algor.dvi

Bản ghi

1 ü üº þ ½ ÈÐ Ò Ö ØÝ Ó Ö Ô ½º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ü º º º º º º º º º º º º ½º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º º º º º º º º º º ½ ½º º½ ¹ ¹ º º º º ½ ½º º¾ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º º º º º º º º º º º ½ ½º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ü º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ï½ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾ ¾ ¾º½ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¾º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ þ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º þ º º º º º º º º º º º º º º º º þ º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½ Ä Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓØÓÔÝ Ó Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ä Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ó ÐÓ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º Ä Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º ØØÔ»»Ù Ö ºÑÑ ºÖÙ» ÓÔ Ò Óº ¹ º ½

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4 n º N R m m º f,g : N R m N R m º þ ú û ¾¼½ ºµ º ÛÛÛºÑÑ ºÖÙ» ÖÐ»Ó Ñ» Ð ÓÖºÔ º º ú û º º º½ º½¹ º µº ï µ ¹ º ½ ïï ½º½ º½¼ º þ ï½ º º ÅÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö ÐÐ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ñ ÒØ Ó ÒØ ÖÑ Ø ÑÔÓÖØ Ò Ö Ð ÑÑ ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÑÔÓÖØ ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö ÖØ ÓÒ º ÁÒ Ð ØÙÖ Û Ó Ø Ò Ø ÖØ Û Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÒÐÝ Ø Ò Ú Ò Ò Û Ö º º ººº ³ Ò Ø Ó ÖØ ÓÒ ½º º º º º þ º º þ º º ºµ ¹ º º ¹ ºµ º þ º º ¹ º µ ºº º

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6 ½ ÈÐ Ò Ö ØÝ Ó Ö Ô º µ (V,E) V E ( V 2) º º µº ½ º ÍÒÐ ÓØ ÖÛ Ò Ø Û ÙÑ Ø Ø V = {1,2,..., V }º E º Ì Ó Ò Ò Ú ÖØ i Ò j ÒÓØ Ý ij ÒÓØ (i,j) ØÓ ÚÓ ÓÒ Ù ÓÒ Û Ø ÓÖ Ö Ô Ö µº à à º ½º¼º½ µ K 5 K 3,3 º µ K 5 n K n º K m,n m n º º º ½º¼º½º þ º ½º½ ½º¾ ¹ º ¹ ½º¾º½ º ï º ºµ þ º º ½º½ ½º½º½º ½º º µº ¹ ¹ º ½º½ ½º½º½º ¾ µ º ½º º½ ¾º½º½µ ¹ ¹ º µ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º¾ Ò Ä ÑÑ ½º º µ º µ º Ê Ñ Ö ½º º µ º ½º½º½ ¹ Ò Ø ÓÒ Ò ï¾º½µº ÓÖ Ô ÖØ µ Ø Ò ÐÝ Ð Ò Ø Ý Ó Ù Ò Ñ Ø Ó ÖÓÑ Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ½º º Ò ½º º Ñ Ø ÔÖ Ö Ð º ½ º ¾ ú û K 5 K 3,3 º ½º º¾º º

7 ½º½º¾ µº n n ¹ º ½º½º º 1,2,3,4,5 ¹ º µ jk 1 j < k 5 (j,k) (1,2) ½ ¾ º º ½º¼º½ µ jk 1 j < k 5 (j,k) {(1,2),(1,3)} ¹ ý ½ ¾ ý ½ ¾ º µ jk 1 j < k 5 (j,k) {(1,2),(1,3),(1,4)} ¹ ý ½ ¾ ý ½ ¾ ý ½ ¾ º µ ººº þ º ½º½º ½º º º º º º Æȹ º º º½º º º¾ºµ ¹ º (V,E) V µ E º K 4 K 5 º ½º¼º½ µº K 5 K 3,3 ½º½º½º µ ¹ ½º½º¾ µº ½º¾º½ ½º¾º µº ½º½º Ì ÔØ Ö ½ Ò º ÖØ ÓÒ º º½ ÓÑÑ ÒØ Ò ï½º µº º þ ½º¾º½ ½º¾º¾º º Ï Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø Ø ÒÓ ÓÐ Ø Ú ÖØ Ü Ð ÓÒ ÒÝ Ó Ø Ñ ÒØ ³ Ù Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò ÐÛ Ý Ú º º ¹ º ý {0,1} ¼ ½ º ü º

8 ½º¾ ü ú û ¹ º (V,E) ¹ µ V E º K 5 K 3,3 º ½º¼º½µ ½º º½ ½º º º K 5 º Ë ¾¼ ½º¾º º º ¹ º ÈÖ¼ µº ½º¾º½ µº ºº ¹ ¹ µ º ½º¾º¾º µ º µ º Ì ÓÖ Ñ º º¾ Ò º º½º µ ¹ n ºº C k Cn k µº µ ¹ µ ¹ n ¹ k = 1µº µ ½º½º ½º¾º½º µ ½º¾º º Ì ÔØ Ö ½ Ò µ Ë ¾¼ ï½ º ¹ ºº 2 n n ú ûµº º µ Ù ÖÓÑ ÕÙ Ú Ð Ò Ó ÔÐ Ò Ö ØÝ Ò ÓÐÚ Ð ØÝ Ó ÖØ Ò Ý Ø Ñ Ó Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Z 2 (i) (iii) Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½ ÐÓÛµº Ì ÙØ ÓÒ ÓÐÐÓÛ Ù N N Z 2 N ¹ º ÄÊ Î ¼¾ µº ï µº µ ż ÀÌ º º Á ﾺ Ë ¾¼ º º ú û º ½º¾º º º º Ï Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø Ø ÒÓ ÓÐ Ø Ú ÖØ Ü Ð ÓÒ ÒÝ Ó Ø Ñ ÒØ ³ Ù Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò ÐÛ Ý Ú º º º ½º º n e e 3n 6 e = 3n 6 ú û ú û º

9 ½º¾º µº K 5 K 3,3 º ½º¼º½µº Á ﾺ º

10 ½º ¹ Ë ¾¼ ｺ µº ½º º º º ½º º½º ¹ º ½º º¾ µº µ ¹ º µ ¹ º µº º ¹ ¹ ºµ º µ µºµ µº ¹ ï Ë ½ ï µº ¹ º º º b 3 5 n º ½º º½ ½º º¾º µº ¹ º ý º µº þ B 1...B k B 1,...,B k º ¹ º þ º ý ÈÖ¼ ½º¾ ú û ¹ ú ûº ½¼

11 º A 1...A n bº º ½º º½µ A 1 A 2 A 3...A n b 2 A 1 A 2 A 3 b + A 1 A 3 A 4...A n b 2 0. µ º º ½º º¾ Ä Ø A,B,C,D ÔÓ ÒØ Ò Ø ÔÐ Ò Ó Û ÒÓ Ø Ö ÐÓÒ ØÓ Ð Ò º AB CD +1 ABC 1 º + º ½º º µ µ ½º º µº º ½º º¾º º ½º º º µ ½ º ºº µ º µ ½ º º º º ¹ º þ º ºº µ º ½º º ÓÒ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ ØÓ ÝÐ µº µ þ ½º º¾ ½º º º º ½¹ µ ¹ º ½¹ ¹ º ½½

12 ½¹ º þ ú û ú½¹ ûº µ ¾¹ÝÐ ÑÓ ÙÐÓ ¾µ Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ð Ò Ø ÔÐ Ò Ù Ø Ø Ñ ÒØ Ò Ø ÔÐ Ò Ø Ó Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó Ø Ñº Á ÔÓ ÒØ Ò Ú ÖØ Ó ØÖ Ò Ð Ó ¾¹ÝÐ Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÔÓ ÒØ ÐÓÒ ØÓ Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó Ø ØÖ Ò Ð º ½º º ý º º º µº a,b µ P aa,p ab,p ba,p bb º þ º a P aa P ab P ba P bb P aa P ba P ab P bb º b P aa P ab P ba P bb P aa P ba P ab P bb º a b º ½º ý ¹ º K n º ½º º¾µº ¹ Èĵ f : K n R 2 K n ( n 2) µ n º f(σ) σ σº Ì Ñ Ó ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ñ Ó ÐÐ Ø ÖÓÑ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒº ½º º½ º ½º½º½º ¾º¾º¾ º º½µº ÈÄ º Ë ¾¼ ï º µ K 5 º ú û ú û ¹ K 5 º ú û ¹ ½º º µº ÓÖÑ ÐÐÝ Ì ÓÖ Ñ ½º º½ ÓÐÐÓÛ Ý Ä ÑÑ ½º º Ù Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ë ¾¼ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ä ÑÑ ½º º º Ê Ñ Ö º½¼º½½ºº f : K n R 2 ÈÄ º ÈÄ ¹ º ½º º½ ¹ º µ v(f) º ½º º¾º µ þ ÈÄ ¹ f : K 5 R 2 v(f) = 1º µ þ ÈÄ f : K 4 R 2 v(f) = 1º ÈÄ f : K 4 R 2 v(f) = 0º º ¾º½º½ ¾º½º¾º ½º º º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º½º Ò Ä ÑÑ ¾º¾º µº ÈÄ K 5 º ½¾

13 º ½º º½ v(f) f º þ ½º½º½º v(f) = v(f ) ÈÄ f,f : K 5 R 2 σ f σ º ½º º½µº K 5 σ K 5 µº º v(f) v(f ) = (fσ f σ) f mod 2 = 0. ½º º¾º º K 5 K 3,3 º ½º º¾ ú ¹ û K 5 K 3,3 ½º º º µ ü ½º º½ ½º º K 5 K 3,3 º ½º º½º µ K 3,3 ½º º½ º ½º º¾ Ë ¼ º ½º º º ÈÄ ÒÓ ÓÐ Ø Ú ÖØ Ü Ð ÓÒ ÒÝ Ó Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò º º º K 5 ½ ¾º ÈÄ ¹ ½ ¾ ºº ½ ¾ µº ½º½º º ÁÒ Ø Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º½º ÓÒ Ò Ä ÑÑ ½º º º ü ÈÄ ¹ ½º½º º º ½º ½º º½ ¹ ¹ ¹ ¹ ½º º½µº þ ½

14 º µ ú û ¹ µ º ½º º¾µº ½º º µº º ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ò Ð Ò Ö Ð Ö Ó ÓÑÓÐÓ Ðµ ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ó ØÖÙØ ÓÒ Ú Ø Ö ÕÙ Ö ÔÐ Ò Ö ØÝ Ö Ø Ö ÓÒº ½º º½º º Ì Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð Òغ µ º µ V 1,...,V s γ 1,...,γ s V i γ i i = 1,...,s σ,τ σ τ ¹ µ i = 1,...,s V i σ γ i = τ V i τ γ i = σº µ Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ý Ø Ñ Ó Ð Ò Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÓÚ Ö Z 2 ÓÐÚ Ð º ÌÓ Ú ÖÝ Ô Ö A,e Ó Ú ÖØ Ü Ò Ò Ù Ø Ø A / e Ò Ú Ö Ð x A,e º ÓÖ Ú ÖÝ ÒÓÒ¹ÓÖ Ö Ô Ö Ó ÒÓÒ¹ ÒØ σ,τ ÒÓØ Ý b σ,τ Z 2 Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò ÔÓ ÒØ Ó σ Ø Ø Ð ØÛ Ò Ò ÔÓ ÒØ Ó τº ÓÖ Ú ÖÝ Ù Ô Ö (A,e) Ò {σ,τ} Ð Ø a A,e,σ,τ = { 1 Ø Ö (A σ Ò e = τ) ÓÖ (A τ Ò e = σ). 0 ÓØ ÖÛ ÓÖ Ú ÖÝ Ù Ô Ö {σ,τ} Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ A/ e a A,e,σ,τx A,e = b σ,τ º Ì ÑÔÐ Ø ÓÒ (ii) (iii) Ð Öº Ì ÑÔÐ Ø ÓÒ (ii) (i) ½º¾º ½º º¾º Ì ÑÔÐ Ø ÓÒ (i) (iii) ½º º ¹ ½º º ½º º º ½º º¾º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ µ ÓÚ ÒÓØ ÙÐ ÐÐ ÓÖ K 5 Ò ÓÖ K 3,3 º Ä Ø Ù ÔÖ ÒØ Ö Ø Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÖ K 5 ÓÖ K 3,3 Ø Ò ÐÓ ÓÙ µº º µº º ü º A 1,...,A 5 ¹ µ µ {1,2,3,4,5} ¹ j {1,2,3,4,5} A j º i,j,k,l {1,2,3,4,5} {i,j} k l Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ s {i,j} Ù Ø Ø A s {k,l} Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ s {k,l} Ù Ø Ø A s {i,j}º Ü ÑÔÐ ½º º Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º º ÜÔÐ Ò ÓÛ b σ,τ Ò a A,e,σ,τ Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÔÔ Ö Ò Ø ÔÖÓÓ º ½

15 º ½ ¹ º ¹ º º ½º º º ºµ ½º º¾ f : K R 2 K = (V,E) ¹ f : V R 2 º f(ab) AB f(a)f(b)º ÈÄ f : K R 2 K µ ¹ º ÈÄ K ú û Kºµ K = K n º ½º µº ¹ ÈÄ µ º ¹ º ÈÄ f : K R 2 K ÈÄ ¹ H K H ú û fº Z 2 ¹ ÈÄ ¹ ¹ º ½º º K 5 Z 2 ¹ º ü ¹ K 3,3 Z 2 ¹ º ½º º º µº K K 5 K 3,3 Z 2 ¹ ÈÄ ¹ K R 2 ÈÄ K 5 R 2 K 3,3 R 2 µº ½º¾º º ½º º ¹ º Ì ÓÖ Ñ º º Ò Ë ½ Ì ÓÖ Ñ ¾º º¾ Ò º º µº Z 2 ¹ º ½º º º º º þ º º σ,τ σ τº f : K R 2 ÈÄ Kº þ ¹ σ,τº ½º º½ fσ fτ º {σ,τ} fσ fτ mod 2. K Kº ¹ K Z 2 µ ¾µº fº K ½µ Z 2 ¹ º Ë ½ º º Z 2 ¹ K 5 K 3,3 º Ë ½ º ½

