 )d 0 Với điều kiện ( ) 0, ta có: () (50) không dễ tìm mà ta thường ét trường hợp đơn () hoặc '()( ) ()(4 9 ) () ( ) () '() 0 C () '() 0 () () Chọn C ta được thừa số tích phân (), phương trình đã cho tương đương: Chọn 0 0, 0, ta có: 7 ( )d d u(, ) ( )d d 7 0 Vậ tích phân tổng quát của phương trình đã cho là: 7 C 7 5 Phương trình vi phân cấp hai 5 Phương trình vi phân cấp hai 5 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng Phương trình vi phân cấp hai có dạng tổng quát: F(,, ', '') 0 (5) MAT0_Bai5_v

12 trong đó F là hàm số của 4 biến Thông thường việc giải phương trình dạng tổng quát rất phức tạp, nên người ta ét phương trình vi phân cấp hai ở dạng đã giải ra đạo hàm: '' f(,, ') (5 ) Việc giải phương trình cấp hai là tìm tất cả các hàm số () (5) và (5 ) ta được các đồng nhất thức: F(, (), '(), ''()) 0 hoặc ''() f(, (), '()) sao cho khi tha vào Ví dụ : Giải phương trình '' 6 Ta có: (')' 6 ' 6d C ( C )d C C Ta thấ nghiệm của phương trình vi phân cấp hai nói trên phụ thuộc vào hai hằng số Từ đâ ta có định nghĩa: Định nghĩa: Ta gọi họ hàm số: (,C,C ) là nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân cấp hai nếu khi gán cho mỗi ký hiệu C,C một giá trị ác định thì ta được một nghiệm của phương trình đó Mỗi nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát khi gán cho C,C các giá trị ác định gọi là nghiệm riêng của phương trình Trong ví dụ, cho C,C, ta được một nghiệm riêng của phương trình là: 5 Tích phân tổng quát và tích phân riêng Tương tự như trường hợp phương trình vi phân cấp một, không phải lúc nào ta cũng có thể giải được tường minh nghiệm của một phương trình dưới dạng hàm số (,C,C ), mà chỉ có thể đưa về một phương trình hàm ẩn Định nghĩa: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân viết dưới dạng hàm ẩn: (,,C,C ) 0 được gọi là tích phân tổng quát của phương trình đó Mỗi tích phân ứng với giá trị ác định của C,C được gọi là một tích phân riêng của phương trình đó 5 Bài toán Cauch Xét phương trình vi phân cấp hai: '' f(,, ') 0 Bài toán Cauch là bài toán tìm nghiệm của phương trình nói trên thoả mãn các điều kiện ban đầu: ( 0) 0, '( 0) 0 Ta thừa nhận định lý sau đâ về sự tồn tại và du nhất nghiệm của phương trình vi phân cấp hai 06 MAT0_Bài 5_v005

13 Định lý: Giả sử hàm số f (,, ') ác định và liên tục trong một lân cận U của điểm M 0( 0, 0, 0 ') và tồn tại các hằng số K,K 0 sao cho: f(,,') f(,,') K (,,'),(,,') U f(,, ') f(,, ') K ' ' (,, '),(,, ') U Khi đó tồn tại 0 đủ nhỏ sao cho tồn tại du nhất nghiệm () khoảng ( 0, 0 ) thoả mãn điều kiện ban đầu 54 Một số phương trình cấp hai hạ cấp được ác định trong Sau đâ ta ét một số trường hợp phương trình vi phân cấp hai có thể đưa được về phương trình cấp một Phương trình khuết:, ': '' f() Ta lấ nguên hàm hai vế hai lần: ' f ()d g() C (g() C )d G() C C Ví dụ : Giải phương trình ''= ' d C ( C )d C C Phương trình khuết: : '' f(, ') 4 Đặt ' z '' z', ta đưa về giải phương trình vi phân cấp một z' f (,z) Ví dụ : Giải phương trình ' '' Đặt ' z, ta được phương trình: Lấ tích phân hai vế ta được: z z ' ' z C C C Phương trình khuết : '' f(, ') Đặt z ', khi đó: d d dz dz d dz ' z; z d d d d d d Phương trình đã cho trở thành zz' f(, z), là phương trình cấp một của hàm z z() MAT0_Bai5_v

