º ÊÝ ÑØ Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó Ó Ò Ð ¹ ÙØÓ Ñ ØÙ ÐØ ÓÐ Ø ÑÑ ÑÙÙØ Ñ Ý Ò ÖØ ÓÑ Ò ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó (G

Bản ghi

1 º ÊÝ ÑØ Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó Ó Ò Ð ¹ ÙØÓ Ñ ØÙ ÐØ ÓÐ Ø ÑÑ ÑÙÙØ Ñ Ý Ò ÖØ ÓÑ Ò ÙÙ ÅÖ Ø ÐÑ º½º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó (G, ) ÓÒ ÖÝ Ñ Ó Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò ÓÙ Ó G ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ó ÐÐ g (G, ) ÓÒ ÒØ Ð Óº ÊÝ Ñ ÓÒ Ò Ò Ð Ö Ò Ö ÒÒ Ó ÒØÝÝ ÑÓÒ ÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÐÓ ÐÐ Ñ Ö Ð Ò Ö Ð Ö ÓÑ ØÖ ÐÙ ÙØ ÓÖ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ ØØ ¹ Ð ÑÑ Ñ Ö Ö ÐÓ ÐØ ÝÐ Ò Ø ÓÖ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒ Ð º Ñ Ö º¾º µ ÑÑ Ø Ñ Ö ØÑÑ ÖÝ Ñ ÓÚ Ø Ò Òµ Ó ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ø Ú Ò Òµ ÖÝ Ñ (Z, +) Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò Ø Ú Ò Òµ ÖÝ Ñ (Q, +) Ö Ð ÐÙ Ù Ò Ø Ú Ò Òµ ÖÝ Ñ (R, +) ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò Ø Ú Ò Òµ ÖÝ Ñ (C, +) Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÖÝ Ñ Q Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÖÝ Ñ R ÓÑÔÐ ÐÙ Ù Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÖÝ Ñ C ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú Ò Ò ÖÝ Ñ (R +, ) Ö ÐÐ Ò Ò Ý Ð Ò Ò ÖÝ Ñ (Z/qZ, +) Ë ØØ ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò ÐÙ ØØ ÐÓÒ Ó ÓÒ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð ¹ Ö Ð ÐÙÚÙ Ø ÓÓ ØÙÚ Ø Ð Ù¹ ØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙØ ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø ÖÝ Ñ ÙÖ Ò Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ò ØÙÒÒ ØÙ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø º ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ ÐÐ ØÑ ÙÖ ÈÖÓÔÓ Ø Ó Ø ¾º¾º Ç Ó Ø ÑÑ ØØ (Z/qZ, +) ÓÒ ÖÝ Ñ ÃÓ ÓÒ ÐÙ Ù Ò Ý Ø ÒÐ ÙÒ Ò Ù Ó Ñ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò Ä ÑÑ Ò º ÑÙ Òº Ð Ó [0] ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ÑÙ Ò Ó ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÒ ÙÖ Ø