16 ú û ºº e e e Kº ½º º º µ Z 2 ¹ ÈÄ º µ º Ü ÑÔÐ ½º º µ þ f : K n R 2 f(1)f(2)...f(n) n¹ º n = 4,5 µº ½º º ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 1 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 1 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹. ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 1 1 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ 1 ¹ 1 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ 1 ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 1 ¹ ¹ 1 1 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ 0 ¹ 1 ¹ ¹ 1 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ K Z 2 ¾ º º. fσ fa I II III IV V º ½º º½ ½º º º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½¾µº µ º ½º º½ºÁ¹Áκ ¹ º ºµ µ K A σº (A,σ) δ K (A,σ) = δ(a,σ) : K Z 2 {σ,τ} τ A º º ½º º½ºÎ ¹ δ(a,σ)º ½º º º µ δ K4 (1,24) = δ K4 (2,13) = δ K4 (3,24) = δ K4 (4,13) = { {13,24} } º ½º º º n = 4 ¹ º ½

17 µ δ K5 (3,12) = { {12,34},{12,35} } ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ 0 ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ 0 ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹. ¹ 0 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 ¹ ¹ 1 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ 1 ¹ 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ 0 0 ¹ ¹ 0 ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ½º º º n = 5 ¹ º º Ì Ù Û ÔÖÓÚ ÖØ ÓÒ ½º º¾ ÓÖ K 5 º ν 1,ν 2 : K Z 2 ν 1 ν 2 = δ(a 1,σ 1 )+...+δ(a k,σ k ) A 1,...,A k σ 1,...,σ k µº ½º º º ½º º º ½º º º Ä ÑÑ ½º º½ µº ÈÄ º ½¼ ½º º º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½ µº Z 2 ¹ µ ÈÄ ¹ º ½º º ½º º º º ½º º º K ÈÄ f,f : K R 2 º f f ¹ σº f σ º þ O fα f αº X := (fσ f σ) X mod 2 PQ σ ½º º¾º 0 = (Of(P) Of(Q) f(pq)) = Of(P) +Of(Q) +f(pq) f(pq) = Of(P) +Of(Q). ν(f) f ν(f ) f ν(f) ν(f ) = PQ σ= f(pq) = PQ σ= (Of(P) +Of(Q) ) = B σ Of(B) δ(b,σ). δ(b 1,σ)+...+δ(B k,σ) B 1,...,B k B σ Of(B) fσ f σ B 1,...,B k O ºµ ½¼ ¹ º ½º º½º þ º ½

18 f(a) f (A) f(a) f (A) º ½º º¾ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô º µº ¹ f f Aº f(a) f (A) º f f ¹ f¹ f ¹ Aº º f f ú f(a) f(a) f (A) û º ½º º¾ º ½º º½ºÎµº ν(f) ν(f ) º ν(f ) ν(f ) º ν(f) ν(f ) º ½º º º Ì ÔÖÓÓ Ò Ò Ö Ð Þ ØÓ Ö Ñ Ò ÓÒ Ò Ô Ö Ô ØÓ Ö ÑÙÐØ ÔÐ ØÝ Ë ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾º º ºµ Ä Ø K Ö Ô º þ ÈÄ f t : K R 2 t [0,1] ÈÄ f 0 f 1 º º Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô f : K [0,1] R 2 [0,1] Ù Ø Ø f(x,t) R 2 t ÓÖ t Ò f(x,t) = f t (x) ÓÖ t = 0,1º {A 1,σ 1 },...,{A k,σ k } (A,σ) t [0,1] f t (A) f t (σ) º ÐÓÛ Û ÔÖÓÚ Ø Ø ν(f 0 ) f 0 ν(f 1 ) f 1 ν(f 0 ) ν(f 1 ) = δ K (A 1,σ 1 )+...+δ K (A k,σ k ). Ì ÕÙ Ð ØÝ ÓÐÐÓÛ Ù Ý Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ó ÒØ σ,τ Ó K Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ I := f(σ [0,1]) f(τ [0,1]) ½¹ÝÐ ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÑÓ ÙÐÓ K {0,1} º Ê Ñ Ö ½º º º µ Ò 0 2 I 2 f 0 σ f 0 τ + f 1 σ f 1 τ + f( σ [0,1]) f(τ [0,1]) + f(σ [0,1]) f( τ [0,1]). ½º º À Ö Û Ò Ö Ð Þ ÔÖ Ú ÓÙ ÖÓÑ Ö Ù ÑÓ ÙÐÓ ¾ ØÓ ÒØ Ö º ¹ º ½º º µ º º Ë ½ º ¾º º ¾º º ËÙÔÔÓ Ø Ø P Ò Q Ö ÓÖ ÒØ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò Ò Ø ÔÐ Ò Û Ó Ú ÖØ Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒº P Q Ó P Ò Q P Qº º º ½º º º ½º º½¼º µ P Q = Q Pº µ P P Q º µ ºº P Q º ½

19 ½º º½½º ÁÒ Ø ÔÐ Ò Ø ÒÓÒ¹ÐÓ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò P Ò QÛ Ó Ú ÖØ Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒº µ (p,q) (P Q) := ( P Q) (P Q) p q º µ Ì ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÈÄ Ñ Ô p,q : [0,1] R 2 º P Q p(x) q(y) ([0,1] 2 ) [0,1] 2 P Q º f : K R 2 ÈÄ Kº Kº (σ,τ) fσ fτº K ¹ Kº : K Z ÓÖ Ú Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ µº ½º º½¾º Ò ÐÓ Ù Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º º Ö ØÖÙ ÓÖ Ø ÒØ Ö Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÝÐ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ä Ø K Ò ÓÖ ÒØ Ö Ô Ò A σº (A,σ) δ(a,σ) : K Z (σ,τ) τ A (τ,σ) τ A (σ,τ) τ A (τ,σ) τ A º N 1,N 2 : K Z N 1 N 2 = m 1 δ(a 1,σ 1 )+...+m k δ(a k,σ k ) A 1,...,A k σ 1,...,σ k m 1,...,m k ¹ µº ½º º ÔÖÓÚ Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ Ù Ò Ø ÌÖ Ú Ð ØÝ Ä ÑÑ ½º º º ½º º½ º Ì ÒØ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÝÐ Ó Ö ÒØ Ñ Ô Ó Ø Ñ Ö Ô ØÓ Ø ÔÐ Ò Ö Û¹ ÝÑÑ ØÖ ÐÐÝ Ó ÓÑÓÐÓ ÓÙ º ½º º½ º Ë ½ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º µº ¹ ÈÄ ¹ º Ì ÓÐÐÓÛ Ý ÖØ ÓÒ ½º º½¼º Ò Ä ÑÑ ½º º½ º ½º ü f,g : N R d ¹ µ ¹ F : R d I R d I µ F(y,0) = (y,0) y R d µ F(f(x),1) = (g(x),1) x N µ F(R d {t}) = R d {t} t I. ½º º½ µº þ f,g : K R 2 ¹ þ º ½

20 º ½º º½ þ º ¹ Ë ¼ º ¹ µ º½¼º½¼µº ºº ú ûµ ºº ú ûµ º È ¼ È ½ º f : K R 2 H 1 s ( K (1) ) þ U 2 (f) H 1 s( K (1) )º Kº ½º º½½º Lº þ a bc K b c a {b,c}º L ω(f,l) a bc f(a) f(bc) f(b) f(c)º f(a) f(b) f(c) Lº L º ¹ f(bc) L f(c) f(b)º f(a) f(b) f(c) L a + f(a) f(a)a L K aº a + f(a)a a + a º ω(f,l) a bc f(a) º ü ω(f,l) bc a º ½º º¾º µ a bc K a {b,c} ω(f,l) a bc = ω(f,l) bc a º µ º ½º º ºµ ab cd K ω(f,l) a cd +ω(f,l) ab d +ω(f,l) b dc +ω(f,l) ba c = 0, ω(f,l) x yz := ω(f,l) x zy ω(f,l) yz x := ω(f,l) zy x zy ¹ z yº ½º º º µ µ ¹ µº µ µ µ K (1) (x,y) K µ º K (1) ºº º þ K (1) a b = (a,b) a b Kº þ a b a c b c Kº ü b a c a b c º K (1) º K (1) K K 4 ¾¼

21 µ a b b a K (1) º þ (a b,a c) ¹ bcº ω(f,l) a bc ω(f,l) bc a µ K (1) ω(f,l)º δ(a b) a b +1/2 K (1) a b 1/2 a b ¼ º a b δ s (a b) := δ(a b)+δ(b a)º µ ½ ½ ½ ½ ½ µ ½ ½ µ ½ ½ ½ º ½º º¾ º a x xº ½º º º µ L L K i j i < j º º ½º º¾ µ L K L º L (1,...,n) L (1,...,i 1,j,i+1,...,j 1,i,j +1,...,k)º ω(f,l ) ω(f,l) = (±δ s (q i)±δ s (q j)), i<q<j º µ (i,i+1) L n¹ i+1,...,k L º º ½º º¾ µº ω(f,l ) ω(f,l) = i<qnδ s (i q)º µ ω(l ) ω(l) ½º º¾ µº µ f : K R 2 L L ¹ Kº ω(f,l ) ω(f,l) º ω 1 ω 2 K (1) ¹ ω 1 ω 2 ¹ º H 1 s ( K (1) ) ½º º¾º ½º º º º ¹ þ U 2 (f) = [ω(f )] H 1 s( K (1) ). ¹ ½º º º º º ¾½

22 ¹ Ë ¼ º ½º º º þ µ º µ º ½º ï½ ½º½º½º º µ µ ¹ º Ë ½ ½º º ½º º º µ OABCD º A OB B OAº A OBº A,B,C,D Oº OAC OBD Oº ½º º¾ AC BD º º ¹ X,Y Z,T X,Y,Z,T º XY Z,T ºº X,Y Z,Tº º O OX Y OZ T X,Y,Z,T OX,OY,OZ,OT µº a := (OX Y ) b := (OZ T )º XY {Z,T} = XY b = (OXY) b 1 2 a b + (XYY X ) b a b = 1 ½º º¾º bµº µ f v(f) º ÓÖ Ø Ø f 0 Ó ÔÓ ÒØ ÖÓÑ ÙÖ ½º¼º½ Ð Ø Û Ú v(f 0 ) = 1 º ½º º¾º µº À Ò Ø Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø Û Ò ÓÒ ÔÓ ÒØ Ô Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ü Ó Ø Ø Ò Û ÔÓ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ø Ò v(f) ÒÓØ Ò º f L f L f f := (f {L}) {L } º Ö Ø Û ÔÖÓÚ Ø Ø v(f) = v(f ) Û Ò f {L } Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Øº f := f {L}º A f X R 2 X X f {A}º v(f ) v(f) = A f (LA L A ) = A f L L = 0. (LL A) = 0 ½º º¾º º {P,Q} f ¹ f PQ L L PQ ú û º ÆÓÛ Û ÔÖÓÚ Ø Ø v(f) = v(f ) Ò Ò Ö Ðº Ì Ö Ü Ø ÔÓ ÒØ L Ù Ø Ø ÓØ f {L } Ò f {L } Ö Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ø º Ì Ò v(f) = v((f {L}) {L }) = v(f ) Ý Ø ÔÖ Ú ÓÙ º ¾¾

23 ½º½º¾º ¹ º þ n n º ¹ nº ý n = 1 º n 1 º n º º ¹ n n ºµ n¹ º ú û n ú û n+1 º º þ n º ¹ º ¹ º º ½º½º º µ º ½¾ ¹ º ½º½º½º º µ ½º½º½º º ½º½º º n ¹ (n 2 +n+2)/2 º ý º º n n¹ ¹ º Ì ÔØ Ö ½ Ò ½º¾º º µ º º ¹ º þ º ½º º¾º º ¹ ï Ë ½ ï µº ¹ º ¹ º º ½º º¾º º ¹ ¾ ï º ¹ º º Ë ½ ï µº º ½º º½ b º ¹ aº þ A (AMN) b ¾

24 MN aº T Tº º º ½º º½µ a b = MN MN b (AMN) b MN a º º º ½º º º µ º ½º º º º ü ½º º¾º º A 1,A 2,...,A 7 B 1,B 2,...,B 7 º þ C D ½ º 0 2 i<j, k<l MN (CA i A j ) (DB k B l ) 2 i<j, k<l A i A j B k B l. CA i DB j ú û º º ú ¾û º µº µ ü º µ º ¹ ºµ º µ µ º µ º º ü º º º µ C ¹ D ½ CA i DB j º A i A j CA i A j A i A j ¹ CA i A j µº ( 7 2) º ü ( 7 2) ¹ DB k B l º º ½º º º a º ¾º¾º½µº α º ü β bº º a b ¹ α β α β β α R 2 α β º P aa α β µº P ab β α P bb R 2 α β P ba α βº º þ º þ C P aa,p ab,p ba P bb º γ CP aa CP ab CP ba CP bb º ¾

25 a b a β a α b b º ¾ º 0 = (1) (γ α β) = (2) γ }{{} ={P aa,p ab,p ba P bb } α β + γ }{{} α =a β + γ α β }{{} =b = (3) = 1. ½µ γ α β ¹ º ¾µ ¹ ú ûµº µº γ α β = ( γ α) ( γ β) = {P aa,p ab } {P aa,p ba } = {P aa }. a β = γ a β = º a β = a γ a β = γ a = P aa P ba a + P ab P bb a = 1+1 = 0. γ a β = 0º ü γ α b = 0º ½º º½º µ ½º½º½º º þ ¹ ú û ú ûº x S x x ºº A 1,B 1 S x A 2,B 2 S x A 1 A 2 B 1 B 2 µº ú û º OAC OBD º ½º º¾ AC BD º º ½º º º µ K K (1) º K ºº ¼ ½ ¾ ¼½ ¼¾ ¼ K (1) º ½º º½º ÈÄ f : K R 2 K K = K n º ½º µº µ K v(f) = 0 ÈÄ f : K R 2 º µ K ÈÄ f : K R 2 v(f) 0º µ K ½º º¾º v(f) = 0 f : K R 2 º µ ÓÖ ÒÝ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô f : K R 2 Ó Ö Ô K Ø Ú Ò Ã ÑÔ Ò ÒÙÑ Ö Ø ÙÑ Ó Ú ÐÙ Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÝÐ ÓÚ Ö ÐÐ ÒÓÒ¹ÓÖ Ö Ô Ö Ó Ó ÒØ º ½º º¾º Z¹ f¹ ¾

