BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC -----:----- ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC THÁNG 5/2012 MÔN THI:

Bản ghi

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC INH TẾ QUỐC DÂN HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SU ĐẠI HỌC -----:----- ĐỀ THI TUYỂN SINH SU ĐẠI HỌC THÁNG 5/ MÔN THI: TOÁN INH TẾ (Thời gian làm bài: 8 phút) BYDecisin s Blg: Câu ( điểm): Một hãng sản xuất có đường cầu là Q = P, với P là giá bán. a) Xác định giá bán P để danh thu của hãng đạt cực đại. b) Nếu hãng đặt giá P = 8 thì danh thu thay đổi ba nhiêu s với danh thu cực đại. Câu ( điểm): Ch hàm sản xuất của một danh nghiệp Q = 3, L,9 ; Trng đó Q là sản lượng (số sản phẩm), là vốn (triệu đồng), L là la động (người). a) Danh nghiệp có hàm sản xuất có hiệu quả thay đổi như thế nà the quy mô? b) Năng suất la động đ bằng số sản phẩm/ la động. Tính tốc độ tăng của năng suất la động the vốn tại mức =, L = 4. Câu 3 (3 điểm): Ch hàm lợi ích hộ gia đình có dạng U(x,x ) = x x, trng đó x, x lần lượt là số lượng sản phẩm thứ nhất và thứ hai được tiêu dùng. Ch giá một đơn vị sản phẩm tương ứng với hai sản phẩm là p, p, lợi ích hộ gia đình là u ; p, p, u >. a) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm lượng sản phẩm tiêu dùng mỗi lại sa ch lợi ích bằng u với ngân sách chi tiêu là cực tiểu. b) Với p = 8, p = 4, u = 8, hãy tìm lời giải cụ thể ch câu hỏi a). c) Với dữ kiện câu b) để lợi ích u tăng đơn vị thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng ba nhiêu? d) Để lợi ích u tăng % thì ngân sách chi tiêu cực tiểu tăng ba nhiêu %? Câu 4 ( điểm): Thu hạch 4 điểm trồng lại đậu và 3 điểm trồng lại đậu B, quan sát năng suất hai lại đậu người ta thu được các phương sai mẫu tương ứng là 9,53 (tạ/ha) và 8,4 (tạ/ha). Giả thiết rằng năng suất cả hai lại đậu là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. a) Với độ tin cậy 95% độ phân tán của năng suất lại đậu tối thiểu là ba nhiêu? b) Với mức ý nghĩa 5% có thể ch rằng độ phân tán về năng suất của hai lại đậu là như nhau không? c) Nếu biết độ phân tán về năng suất của lại đậu đ bằng độ lệch chuẩn là 3 (tạ/ha) thì khả năng để trng mẫu gồm 4 điểm trồng lại đậu có phương sai mẫu lớn hơn 5,9645 là ba nhiêu? Câu 5 ( điểm): iểm tra ngẫu nhiên 6 bóng đèn lại tính được tổng tuổi thọ của chúng là 9 (giờ) và độ lệch chuẩn mẫu là 6,94 (giờ). Giả thiết tuổi thọ của bóng đèn lại và lại B là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. a) Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn lại với độ tin cậy 95% bằng khảng tin cậy đối xứng. b) Phải chọn kích thước mẫu tối thiểu bằng ba nhiêu để với độ tin cậy 95% thì sai số của ước lượng tuổi thọ trung bình bóng đèn lại không vượt quá 5 (giờ). c) Độ phân tán của tuổi thọ bóng đèn lại B đ bằng độ lệch chuẩn là (giờ). Với mức ý nghĩa 5% có thể ch rằng tuổi thọ bóng đèn lại B ổn định hơn bóng đèn lại hay không? Câu 6 ( điểm): Ch biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn và một mẫu ngẫu nhiên kích thước n lập từ X. Chứng minh rằng trung bình mẫu là ước lượng hợp lý tối đa của E(X). Ch: P(χ (4) > 6,59) =,95 ; P(χ (4) > 55,7584) =,5 ; P(χ (5) > 4,99) =,5 P(T(5) <,3) =,975 ; f,5 (4,9) =,8 ; f,975 (4,9) =,5. Cán bộ ci thi không giải thích gì thêm