Ú Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ º Ð ÓÒ [k] Z/qZ ÒØ Ð Ó ÓÒ [ k] [k] + [ k] = [k k] = [0] = [ k] + [k]. µ ÇÐ ÓÓÒ n N n 2 ÓÐ ÓÓØ M n (R) M n (Q) M n (C) M n (Z) ÐÐ Ø Ò n n¹ Ñ ØÖ Ò ÓÙ ÓØ Ó Ò ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙ Ù ÓÑÔÐ ÐÙ¹ Ù Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÂÓ ÒÑ ÓÙ ÓØ Ú ÖÙ Ø Ø Ò Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ Ò ÚØ ÑÙÓ Ó Ø ÖÝ Ñ ÂÓ Ò Ò Ò Ø Ñ ØÖ Ò ÓÙ Ó Ø ÐØ ÑÙÙÒÑÙ ÒÓÐÐ Ñ ØÖ Ò ÓÐÐ ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ º ÃÙÖ Ò Ð Ò Ö Ð Ö ½ ÒÓ ÐÐ Ø ÑÑ ØØ Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ Ú ÖÙ ¹ Ø ØØÙ Ò ÓÙ Ó Ò M n (R) M n (Q) M n (C) Ó ÓÙ ÓØ ÓØ ÓÓ ØÙÚ Ø Ñ ØÖ ¹ Ø Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÖÝ Ñ ÇÐ ÓÓÒ Ù¹ Ö Ú K Ó Ò ÐÙ Ù ÐÙ Ø Q R Ø Cº ÂÓ A, B M n (K) det A 0 det B Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò Ð Ù ÒÒ Ø ÙÖ ØØ det AB 0º Ë Ô ÓÙ ¹ Ó {A M n (K) : det A 0} ÓÒ Ú Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù Ò Ù Ó Ð Ù¹ ØÓ Ñ ØÙ Ò Ø Ò ÓÙ ÓÓÒº Å ØÖ Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ó Ø Ú Ò Ò ÒØØ Ò Ñ ØÖ Ò I n = diag(1,..., 1) Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÓÒ 1 Ó ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A ÓÐÐ ÔØ det A 0 ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ º Ì Ö Ø Ð Ñ ÑÑ Ñ ØÖ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø K¹ ÖØÓ Ñ Ò ÝÐ Ò Ð Ò Ö Ò ÖÝ ÑÒ GL n (K) = {A M n (K) : det A 0}, ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ Ùº Î Ø Ú Ø Ò K¹ ÖØÓ Ñ Ò Ò Ö ØÝ Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÖÝ Ñ SL n (R) = {A M n (R) : det A = 1}, ¾¼

2 ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ Ùº ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó {A M n (Z) : det A 0} ÓÐ ÖÝ Ñ det diag(2, 2) = 4 0 ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ ÒØ Ñ ØÖ ¹ diag(1/2, 1/2) GL 2 (Q)º ÃÒØ Ñ ØÖ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò ÓØ Ò Ñ ØÖ ÐÐ diag(2, 2) ÓÐ ÒØ Ñ ØÖ º Ö Ñ Ö Ò ÒÒ Ò ÃÓ ØÓÖ Ñ ØÖ Òµ ÚÙÐÐ ÚÓ ¹ Ò Ò Ò Ó Ó ØØ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ¾ µ ØØ ÓÒ ÖÝ Ñº SL n (Z) = {A M