26 µ ½º º º Ì Ò Ó Ø ÙÑ Ô Ò ÓÒ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ó Ó ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÙØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø ÓÑ Þ ÖÓ Ó ÒÓغ ÇÒ Ò ÔÖÓÚ Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½º º ÓÖ Ù ÖÓÑ Ø Ø Ø Z¹ º ÁÒØ Ö Ð Ò ÐÓ Ù Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º ÓÖÖ Ø Ò ÓÐÐÓÛ Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ Ý Ä ÑÑ ½º º½ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½¾º ½º º º µ H 2 (K ;Z 2 ) K Z 2 º Z 2 ¾¹ K ºµ þ ¾ v(k) H 2 (K ;Z 2 ) ¹ µ ÈÄ f : K R 2 º ½º º ½º º v(k) ºº fº K Z 2 ¹ v(k) = 0º µ ÒÓØ Ø Ø Ó Û¹ ÝÑÑ ØÖ º ÖØ ÓÒ ½º º½¼º µ Ñ Ô K Z ÙÔ ØÓ Û¹ ÝÑÑ ØÖ Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ý H 2 ss ( K;Z)º Û¹ ÝÑÑ ØÖ Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ð Ó Ø ÒØ Ö Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÝÐ Ó ÓÑ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ó Òݵ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô f : K R 2 ÐÐ Ø ÒØ Ö Ð Ú Ò Ã ÑÔ Ò Ó ØÖÙØ ÓÒ V(K) H 2 ss ( K;Z) Ê Ñ Ö ½º º¾ ½º º º µ Á Ò ï½º º Û ÙÑ Ø Ø ÐÐ σ τ Ò τ σ Ó K ÓÒ Ö ÐÐ ÓÑÔРܵ Ö ÓÖ ÒØ Ó Ö ÒØÐÝ Û Ø Ø ÒÚÓÐÙØ ÓÒ (x,y) t (y,x) Ò Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÓÖ ÒØ Ø ÔÖÓ ÙØ µ Ò Ò Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ý Ò Ò Ø ÒÙÑ Ö fσ fτ ØÓ Ø ÐÐ σ τ ÓÖ ÒØ Ø ÔÖÓ ÙØ Ò Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÔÓ Ø Ú ÐÝ ÓÖ ÒØ µ Ø Ò Û Ó Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ó Ò» Ó ÓÙÒ Ö» Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ò Ø Ú Ò Ã ÑÔ Ò Ó ØÖÙØ ÓÒ Ò Ø ÖÓÙÔ H 2 s( K;Z) = H 2 (K ;Z)º Ï Ú H 2 s( K;Z) = H 2 ss( K;Z)º Ì ØÛÓ Ú Ò Ã ÑÔ Ò Ó ØÖÙØ ÓÒ Ó ÓÒ ØÓ Ø ÓØ Ö ÙÒ Ö Ø ÓÑÓÖÔ Ñº Ò ÐÓ ÓÙ Ö Ñ Ö ÓÐ ÓÖ Ø Ú Ò Ã ÑÔ Ò Ó ØÖÙØ ÓÒ ÓÖ Ñ Ò Ó n¹óñôð Ü Ò R 2n Ë ï Ë ¼ ï º º Á Ñ Ö Ø ÙÐ ØÓ Ëº Å Ð ÓÚ ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ø Ò ÃÌ ï¾º Ø Ò Ö ÒÓØ ÙÖ Ø Å ¼ ÒÒ Ò Ó ï½ º Ì Ò ÖÖÓÖ Ò Ø Ø Ø Ø ÓÖ n := dimk Ó Ò o f Ø ÒØ Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÓÝÐ ÓØ ÕÙ Ð Ø o f (σ τ) = fσ fτ ÃÌ ï¾º Ð Ò Ò t(σ τ) = τ σ ÃÌ Ôº ½ Ð Ò ¹ ÓÖ σ,τ ÒÒÓØ ØÖÙ º Á ÐÐ σ τ Ö ÓÖ ÒØ Ø ÔÖÓ ÙØ Ò Ë ï Ë ¼ ï º µ Ø Ò o f (σ τ) = fσ fτ ÙØ t(σ τ) = ( 1) n τ σº Á ÐÐ σ τ Ö ÓÖ ÒØ Ó Ö ÒØÐÝ Û Ø Ø ÒÚÓÐÙØ ÓÒ t Ò Å ¼ ï¾ ÕÙ Ú Ö ÒØ Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ò ËÑ Ø ÕÙ Ò µ Ø Ò t(σ τ) = τ σ ÙØ Ø Ö o f (σ τ) = fσ fτ ÓÖ o f (τ σ) = fτ fσº Ì ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÙÑÔØ ÓÒ ÒÓØ ÜÔÐ ØÐÝ ÒØÖÓ Ù Ò ÃÌ ï¾ ºµ ½½ Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ã ÑÔ Ò Ó ØÖÙØ ÓÒ Ò ï½º º Ò Ò ÅÌϽ½ ÔÔ Ò Ü µ Ù Ø ÔÖÓ ÙØ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ σ τ Ò Ó ÒÓØ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÛÖÓÒ ÓÖ n Ó Ò Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒÚ ÒØ ÓÒµ ÓÖÑÙÐ t(σ τ) = τ σº ËÓ Ø Ý Ó ÒÓØ Ú Ø Ò ÖÖÓÖº ½º º º Ä Ø K Ö Ô º Ä Ø f : K R Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô º º Ñ Ô Û Ñ Ô Ú ÖØ ØÓ Ø ÒØ ÔÓ ÒØ Ö ÒØ ÖÓÑ Ö ØÙÖÒ³ ÔÓ ÒØ Ó º µ º ¹ ¹ º ½½ Á Ñ Ö Ø ÙÐ ØÓ Îº ÃÖÙ Ð ÓÖ ÐÔ Ò Ñ ØÓ ÐÓ Ø Ø Ò ÖÖÓÖ Ò ÃÌ ï¾º º Ì ÑÓÖ Ó Ù Ø ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ò Å ¼ ï ÓÓØÒÓØ Ó Ø Ò ÖÖÓÖ ÓÒ Ù Ò º ÁÒ Ò Å ¼ ï¾ Ø Ó Ö Òس ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ü Ò Û Ø ÓÙØ Ò Ó Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ò Å ¼ ï ÓÑ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó ϑ(x) Ø ÔÖÓ Ùس ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ù ÓØ ÖÛ Ø ÓÖÑÙÐ t(σ τ) = ( 1) n τ σ ÒÓÖÖ Ø ÓÖ n Ó µº Ì Ò ÖÖÓÖ ÔÔ Ö Ü ØÐÝ Ù Ó Ö Ò ØÛ Ò Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒÚ ÒØ ÓÒ º ¾

27 º ¹ º µ Ö Ô ÐÐ k¹ö Ð Þ Ð Ò Ø Ð Ò Ø Ú ÖØ Ò ÔÙØ Ò Ø ÔÐ Ò Ó Ø Ø ÒÝ Ð Ò Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ØÓ Ü Ð Ò ÒØ Ö Ø Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ñ ÒØ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ý Ø ÑÓ Ø k ÔÓ ÒØ º ÇÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ Ø Ñ Ø Ñ Ô ØÓ Ø Ð Ò Û Ø ÓÙØ (k + 1)¹ØÙÔÐ ÔÓ ÒØ º º Û Ø ÔÓ Òع ÒÚ Ö Ú Ò Ø ÑÓ Ø k Ð Ñ ÒØ µº Ð ÖÐÝ ÓÒÒ Ø Ö Ô ½¹Ö Ð Þ Ð Ò Ø Ð Ò Ò ÓÒÐÝ Ø Ô Ø º ÓÖ Ö Ø Ö ÓÒ Ó ¾¹Ö Ð Þ Ð ØÝ Ó ØÖ Ã Ó º ÁØ ÛÓÙÐ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ Ò Ö Ø Ö ÓÒ Ó k¹ö Ð Þ Ð ØÝ Ò Ò ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Øº µ Ø ÒØ ÔÓ ÒØ x,y,z,t R Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÙÑ Ö Ú Ò x [z,t] + y [z,t] + [x,y] z + [x,y] t. µ f : K R K ¹ f(a) f(σ) A,σ ¹ º º ½º º½ º þ º þ º µ µº µ K (1) (x,y) K µ º º K (1) ½º º º º K (1) {A,B} ¹ Kº A,BC K K (1) {A,B} {A,C}º A BC = BC Aº K (1) º K (1) K K 4 µ B G δ G B B G º δ G B Bºµ ω 1,ω 2 : E(K (1) ) Z 2 ω 1 ω 2 δ K (1){A,B}º þ ¹ f : K R K f(a) f(σ) A σ A ºº K µ f : K R µ K (1) A CD B CD C AB D AB AB,CD K º º µº δ K (1){A,B} º µ ν {AB,CD} ¹ K ú û A CD B CD ú û AB CDº ºº Sq 1 ν : K Z 2 Sq 1 ν{ab,cd} := ν(a CD)+ν(B CD) = ν(ab C)+ν(AB D). Sq 1 (µ+ν) = Sq 1 µ+sq 1 ν Sq 1 δ K (1){A,B} = δ(a,σ) =: δ(a δ K B)º µ H 1 (K ) ¹ º þ º µ ν(f) º þ v 1 (K) H 1 (K ) Z 2 ¹ K v 1 (K) = [ν(f)] H 1 (K ). ½º º º þ º µ ý ¹ Sq 1 : H 1 (K ) H 2 (K ) ¾ σ B

28 Sq 1 [ν] := [ν 2 ]º H 2 (K ) K º ºµ v(k) = Sq 1 v 1 (K)º þ g : K R 2 º f : K R 1 g Oxº Sq 1 ν(f) = ν(g)º ºµ µ ¹ü : H 1 (K ) H 1 (K ) H 2 (K ) Sq 1 x = x xº ¾

29 ¾ ¾º½ ¾º½º½ µº º º ½º½º½º ¾º¾º¾ º½¼º¾º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÑÔÐ Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ø ÔÓ Ð ³ º ¹ º º º þ X X ¹ µ º ¹ º Ì Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÓÒ Ö ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú ³ ÓÖѺ ¾º½º¾ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º½º Ò Ä ÑÑ ¾º¾º µº º ÆÓÛ ÓÒ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ù Ø Ó Ø ÔÐ Ò ÒØÓ ÑÓÖ Ø Ò ØÛÓ Ó ÒØ Ø º ¾º½º º µ ¹ µº º µ ¹ º º µ º ¹ º þ º º µ r 1 µº 3r 3 r ¹ º ¾º½º º µ þ ¹ º µ ½½ º µ r N N r º Ý Ô ÖØ µ Ò Ô ÖØ µ ÓÖ r = 3 Û Ò Ø N = 11º Ý Ü ÑÔÐ ¾º½º º Ú ÖÝ Ù N Ö Ø Ö Ø Ò 6º ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ø Ñ Ò Ñ Ð N 7 Ø Ø ÒÓÒØÖ Ú Ðº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÛ Ø Ø ÓÖ Ò Ö Ð r Ø Ñ Ò Ñ Ð N Ù Ø ÓÒ ÓÚ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ü ÑÔÐ ¾º½º º º ¾

30 º ¾º½º½ ÓÑÑÓÒ ÔÓ ÒØ Ó ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º½º ¾º½º µº r 3r 2 ¹ r º ÓÖ Ö Ö Ò Ë ½ Ö Ñ Ö ½º½º º ¾º½º º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º½º Ò ¾º½º¾µº ÓÖ Ø Ú ÖØ Ó Ö ÙÐ Ö ÔØ ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ¾º½º 7º Ú ÖÝ Ù Ô ÖØ Ø ÓÒ ÐÓÓ Ð ÖÓØ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó º ¾º½º½ Рغ ÓÖ Ø ÔÓ ÒØ Ò º ¾º½º½ Ö Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ¾º½º 4º ½¾ À Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑ Ö ÒØ Ô Ö ØÝ ÓÖ Ø ØÛÓ ÓÚ ¹ Ð Ñ ÒØ Ø M 1,M 2 v(m i ) := R 1 R 2 R 3. {R 1,R 2,R 3 } : M i =R 1 R 2 R 3 ¾º¾ Ë Ð Ó ÊË º ¾º¾º½º þ L ¹ º µ L º º ¾º¾º½µº µ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º½ºµ Ì Ò Ó ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò P Û Ó Ú ÖØ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø Ú ÖØ Ó L Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ú Ø Ñ ÓÐÓÖ Ò ÓÒÐÝ P L Ú Òº º ¾º¾º½ þ ¾ þ ¾ ¹ ú û µº È Û ¹Ð Ò Ö Èĵ Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô K n R 2 Ö Ò Ò ï½º º ½¾ Ì ÓÐÐÓÛ Ù ÓÖ Ú ÖÝ Ù Ô ÖØ Ø ÓÒ ÓÒ Ó Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ ØÖ Ò Ð Û Ø ÓÒ Ú ÖØ Ü 4 ÒÓØ Ö Ú ÖØ Ü 1 ÓÖ 2 Ò Ø Ø Ö Ú ÖØ Ü 6 ÓÖ 7º ¼