14 Ví dụ 4: Giải phương trình: Đặt ' z, su ra: ' '' 0 Phương trình đã cho trở thành: dz dz ''() '() zz'() d d z zz' 0 Nếu z 0 ' 0, su ra C Nếu z 0 : là một nghiệm của phương trình z zz' 0 z ' 0 z C C ' z d d C C C 5 Phương trình tuến tính cấp hai Phương trình vi phân tuến tính cấp hai là phương trình dạng: '' p()' q() f() (5) trong đó p(),q(),f() là các hàm số cho trước Nếu f() 0, (5) được gọi là phương trình thuần nhất Nếu f() 0, (5) được gọi là phương trình không thuần nhất Tương tự phương trình vi phân tuến tính cấp một, ta nêu ra cấu trúc của nghiệm của phương trình không thuần nhất trong mối liên hệ với nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng Ta luôn giả sử f(),p(),q() là các hàm liên tục 5 Phương trình tuến tính thuần nhất Định lý : '' p()' q() 0 (5) Nếu (), () là hai nghiệm của phương trình (5) thì C () C () trong đó C,C là hai hằng số, cũng là nghiệm của phương trình đó Thật vậ, do () và () là nghiệm của phương trình (5) nên: '' p() ' q() 0 '' p() ' q() 0 Nhân lần lượt hai vế của hai phương trình trên với hai hằng số C,C tương ứng, ta được: (C C )'' p()(c C )' q()(c C ) 0 Vậ C C cũng là nghiệm của phương trình (5) 08 MAT0_Bài 5_v005

15 Định nghĩa: Hai hàm số các số k,k () và () không đồng thời bằng 0 sao cho: được gọi là phụ thuộc tuến tính trên tập D nếu tồn tại k () k () 0, a,b Ngược lại nếu đồng nhất thức trên ả ra chỉ khi k k 0 thì ta nói (), () độc lập tuến tính trên tập D Nhận ét: Hệ hai hàm số chỉ khi () () () là hằng số trên D và () phụ thuộc tuến tính trên tập D khi và Ví dụ 5: Các cặp hàm số sau đâ độc lập tuến tính trên a) a b e,e, a b b), Định nghĩa: Cho hai hàm số () và () Định thức: W(, ) ' ' ' ' được gọi là định thức Wronsk của, Ta thừa nhận một số định lý sau về định thức Wronsk của hai hàm số, Định lý : Nếu hai hàm số () và () phụ thuộc tuến tính trên đoạn a, b thì W(, ) 0 Định lý : Giả sử hai nghiệm, của phương trình tuến tính thuần nhất (5) có định thức Wronsk W(, )( 0) 0 a,b Định lý 4:, với một giá trị a,b 0 thì W(, )() 0 với mọi Nếu các nghiệm, của phương trình (5) là độc lập tuến tính trên đoạn a,b thì định thức Wronsk W(, ) khác không tại mọi điểm của đoạn ấ Ta có định lý sau đâ về cấu trúc nghiệm của phương trình tuến tính thuần nhất (5) Định lý 5: Nếu (), () là hai nghiệm độc lập tuến tính của phương trình (5) thì nghiệm tổng quát của phương trình đó là: C () C () trong đó C,C là các hằng số bất kỳ MAT0_Bai5_v