n (Z) : det A = 1} Â Ø Ó ÖÝ ÑÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø ØÒ Ù Ò Ñ Ò Ø Ñ ØØ ÔÙ ÙØ Ò Ú Ò ÖÝ Ñ Ø G º ÌÐÐ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ Ù Ø Ò Ò ÒÒ Ø ØØÝ Ù Ò ÓÒ Ö ØØ Ø Ð ÒØ ÓÒ ÒÒ ÐØ Ø Ó º Ñ Ö Ñ Ö ÒÒØ C GL n (R) ÐØÚØ Ø ÓÒ ÝØ ØØÚ Ø Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø º ÈÙ ÙØØ ØÖ Ø Ø Ú Ò ÖÝ Ñ Ø G Ñ Ö ØÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ù Ò ÙØ Ò ÖØÓÐ Ù Ò ÙØÖ Ð Ð ÓÐÐ ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ e Ø Ó Ù ÑÝ Ñ Ö ÒØ 1º ÂÓ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ù ÑÔ ÖÝ Ñ Ñ ÐÐ ÖØ ÚÓ Ò Ò Ò Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÐÐ ÝØØ ÖÝ Ñ ÐÐ ÝØ ØØÚ Ò Ñ Ö ÒØ Ò Ò Ý Ø Ò ÓÔ Ú Ñ Ö ÒØ Ñ Ö Ò Ò ØØ ÖÝ ÑÒ G Ò ÙØÖ Ð Ð ÓØ Ñ Ö ØÒ e º ÂÓ Ù Ø Ò ØÓ ÒÐ Ò Ú Ð ÒØÓ º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º º ÇÐ ÓÓÒ G ÖÝ Ñº ÌÐÐ Ò ½µ Æ ÙØÖ Ð Ð Ó e ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ¾µ ÂÓ Ò Ð ÓÒ ÒØ Ð Ó ÓÒ Ý ØØ Ò Òº µ ÂÓ āa = e Ò Ò ā ÓÒ Ð ÓÒ a ÒØ Ð Óº µ (a 1 ) 1 = a ÐÐ a Gº µ (ab) 1 = b 1 a 1 º ÌÓ ØÙ º ½µ ¾µ µ Ä Ù ½º½¼º µ ÃÓ aa 1 = e Ò Ò Ó Ò µ ÒÓ ÐÐ a = (a 1 ) 1 º µ ÃÓ ÔØ (b 1 a 1 )(ab) = b 1 (a 1 a)b = b 1 b = e, Ò Ò Ú Ø ÙÖ Ó Ø µº ËÙÔ ØÙ ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙ ÓÙ Ó (A, ) Ó ÐÐ a, b, c A ÔØ ½µ ÂÓ ab = ac Ò Ò b = cº ¾µ ÂÓ ab = cb Ò Ò a = cº ËÙÔ ØÙ ÒÒ Ø ÓÚ Ø ÚÓ Ñ ÑÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØÙ ÓÙ Ó ÙØ Ò Ñ Ö ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÙÚÙ ÖÝ Ñ º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º º ËÙÔ ØÙ ÒÒ Ø ÔØ ÚØ ÖÝ Ñ º ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ¼º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º º ÇÐ ÓÓÒ A Ó Ø Ú ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó Ó ¹ ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº ÌÐÐ Ò A ÓÒ ÖÝ Ñ Ó Ú Ò Ó Ý ØÐ ÐÐ ax = b ya = b ÓÒ Ö Ø Ù ÓÙ Ó A ÐÐ a, b Aº ÌÓ ØÙ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ½º Ë ÙÖ Ú ØÙÐÓ ÒØ ÒÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ÙÙ ÖÝ Ñ ØÙÒÒ ØÙ Ø ÖÝ Ñ Ø ØÙÐÓ¹ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÚÙÐÐ º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º º ÇÐ ÓÓØ G 1 G 2 ÖÝ Ñ º Æ Ò ØÙÐÓ G 1 G 2 ÓÒ ÖÝ Ñ Ú ÖÙ ¹ Ø ØØÙÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ø Ò ØÙÐÓÐÐ µº ¾½