31 ¾º¾º¾ º ½º º½ ¾º½º½ º½¼º µº µ ÈÄ f : K 4 R 2 ¾ º µ ÈÄ ½ º È ÖØ µ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÕÙ ÒØ Ø Ø Ú Ú Ö ÓÒ³ Ä ÑÑ ¾º¾º Ù Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ë ¾¼ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ä ÑÑ ½º º º Ê Ñ Ö º½¼º½½ºº È ÖØ µ ÓÖ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ô ÖØ µ Ù Ø Ñ f( ) Ó ÓÒØ Ò ¾ Ó Ø Ñ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó Ø º Ì Ø ÓÐÐÓÛ Ù ÓÖ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ñ Ô f : R 2 Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÖÓÑ ¾ Ó f( ) Ò Ó ÒÙÑ Ö Ó f¹ôö Ñ ºµ È ÖØ µ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ô ÖØ µ ÓÖ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô Ù Ò Ú Ö ÓÒ Ó Ë ¾¼ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ä ÑÑ ½º º º Ê Ñ Ö º½¼º½½ºº Ð Ó Ø Ø Ò Ö ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ µ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ µ Ý Ë¼ Ë ¼ º ÈÄ f : K 4 R 2 ρ(f) Z 2 K 4 ¾ º ½ ¾º¾º º Ä ÑÑ ½º º Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º¾µº ÈÄ K 4 º º Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º½º¾ Ø Ù ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø ρ(f) = ρ(f ) ÈÄ f,f : K 4 R 2 σ Ò f σ Ð Ò Öº ÒÓØ Ý τ Ø Ó K 4 ÒÓÒ¹ ÒØ ØÓ σ Ý S Ø ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÒØ Ö ÓÖ Ó S := fσ f σº Ì Ö ÓÖ ρ(f) ρ(f ) = ( S fτ + S f( τ) ) mod 2 = 0. À Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ð ØÝ ÓÐÐÓÛ Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º½º º ½ ¾º Ì ØÓÔÓÐÓ Ð ÌÚ Ö Ö Ø ÓÖ Ñ Ò Ø ÔÐ Ò Ò Ö Ð Þ ÓØ Ø ÌÚ Ö Ö Ì ÓÖ Ñ Ò Ø ÔÐ Ò ¾º½º Ò Ø ÌÓÔÓÐÓ Ð Ê ÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ò Ø ÔÐ Ò ¾º¾º¾º ÓÖ Ø Ø Ñ ÒØ Û Ò Ò Ø ÓÒº A 1...A n O 2π A 1...A n O := ( A 1 OA 2 + A 2 OA A n 1 OA n + A n OA 1 )/2π. ½ ¹ Èĵ ¹ µº º º º º º Ë ¾¼ ï º º ½ ÓÖ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÈÄ Ñ Ô g Ó Ø ØÖ ÖÓÒ ØÓ Ø ÔÐ Ò ÓÒ Ò Ò Ø Ú Ò Ã ÑÔ Ò ÒÙÑ Ö v(g) Z 2 Ë ½ ï º¾ Ó Ø Ø v(g) = ρ(g K4 )º ½ Ì Ö Ö Ø ÔÖÓÓ Ø Ø Ø Ú Ò Ã ÑÔ Ò ÒÙÑ Ö Ó Ñ Ô K 5 R 2 ÕÙ Ð Ø Ê ÓÒ ÒÙÑ Ö Ó Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ ØÓ K 4 Ë ½ ï º¾ º ËÓ Ä ÑÑ ¾º¾º Ò ½º º Ò Ö ØÐÝ Ù ÖÓÑ ÓØ Öº ½

32 ¾º º½º µ µ ¼ ½º µ ¾ º µ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º¾º½º µ Ì ÐÓ Ò ÒÓÒ¹ÐÓ ÓÖ ÒØ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò L Ò P Ò Ø ÔÐ Ò ÐÐ Û Ó Ú ÖØ Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒº Ä Ø P 0 Ò P 1 Ø Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ò Ø Ò ÔÓ ÒØ Ó Pº Ì Ò L P = L P := L P 1 L P 0 º ½ µ µ º ¾º¾º½ µ º º ¾º º½ ÌÓÔÓÐÓ Ð ÌÚ Ö Ö Ø ÓÖ Ñ Ò Ø ÔÐ Ò r = 3 ¾º º¾ ËË ÇÞ ÎÓ º ¾º½º ¾º¾º¾ º½¼º½¼µº r ÈÄ f : K 3r 2 R 2 Ø Ö r 1 ØÖ Ò Ð Û Ò ÖÓÙÒ ÓÒ Ú ÖØ Ü ÓÖ r 2 ØÖ Ò Ð Û Ò ÖÓÙÒ Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Û Ö Ø ØÖ Ò Ð Ò Ú ÖØ Ö Ó Òغ ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ 1,...,3r 2 3t 1,3t,3t+1 t = 2,3,...,r 1 ½¾ 3t 1,3t,3t + 1 t = 1,2,3,...,r 1 ½ º Ì ÓÒ Ø ÓÒ Û Ò Ò ÒÙÑ Ö ÒÓÒÞ ÖÓ³ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó f(ijk)ºµ ¾º º¾ ˼ Ë ¼ r ¹ (3r 3)¹ r ¹ º ÈÖÓÓ Ù Ò Ë ½ ï¾ º ¹ ¾º º¾ ý ¹ º º½ º ¾º º µº ü ¹ r º º Ë ½ ï¾ º ½ Ì ÒÙÑ Ö L P Ò Ò ï½º º º Ì Ú Ö ÓÒ Ó Ø ËØÓ Ø ÓÖ Ñ ÓÛ Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ØÓ L Å Ó Ù ¹ Ð Ü Ò Ö ÒÙÑ Ö Ò º º ¹ Ó Ö ÓÐÓÖ Ò Ý ÒØ Ö ³ Ó Ø Ø Ø ÓÐÓÖ Ó Ø ÒØ ÓÑ Ò Ö Ö ÒØ Ý ±1 Ô Ò Ò ÓÒ Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø Ò Ó ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò P Ú Ø Ñ ÓÐÓÖ Ò ÓÒÐÝ L P = 0µº Ë ÑÓÖ Ò ÏÒ º ¾

33 ¾º º º µ f : 2s+1 R 2 (2s+ 1)¹ 2s 1 x 1,...,x 2s 1 x 2s ¾¹ 2s 2 x 1,...,x 2s 2 x 2s 1,x 2s 2s ( 1) j f(x j ) = 0º j=1 µ p s 1 a,b 0 n := 3sp a+b 2(s 1)p b 1. f : n R 2 n¹ sp a+b sp a+b x ijk i [s] j [p a ] k [p b ] f(x ijk ) = f(x ij k) i [s] j,j [p a ] k [p b ] s f(x i1k ) kº ¾º i=1 f,g : X R n X R d ε¹ f(x),g(x) < ε x Xº ¾º º½º µ A B µº µ ½¼ A B º µ K a ºº K (K + a) = º a K º µ K a ºº K (K +a) = º a K K º ³µ ÊËË ÃË µ K K + a f : K R 2 a ¹ K R 2 º ³µ µ µ K K +a f : K R 2 a ¹ K R 2 º þ ε δ K K δ¹ K K K ε µ f : T R 2 T := K 3,1 ε > 0 f ε (T) ε¹ f f ε : T R 2 f(t)º µ µ ¹ Tº ¾º¾º¾º º ¹ µ º D n+1 := {(x 1,...,x n+1 ) R n+1 : x x2 n+1 1}

34 S n := {(x 1,...,x n+1 ) R n+1 : x x2 n+1 = 1}. ¾º º¾ ý ¹ µº f: S 2 R 2 x S 2 f(x) = f( x) ¹ º º Å ¼ ﾺ¾ Ë ¾¼ ï ¹ Å ¼ Ë ½ º º º½ º ¾º¾º¾º ¹ ½º º º ¹ ½º º º ¹ º º 2 (x,y) 2 ¹ º Ë ¾¼ ï º µº ¾º º º µ g = (g 1,g 2 ) : S 1 2 g k ( s) = g 3 k (s) s S 1 º ú û S 1 = {(x,y,z) R 3 : x+y +z = 0, x 2 +y 2 +z 2 = 1}º µ 2 =Z2 S 1 º ºº ¹ ¹ h : 2 S 1 h(y,x) = h(x,y) (x,y) 2 º º º 2 R 4 ºµ ½º º º º f : 2 R º ¹ f : 2 R {0} f(x,y) := f(x) f(y). (x,y) (y,x) º f g : S 1 R {0} ¾º º º s s º º ¾º º º 3 (x,y) 3 ºº µº µ µ 3 º ü µ g = (g 1,g 2 ) : S 2 3 g k ( s) = g 3 k (s) s S 2 º µ 3 =Z2 S 2 º ºº ¹ h : 3 S 2 h(y,x) = h(x,y) (x,y) 3 º º º 3 R 6 ºµ

35 ¾º¾º¾º º ¹ f : 3 R 2 º ¹ f : 3 R 2 {0} f(x,y) := f(x) f(y). (x,y) (y,x) º f g : S 2 R 2 {0} ¾º º º s s º ý ¾º º¾º ¾º½º¾º º ú ûµ º º ¾º½º º µ º þ ¹ º ¹ ¹ º ¾ ¹ º º µ º {AB 1,BA 1 },{AO,A 1 B 1 },{AO,BA 1 }º A 1 = AO A 1 B 1 = AO A 1 B BC 1 C B 1 C 1 C AB 1 BA 1 OC 1 Cº µ º º þ (3r 3)¹ º ½ ¾ º þ ¹ º º ¾º º½ þ ¾º½º º µ 1,2,3,4,5,6,7,8 º ¾º º½º {1,3,5,7} {2,6} {4,8}º þ ¹ 5

36 º Ð ÖÐÝ Ñ ÒØ 26 Ò 48 Ú Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ý Aº Ð ÖÐÝ A Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ ÒÝ Ó Ø ØÖ Ò Ð º º º 1,2,3 4,5,6,7,8º {1,5} {2,4,7} {3,6,8}º þ ½ ¾ º A := 47 15, B := 27 15, C := 36 15, D := = AB = CDº A 1,B,C,A 5 A 1 A 5 A 1,D,A,A 5 A 1 A 5 º = AB CD º µ ½½ µº S 1 º º º S 1 º º ¾º º¾ þ ¾º½º º r = 3 ¹ º ¹ üº º º ü þº ºµ 1,2,3,4,5,6,7º X := ú ûµº X 145 X ¹ 1567º X Y := 15 37

37 1267º = Y 234º = Y 456º Y 246º º r = 3 ¹ º º ºµ 1,2,3,4,5,6,7º A,B,C,D,E,F º ¾ º A,B,C,D,E,F 47 º ¾º º¾µº ¹ T := 15 36º C 4 D T 47 1º ¹ T 3 24º ü 27º X 247 ºº T º A,B,C,D,E,F 47 º A,B,C 47 º ü ¹ D,E,F (A,D) (B,E) (C,F)º C D E C 236º C E Fº ü D A Bº 47 ADBECFº E A C 135º ¾º¾º½º µ þ A L A ¼º P L ¼ ½ L µ P Aº º º µ ½ º ¾º º½º µ X,Y K a ³<³º ºº A < B B < C A < Cºµ X Y +aº ý K X Y l K + a Y + a X +a l +aº X < Y Y < Xº µ X,Y K ¹ a º º µ X,Y º ³µ ü º X,Y K a ³<³º K f(k)º þ X f(y) º l K X Y f(l) f(k) f(y) f(x)º X < Y Y < Xº µ þ ε f(t) εº º ³µº µ º º µº ¾º º º ¾º º º º S d S d 0 := {(x 1,...,x d+2 ) R d+2 : x x d+2 = 0, x x2 d+2 = 1},

38 º ¾º º ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ô º ¹ S d S0º d g(x 1,...,x n+2 ) := ( i : x i >0 ¾º º º µ º ¾º º µ x i X e d+2,i, i : x i <0 x i X e d+2,i ), X := i : x i >0 x i > 0. 3 = D D 1 D 2, 2 = S 1 D 2 ± 2 D 1 = 2 ±1.

39 º½ ü µº º º½º½º µ ¹ ½ µº º ½ ºº ¹ ½ µº º µ ½ µº µ º µ µµ ½ º º½º½ ϕ(i 1 ) ϕ(i 2 ) µº ½ º º Á ¾µ Á ½µ º º½º½ f ϕ º½º¾º µ µ ¹ ½ º ½ º µº µ þ º µ µ þ º µ ¹ µ þ º µ µ º µ º A 1...A n µ º ε > 0 B 1...B n A j B j < ε j = 1,...,nº ü ¹ ϕ : G R 2 G º º ½º µº ý ¹ º ¹ º ¹ º ½º µ ¹ ¹

40 µº þ º º ½º µº I := [0,1] S 1 := {x C : x = 1} º ϕ : I R 2 ¹ º ε > 0 ¹ f : I R 2 f(x),ϕ(x) < ε x Iº ü ϕ : S 1 R 2 ϕ : G R 2 Gº º½º½ º½º¾º ϕ(i) ϕ : I R 2 ϕ : I 1 I 2 R 2 º º½º½µ ϕ : S 1 S 1 R 2 º º º½º¾ º½º¾º Å µº ºº µ ¹ ºº µa b º º½º¾º º ¹ º þ º½º¾º abab µº º½º º µ ¹ º ¹ º º½º½µº µ ¹ º º½º º º º½º º º Å Ë ¼ ³ º º½º º µ º º½º º º K 5 K 3,3 º ¹ º º½º º º º¾ºµ º½º º P,H,X P,H,Xº þ ϕ : K I R 2 µ K = S 1 µ K = P µ K = H µ K = X ¼

41 ³ Áµ Áµ Áµ ³ Áµ µ µ Áµ ³ Áµ µ µ º º½º þ (K,L) ϕ : K L R 2 ºµ º º Ë ½ ³ º ï½µ Ë º þ ¹ ºµ Ë Ë ¼ ³ º ¹ º à þ º µ º ¹ ½º¾º Ë ¼ ³ º º½º º ϕ,ψ : [0,1] R 2 ¹ º ε > 0 f,g : [0,1] R 2 f(x) ϕ(x) g(x) ψ(x) ε x [0,1]º ºµ µ ϕ,ψ : I R 2 µ º µ ¹ º µ ¹ º µ T Tº T T T R 2 º ½

42 º¾ þ þ ¹ º º ½º½º½º ½º º ½º º¾º ½µ µ ½µ µ ½µ ½µ ½µ µ ½µ µ µ ¼ µ ½ µ ½ µ º º¾º½ º½º¾º º þ ϕ º º½º¾µº º º þ fº º º¾º½º º º¾º½º º v(f) ¾ º f º º½º¾ v(f) = 1º v(f) º ¹ v(f) º ¹ v(f) = 1 fº º É º½º¾º º º e 1,...,e 6 f º e i+6 := e i º º e i º v(f) := {i,j} : i j >1 e i e j mod 2. f 0 º º½º¾ v(f 0 ) = 1º ü ½º º v(f) fº f f e i e i º º¾º¾µ µ v(f) v(f ) = (e i e i ) (e i+2 e i+3 e i+4 ) mod 2 = 0. ½ ¾ ½ º º¾º¾ v(f) f ¾

43 e i+2 e i+3 e i+4 e i e iº ¹ µº þ ½º º º º É ϕ : I R 2 º n 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 ½µ ϕ [ai 1,a i ] i = 1,...,n ¾µ [a i 1,a i ] º ý nµº º º¾º ϕ Oϕ(I) ϕ(i) ¹ ³ ºº ϕ(a i )µ ³ ºº ³ ϕ(i)µº º º º¾º º º½º º º ϕ(i) ¹ Ë ¾¼ º ½º ú û ºµ º½º¾ºº f : I Oϕ(G) ¹ º º½º º º º½º¾º º ¹ º º¾º µº þ fº ¹ º º¾º½º º º¾º½º µº º º v(f) ¾ º f º º½º º v(f) = 1º º½º¾º º º þ º ϕ : I R 2 ¹ ¹ þ v(ϕ) Z c(ϕ) 2 µº þ c(ϕ) v(ϕ)º º º º º