16 Chứng minh: Theo định lý, C C là nghiệm của phương trình (5) Ngược lại, ta cần chứng minh với mọi điều kiện ban đầu ( 0) 0, '( 0) 0 ' ta luôn tìm được các hằng số C,C để C C là nghiệm riêng của (5) ứng với điều kiện ban đầu đã cho Thật vậ, ta cần giải hệ phương trình: 0 C ( 0) C ( 0) 0 ' C '( 0) C '( 0) Hiển nhiên hệ nà có nghiệm du nhất Wronsk W(, )( 0) 0 (đpcm) (C,C ) 5 Phương trình tuến tính không thuần nhất vì định thức của hệ chính là định thức '' p()' q() f() (5) Tương tự như đối với phương trình vi phân cấp một tuến tính không thuần nhất, ta có định lý sau về cấu trúc nghiệm của phương trình không thuần nhất Định lý 6: Nghiệm tổng quát () nghiệm tổng quát () của phương trình không thuần nhất (5) bằng tổng của của phương trình thuần nhất (5) cộng với một nghiệm riêng () của phương trình không thuần nhất (5) 5 Phương pháp biến thiên hằng số Trong trường hợp không dễ dàng nhẩm ra nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (5), ta có thể sử dụng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng nà Giả sử C C là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (5), ta sẽ tìm nghiệm riêng của (5) dưới dạng: C () C () Tha vào phương trình '' p()' q() f(), ta cần tính: ' C '() C () ' C '() C () ' Ta sẽ chọn C (),C () thoả mãn: C '() () C '() () 0 Khi đó ' C () ' C () ' Tính f () VT C '() '() C '() '() '' và tha vào vế trái của (5), ta có: (do '' p() ' q() '' p() ' q() 0 ) 0 MAT0_Bài 5_v005

17 Tóm lại C (),C () thoả mãn hệ phương trình: Vì và ()C '() ()C '() 0 '()C '() '()C '() f () là hai nghiệm độc lập tuến tính của phương trình thuần nhất nên định thức Wronsk của chúng khác không, do đó từ hệ trên ta có thể giải ra được C () Vậ ta giải phương trình tuến tính không thuần nhất theo ba bước sau đâ C () Bước : Tìm nghiệm tổng quát C C của phương trình tuến tính thuần nhất Bước : Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (5) Ta có thể nhẩm nghiệm trong trường hợp đơn giản, hoặc tìm nghiệm bằng phương pháp biến thiên hằng số Bước Kết luận nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình '' () cos Bước : Giải phương trình thuần nhất '' 0, su ra Ccos Csin (cách giải phương trình hệ số hằng nà sẽ được trình bà trong phần sau) Bước : Tìm nghiệm riêng của phương trình () dưới dạng C ()cos C ()sin, trong đó C (),C () là nghiệm của hệ và Ta tìm được: cos C '() sin C '() 0 sin C '() cos C '() cos C () tg d ln cos C C () C C '() tg ;C '() trong đó C,C là hai hằng số bất kỳ Để có một nghiệm riêng, ta có thể chọn: CC 0 Vậ nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: Ccos Csin cosln cos sin MAT0_Bai5_v0005

18 5 Phương trình tuến tính cấp hai hệ số hằng 5 Phương trình tuến tính thuần nhất hệ số hằng Xét phương trình '' p' q 0 (54) trong đó p,q là các hằng số thực Định nghĩa: Phương trình đặc trưng của phương trình (54) là: p q 0 (55) Tuỳ theo giá trị nghiệm của phương trình đặc trưng (55) mà ta có công thức nghiệm tổng quát của (54) Giả sử phương trình nà có hai nghiệm Nếu, là hai nghiệm thực phân biệt thì nghiệm tổng quát C e C e Nếu thì nghiệm tổng quát e (C C) Nếu hai nghiệm phức, i thì e (Ccos Csin ) Ví dụ 6: Giải các phương trình vi phân a) '' ' 0 Phương trình đặc trưng là của phương trình là b) '' 5 0 Phương trình đặc trưng là 0, Do đó nghiệm tổng quát C e C e quát của phương trình đã cho là Do đó nghiệm tổng 5 0, i e (C sin C cos ) 5 Phương trình tuến tính không thuần nhất hệ số hằng '' p' q f() Ta đã biết phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất Tu nhiên đối với một số dạng cụ thể của vế phải f(), ta có cách lựa chọn dạng đặc biệt của nghiệm riêng Phương trình đặc trưng tương ứng là Nếu f () e P n () p q 0 (55) mà trong đó P n () là một đa thức bậc n, là một hằng số o Mà không là nghiệm của (55) thì ta tìm nghiệm ở dạng e Q n () o o Mà là nghiệm đơn của (55) thì ta tìm nghiệm ở dạng Mà là nghiệm kép của (55) thì ta tìm nghiệm ở dạng trong đó Q n () là một đa thức bậc n e Q () n e Q (), n MAT0_Bài 5_v005