3 ÌÓ ØÙ º Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ó Ø Ú ÙÙ ÓÒ ÐÚº ÂÓ e 1 e 2 ÓÚ Ø ÖÝ Ñ Ò G 1 G 2 Ò ÙØÖ Ð Ð ÓØ Ò Ò (e 1, e 2 ) ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Ó ÓÙ Ó G 1 G 2 º Ð ÓÒ (g 1, g 2 ) G 1 G 2 ÒØ Ð Ó ÓÒ (g1 1, g 1 2 )º Ñ Ö º º ÂÓÙ ÓØ R n Z n Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ú ØÓÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ ØØ ÐÐ Ý ¹ Ø ÒÐ ÙÐÐ Ð Ý Ø ÒÐ ÙÒ n¹ ÖØ ÐÐ ØÙÐÓÐÐ ÓÚ Ø ÖÝ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ X ÔØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ S(X) = {f : X X : f ÓÒ Ø Ó}. Ä ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó S(X) ÓÒ ÓÙ ÓÒ X Ô ÖÑÙØ Ø ÓÖÝ Ñº È Ö¹ ÑÙØ Ø ÓÖÝ Ñ ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò ÖÝ Ñ Ñ Ö Ò ½º µ ½º µ ÒÓ ÐÐ º ÊÝ ÑÒ S(X) Ð Ó Ø ÚÓ Ò ÙØ Ù ÓÙ ÓÒ X Ô ÖÑÙØ Ø Ó º Æ Ò ÓÒ Ø Ô Ò Ø Ö ¹ ØÝ Ø Ó ÓÙ Ó X ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Å Ø Ñ Ø Ò Ö ÐÓ ÐÐ ÓÙ Ó Ò ÚÓ Ò Ð ØØ Ö Ð Ð Ö ÒØ Ø ÙØ Ò Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ö ÒÒ ØÙÐÓ Ñ ØÖ ÖÝ Ñº ÌÐÐ Ø Ò ÓÙ Ó Ò Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÖÝ Ñ Ò Ó ÓÙ ÓØ ÓØ ÐÝØØÚØ Ú Ð ØÙÒ Ö ÒØ Ò Ø ÓÚ Ø Ò Ò Ý ¹ Ø Ò ÓÔ Ú Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ò Ù Ó ÙÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ó ÓÒ ÙÚ Ù Ø Ò Ý ¹ ØÑ Ò Òµ ÓÚ Ø Ù Ò ÖÝ Ñ º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ X = R n º ÃÙÚ Ù L: R n R n ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ó ÐÐ x, y R n a R ÔØ L(x + y) = L(x) + L(y) L(ax) = al(x). Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R n Ð Ò Ö Ø Ø Ó Ò ÓÙ Ó ÓÒ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÖÝ ÑÒ Ú Ó ÓÙ Ó ÐÐ Ð Ò Ö Ð Ö Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ò Ð Ò Ö ÙÚ Ù Ò Ý ¹ Ø ØØÝ ÙÚ Ù ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù º ÆÑ Ð Ò Ö Ø Ø ÓØ ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÖÝ ÑÒ GL(R n ) Ó ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò ÓÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ä ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ¹ Ó Ø Ú ÙÙØØ Ø ÖÚ Ø Ø Ö Ø Ó ÓÒ ÖÝ ÑÒ S(R n ) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ò Ù Ó Ñ º Á ÒØØ Ò Ò ÙÚ Ù ÓÒ Ð Ò Ö ÙÚ Ù ÙÖ ÐÐ Ä Ò Ö Ò Ò Ð Ö ÓÑ ØÖ ½ Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ð Ò Ö Ò Ø ÓÒ ÒØ ÙÚ Ù ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ¹ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÑ º º ÊÝ Ñ G ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò Ð Ð Ò ÖÝ Ñ Ó Ò Ð ÙØÓ ¹ Ñ ØÙ ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Òº ÊÝ Ñ G ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ó ÓÙ Ó G ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ñ Ö º½¼º µ ÊÝ ÑØ Z Z/qZ Z n ÓÚ Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú º Ö ØÝ Ò Ò Ð Ò ¹ Ö Ò Ò ÖÝ Ñ SL n (R) ÓÐ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Ò ØÑ Ó Ó Ø ØØ Ò Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ø Ô Ù ÐÐ n = 2º µ ÊÝ ÑØ Z/qZ Z/qZ Z/rZ ÓÚ Ø Ö ÐÐ ÖÝ Ñ ÐÐ q, r Nº µ ÃÙÚ Ù Ø id, f, g, h: R \ {0} R \ {0} f(x) = x, g(x) = 1/x h(x) = 1/x ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ö ÐÐ Ò ÖÝ ÑÒ K S(R\{0}) Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Òº ÇÒ ÐÔÔÓ Ò ØØ K ÓÒ Ú ÓØ Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÓÒ ÝÚ Ò ÑÖ Ø ÐØݺ ÂÓÙ ÓÒ K Ð Ó ÐÐ f, g, h ÔØ f f = g g = h h = id, ÓØ Ò ÐÐ ÓÒ ÒØ Ð Ó K ÓÒ ÖÝ Ñº Ä ÔØ f g = g f = h, g h = h g = f h f = f h = g, ÓØ Ò K ÓÒ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ò Òº ¾¾

4 Ö ÐÐ Ô Ò µ ÖÝ Ñ ÚÓ ÑÝ Ø Ö Ø ÐÐ Ð ÙØ ÙÐÙ Ò ÚÙÐÐ ÅÙÓ Ó Ø ¹ Ø Ò ÖÝ ÑÒ Ð Ó ÐÐ Ò Ó ØÙ Ø ÙÐÙ Ó Ó Ô ÐÐ (g, h) ÓÒ Ð Ó ghº ÊÝ ÑÒ Ð ÙØ ÙÐÙ Ø ÖØÓØ ÙÐÙ ÙØ Ò Ø Ù Ò ÙØ ÙØ Òµ Ó ÐÐ Ö Ú ÐÐ Ó¹ Ö ÒØÝÚØ ÖÝ ÑÒ Ð ÓØ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ µº Ñ Ö º½½º Æ Ð Ò Ð ÓÒ ÖÝ Ñ Ò Z/4Z Z/2Z Z/2Z K Ð ÙØ ÙÐÙØ ÓÚ Ø ¼ ½ ¾ ¼ ¼ ½ ¾ ½ ½ ¾ ¼ ¾ ¾ ¼ ½ ¼ ½ ¾, ¼ ¼µ ¼ ½µ ½ ¼µ ½ ½µ ¼ ¼µ ¼ ¼µ ¼ ½µ ½ ¼µ ½ ½µ ¼ ½µ ¼ ½µ ¼ ¼µ ½ ½µ ½ ¼µ ½ ¼µ ½ ¼µ ½ ½µ ¼ ¼µ ¼ ½µ ½ ½µ ½ ½µ ½ ¼µ ¼ ½µ ¼ ¼µ id f g h id id f g h f f id h g g g h id f h h g f id Æ Ð ÙØ ÙÐÙ ÝØ ØÒ ÓÒ ÖÙ Ò ÐÙÓ Ò [k] Ñ Ö ÒØÒ Ù Ø k Zº Ä ÙØ ÙÐÙ Ú ÖØ Ñ ÐÐ ÙÓÑ ÑÑ ØØ ÖÝ ÑØ Z/2Z Z/2Z K ÓÚ Ø Ó¹ ÑÓÖ ÃÙÚ Ù φ: : Z/2Z Z/2Z K φ([0], [0]) = id, φ([0], [1]]) = f, φ([1], [0]) = g, φ([1], [1]) = h, ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ º ÃÙÚ Ù ÓÒ ÐÚ Ø Ø Ó ÓÑÓÑÓÖ ÙÙ Ò ÚÓ Ø Ö Ø ØÙع Ñ ÐÐ Ø Ô Ù Ø Ñ Ö φ ( ([1], [0]) + ([0], [1]) ) = φ([1], [1]) = h = g f = φ([0], [1]) φ([1], [0]) ÅÙ ÐÐ Ø Ô Ù ÐÐ ÔØ Ú Ø Ú Ø º ÊÝ Ñ K ÓÒ ÖÝ ÑØ ÓÖ Ò ÒÒ ÐØ Ñ ÖÝ Ñ Ù Ò (Z/2Z Z/2Z, +) º ÂÓ G G ÓÚ Ø ÖÝ Ñ Ò Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ φ: G G ÙØ ÙØ Ò Ó Ù ÖÝ ¹ Ñ ÓÑÓÑÓÖ Ñ º ÀÙÓÑ ØØ ÓÑÓÖ Ñ Ò Ð Ø Ú Ò ÓÑÓÑÓÖ Ñ Ò ÒØ ÙÚ Ù ÓÒ ÑÝ ÓÑÓÖ Ñ º ÂÓ G G ÓÚ Ø ÓÑÓÖ ÖÝ Ñ ÚÓ Ò ÝØØ Ñ Ö ÒØ G = G º ÈÖÓÔÓ Ø Ó º½¾º ÊÝ Ñ ÓÑÓÑÓÖ Ñ φ: G G ÙÚ ÖÝ ÑÒ G Ò ÙØÖ Ð Ð¹ ÓÒ ÖÝ ÑÒ G Ò ÙØÖ Ð Ð Ó Ó ÐÐ g G ÔØ φ(g 1 ) = φ(g) 1 º ÌÓ ØÙ º Æ ÙØÖ Ð Ð ÓØ Ó Ú Ú Ø ØÓ Ø Ø Ò Ö Ó ØÙ Ø ØÚ ¾ º ÌÓ Ø Ø Ò ÒØ Ð ÓØ Ó Ú Ú Ø ÇÐ ÓÓÒ e ÖÝ ÑÒ G Ò ÙØÖ Ð Ð Óº Çй ÓÓÒ g Gº ÌÐÐ Ò φ(g 1 )φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e). Ò ÑÑ Ò Ú ØØ Ò ÑÙ Ò ØÑ ÓÒ ÖÝ ÑÒ G Ò ÙØÖ Ð Ð Óº Î Ø ÙÖ ÈÖÓ¹ ÔÓ Ø ÓÒ º Ó Ø µº Ñ Ö º½ º µ Ñ Ö ½º½ µ Ó Ó Ø ØØ Ò ØØ exp: (R, +) (R +, ) ÓÒ ÖÝ Ñ ÓÑÓÖ Ñ º µ Î ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R n Ð Ò Ö Ø Ò Ø Ó Ò ÖÝ Ñ GL(R n ) Ø Ó Ñ Ö ¹ º µ ÓÒ ÓÑÓÖ Ò Ò ÝÐ Ò Ð Ò Ö Ò ÖÝ ÑÒ GL n (R) Ò ÇÐ ÓÓÒ K = {v 1, v 2,...,v n } Ú ØÓÖ Ú ÖÙÙ Ò R n ÒØ ÓÐ ÓÓÒ (Lv i ) K R n Ú ØÓÖ Ò Lv i ÓÓÖ Ò ØØ Ú ØÓÖ Ö Ú ØÓÖ Ò ÒÒ Kº Ä Ò Ö Ð Ö ÓÒ Ó Ó Ø ØØÙ ØØ ÙÚ Ù Mat: GL(R n ) GL n (R) Mat(L) = ( (Lv 1 ) K, (Lv 2 ) K,...,(Lv n ) K ), ÓÒ ÓÑÓÖ Ñ ÐÐ Ð Ò Ö ÐÐ Ø Ó ÐÐ L 1, L 2 : R n R n ÔØ Mat(L 2 L 1 ) = Mat(L 2 ) Mat(L 1 ). ¾

5 À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ì ØÚ ¾ º Ç Ó Ø ØØ ÓÙ ÓÒ X ÔÓØ Ò ÓÙ Ó P(X) Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ð ÙØÓ ¹ Ñ ØÙ ÐÐ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÖÓØÙ µ Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ñ ÐÐ ÐÐ A, B P(X) ÓÒ ÖÝ Ñº A B = (A \ B) (B \ A), Ì ØÚ ¾ º Ç Ó Ø ØØ SL n (Z) Ú ÖÙ Ø ØØÙ Ò Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ ÓÒ ÖÝ Ñº Ì ØÚ ¾ º ÇÐ ÓÓØ G G ÖÝ Ñ º ÇÐ ÓÓÒ h : G G ÓÑÓÑÓÖ Ñ º Ç Ó Ø ØØ h ÙÚ ÖÝ ÑÒ G Ò ÙØÖ Ð Ð ÓÒ ÖÝ ÑÒ G Ò ÙØÖ Ð Ð Ó º Ì ØÚ ¼º ÇÐ ÓÓÒ G ÖÝ Ñº Ç Ó Ø ØØ ÐÐ a, b, c G ÔØ ÙÔ ØÙ ÒØ ½µ ÂÓ ab = ac Ò Ò b = cº ¾µ ÂÓ ab = cb Ò Ò a = cº Ì ØÚ ½º ÇÐ ÓÓÒ A Ó Ø Ú ÐÐ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ÐÐ Ú ÖÙ Ø ØØÙ ÓÙ Ó Ó ÓÒ Ò ÙØÖ Ð Ð Óº Ç Ó Ø ØØ A ÓÒ ÖÝ Ñ Ó Ú Ò Ó Ý ØÐ ÐÐ ax = b ya = b ÓÒ Ö Ø Ù ÓÙ Ó A ÐÐ a, b Aº Ì ØÚ ¾º ÇÐ ÓÓÒ T : SL 2 (Z) SL 2 (Z) T(B) = t B ÙÚ Ù Ó Ð ØØ Ñ ØÖ ¹ Ò B Ò ØÖ Ò ÔÓÓ Òº ÇÐ ÓÓÒ inv: SL 2 (Z) SL 2 (Z) ÙÚ Ù inv(b) = B 1 º Å Ø ÙÚ Ù Ø T inv T inv inv T ÓÚ Ø ÖÝ ÑÒ SL 2 (Z) ÙØÓÑÓÖ Ñ Ì ØÚ º ÇÐ ÓÓÒ G ÖÝ Ñ ÓÐ ÓÓÒ Aut G Ò ÙØÓÑÓÖ Ñ Ò ÓÙ Óº Ç Ó Ø ØØ AutG ÓÒ ÖÝ Ñ ÙÒ Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò ÓÒ ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Òº Ì ØÚ º ÃÙÚ Ù f : R R ÓÒ Ú Ú Ó ÐÐ x, y R ÔØ f(x) f(y) ÙÒ x yº ÃÙÚ Ù f : R R ÓÒ Ú Ò Ú Ó ÐÐ x, y R ÔØ f(x) f(y) ÙÒ x yº ÃÙÚ Ù ÓÒ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò Ó ÓÒ Ú Ú Ø Ú Ò Úº Ã Ú Ú Ò Ú Ò Ú Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò Ø Ó Ò ÓÙ ÓØ ÓÚ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÖÝ ÑÒ S(R) Ó ¹ ÓÙ Ó º ÁÒ Ù Ó Ó ÙÚ Ù Ø Ò Ý ØÑ Ò Ò Ð ÙØÓ Ñ ØÙ Ò Ò Ò ÓÙ Ó Ò ÅÙÓ Ó Ø Ú Ø Ó Ú Ú Ø Ø ÓØ ÖÝ ÑÒ ÒØ Ú Ò ÚØ Ø ÓØ ÒØ ÑÓÒÓ¹ ØÓÒ Ø Ø ÓØ Ì ØÚ º Ç Ó Ø ØØ ÖÝ ÑÒ Ð ÓØ ÒØÝÚØ Ò Ð ÙØ ÙÐÙÒ Ó ÐÐ Ö Ú ÐÐ Ö ÐÐ º Ì ØÚ º ÇÐ ÓÓØ X Y ÔØÝ ÓÙ Ó ÓÐ ÓÓÒ f : X Y Ø Óº Ç Ó Ø ØØ Ô ÖÑÙØ Ø ÓÖÝ ÑØ S(X) S(Y ) ÓÚ Ø ÓÑÓÖ º Ì ØÚ º ÇÐ ÓÓÒ H 3 = 1 x z 0 1 y : x, y, z R Ç Ó Ø ØØ H 3 Ú ÖÙ Ø ØØÙÒ Ñ ØÖ Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ ÓÒ ÖÝ Ñº Ì ØÚ º Ç Ó Ø ØØ Ø ØÚ ÑÖ Ø ÐØÝ ÖÝ Ñ H 3 ÓÐ ÓÑÓÖ Ò Ò ÖÝ ÑÒ (R 3, +) Ò º ¾ Î ËÙÔ ØÙ ÒØ º Î ÈÖÓÔÓ Ø Ó ½º½ ½µ ¾

6 Ì ØÚ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó R Ð ÙØÓ Ñ ØÙ ØØ Ñ ÐÐ µ Ç Ó Ø ØØ (R, ) ÓÒ ÖÝ Ñº x y = 3 x 3 + y 3. µ Ç Ó Ø ØØ ÖÝ ÑØ (R, ) (R, +) ÓÚ Ø ÓÑÓÖ Øº Ì ØÚ ¼º ÇÐ ÓÓÒ G ÖÝ Ñº ÇÐ ÓÓÒ R ÖÝ ÑÒ G Ö Ð Ø Ó Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ ÒÒ ÐÐ arb a = gbg 1 ÓÐÐ Ò g G. ÇÒ Ó R Ú Ú Ð Ò Ö Ð Ø Ó Î ÂÓ x ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÐÑ ÙÙÖ 3 x ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÐÐ ÔØ ( 3 x) 3 = xº ÂÓ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ð Ò Ò ÓÐÑ ÙÙÖ º ¾