44 º ¹ Ë ¼ ³ º ½ ¾ ¾ º º º½ º þ 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 ï º¾µº þ i j, ϕ(a i ) = ϕ(a j ) i < j. i j (i ± 1) (j ± 1) º ± º º º º º½ º º½º º º º º½º ϕ a 0,a 1,...,a n º c(ϕ)º c(ϕ) ¹ i (i 2) i 0 n iº ϕ º º½º º c(ϕ) = 1º º º¾º c(ϕ) ϕ a 0,a 1,...,a n º ν(f)º þ 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 ï º¾µº º º¾º µº þ fº i j ϕ(a i ) = ϕ(a j )º ¹ ºµ i j f[a i 1 a i+1 ] f[a j 1 a j+1 ] ¹ º º¾º½º µ º º¾º½º µº ν(f)º ϕ f º º½º º ν(f) = (0,1)º º º º µ f ν(f) º µ º µ ν(f) f º µ ν(f) ϕ f a 0,a 1,...,a n º þ v(ϕ) Z c(ϕ) 2 º c(ϕ) ¹ mod 2 ν(f) º v(ϕ) = v(ϕ,f) Z c(ϕ) 2 þ Z 2 µ ϕ º ϕ f º º½º º v(ϕ,f) = (1)º v(ϕ,f) f a 0,a 1,...,a n º ν(f) f ¹ º ¹ [a i 1 a i ] [a j 1 a j ] º

45 f ºº µ f º v(ϕ,f) f º É º º º þ v(ϕ,f) µ i j 1 i 1 j nº µ i = j 1 i = 0 j = nº º µº i j (i 1) (j 1) i (j 1) (i 1) jµ ½ ºµ º º º µ v(ϕ,f) a 0,a 1,...,a n º µ v(ϕ) = 0 f : I R 2 ϕ f[a i 1,a i ] f[a j 1,a j ] = i j I i j i (i 2) i 0 n i f µº º º º µ þ ϕ : S 1 R 2 º µ º µ º µ þ ¹ ϕ : I 1 I 2 R 2 º ï º½µº µ þ V(ϕ) Z c(ϕ) º ¹ º R 2 º ν(ϕ) i j f º º¾º½º º º¾º½ºº ¹ N(ϕ)º c(ϕ) º V(ϕ) = V(ϕ,f) Z c(ϕ) þ Zµ ϕ º º º º µ º º º º þ º½º¾º º º ½º þ º º n¹ 2n¹ µº þ º ½º º º ϕ : I R 2 ºº µ ¹ º þ 0 = a 0 < a 1 < < a n = 1 º [a i 1,a i ] iº I ú û n n ºº i j i < j 1 Iµ º º º½º ý {i,j} i j > 1 i < j 1º f : I R 2 ϕ ¹ i,j fi fj º {i,j} I fi fj mod 2º µ ν(f)º f ν(f) = 0º

46 ½ ¾ Á º º º½ þ I {i,j} I ϕi ϕj = º f ϕ ν(f) = 0 º º º½º º ½º º½½ºµ µ þ (x,y) I f(x) f(y)º I º µ ϕ : I R 2 ʵ x y I ¹ ϕ(x) ϕ(y) x y ºº S 1 {(x,y) I I ϕ(x) ϕ(y)}µ ϕ(x) ϕ(y) º º º º¾ f º º º¾ ν(f) {i,j} {i,j 1}º I º I {i,a j } {i,a j } δ{i,a j }º {i,a j } I ϕa j ϕiº f ϕ º º º¾º f f e1,...,e k ¹ e 1,...,e k I º ν(f) ν(f e1,...,e k ) = δe 1 + +δe k º X º ν 1,ν 2 X ν 1 ν 2 = δe 1 + +δe k e 1,...,e k º º º º º ½º º ºµ ¹ º

47 f,f : I R 2 ϕ jº a i f(j) f (j)º b 1,...,b k f(j) f (j) µº ν(f) ν(f ) = δ{b 1,j}+ +δ{b k,j}. º º º þ f t : I R 2 t [0,1] ϕ f 0,f 1 : I R 2 º {i,a j } I t f t (a i ) f t (j)º ¹ º e 1,...,e k º f t (x) ϕ(x) ϕa i ϕj f t (a i ) f t (j)º e 1,...,e k º ν(f 0 ) ν(f 1 ) = δe δe k. ½º º º º º º µ º º Hϕ(I 2 ) = X/ Z 2 µ I ¹ º H 2 (I,I ϕ ) I ϕ ºµ Hϕ 2(I ) = Z k 2 k I ¹ ºº µ º þ Z 2 µ v(ϕ) = [ν(f)] Hϕ 2(I ). v(f) = 0 f v(ϕ) ϕ º µ k = c(ϕ) º º º º µ Z c(ϕ) 2 = H 2 (Iϕ)º þ º µ Öµ ʵ º º½º º (r) (v(ϕ) = 0)º v(ϕ) = 0 Öµº µ ¹ ºº µº þ V(ϕ) º þ ¹ R 2 Iº f : I R 2 ¹ ϕ i,j fi fj º i j fi fj = {signp P fi fj} signp = +1 fi fj µ R 2 signp = 1 º N(f)º X º ¹ V(ϕ) = [N(f)] Hϕ 2(I ;Z) := X/ º

48 V(ϕ) R 2 I H 2 ϕ(i ;Z)º º º º µ H 2 ϕ(i ;Z) = Z k º µ (R) (V(ϕ) = 0)º þ ï ú ¹ ûº I i j º º þ ϕ : G R G f : G R 2 ϕ = π f π : R 2 R ¹ º º º º½ ¹ ϕ º º º½µº ¹ ºµ º ¹ µ G ½µ ¾µ ½ º º ¹ º º º º¾ º º½º µ º µ º º º¾ º µ µ ¼ ½ ¹

49 º º º¾ µ º º º¾ º µ H X º º º µ ¹ º º º º º º º Ê˼¾ º ¾ þ ¹ ¹ µ ËÞ ½ ¼¼ Ê˼¾ º Ë ½ ³ º ¹ º º ϕ : G R G ϕ¹ ¹ º ϕ : G R þ µ G º º º¾º µ º µ þ ¹ ³ϕ¹ ³ ³ ³º º º º º º½º µ aa 1, ee 1, d 1 d 2, b 2 b 1, c 2 c 1, e 2 e, b 2 b, d 1 d, c 1 c, a 1 a; aa 1, dd 3, cc 1, ff 1, d 1 d 2, e 2 e 1, c 2 c 1, d 4 d 3, b 2 b 1, d 5 d 3, f 2 f, b 2 b, e 2 e, d 3 d, a 1 a. þ Ê˼¾ ¹ þ ¹ þ º þ º µº þ Ê˼¾ º Ê˼¾ Ë ¼ ³ º º ¹ º Ë º þ º ¹ Ê˼¾ º (A,B) G ϕ(a) = ϕ(b) ABº A 1 B 1 AB G AA 1 BB 1 º ST AB ST AB ¹ º ST ABº º þ µ AB BAº ¹ AB BA º

50 º½ Ä Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ò ¹ Ô þ º ¹ º º ¹ º º º º½º½ Ë ½ º ¾ º þ º º º½º½ Ä Ò ØÖ Ò Ð Ò Ð Ò Ô Ö Ó ÔÓ ÒØ º½º½º Á Ø ÓÙØÐ Ò Ó ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ð Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø Ø ÔÐ Ò Ó Ø ÓØ Ö ØÖ Ò Ð Ø Ò Ò Ö ÒÓØ Ð Ò º º½º¾ ËÝÑÑ ØÖݵº ÌÖ Ò Ð Ò Ò ¹ Ô Ö Ð Ò Ò ÓÒÐÝ Ò Ö Ð Ò º Ì ÔÖÓÓ Ýº À ÒØ ÓÒ Ö º Ë ½ ｺ ÈÖÓÓ Ó ÖØ ÓÒ ½º º½º ºµ º½º º µ ÌÛÓ ØÖ Ò Ð, Ò ¹ Ô Ö Ð Ò Ò ÓÒÐÝ Ø ÔÐ Ò Ó ÒØ Ö Ø Ø ÓÙØÐ Ò Ó Ý ¾ ÔÓ ÒØ ÐÝ Ò ÓÒ Ö ÒØ Ó º º ÔÓ ÒØ Ö Ð Ò Û Ø µº µ ÙÖ º½º½µ ÌÛÓ ØÖ Ò Ð Ò ¹ Ô Ö Ð Ò Ò ÓÒÐÝ Ø Ö ÔÐ Ò ÒØ Ö Ø Ý Ð Ò Û ÒØ Ö Ø Ø ÓÙØÐ Ò Ó ØÖ Ò Ð Ø ¾ ÔÓ ÒØ Ò Ø Ô Ö Ó ÔÓ ÒØ Ö Ð Ò º º½º º A,B,C,D,E,F,O ¹ º º µ ABC DEF º µ BC DEF ¹ A º º Ø Ö ÙÒ ÕÙ ÔÓ ÒØ P BC Ù Ø Ø Ø Ñ ÒØ AP ÒØ Ö Ø Ø ÓÙØÐ Ò Ó Ø ØÖ Ò Ð DEFµº µ ABC DEF Oº º½º º ½¼¼ ¹ Ë ÑÓÖ Ö ÙÐØ ÓÒ Ð Ò Ò Ò Ë ½ Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ò ¾º º ¼

51 º½º º ÓÖ ÒÝ 6 ÔÓ ÒØ 0,1,2,3,4,5 Ò ¹ Ô µ ÒÝ ØÛÓ Ó Ø ÑÓÒ Ø ØÖ Ò Ð 0jk 1 j < k 5 k 2 Ò Ø Ñ ÒØ 12 Ú Ó ÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò Ø ÓÙØÐ Ò Ó Ø ØÖ Ò Ð 012 ÒØ Ö Ø Ø ØÖ Ò Ð 345 ÑÓÖ ÓÚ Ö Ø ØÖ Ò Ð 012 Ò 345 Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ï º µº µ ÒÝ ØÛÓ Ó Ø ÑÓÒ Ø ØÖ Ò Ð 0jk 1 j < k 5 (j,k) {(1,2),(1,3)} Ò Ø Ñ ÒØ Ú Ó ÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò Ø Ö Ø ØÖ Ò Ð 012 Ò 345 ÓÖ Ø ØÖ Ò Ð 013 Ò 245 Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º µ ÒÝ ØÛÓ Ó Ø ÑÓÒ Ø ØÖ Ò Ð 0jk 1 j < k 5 (j,k) {(1,2),(1,3),(1,4)} Ò Ø Ñ ÒØ Ú Ó ÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò Ø Ö Ø ØÖ Ò Ð 012 Ò 345 ÓÖ Ø ØÖ Ò Ð 013 Ò 245 ÓÖ Ø ØÖ Ò Ð 014 Ò 235 Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º µ Ö ÝÓÙ ØÓ Ù Ø Ø Ø Ñ ÒØ ÈÖÓ Ð Ñ º½º Ò º º¾ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÑÓÖ ÓÚ Ö³ Ô ÖØ Ó Ø Ð Ò Ö ÓÒÛ Ý¹ ÓÖ ÓÒ¹ Ë Ò Ú Ò Ã ÑÔ Ò¹ ÐÓÖ Ì ÓÖ Ñ Ë ½ Ì ÓÖ Ñ ½º½ Ò ½º º Ì ÓÖ Ñ º º º Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½º½º º ÌÓ Ø Ö Û Ø ÖØ ÓÒ ½º½º Ò ½º º Ø Ý ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÑ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó ÆÈ Ö Ò Ì ÓÖ Ñ º º ÓÖ R 4 º º¾ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓØÓÔÝ Ó Ð Ò Ò Á Ø Ú ÖØ Ó ØÛÓ ØÖ Ò Ð Ò ¹ Ô ÑÓÚ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ó Ø Ø Ø Ö ÓÙØÐ Ò Ö Ñ Ò Ó ÒØ Ø Ò Ø ØÖ Ò Ð Ö Ñ Ò Ð Ò ÓÖ ÙÒÐ Ò º Á ÒÓ Ú ÖØ Ð Ò ÒÝ ÔÐ Ò Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÑÓØ ÓÒ Ò ÒØÙ Ø Ú Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Ø Ø ÓÐÐÓÛ º Ë Ò Ø Ú ÖØ ÑÓÚ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ø ÒÙÑ Ö Ò Ó ÔÓ ÒØ Ø Û Ø ÓÙØÐ Ò Ó Ø Ö Ø ØÖ Ò Ð ÒØ Ö Ø Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó ÓÒ ØÖ Ò Ð ÔÖ ÖÚ º Ì Ù Ø ØÖ Ò Ð Ö Ñ Ò Ð Ò ÓÖ ÙÒÐ Ò º ÁØ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ø ÑÔÐ ÙÖ Ø Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓÓ Ö ÒØ Ò Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ø ³ Ð Ò Ù º º¾º½º µ Á ÒÓ Ó Ø Ú ÖØ Ó ÐÓ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò Ò Ó Ø ØÖ ÖÓÒ Ò ¹ Ô Ð Ò Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ò Ø ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò Ò Ø ÙÖ Ó Ø Ø ØÖ ÖÓÒ ÒØ Ö Ø Ø Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ º º ÈÖÓ Ð Ñ º º½º ºµ µ Ä Ø A,B,C,X,Y,Z,Z ÔÓ ÒØ Ò ¹ Ô Ó Û ÒÓ Ð Ò ÔÐ Ò º ÙÑ Ø Ø Ø ÓÙØÐ Ò Ó Ø ØÖ Ò Ð ABC ÒØ Ö Ø Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó Ø ØÖ Ò Ð XZZ Ò YZZ Ø Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ º º z := (ABC) (XZZ YZZ ) Ú Òº Ì Ò Ø Ô Ö ABC,XYZ Ò ABC,XYZ Ö Ø Ö ÓØ Ð Ò ÓÖ ÓØ ÙÒÐ Ò º Á z Ó Ø Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Ó Ø Ô Ö ABC,XYZ Ò ABC,XYZ Ð Ò º º¾º¾º ÓÖ ØÛÓ ØÖ Ò Ð Û Ó ÓÙØÐ Ò Ö Ó ÒØ Ø Ö δ > 0 Ù Ø Ø Û Ø Ø Ú ÖØ Ý Ø ÑÓ Ø δ Ø Ò µ Ø ÓÙØÐ Ò Ó Ø Ò Û ØÖ Ò Ð Ö Ó ÒØ µ Ø Ò Û ØÖ Ò Ð Ö Ð Ò Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÐ ØÖ Ò Ð Ö Ð Ò º Ð Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ô Ö Ó ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ØÖ Ò Ð Ò R 3 Ú Ò Ó ÒØ ÓÙØÐ Ò º Ì Ò Ø ÓÒ ÐÓÛ Ñ Ò Ò Ø Ö ÙÐØ ÐÓÛ Ö ÓÖÖ Ø ÓØ ÓÖ ÓÖ Ö Ò ÒÓÒ¹ÓÖ Ö Ô Ö º Ä Ø ABC XYZ Ð Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ò Z ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ð Ò XY Ò Ù Ø Ø (ABC) (XZZ YZZ ) = º Ì Ò Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÓÚ Ó Ø ÓÒ ØÖ Ò Ð Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ó XYZ Ý XYZ º ÌÛÓ Ð Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ö ÐÐ ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÐÝ ÓØÓÔ Ø Ý Ò Ó Ò Ý ÕÙ Ò Ó Ð Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ò Û Ú ÖÝ Ù ÕÙ ÒØ Ô Ö Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ Ý Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÓÚ Ó Ø Ö Ø ÓÖ Ó Ø ÓÒ ØÖ Ò Ð º ¹ º º º ú û ºµ º¾º º µ R 3 ¹ ¹ ½