19 Nếu f =e Pn cos +Qm sin trong đó, ma n,m P n(),qm là các đa thức với bậc tương ứng là n, m, o o Mà i khác nghiệm phức =e R cos +S sin Mà Ví dụ 8: i là nghiệm phức a a ib = e R cos +S sin Giải các phương trình vi phân: là các hằng số, của (55) thì ta tìm nghiệm ở dạng ib của (55) thì ta tìm nghiệm ở dạng a) '' ( )e Phương trình đặc trưng 0 có hai nghiệm là quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: Ở vế phải, C e C e, nên nghiệm tổng không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng Tha vào phương trình, ta thu được: (A B)e 5 4Ae (4A 4B)e (A B)e ( )e A ; B 9 nên 5 e 9 và 5 C e C e e 9 b) '' ' e Phương trình đặc trưng 0 có hai nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: C e C e ;, nên nghiệm Ở vế phải, là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng, do đó ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất ở dạng: e (A B) Tha vào phương trình đã cho, ta thu được: nên '' ' e A, B 8 6 e 8 6 và Ce Ce e 8 6 Nếu f() e P ()cos P ()sin, trong đó P m(),p n() là các đa thức bậc m and n, là hằng số m n MAT0_Bai5_v0005

20 Nếu i không là nghiệm của phương trình (55), ta tìm nghiệm riêng ở dạng: Nếu e Q l()cos R l()sin, trong đó l ma(m,n) i là một nghiệm của phương trình (55) ta tìm nghiệm riêng ở dạng: e Q l()cos R l()sin trong đó l ma(m, n) và Ví dụ 9: Q l() Giải phương trình vi phân '' cos là đa thức bậc l Phương trình thuần nhất tương ứng là '' 0 Phương trình đặc trưng hai nghiệm i, nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: 0 có Ccos Csin Ta tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất '' cos ở dạng: Tha vào phương trình ta được (A B)cos (C D)sin cos sin 4 A D 0, B C, su ra: 4 Vậ nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: Ccos Csin cos sin 4 4 MAT0_Bài 5_v005

21 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài nà chúng ta nghiên cứu vấn đề là: Phương trình vi phân Nghiệm, nghiệm riêng, tích phân cơ bản, tích phân riêng của phương trình vi phân (cấp một và cấp hai) Mối quan hệ giữa nghiệm của một phương trình thuần nhất và nghiệm của phương trình không thuần nhất Phương pháp giải một số loại phương trình vi phân cấp một và cấp hai Bài nà trình bà các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân: Định nghĩa phương trình vi phân, cấp, nghiệm riêng, và nghiệm tổng quát, đường cong tích phân của phương trình vi phân, phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp và phương trình vi phân tuến tính cấp Học viên cần hiểu rõ các khái niệm đó, nhận được các phương trình đã học và giải các phương trình đó, hiểu được ý nghĩa hình học và ý nghĩa thực tiễn của bài toán đặt ra CÂU HỎI ÔN TẬP Thế nào là nghiệm tổng quát và tích phân tổng quát của một phương trình vi phân cấp n? Hã nêu cấu trúc của nghiệm của một phương trình tuến tính không thuần nhất cấp hai Nêu phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng của phương trình tuến tính không thuần nhất MAT0_Bai5_v0005 5

22 BÀI TẬP Giải các phương trình vi phân cấp một sau a) tg d ln d 0 b) '( ), (0) c) e) ' 0 d) ' f) Giải các phương trình vi phân ' ln, () ' a) ( ln )d d 0 b) d ( )d 0 bằng cách tìm thừa số tích phân dạng () Giải các phương trình vi phân cấp hai khuết a) '' cos b) '' ' 0 c) '' ' d) 4 Giải các phương trình vi phân sau a) '' 7' 6 sin b) '' ' ' 0 '' 5' 4 e c) '' ' e ( ) d) '' 4 sin 6 MAT0_Bài 5_v005