2 p n m«n t n inh tõ (ca häc ) (C u 6 xem s ch XST cña tr êng nhð) C u : Ph ng tr nh êng cçu: Q P P 6,5Q Hµm tæng danh thu: a) Danh thu cùc ¹i: TR PQ (6,5 Q) Q 6Q,5Q TR max Thay vµ hµm cçu, ta îc: TRQ 6 Q Q 6 TR Q P 6,5Q 6,5.6 3 VËy, Ó danh thu cùc ¹i th gi b n lµ P*=3 (s n l îng Q*=6). b) NÕu gi b n P =8 th s n l îng lµ: Q Tæng danh thu: P.8 64 Danh thu cùc ¹i: TR P Q TR Chªnh löch: P Q * * * TR TR TR * VËy, nõu Æt gi lµ 8 th danh thu gi m 8 n vþ s víi danh thu cùc ¹i. C u : Hµm s n xuêt Q=3, L,9. a) XÐt sè thùc bêt kú α>. Ta cã: Q(, L) 3( ) ( L),,9,,,9,9 3( )( L ),,,9 (3 L ) V α > nªn α, > α d ã Q(α, αl)> αq(,l). VËy hµm s n xuêt cã hiöu qu t ng the quy m«. b) N ng suêt la éng lµ:,,9 Q 3 L PL 3 L L L HÖ sè c gi n cña P L the lµ:,,

3 E PL.% % P P P.% P P,8, 3(, ) L. 3,, L PL L L L. ( PL ). % L, VËy, nõu t ng vèn % (% = %) th NSL t ng,% (%P L =,%). Nãi c ch kh c, tèc é t ng cña NSL the vèn lµ,%. C u 3: a) Hµm ng n s ch chi tiªu: B = p x +p x Ph ng tr nh rµng buéc vò lîi Ých: U = x x = u (*) Ycbt T m gi trþ cùc tióu cña hµm môc tiªu B víi iòu kiön rµng buéc (*). L LËp hµm Lagrange: L = B + (u - U) L = (p x +p x ) + (u - x x ) ( lµ nh n tö Lagrange) iòu kiön cçn: Ó B ¹t gi trþ cùc tióu th : Tõ () vµ (), ta cã: Tõ (3) vµ (4), ta cã: L x p x L p x x L u x x () () (3) p p p x x (4) x x p x u p p x u p p p x Suy ra: u p p Hµm sè cã ióm dõng ( x, x, ) u p p, u p p, u p p

4 iòu kiön ñ: XÐt Þnh thøc: Trng ã: Suy ra: U U D U L L U L L U U x ; x U U x ; x L L xx ; L L xx ; L L L ; xx D x x x x x x ( x, x, ) D ã, iòu kiön ñ îc tháa m n t¹i ióm dõng ( x, x, ). VËy, víi rµng buéc lîi Ých U=u th ng n s ch chi tiªu cùc tióu khi ( x, x ) u p p, u p p. b) Víi p = 8; p = 4; u =8 th x x c) Nh n tö Lagrange lµ gi trþ cën biªn cña ng n s ch chi tiªu cùc tióu the lîi Ých B u p p min. Nªn min. Mµ u B u VËy, nõu lîi Ých u t ng d n vþ (u =) th ng n s ch chi tiªu cùc tióu t ng n vþ (B min =). d) HÖ sè c gi n cña ng n s ch chi tiªu cùc tióu the lîi Ých: E Bmin.% % B B B u u...% u Bmin min min min u % u u u Bmin Bmin D B min = p x +p x = = 3 ; u = 8 ; = Bmin min Nªn Eu u % B 8.,5 % 3.. 3

5 VËy, nõu lîi Ých u t ng % (%u =%) th ng n s ch chi tiªu cùc tióu t ng,5% (%B min =,5%). C u 4: Gäi X, X B t ng øng lµ n ng suêt cña hai l¹i Ëu vµ B: X X N(, ) B N( B, B) a) Ta cã lµ é ph n t n cña n ng suêt l¹i Ëu. Nªn ycbt L TC bªn ph i cña tham sè cña ph n phèi chuèn N(, ). C«ng thøc kh ng tin cëy bªn ph i cña lµ: ( n ) S ( n ) ; víi S, n lµ ph ng sai vµ kých th íc méu cña n ng suêt l¹i Ëu. Qua méu cô thó, ta cã: Ých th íc méu n = 4 ( ) (4) é tin cëy 95%,95,5 n (4) (4) MÆt kh c v P(,5 ),5 (the t/c cña ph n phèi ) (4) P( 55,7584),5 (the gi thiõt) ( n ) (4) Nªn,5 55,7584 Ph ng sai méu s = 9,53 Thay sè, ta îc kh ng tin cëy bªn ph i cña lµ: (4).9,53 ; 6,837; 55, 7584 Suy ra, kh ng tin cëy bªn ph i cña lµ: 6,837;,65; VËy, víi TC 95%, é ph n t n cña n ng suêt l¹i Ëu tèi thióu lµ,65 (t¹/ha) b) Ta cã, B lµ é ph n t n cña n ng suêt l¹i Ëu. Nªn ycbt tham sè, B cña ph n phèi chuèn N(, ) vµ N( B, B). H : B CÆp gi thuyõt: H : B Tiªu chuèn kióm Þnh:,5 4