52 º º º½º º R 3 ¹ ¹ ºµ µ º ¹ ºµ µ R 3 º ºµ º º¾º½ ÓÖÖÓÑ Ò ØÖ Ò Ð º¾º º Ì Ö Ü Ø ØÖ Ò Ð Ò ¹ Ô Û Ó ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÛÒ Ò º º¾º½ º ÃË ËË µº Ð Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð ØÖ ÔÐ Ó ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ØÖ Ò Ð Ò R 3 Ú Ò Ô ÖÛ Ó ÒØ ÓÙØÐ Ò º Ä Ø 1 = XYZ 2 3 Ð Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ò Z ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ð Ò XY º ÙÑ Ø Ø (XZZ YZZ ) ( 2 3 ) =. Ì Ò Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÓÚ Ó Ø Ö Ø ØÖ Ò Ð Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ó XYZ Ý XYZ º º Ì Ö Ö Ø Ö ØÖ Ò Ð Ò ¹ Ô Û Ö Ô ÖÛ ÙÒÐ Ò ÙØ Ð Ò ØÓ Ø Ö º º¾º½ Ò Î Ð º Ì Ø ØÛÓ Ó Ø Ñ Ö ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÐÝ ÓØÓÔ ØÓ ØÖ Ò Ð Û Ö ÓÒØ Ò Ò Ó ÒØ Ù ÙØ ÐÐ Ø Ø Ö Ó Ø Ñ Ö ÒÓغ º º º º Ð Ò Ò Ó Ø Ö ØÖ Ò Ð ÐÐ ÓÖÖÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ü ÙÐÐ Ó ÐÐ Ø Ö ØÖ Ò Ð Ú ÓÑÑÓÒ ÔÓ ÒØ Ò Ø ØÖ Ò Ð Ò ÒÓØ 0, 1, 2 Ó Ø Ø Ø ÓÙØÐ Ò Ó Ó Ø ØÖ Ò Ð j ÒØ Ö Ø Ø Ò ÜØ ØÖ Ò Ð (j+1) mod3 Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ º º¾º º µ ÒÝ Ð Ò Ò ÓÑ Ò ØÓÖ ÐÐÝ ÓØÓÔ ØÓ ÓÖÖÓÑ Ò Ð Ò Ò ÓÖÖÓÑ Ò ÃÓ½ º µ ÍÒ ÓÐÚ ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Û r Ø Ö Ö r ØÖ Ò Ð Ò ¹ Ô Ù Ø Ø Ù Ø Ó r 1 ØÖ Ò Ð ÙÒÐ Ò Û Ð ÐÐ Ø r ØÖ Ò Ð ØÓ Ø Ö Ö Ð Ò º¾º Æ Ñ Æ ½ µº Ì Ö N Ù Ø Ø ÒÓ Ó N ÔÓ ÒØ Ò ¹ Ô Ð Ò Ø Ñ ÔÐ Ò Ø Ò Ø Ö Ö Ø Ö ÓÖÖÓÑ Ò ØÖ Ò Ð Û Ø Ø Ú ÖØ Ø Ø ÔÓ ÒØ º º¾º º ÍÒ ÓÐÚ ÔÖÓ Ð Ñº Ò ÓÒ Ø N = 11 Ò Ø Æ Ñ Ì ÓÖ Ñ º¾º ºº ½½ þ N = 10 Ë ½ Ü ÑÔÐ Ø Ö ÓÒ ØÙÖ º½º º ÇÒ Ò Ñ ÓÑÔÙØ Ö ÜÔ Ö Ñ ÒØ ØÓ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñºµ ¾

53 º Ä Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ó ÐÓ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò Ò ¹ Ô Ö Ø Û ÓÖÑ Ð Þ Ø ÒØÙ Ø Ú ÒÓØ ÓÒ Ó Ð Ò Ò º º º½µº ËÓÑ ÔÓ ÒØ Ò ¹ Ô Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÒÓ Ó Ø Ñ Ð Ò Ø Ñ ÔÐ Ò Ò ÓÖ Ú ÖÝ Ô ÖÛ Ó ÒØ Ô Ö ØÖ ÔÐ Ò ØÖ ÔÐ ÑÓÒ Ø Ñ Ø Ð Ò Ô Ò Ø ÖÓÙ Ø Ô Ö Ø ÔÐ Ò Ô Ò Ø ÖÓÙ Ø Ö Ø ØÖ ÔÐ Ò Ø ÔÐ Ò Ô Ò Ø ÖÓÙ Ø ÓÒ ØÖ ÔÐ Ú ÒÓ ÓÑÑÓÒ ÔÓ ÒØ º Ë Ü ÑÔÐ Ò Ë ½ ï º º (a) (b) º º º½ Ä Ò Ò ÙÒÐ Ò ÒÓØ ¹ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º½µº ÁÒ Ø Ø ÓÒ ÒÓØ Ô Ø Ð ÐÓ ÒÓÒ¹ Ð ¹ ÒØ Ö Ø Ò ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò º Ä Ø a Ò b Ó ÒØ ÒÓØ ÐÐ Û Ó Ú ÖØ Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒº ÓÖ ÔÓ ÒØ A Ò Ù Ø a R 3 Ø Ò ÙÐ Ö ÓÒ A a Ô ÒÒ Ý a Ø ÙÒ ÓÒ AX Ó Ñ ÒØ º Ì Ô Ö (a,b) Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ø Ö ÔÓ ÒØ A Ó a Ù Ø Ø (A a) b Ó Ò A Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó a bº ½ Ï Ú (A a) b = AMN b Û Ö Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ ÓÚ Ö MN Ó aº MN X a (b) (w) (t) º º º¾ Ì ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò Ø Ï Ø Ð Ò Ò Ø ØÖ Ó Ð ÒÓØ º º½º µ Ì Ô Ö (a,b) Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ò ÓÒÐÝ (A a) b Ó ÓÖ Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ A Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ö Û Ø ÐÐ Ø Ú ÖØ Ó a bº µ Ï Ô Ö Ó ÒÓØ Ò ÙÖ º º½ Ò º º¾º Û Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ µ Ì Ô Ö (a,b) Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ò ÓÒÐÝ Ø Ô Ö (b,a) Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º ÈÖÓÓ Ó µ Ù ÖØ ÓÒ º¾º½º º ÈÖÓÓ Ó µ Ù Ò Ò ÐÓ ÓÙ Û Ò Ø Ö Ö Ð Þ Ö ØÐÝ ÓÖ Ú Ø ÈÖÓ Ø ÓÒ Ä ÑÑ º º¾º ÓÖ µ Ù Ø ÈÖÓ Ø ÓÒ Ä ÑÑ º º¾º º º¾ ÈÖÓ Ø ÓÒµº ÙÑ Ø Ø Û Ú Ô Ö Ó Ó ÒØ ÒÓØ Ò ÔÐ Ò α Ò ¹ Ô Ù Ø Ø Ø Ú ÖØ Ó Ø ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓØ ÓÒØÓ α Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒº ÇÒ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ñ Ö Û Ó Ø ÒÓØ Ô ÓÚ Ø ÓØ Ö Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ º Ì Ô Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ò ÓÒÐÝ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ø Û Ø Ö Ø ÒÓØ Ô ÓÚ Ø ÓÒ ÒÓØ Ó º ÁÒ Ø Ð ÑÑ Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÓÖ Ô Ö (a,b) Ó Ó ÒØ ÒÓØ Û Ó Ú ÖØ Ö ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒµº ÔÓ ÒØ A Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ô Ö (a,b) ÓÖ Ú ÖÝ MN Ó a ½ Ï ÓÙÐ Ø A ØÓ Ú ÖØ Ü Ó a ÙØ ÒÓØ Ó bµº Ì ÛÓÙÐ Ñ Ø Ò Ø ÓÒ ÑÔÐ Ö ÙØ Ð Ú Ù Ðº

54 Ø ØÖ Ò Ð AMN ÓÒØ Ò ÒÓ Ú ÖØ Ó bº Ø ÓÙÒ ÖÝ (AMN) Ó Ø ØÖ Ò Ð AMN Ó ÒØ Û Ø bº º º º µ Ï ÔÓ ÒØ Ó Ø Ù Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÙÒ Ö Ó Ø ÓÔÔÓ Ø Ó Ø Ù µ Ì Ö Ö Ó ÒØ ÒÓØ a Ò b Ù Ø Ø ÒÓ Ú ÖØ Ü Ó a Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ (a, b)º µ ÓÖ Ó ÒØ ÒÓØ a Ò b Ø Ö ÔÓ ÒØ A Û Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ (a,b)º º º º Á ÔÓ ÒØ A Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ Ô Ö (a,b) Ó Ó ÒØ ÒÓØ Ø Ò µ ÓÖ MN Ó a Ò PQ Ó b Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ AMN PQ Ø Ö ÑÔØÝ ÓÖ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÔÓ ÒØ Ó ÓØ AMN Ò PQº µ ÓÖ MN Ó a Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ AMN b Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ º Ô Ö (a,b) Ó Ó ÒØ ÒÓØ ÐÐ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ø Ö ÔÓ ÒØ A Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ (a,b) Ù Ø Ø AMN b MN Ó Û Ö Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ ÓÚ Ö MN Ó aº Ê Ñ Ö º Ý PQ Û ÒÓØ Ø Ñ ÒØ Û Ó Ò Ö P Ò Q Ò Ý IntPQ Ø ÒØ Ö ÓÖº ÔÓ ÒØ A Ò ØÖÓÒ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ (a,b) ÒÓ Ú ÖØ Ü Ó b ÐÓÒ ØÓ A a Ò X Ø Ö ÔÓ ÒØ Ó a Ù Ø Ø a IntAX ÓÖ Ú ÖØ Ü Ó a Ø Ò b AX = º Ô Ö (a,b) Ó Ó ÒØ ÒÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ (A a) b Ó ÓÖ ÓÑ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÓÖ Òݵ ÔÓ ÒØ A Ò ØÖÓÒ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ a Ò bº Ì ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ ÑÓÖ Ú Ù Ð ÙØ Ö Ö ØÓ ÛÓÖ Û Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ö ÕÙ Ö ØÖÓÒ Ö Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØݵ º ÈÖÓ Ð Ñ º º º º º º º µ ËØ Ø Ò ÔÖÓÚ Ø Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø ÖØ ÓÒ º º½º ØÓ Ø Û Ò Ø Ú ÖØ Ö ÒÓØ Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒº µ Ì Ö Ö Ó ÒØ ÒÓØ a Ò b Ò ÔÓ ÒØ A Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ô Ö (a,b) Ù Ø Ø Ø ÒÓØ Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÙØ (A a) b Ú Òº ÁÒ ÓÖÑ ÐÐÝ ØÛÓ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ô ÖÛ Ó ÒØ ÒÓØ Ö ÓØÓÔ ÓÒ Ô Ö Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ØÓ Ø ÓØ Ö Ý ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ò Û Ø ÒÓØ Ö Ñ Ò ÒÓØ Ò Ö Ñ Ò Ô ÖÛ Ó Òغ ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ò ÓØÓÔÝ ØÛ Ò ØÛÓ Ô Ö Ó Ó ÒØ ÒÓØ Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ü Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÓØÓÔݺ Ì Ò Ø ØÖ Ó Ø Ö Ø ÒÓØ Ð ¹ ÒØ Ö Ø Ò ÝÐ Ò Ö Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÒ ÒÓغ Á Ø Ö Ø ÓØÓÔÝ Ø ÒÓØ Ö ÙÒÐ Ò º º ÓÒØ Ò Ò Ó ÒØ ÐÐ µ Ø Ò Ø ÝÐ Ò Ö Ò ÓÑÔÐ Ø ØÓ Ð ¹ ÒØ Ö Ø Ò Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÒ ÒÓغ Ì ÑÓØ Ú Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ò Ó Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö ï º µº ÓÖÑ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ò ÓØÓÔ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ º º º º Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÓÚ ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø AC Ò CB Ó Ø ØÖ Ò Ð ABC Ö Ó ÒÓØ a Ø Ø Ó ÒÓØ ÒØ Ö Ø Ø ØÖ Ò Ð ABC Ø ÒÝ ÓØ Ö ÔÓ ÒØ º Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÓÚ ACB AB Ø Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø ØÛÓ AC Ò CB Ý Ø AB ÓÖ Ø ÒÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ

55 AB ACB º º º µº ½ ÌÛÓ ÒÓØ a,b Ö ÐÐ Ô Û Ð Ò ÖÐÝ Ñ ÒØÐݵ ÓØÓÔ Ø Ö ÕÙ Ò Ó ÒÓØ a 1,...,a n Ù Ø Ø a 1 = a a n = b Ò Ú ÖÝ Ù ÕÙ ÒØ ÒÓØ a j+1 Ó Ø Ò ÖÓÑ Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÒ a j Ý Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÓÚ º º º º µ Ò Ô Û Ð Ò ÖÐݵ ÓØÓÔ Ô Ö Ó Ó ÒØ ÒÓØ º µ Á ÓØÓÔ Ô Ö Ó Ó ÒØ ÒÓØ Ö Ø Ö ÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÓÖ ÒÓغ º º º µ º ¹ ¹ º º ¹ K 6 ºµ µ º ¹ º ¹ º ¹ K 4,4 ºµ ú û Ë ½ ï¾ ½ º º Ä Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ ÔÓÐÝ ÓÒ Ð Ð Ò Ò ¹ Ô ¹ º Ì Ö Ö ØÛÓ ÒÓØ Û Ö Ð Ò º º Ö ÒÓØ ÓØÓÔ ØÓ ÒÓØ Û Ö ÓÒØ Ò Ò Ó ÒØ Ù µ ÙØ ÒÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º Ì ÔÖÓÚ Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ ÓÒ ÖØ ÓÒ º º¾º Ò º º º º sgnx X ¹ +1 µ 1 º º º½ µº ¹ º º Ì Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÖ ÒØ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÖØ ÓÒ º¾º½º º ÈÖÓ Ð Ñ º º½ Ò Ø ÌÖ Ú Ð ØÝ Ä ÑÑ ½º º º º½º Ì Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö lk(a,b) Ó Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ó µ Ó ÒØ ÓÖ ÒØ ÒÓØ a Ò b lk(a,b) := sgnx, MN X AMN b Û Ö Ø Ö Ø ÙÑÑ Ø ÓÒ ÓÚ Ö ÓÖ ÒØ MN Ó aº Ì Ø ÙÑ Ó Ò Ó Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó b Ò Ø Ð Ö Ò ÙÐ Ö ÓÒ ³ ÓÚ Ö a Û Ø Ú ÖØ Ü A Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ a Ò bº º º¾º µ lk(a,b) Û Ðй Ò º º Ò Ô Ò ÒØ Ó Aº µ Ò Ø Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó Ô Ö Ó ÒÓØ ÖÓÑ ÙÖ º º½ Ò º º¾º Û ÓÖ ÓÑ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒÓØ º µ ÓÖ n Ø Ö Ö Ó ÒØ ÓÖ ÒØ ÒÓØ a Ò b Ù Ø Ø lk(a,b) = nº µ lk(a,b) = lk(b,a)º ½ Á Ø ØÖ Ò Ð ABC Ò Ö Ø Ø Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÑÓÚ Ø Ö Ù Ú ÓÒ Ó Ò ÓÖ ÒÚ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒº

56 µ Ê Ú Ö Ò Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ó Ø ÒÓØ Ò Ø Ø Ð Ò Ò ÒÙÑ Öº µ Ì Ò Ø Ñ ÖÖÓÖ Ñ Ò Ø Ø Ð Ò Ò ÒÙÑ Öº º º ÈÖÓ Ø ÓÒµº ÙÑ Ø Ø ÔÐ Ò Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ³ ØÓ Ô Ö Ó Ó ÒØ ÒÓØ Ò Ø ÈÖÓ Ø ÓÒ Ä ÑÑ º º¾º ÇÒ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÖÚ ÓÒØÓ Ø ÔÐ Ò ÓÛ Û Ó Ø Ô ÓÚ Ø ÓØ Ö Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ º Ì Ò lk(a,b) ÕÙ Ð ØÓ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò Ò Ø ÓÒ Ò ï½º µ Ó ÐÐ Ø Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ø Û a Ô ÓÚ bº º º º µ Ì Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö ÔÖ ÖÚ ÙÒ Ö Ô Û Ð Ò Ö ÓØÓÔÝ Ó Ô Ö Ó Ó ÒØ ÓÖ ÒØ ÒÓØ º µ Ì ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ó Ø Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö ÔÖ ÖÚ ÙÒ Ö Ô Û Ð Ò Ö ÓØÓÔÝ Ó Ô Ö Ó Ó ÒØ ÒÓÒ¹ÓÖ ÒØ ÒÓØ º º º º Ì Ö Ö ØÛÓ ÒÓØ Û Ö Ð Ò º º ÒÓØ Ô Û Ð Ò ÖÐÝ ÓØÓÔ ØÓ ÒÓØ ÓÒØ Ò Ò Ó ÒØ Ù µ ÙØ Û Ó Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö ¼º Ì Ü ÑÔÐ Ø Ï Ø Ð Ò º º º¾ºÛµº Ì ÔÖÓÓ Ø Ò ï º º º º º ÌÛÓ Ð Ò ÓÖ ÒØ ÓÖ ÒÓص Ö ÐÐ Ð Ò ÓÑÓØÓÔ ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ ÓÖÑ ØÓ Ø ÓØ Ö Ó Ø Ø ÒÓ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÔ Ö Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙØ Ð ¹ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ñ Ý ÔÔ Öµº ËÙÔÔÓ Ø Ø PQ Ò QR Ö ÓÒ ÙØ Ú Ó Ò ÓÖ ÒØ ÒÓØ a Ò Ø Ø Ò ÓÖ ÒØ ÒÓØ b Ó ÒØ ÓØ ÖÓÑ a Ò ÖÓÑ Ø ØÖ Ò Ð PQRº Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ð Ò ÓÑÓØÓÔÝ Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ò a Ó Ø ØÛÓ PQ Ò QR Ý Ø PRº Ò ÐÓ ÓÙ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Û Ø a Ò b Ü Ò Ð Ó ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ð Ò ÓÑÓØÓÔݺ ÌÛÓ Ô Ö Ó Ó ÒØ ÓÖ ÒØ ÒÓØ (a,b) Ò (a,b ) Ö ÐÐ Ð Ò ÓÑÓØÓÔ Ø Ý Ò Ó Ò Ý ÕÙ Ò Ó Ð Ò Ò Û ØÛÓ ÓÒ ÙØ Ú Ð Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÖÝ Ð Ò ÓÑÓØÓÔ º ÇÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÓÑ ÔÐ Ò Ö Ñ Ó Ø Ö Ø Ð Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ ØÓ ÓÑ ÔÐ Ò Ö Ñ Ó Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ò Ê Ñ Ø Ö ÑÓÚ Ò ÖÓ Ò Ò Ó ÓÒ ÓÑÔÓÒ Òغ À Ö Ø Ø Ò Ö Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð Ò Ø ÓÒº Ñ Ô f : X Y R 3 Ð Ò Ñ Ô f(x) f(y) = º ÌÛÓ Ð Ò Ñ Ô f 0,f 1 : X Y R 3 Ö Ð Ò ÓÑÓØÓÔ Ø Ö Ñ ÐÝ f t : X Y R 3 Ó Ð Ò Ñ Ô ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ô Ò Ò ÓÒ tºµ µ Ì Ï Ø Ð Ò Ð Ò ÓÑÓØÓÔ ØÓ Ø ØÖ Ú Ð Ð Ò º µ Á ØÛÓ ÓÖ ÒØ ¾¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ö Ð Ò ÓÑÓØÓÔ Ø Ò Ø Ö Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö Ö Õ٠к µ Á Ø Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö Ó ØÛÓ ¾¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ö ÕÙ Ð Ø Ò Ø Ð Ò Ö Ð Ò ÓÑÓØÓÔ º µ Ì ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò Ð Ò ÒÓØ Ð Ò ÓÑÓØÓÔ ØÓ Ø ØÖ Ú Ð Ð Ò º µ Ì Ø Ð Ò Ñ Ô Û Ó Ö Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò º º º¾º µ Ò Û Ó ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ØÛÓ ÓØ Ö Ö Ò º Ì Ð Ò Ñ Ô Ð Ò ÓÑÓØÓÔ ØÓ Ø Ø Ò Ö Ð Ò Ñ Ô º ØÓ Ø Ð Ò Ñ Ô Û Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò Ó ÒØ Ù º µ È Ö Ó Ñ Ò Ó Ö Ô Ò ¹ Ô Ö Ð Ò ÓÑÓØÓÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ð Ò Ò Ó ÒØ Ö Ø Ñ º º º º º µ ÓÖ Èĵ Ñ Ô f,g : S 1 R 3 Û Ø Ó ÒØ Ñ Ø ÒÙÑ Ö lk(f,g) ÕÙ Ð ØÓ Ø Ö Ó Ñ Ô S 1 S 1 S 2 Ò Ý (x,y) f(x) g(y) f(x) g(y) º µ ÓÖ ØÛÓ Ó ÒØ ÑÓÓØ ÐÓ ÙÖÚ f,g : [0,2π] R 3 Û Ú lk(f,g) = [0,2π] 2 f(x) g(y) f(x) g(y) 3 f (x) g (y)dxdy.

57 K º ½º ½º þ U(f) H 2 (K ;Z) f : K R 3 º ¹ º º½¼º½¼º º ¾ ï½ Êƽ½ º º ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ þ ¹ º ü º º Ë ¾¼ º¾º¾ º Ê ÓÖÓÙ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ º È Û Ð Ò Öµ ÓØÓÔÝ Ó ØÖ ÔÐ ÓÖ r¹øùôð Ó Ô ÖÛ Ó ÒØ ÒÓØ Ò Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ØÓ ï º º º º½º µ Ì Ö Ö Ø Ö Ô ÖÛ Ó ÒØ ÒÓØ Û Ö Ô ÖÛ ÙÒÐ Ò ÙØ Ð Ò ØÓ Ø Ö º º ØÛÓ Ö ÓØÓÔ ØÓ ÒÓØ Û Ö ÓÒØ Ò Ò Ó ÒØ Ù ÙØ ÐÐ Ø Ø Ö Ó Ø Ñ Ö ÒÓصº µ ÓÖ Ú ÖÝ r Ø Ö Ö r Ô ÖÛ Ó ÒØ ÒÓØ Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ù Ø ÓÒØ Ò Ò r 1 ÒÓØ ÙÒÐ Ò Û Ð ÐÐ Ø r ÒÓØ ØÓ Ø Ö Ö Ð Ò º µ º ¹ µ 2,0,0 º µ 3,0,0º º º º½ ý º µº º º º º¾º º º½ º º º½ ¹ º µº º º º½º ¹ ºº (x 2) 2 + y 2 = 1 Oyº º þ ¹ º º º ¹ ºº µ º þ º Ë ¾¼ º ½ º½ µ º

58 Ä Ø X := X 1 X 2 X 3 º Ñ Ô f : X R 3 Ð Ò Ñ Ô f(x i ) f(x j ) = ÓÖ ÒÝ i,j º º ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ö ÒØ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÖ Òµº ÌÛÓ Ð Ò Ñ Ô f 0,f 1 : X R 3 Ö Ð Ò ÓÑÓØÓÔ Ø Ö Ñ ÐÝ f t : X R 3 Ó Ð Ò Ñ Ô ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ô Ò Ò ÓÒ tº º º¾º º Ø Å ÐÒÓÖ Ì ÓÖ Ñ º º µ Ä Ø B Ø ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò º µ ÓÖ ÓÑ ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò L Û Ø Ô ÖÛ Ð Ò Ò Ó ÒØ ½ ¼ ¼ ÓÑ ÓÒÒ Ø ÙÑ B#L Ð Ò ÓÑÓØÓÔ ØÓ Lº µ Ú ÖÝ ØÛÓ ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò Û Ø Ô ÖÛ Ð Ò Ò Ó ÒØ 1,0,0 Ö Ð Ò ÓÑÓØÓÔ º µ ÓÖ ÓÑ ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò L Û Ø Ô ÖÛ Ð Ò Ò Ó ÒØ ¾ ¼ ¼ ÓÑ ÓÒÒ Ø ÙÑ B#B#L Ð Ò ÓÑÓØÓÔ ØÓ Lº º º Å ÐÒÓÖµº Ì Ø Ó Ð Ò ÓÑÓØÓÔÝ Ð Ó ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ò Û Ø Ô ÖÛ Ð Ò Ò Ó ÒØ k,l,m ÓÒØ Ò Ò Ò Ø ÐÝ Ñ ÒÝ Ð Ñ ÒØ k = l = m = 0 Ò ÓÒØ Ò gcd(k,l,m) Ð Ñ ÒØ ÓØ ÖÛ º Ì Ö ÙÐØ ÐÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÐØ ÓÙ Ø Û ÒÓØ ÔÖ ÒØ ÖÐ Ö Ò Ù Ò ÜÔÐ Ø ÓÖѺ º ÌÖ ÔÐ Ð Ò Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ø Ø Ø Ð Ò Ò Ü ÑÔÐ º º½ Ò º º Ö ÒÓØ ÓØÓÔ Û ÐÐ ÓÖ Ø Å ÐÒÓÖ Ì ÓÖ Ñ º º Û Ò ØÖ ÔÐ Ð Ò Ò ÒÙÑ Ö³ º º ŠݹŠÐÒÓÖ ÒÙÑ Öº Ì Ò Ò ï º Ù Ò ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ó ØÖ ÔÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ ÓÒ Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ò Ø Ñ ÐÚ º Ì Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø Ø Ó Ø Å ÐÒÓÖ Ì ÓÖ Ñ º º ØÓ Z gcd(k,l,m) Ú Ò Ý Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö ÑÓ ÙÐÓ gcd(k,l,m)º º º½º ½º¼ º¾¼½ ³ºµ þ ½ ¹ ½¼ º µ ¹ µ µ º º º ü º ºº ¹ ½ ½ 2 µº º ABC ¹ AB BAºµ þ ¹ º þ ¹ ¹ ¹ ¹ µ º ½ ½ ½ ½ 3 ºµ µ ºº º ¾ º º º¾º º

59 ¾¹ Ñ Ò ÓÒ Ðµ ÝÐ ÑÓ ÙÐÓ ¾µ Ò ¹ Ô ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ØÖ Ò Ð ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ØÓ Ñ ÒØ ÓÖ ØÓ ÔÓ Òص Ò ¹ Ô Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ñ ÒØ Ò ¹ Ô Ó Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ØÖ Ò Ð ÖÓÑ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒº Ò Ü ÑÔÐ Ó ¾¹ÝÐ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ó Ø ØÖ ÖÓÒ ÓÖ Ó ÒÓØ Ö ØÖ Ò ÙÐ Ø ÙÖ ³µº Ì Ú ÖØ Ó ¾¹ÝÐ Ö Ø Ú ÖØ Ó Ø ØÖ Ò Ð º º º¾ µº ¾¹ ¹ ¾¹ º Ë ÖØ Ò ÓÖ Ó ÓÙÒ Öݵ Ó ÒÓØ a Ò Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ S Ó ØÖ Ò Ð ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ØÓ Ñ ÒØ ÓÖ ÔÓ Òص Ò ¹ Ô Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ó a Ø Ó Ü ØÐÝ ÓÒ ØÖ Ò Ð ÖÓÑ S Ú ÖÝ Ñ ÒØ Ø Ø ÒÓØ Ó a Ø Ó Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö ÔÓ ÐÝ Þ ÖÓµ Ó ØÖ Ò Ð ÖÓÑ Sº Ì Ó Ý ÓÖ Ø ÙÔÔÓÖص S Ó Ë ÖØ Ò S Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø ØÖ Ò Ð º Ü ÑÔÐ Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÓÒ A a ÓÖ ÒÝ ÔÓ ÒØ A ÓÖ Ë ÖØ ÙÖ ÈÖ ï º ÓÖ Ò Ø ÓÒ Ó Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö º º ÓÖ ÖØ ÓÒ º º º ÐÓÛ Û Ò ÑÓÖ Ò Ö Ð Ë ÖØ Ò Ø Ò Ò ÙÐ Ö ÓÒ º º º º µ ÓÖ ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ï Ø Ð Ò Ö Û Ë ÖØ Ò Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÓØ Ö ÓÑÔÓÒ Òغ µ ÓÖ ÓÒ Ó Ø ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò Ö Û Ë ÖØ Ò Ó ÒØ ÖÓÑ Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ø ÓØ Ö ØÛÓ Ö Ò º Ä Ø a Ò b Ó ÒØ ÒÓØ Ò ¹ Ô º Ë ÖØ Ò S Ó a Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ bµ ÓÖ Ú ÖÝ Ñ ÒØ MN Ó b Ò ØÖ Ò Ð Ó S Û Ú MN = Ò Ò Ø Ö M ÒÓÖ N Ð Ò Ø ÔÐ Ò ÓÒØ Ò Ò º º º º Ä Ø a Ò b Ó ÒØ ÒÓØ Ò ¹ Ô º µ Ì Ö Ë ÖØ Ò S Ó a Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ bº µ Á Ë ÖØ Ò S Ó a Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ b Ø Ò ÒÝ ØÖ Ò Ð Ó S ÒØ Ö Ø b Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ò Ø Ö Ó Û ÔÓ ÒØ Ú ÖØ Ü Ó bº º º º µ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÖ Ó ÒØ ÒÓØ a Ò b Ø ÒÓØ a Ò b Ö ÒÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ø Ö Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò Ó a ÒØ Ö Ø Ò b Ø Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ú ÖÝ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò Ó a ÒØ Ö Ø b Ø Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó ÔÓ ÒØ Ø Ö Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò Ó a Û Ó Ó Ý Ñ bº µ Á ÒÓØ a ÒÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Û Ø Ó ÒÓØ b Ò c Ø Ò Ø Ö Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò Ó a Û Ó Ó Ý Ñ b cº Ä Ø a 1,a 2 Ò a 3 ÒÓØ Ô ÖÛ ÒÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º Ý ÖØ ÓÒ º º º Ø Ö Ö Ø Ö Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò S 1,S 2 Ò S 3 Ù Ø Ø S k (a k+1 a k+2 ) = ÓÖ k = 1,2,3 Ö Ò Ø Ö ÈÖÓ Ð Ñ º º¾ Ø ÒÙÑ Ö Ò ÑÓ ÙÐÓ µº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Ñ Ý Ø Ø Ë ÖØ Ò Ò ØÖ ÔÐ µ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ º º Ó Ø Ø ÓÖ ØÖ Ò Ð k S k k = 1,2,3 Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ø Ö ÑÔØÝ ÓÖ ÔÓ ÒØ Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó ØÖ Ò Ð k º Ì ÒÓØ a 1,a 2,a 3 Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÓÖ Ú Ó Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Öµ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØ Ö Ø Ò ØÖ ÔÐ ( 1, 2, 3 ) Ó º Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ð ÖÐÝ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ø Ö ÒÓØ º º º º ÙÑ Ò Ø Ø Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Û Ðй Ò º º Ò Ô Ò ÒØ Ó Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò S 1,S 2 Ò S 3 µ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò º º º¾º µ Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º µ Ò ÓÙØ Ø ÒÓØ Ò ÈÖ ÙÖ º½ Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º

60 º º º µ Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Û Ðй Ò º µ Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÔÖ ÖÚ ÙÒ Ö ÓØÓÔݺ º º º µ Ä Ø S 1 Ò S 2 Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò Ó ÒÓØ a 1 Ò a 2 Ù Ø Ø S 1 a 2 = S 2 a 1 = º ÙÑ Ø Ø S 1 Ò S 2 Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ ÓØ Öµ º º Ø Ö 1 2 = ÓÖ 1 2 ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø Ñ ÒØ Ò 1 2 = ÓÖ Ú ÖÝ ØÖ Ò Ð 1 S 1 Ò 2 S 2 º Ò S 1 S 2 := { 1 2 : 1 S 1, 2 S 2 } ØÓ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ù ÒØ Ö Ø ÓÒ º Ì Ò S 1 S 2 ½¹ÝÐ ÑÓ ÙÐÓ ¾µ º º ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ñ ÒØ Ò ¹ Ô Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó ¹ Ô Ø Ò Ó Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö ÔÓ ÐÝ Þ ÖÓµ Ó Ñ ÒØ ÖÓÑ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒº µ Ä Øa 1,a 2,a 3 Ø Ö ÒÓØ Û Ö Ô ÖÛ Ó ÒØ Ò Ô ÖÛ ÒÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾º Ì Ø Ö Ó Ø Ñ Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ò ÓÒÐÝ a 3 Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Û Ø Ø ½¹ ÝÐ S 1 S 2 ÓÖ ÓÑ ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ÓÖ Òݵ Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò S 1 Ò S 2 Ò µº Ì ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÓÖ ½¹ÝÐ Û Ø Ó ÒØ Ó Ò Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ØÓ ï º ºµ Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ÓÒ Ò Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ò Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ÓÖ r Ô ÖÛ Ó ÒØ ÒÓØ Ó Û Ú ÖÝ r 1 Ö ÒÓØ Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ Ò Ù Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ ØÓ ÔÖÓÚ Ü ÑÔÐ º º½º º º º º ý ¹ º º½º º ¹ ¾¹ ¾¹ µ R m º ½º º º º º º º ý µº µ þ ¹ D,D D D D ¾ D º D D º µ þ ¹ S,S S ¾ S S ¾ S º º þ º º½ S,S º º º º º º µº ü º º º ³ ³ ³º º º ¹ º º º º º ŠݹŠÐÒÓÖ Ò Ë ØÓ¹Ä Ú Ò ÒÙÑ Ö Ò ÒØ Ö ÓÖ ÓÖ ÒØ µ ¾¹ÝÐ Ò ¹ Ô ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ö Òص ÓÖ ÒØ ØÖ Ò Ð ÒÓÒ¹ Ò Ö Ø ØÓ Ñ ÒØ ÓÖ ÔÓ Òص Ò ¹ Ô Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ¼

61 ÓÖ ÒØ Ñ ÒØ Ò ¹ Ô Ø Ö Ö Ñ ÒÝ ØÖ Ò Ð ÖÓÑ Ø ÓÐÐ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ØÓ Ø Ñ ÒØ ØÖ Ò Ð ÓÑ Ò ÓÙغ ABC ¹ BA ABº º º º½ Ö Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ º º½ º ½º º µº ¾¹ ¾¹ º º º¾º Ä Ø a Ò b Ó ÒØ ÓÖ ÒØ ÒÓØ º µ Ò Ò ÒØ Ö Ë ÖØ Ò S a Ó a Ø Ó Ý Ò Ø Ð Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö S a b Z Ó b Ò Ò ÒØ Ö Ë ÖØ Ò S a Ó a Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ b ÐÐ Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ØÓ Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ø ÒÒ Ò Ó ï½º º ï º º µ lk(a,b) = S a bº µ lk(a,b) = 0 Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ò ÒØ Ö Ë ÖØ Ò Ó a Û Ó Ó Ý Ñ bº µ Á c Ò ÓÖ ÒØ ÙÖÚ Ó ÒØ Û Ø a b Ò lk(a,b) = lk(a,c) = 0 Ø Ò Ø Ö Ò ÒØ Ö Ë ÖØ Ò Ó a Û Ó Ó Ý Ñ b cº º º º µ¹ µ ËØ Ø Ò ÔÖÓÚ Ø Ò ÐÓ Ù Ó ÈÖÓ Ð Ñ º º¾ ÓÖ ÑÓ Ë ÖØ Ò S a Ó a Ò Ð Ö ÒØ Ö Ø ÓÒ ÒÙÑ Ö S a b Z 3 º Ä Ø a 1,a 2,a 3 ÓÖ ÒØ Ô ÖÛ Ó ÒØ ÙÖÚ Ò ¹ Ô Ù Ø Ø lk(a k,a k+1 ) = 0 ÓÖ k = 1,2,3º Ý ÖØ ÓÒ º º¾º Ø Ö Ö Ø Ö ÒØ Ö Ë ÖØ Ò S 1,S 2,S 3 Ù Ø Ø S k (a k+1 a k+2 ) = ÓÖ k = 1,2,3º ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Ñ Ý Ø ÒØ Ö Ë ÖØ Ò Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ò Ò Ø Ñ Û Ý ÓÖ ÑÓ ¾ Ë ÖØ Ò µº Ì Ò sgn( 1, 2, 3 ) Ø Ò Ó Ø Ò R 3 ÓÖÑ Ý Ø Ö Ú ØÓÖ e k ÒÓÖÑ Ð ØÓ k k µº Ì Å Ý¹ Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö µ(a 1,a 2,a 3 ) Ø ÙÑ Ó Ò Ó ØÖ ÔÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ³ µ(a 1,a 2,a 3 ) := sgn( 1, 2, 3 ) Z. k S k, k=1,2,3 º º º µ ÙÑ Ò Ø Ø Ø Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö Û Ðй Ò Ò Ø ÓÖ ÖØ Ò ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÖÓÑ Ò Ö Ò Ò ÓÖ Ø Ö ÙÖÚ ÖÓÑ ÈÖ ÙÖ º½ º µ Ì ÒÙÑ Ö µ(a 1,a 2,a 3 ) Û Ðй Ò º º Ò Ô Ò ÒØ Ó Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ Ë ÖØ Ò S 1,S 2 Ò S 3 º µ Ú Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø Ö ÙÖÚ Û Ó Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö Ö Ø Ö Ø Ò º µ ÀÓÛ Ó Ø Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö Ô Ò ÓÒ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÙÖÚ µ ÀÓÛ Ö Ú Ö Ò Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ó Ø ÙÖÚ Ò Ø Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö µ ÀÓÛ Ø Ò Ø Ñ ÖÖÓÖ Ñ Ò Ø Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö µ Ì Å Ý¹Å ÐÒÓÖ ÒÙÑ Ö ÔÖ ÖÚ ÙÒ Ö Ô Û ¹Ð Ò Ö ÓØÓÔݺ º º º ÓÙ Ñ Ý Ø ÖØ ØÙ Ý Ò Ø Ñ Ø Ö Ð Û Ø ÑÓ ¾ Ò ÐÓ Ù ºµ Ä Ø a Ò b Ó ÒØ ÓÖ ÒØ ÒÓØ Ò ¹ Ô Ù Ø Ø lk(a,b) = 0º Ý ÖØ ÓÒ º º¾º Ø Ö Ö Ø Ö ½

62 ÒØ Ö Ë ÖØ Ò S a Ò S b Ù Ø Ø S a b = = a S b º Ï Ñ Ý ÙÑ Ø Ø S a Ò S b Ö Ò Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÖØ ÓÒ º º º µº Ì Ò Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ØÓ ÖØ ÓÒ º º º S a S b Ò ÒØ Ö ½¹ÝÐ º s ½¹ S a S b S a s S a º ½¹ º Ì ÝÐ a ÐÐ Ø Ø Ó S a S b ÐÓÒ S a º Ì Ë ØÓ¹Ä Ú Ò ÒÙÑ Ö Ó a Ò b Ð(a,b) := lk(s a S b,a ). µ ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ë ØÓ¹Ä Ú Ò ÒÙÑ Ö Û Ðй Ò Ò Ø ÓÖ Ø Ï Ø Ð Ò º º º¾º µ Ò ÓÖ ÈÖ ÙÖ º½ º µ Ì ÒÙÑ Ö Ð(a,b) Û Ðй Ò º º Ò Ô Ò ÒØ Ó Ò Ö Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÒØ Ö Ë ÖØ Ò S a Ò S b º µ ÓÖ Ú Ò n Ø Ö Ö ÓÖ ÒØ ÙÖÚ a Ò b Ù Ø Ø Ð(a,b) = nº µ Á Ð(a,b) = Ð(b,a) µ ÀÓÛ Ö Ú Ö Ò Ø ÓÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ó Ø ÙÖÚ Ò Ø Ë ØÓ¹Ä Ú Ò ÒÙÑ Ö µ ÀÓÛ Ø Ò Ø Ñ ÖÖÓÖ Ñ Ò Ø Ë ØÓ¹Ä Ú Ò ÒÙÑ Ö µ Ì Ë ØÓ¹Ä Ú Ò ÒÙÑ Ö ÔÖ ÖÚ ÙÒ Ö Ô Û Ð Ò Ö ÓØÓÔݺ µ ÈÖÓÚ ÓÖ ÔÖÓÚ Ð(a,b#c) = ±2µ(a,b,c)º º ÓÖ ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÛÓÖ Ò Û Ø ÓÙÖ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ô ÊË º R 4 ¹ µ ¹ º º º½º µ R 4 º µ T R 4 T º ¹ ½µ T = 1 ºº º ½³µ T = 1º ¾µ T º ¾³µ T º µ T º ³µ T º µ l ¹ lº º º¾º ÓÖ ÒÝ 7 ÔÓ ÒØ 1,2,3,4,5,6,7 Ò ¹ Ô ÒÝ ØÛÓ ØÖ Ò Ð ÑÓÒ µ ijk 1 i < j < k 5 k 3 Ú Ó ÒØ ÒØ Ö ÓÖ Ø Ò Ø ØÖ Ò Ð 123 Ò Ø ØÖ ÖÓÒ 4567 Ö Ð Ò ÑÓ ÙÐÓ ¾ ï º µº µ Ö ÝÓÙ ØÓ Ù Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ò ÐÓ ÓÙ ØÓ ÈÖÓ Ð Ñ º½º Ä Ò Ò Ó ØÖ Ò Ð Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓØÓÔÝ Ó Ð Ò Ò Ò R 4 Ò Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ØÓ R 3 º R 4 k¹ l¹ R d k = l = 2 = d 1º ¾