6 S F F( n, ) nb S víi MiÒn b c bá: B - S, n lµ ph ng sai vµ kých th íc méu cña n ng suêt l¹i Ëu - S B, n B lµ ph ng sai vµ kých th íc méu cña n ng suêt l¹i Ëu B F f /( n, nb ) W F: F f /( n, n B ) Qua méu cô thó, ta cã: Ých th íc méu n = 4; n B = 3 Ta thêy Fqs Møc ý nghüa D ã, miòn b c bá f /( n, nb ) f,5(4, 9), 8 5%, 5 f /( n, nb ) f,975(4, 9),5 F,8 W F: F,5 Ph ng sai méu s = 9,53; s B = 8,4 D ã, gi trþ quan s t cña tiªu chuèn kióm Þnh W nªn ch a cã c së Ó b c bá H.. 9,53 Fqs,33 8,4 VËy, víi MYN 5%, cã thó ch r»ng é ph n t n cña n ng suêt l¹i Ëu lµ nh nhau. c) Ta cã S lµ ph ng sai méu cña n ng suêt l¹i Ëu. Nªn ycbt t m P(S > 5,9645) C«ng thøc suy diôn cña ph ng sai méu: ( n ) P S Ch n n n 5,9645 5,9645. ( n) ( n) ( n ) (4) Víi n = 4; = 3 ta îc MÆt kh c, the t/c cña ph n phèi th : (4) (4) P (4) P The gi thiõt: 6,59 4 5, ,59 3 5

7 (4) P D ã:,95 Hay 6,59,95 P S 5,9645,95 VËy, kh n ng trng méu cã 4 ióm trång Ëu l¹i cã ph ng sai méu lín h n 5,9645 lµ 95%. C u 5: a) Gäi X lµ tuæi thä cña bãng Ìn l¹i : X N(, ) Ta cã lµ tuæi thä trung b nh cña bãng Ìn l¹i. Nªn ycbt WL TC èi xøng cña tham sè cña ph n phèi chuèn N(, ). C«ng thøc kh ng tin cëy èi xøng cña lµ: S S X t ; X t n n ( n ) ( n ) / / víi X, S, n lµ trung b nh, ph ng sai vµ kých th íc méu tuæi thä bãng Ìn l¹i. Qua méu cô thó, ta cã: Ých th íc méu n = 6 ( n ) (5) é tin cëy 95%,95,5 t / t,5 (5) (5) MÆt kh c v P( T t ),5,975 (the t/c cña ph n phèi T) Nªn t,5 (5) PT (,3),975 (the gi thiõt) ( n ) (5) / t,5,3 Trung b nh méu X 9 x i n 6 é löch chuèn cña méu s = 6,94 Thay sè, ta îc kh ng tin cëy èi xøng cña lµ: 6, 94 6, 94.,3 ;.,3 6 6 = 86,5 ; 3,895 VËy, víi TC 95%, kh ng tin cëy èi xøng cña tuæi thä trung b nh bãng Ìn l¹i lµ (86,5 ; 3,895) (h). b) Gi sö kých th íc méu lµ N. 6

8 Sai sè cña íc l îng tuæi thä trung b nh bãng Ìn l¹i lµ: D ã 5 S t ( n) / N S ( n ) t S N. 5 ( n) t / / 5 N N 6,94.,3 3,566 5 VËy ph i chän kých th íc méu tèi thióu lµ 4 (bãng Ìn). c) Ta cã, lµ é ph n t n (còng lµ é æn Þnh) cña tuæi thä l¹i bãng Ìn. The gi thiõt =. Nªn tuæi thä cña bãng Ìn l¹i B æn Þnh h n bãng Ìn l¹i nõu >. Ycbt tham sè cña ph n phèi chuèn N(, ). CÆp gi thuyõt: H H Tiªu chuèn kióm Þnh: ( n) S : : ( n ) víi S, n lµ é ph n t n vµ kých th íc méu tuæi thä bãng Ìn l¹i MiÒn b c bá: ( n ) W : Qua méu cô thó, ta cã: Ých th íc méu n = 6 ( n) (5) Møc ý nghüa 5%,5 (5) (5) MÆt kh c v P(,5 ),5 (the t/c cña ph n phèi ) (5) P( 4,99),5 (the gi thiõt) ( n ) (5) Nªn,5 4,99,5 D ã, miòn b c bá W : 4,99 é ph n t n méu s = 6,94 D ã, gi trþ quan s t cña tiªu chuèn kióm Þnh Ta thêy nªn b c bá H, thõa nhën H. qs W qs (6 )6, 94 5,534 VËy, víi MYN 5%, cã thó ch r»ng tuæi thä bãng Ìn l¹i B æn Þnh h n tuæi thä bãng Ìn l¹i. 7