Bombelli

Bản ghi

1 משפט מורלי משפט פיק שברים משולבים מעגל פויירבך בעיות מילוליות הסרת התשיעיות העשרה מתמטית סדרות Farey ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ Èˆ È ÈËÓ Ó Ï Â ÙÒ ÚÈÙÂÓ ÈÚ Ë ÙÒÓ Ï ÈÚÂ È Â ÈˆÓÏ Ì È Â Ï ÊÁ apple Ê Ó Ó ÈÏ ÓÂ Ï Ï ÙÒ Îapple Î Æ16 Ó ÈÁ (Rafael Bomelli ÈÏ ÓÂ Ï Ù È ÏËÈ ÍÏapple ÆÌÈË ٠ÌÈ Ó Â ÔÎÏ ÌÈË ٠ÌÈ Ó ÌȈÂÙapple ÂÁÙ ÂÈ ÌÈÈappleÂ Ú ÌÈ Æ ËÈ ˆ Ï ÁΠapple apple ÍÎÏ ÛÒÂapple  appleèèappleúó ÂÎ Â Ú ÈÚ Ë ÙÒÓ Ï Â ˆÂ Ï Â È ËÈ È ÈËÓ Ó ÆÌÏ ÚÂ È ÂappleÈ ÈÚ Ë ÙÒÓ Ï Â ÈˆÓÏ ÂËÈ Á ÈÙ ÂappleÈÈappleÚ ÌÈ ÌÈ ÈËÓ Ó Æ Â ˆÂ Ï Á ÈÙ ËÈ È (Bologna) ÈappleÂÏ 16 Ó ÈÁ,(Rafael Bomelli) ÈÏ ÓÂ Ï Ù L Algera Opera  ÙÒ ÏÏÎapple ËÈ Æ ÌÈapple ÈÁ appleî ÍÎÏ Ë Ù ÂÈÏÚ ÚÂ È Â Ó ËÚÓ Æ1579  ÂÓ Á Ï ÚÈÙ Èapple Â Ó ÂÈ ËÓÂ È ÂÈÚ Ï ÌÈÈ Ï Âapple Ù ÈÚÈ Â È ÈÏ ÏÚÓÓ Â ÂÂ Ó Ô ÙÏ ÂÈ ÂÓ ÂÏÏÎapple ÙÒ ÈÙÎ ÌÈÈ Ï ÌÈÈÂËÈ Â ÔÈ Í Ï apple ÌappleÓ ÙÒ.(Boyer, 1985, p.; Jayawardene, 197 ÆÌÂÈÎ Ì Â ÌÈ ÈÎÓ Âapple 1 Ë ÂÙÒ Â Â ÌÈ ÏÂ Ó ÍÂappleÈÁ ÌÈ ÓÏÂ È È ÏÚ Ú ÓÏ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÔӈȠÔÂÎÓÏ ÌÈ ÙÒÓÏ Â ÂÓ Â È ÂÈÂÎÊ ËÈ ÏÎ (c)

2 ÌÈÈÚÂ È ÌÈ Â ÈˆÓ ÌÈ ÈˆÈÏ ËÈ Â Ó 7-5 ßÓÚÓ ÁÂ Ï ± ÂÈ Æ È Â Ó Â Â ÈÏ ÓÂ Ï Â ÙÒÓ ËÈ Â È Ëˈapple Æ È ÏËÈ Ù 1579 ÏÚÙ Ï Ó Â Â ÈÏ Ó ËÈ Â È ± ÂÈ ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ

3 È Â Ó ËÒ Ë Ó ÌÈ ÏÁ Ï È ÚÏ È ÙÂÁ Ì ÔÏ Ï Ê È Ú Ï ˆ ÏÏ ÌÈ Ó Ì Â Â ˆÂ ÌÈ ÈˆÈÏ ÂËÈ ÂÚȈ ÌÈapple ÌÈ ÁÓ ÌÈ apple  ÂappleÈÓÊ ÂËÈ È Â ÈÚ Ï Á Ó ˆ ÈÏÂ È ÓÈÂÒÓ ËÈ ÈÎ ÔÂÎapple Æ Ê Ï Â ËÈ ËÈ È Ê Ï ËÈ Èˆ ÔÏ Ï Æ Á ËÈ ıèó Ï ÈÏ Â ÈÁÏ ÂÈ Ï ËÈ Â Á È Ó Â ÊÚ Â Æ ÂÈ ÈappleÈÚ ÔÁ ˆÂÓ ÂÊ È Æ È ÌÚ Â Â ÈÎ ÌÈÁÈappleÓ ± Ï Â Ï Â È ÂˆÓÏ ÌȈ Π ÍÎÂ Ï ÛÈÒÂ Ï È ÔÂ Â Ê Ï Ï appleó ÏÚ Æ 9  ÌÈÏ Ó ÏÈÚÏ ÙÒÓ Ó ÌÈÈÏÙÎ ÌÈ ÏÁÓ Ï ÂÈ Â È 1 Â Ê ÙÒÓ Ï ÚÂ È Â Á Ó Æ± Ï Â Ï Â È 9 Ê ÙÒÓ ÌÈ ÏÁÓ ª 6 ÌÈÏ ÓÂ Ï ÌÈÈÏÙÎ Â ÌÈ ÁÓ ÂÈ Â Â È ÆÆÆπ  ± ÔÈ Ù ÈËÓ Ó Ù ÁÂappleÚÙ ˆÈÎ Í Ó Â È ÌÈ Á ÆÔ Î Â Ï ÈÒÙ Ï ÏÂÎÈ ÏÈÚÏ ÂÓ ÔÈ Ó ÈÓ Ï Â ËÈ Ì apple Ì Ì ÆÂappleÏ ÈË È Ú ÈÏ Ô Â ÈËÓ Ó Ú ÈÏ Ô ÌÂ Ï ÏÂÎÈ apple Â Ó Ú Â Úapple (199, pp. 80-8) Smith ψ Â Ï Ô Èapple ÈÙÎ Èapple ÂÓ ÈËÓ Ó ÏÂÓÈÒÏ È ÏËÈ Ó Ï ÈÏ Ó ø È ÌÈ ÏÁÓ ÚÂ Ó Æ ÁÓˆ Ï ÁappleˆÂÓ Â ˆÂ Ù apple ÔÈÈ Ú Â ÈÁ È Ï È Á Æ Ï ÍΠø 6 ÌÈ ÏÁÓ ÚÂ Ó ø Ï ÌÈÙÈÒÂÓ ÚÂ Ó ÁÓ ÌÈ Ò ÊÚÈapple Ì Í Ó ÂË ÂÈ Ê ÔÈ apple ø ÁψÂÓ ÈÎ ÂÏ ËÈ ÈÏ Ó ÔÈÓ ÚÂ Ó ˆÏ Æ(197, pp ) Dedron and Itard ÚÈÙÂÓ Â ÈÙÎ ÈÏ apple Ï Ì ÏÚ ÍÓ Ò ÙÈÒ ÂÓˆÚ ÆÂappleÈÓÈ Ï ÈËÓ Ó È ÎÏ ÌÓ Ì apple ÍÈÏ Úˆ ÏÎ Ï ÌÈ Ò + x 1 ( + x) 9 + 6x + x 1 6x + x 6x x Æ1 Ï Â ÂˆÓÏ ÌÈÎÈ ˆ  ÂÏ Â Â 9  ÂÈ Â ÚÂ È Æ ÌÏÚapple Á ÂÓÎ ÂÚ  1 Ï Â Ï Â È ÌÈ ÓÂ Æ Á ÊÁ ÂÚ ÌÈÓÏÚapple ÂÈÂÓÎ 6 ÂÚ 9  ÂÚÂ È Æ1 Ï Ê Â apple  ÈÎ ÈÈ ÂÂ Ó ÈÙ Èapple Ó 9 ÌÈ ÒÁÓ Æ Á ÊÁ ÂÚ ÂÈÂÓÎ 6 Ï ÂÈÂÓÎ 6 ÈÎ Â Î Ë Ù ÊÁ ÂÁÈappleÊ ÌÈ apple ÆÆÆ ˆÂÈ ÌÏÚapple ÂÓÎ Ê Ï Â Ʊ Æ Æ Æ 1 + x Ï Ó Â Â Á Ó Â Â Ï Â Ó Í Ú Â ÆÆÆ Æ Á ÂÓÎ ÂÚ  Ƶ ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ

4 ÁÏ È x ÂÊ È Æ Â Ï È ÍΠx Ï Í Ú ÁappleÊ È È ÏÚ Â Ï ÔÂ Â È ÈÏ Ó ˆÓ Ô Î Ú È ÌÚ ÍÎ Ê ÌÎÈÒ Â ÔÎÏÂ Æ Â Â ÈÎ ÌÈÁÈappleÓ ± ÍÎÂ Ï ÛÈÒÂ Ï È ÔÂ Â Ê 1 Ï Â È Ï Ï È Î Ï Ï Â Ï Â È ÂˆÓÏ ÌȈ ΠÌÈÏ Ó ÏÈÚÏ ÙÒÓ Ó ÌÈÈÏÙÎ ÌÈ ÏÁÓ Æ± Ï Â Ï Â È ÁÈappleÊ Ï ˆ ÆÔÂ Â È ÁappleÊÂ Ó Ô Á ÌÈÁ ÂÏ Î ÌÈ ˆÂÓ Èapple Â È ÌÈ Â È È È ÏÚ Ô Â ÁappleÊ Ó Ú Âapple ÂÚË ÔÎ ÂÓÎ ª x Ï ÈÒÁÈ ÔË ( 9 ) ÆÌÈ Ê Ó ÂÎ Ú ÈÎ È x 6x + x 6x + x x 6x + x x 5 ÂÓÎ Ì ÊÁ Ô Á ÌÈÁ ÂÏ Î ÌÏ  6 Ï ÙÒ ÂÓÎ Ï È ÊÁ È Æ Ï ÌÈ ÂÈÂÓÎ ÂÚ 6 Ô ÂÈÂÓÎ Â È Â Á Ó 5 Ï Â ÌÏÚapple ÂÓÎ ÍÎ Ì Æ Æ + x 5 Æ 5 ˆÂÈ Â È Á ÂÓÎ ÂÚ  Á x  ˆÓapple Ì Â Í Ú ÌÈÓ Â Á Ï Ô appleâ x x x ÏÙÎÓ Á Ï ÈÏ Ó ÈÎ Ï ÂÓÈ Â ÈÏ ÓÂ Ï ËÈ Ï Æ 1 Ï Â È Ï Ï È Î Ï ÂÙÈÒÂ Ï È Á ˆÂÈ ÈˆÓ Â x x Ï ÌÈÓ Â Á Æx ÈÂËÈ x apple ÓÏ ÈappleÚÓ Â (doule entendre) ÏÂÙÎ È Ù È ÈË ËÈ ÏÚÙ apple Æ ÂˆÓÏ È Â Â ÌÏÚappleÎ È Ó Èapple Í Ú Â Ì Â Â È ˆÓ Í Ú ÆÈ ÈÏ Â È ËÈ Ï 6x + x 6x + x x 6x + 5 x ÂÓÎ Ï È ÊÁ 5 5 Ï Â ÂÓÎ Ì Ï Æ Æ Æ Ï Â ÂÈÂÓÎ 6 5 Ï appleâ Æ ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ

5 ÂÚ ÏÎ Í ÓÈ Ï ÏÂÎÈ ÍÈÏ ÈÎ ÛÈÒ  0 È ÈÏ Â È Ï È x Â Ú ÂÂ Ó Ù ÈÏ ÓÂ Æ Smith, 199, pp  ÁÓ Ì Ï ÂappleÏ Ò È ± ÏÈ øè ÈÏ Â È ÂÚË È Ó Æ ÆÈÏ Ó ËÈ ÛÒÂapple Â È Â ˆÓ Æ ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ Â ÈÏ Ó ËÈ Æ 1 + x ÍÎ x Ï Í Ú ÂˆÓÏ ÌȈ ÔÙÂ Ì Ï ÏÎÂapple ÈÏ ÓÂ Ï Ì È Â Ï Ï ÂÓÈ Æx /(6+x) ÛÂÒ Ï x(6+x)  6x + x ÍÎ Ì Æ1 (+x) ÌÈÙ Èapple ÚÂ È ÌÈÏÚÓ Ï Ó Á Í Ú Ï Ó ÈÏ Ó Û x ÌÏ  ÆÌ Â Ï Í Ú Ï Ó /(6+x) ÈÂËÈ x ÈÎ Â Èapple ÂÓ ÔÂÓÈÒ ÆÌ Â Ó appleè∠ÏÂÙÎ ˆ Ï ÌÈ Ó Ê ÆÈÁÎÂapple Ï x n+1 ÆÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ x n Ì ÌÂÈ ÎÂÓ Ó Ô Âapple Ê ÔÂÓÈÒ ÂÓÈ ÈÓÒ Ê ÏÎ Â ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ Ï Ó  ÂÊЈ ˆÓÏ Ô Èapple Ï ÈÏ ÓÂ È Î ÆÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ Ï Á ÈÙ ÏÈÁ ÈÏ Ó ËÈ (Smith, 195 pp. 19-0) x 0 0, x 1 x 0, x x 1, x x x 1 x x x 1 ÈÎ ÌÈÓ ÈÈ ÏÚ ÔÂÈ Ï ÓÏ ÆÌÈ ÂÓÈÏ ÈappleÎ ÂÓÂ Ó ÙÒÓ ÈÏ Ó ËÈ Ì ÈÈ ÂÊÁ Ï ÂÈÂÏÈÚÙ Ï Ï Ô Èapple ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓ ÒÂÚ ÂÓÈÏ ÈÁÈÓ ÏÁÎ Â ÌÈÈÚÂ È ÌÈ Â ÈˆÓÏ ÂappleÂ Â È ÂËÈ Æ(Arcavi, Bruckheimer, Ben-Zvi, 1987 Ï ÓÏ Â È ÂËÒÈ Ì ÂÁ Ù Â ÆÌÎ Ú ÁÏ ÂȈ ËÈ È È ÏÚ ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ Âapple Ï ÏÎÂapple ÁÓ ÊÚ Æ 1  ÈÁ Ï ÛÈÒÂ Ï È x i ÌÈapple ÌÈ Â È ± Ï ÌÈÎ Ú Â ÈÁ ÔÏ Ï, 5, 0, , , , 78 97, , , ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ

6 ÏÂ Ó Î ÈappleÈÓ Â È apple ÈappleÂ Ú Â apple È Á  ÙÒ µ Ï ÂÈ ÈappleÂ Ú Î ÏÈ Æ(1.1) ÂÈappleÂ Ú Â ÙÒ Ï ÂÈ Ú Bomelli ËÈ ÈÙÏ Â ÌÈÈappleÂ Ú ÌÈ ÊÚ ÌÚÙ ÈÏ Ó ËÈ ÈÙÏ + x x.6 + x ÔÂÈ Ï ÌÈ Âapple Ï ÌÈapple ÌÈ Â È Ú Ôapple apple + x Ï Â Ó ÈappleÂ Ú ˆ ÌÚ Ì Â Â appleâ ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ 6

7 Í 1 Ó ÌÈappleË ÌÈÈ ÂÊ ÌÈ Â È Â ÌÈappleË Â ÌÈÎÏÂ Í 1 Ó ÌÈÏ ÌÈÈ ÂÊÈ ÌÈ Â È ÈÎ ÌÈ Â ÂȈ È È ÏÚ ÈËÓÎÒ Âˆ Ê ˆÈÈÏ Ô Èapple ÆÌÈÏ Â ÌÈÎÏ +x +x +x +x 1 ÌÈÈ ÂÊ ÌÈ Â È ÌÈÈ ÂÊÈ ÌÈ Â È appleâ ÌÈ Â È ±  ÂÁ ÔÏ Ï Ï Ë Æ ÂÙÒÂapple Â Ó Â È Ï apple ÒÓ Ó ÁÓ ÊÚ È Æ(iterate) ÂȈ ËÈ È È ÏÚ ÂÁ (approx) Â È Â 1 ÔÈ (diff-sign) Ù Ï ÔÓÈÒ ÂappleÈÏÚ ÂappleÈÓÈ Ï Æ Â Ó ÈÚÂ È Â Ï ÒappleÎ Ó ÔÎ Â ËÈ ÁÈÎÂ Ï Ï Â Ù ÈÏ ÓÂ Æ ÁΠÍÏ Ó ÔÏ Ï apple Æ ÁΠÙÒÏ 1 Ó Ï 1 Ï ÔÂ Â È > 1 1 Ó ÔË 1 Ï Èapple Â È < 1 7 ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ

8 È 1 Ó ÔË È ÂÊ Â È ÏΠ1 Ó ÏÂ È ÂÊÈ Â È ÏÎ ÈÎ ÁÈÎÂ Ï Ù ÈËÓ Ó Èˆ  appleè ÆÌÈÈ ÂÊÈ ÌÈ Â È ÏÙËapple ÔÎÏ ÂÓ ÂÁΠÆÏÈÚÏ ÚÈÙÂÓ Èˆ  appleè Ï Ô ڈ Ë apple ÍÎ Ì Ï Æ 1 Ó ÏÂ Â Ì È ÂÊÈ Â È x n+1 ÈÎ ÁÈÎÂapple x n 1 > 1 ÈÎ ÁÈappleapple x n 1 ÊÚ X n+1 x n + 1 x n 1 > 1 1 ÌÈÈ ÂÊÈ ÌÈ Â È Â Ú Ï ÓÏ ÆÂÓ Â Ó Ï ÔË È ÂÊ È ÂÊÈ Â È ÏÎ ÈÎ apple Ï x n 1 > x n+1 ÓÂÏÎ x n 1 x n+1 > 0 Æ Ï ÊÚ ÁΠÌÈÏ appleâ x n 1 ÊÚ x n+1 Â Ë apple ÆÈ ÂÈÁ x n 1 x n 1 Ù ÈÎ ÁÈÎÂ Ï ÍÈ ˆ Â Ú È ÂÈÁ appleîó. (k + 6k ) k + 0 ÈÂËÈ Ù Â Ú Ï apple Ë ÈÙ È È ÏÚ Æk x n 1 ÔÓÒapple k > 1 ÈÎ ÂappleÁapple  Á Ó Æ k < 1  k > 1 Â Ú È ÂÈÁ appleâó  k > 0 È ÂÈÁ ÈÂËÈ Ì ÈÓ Â ÌÈÏ ÌÈappleË Â ÌÈÎÏ ÌÈÈ ÂÊ ÌÈÈ ÂÊÈ ÌÈ Â È ÍÎ ÏÚ ÒÒ Ó ÁΠÌÈÈÒÓ ÏÂ È Èapple Ó Ï Ó ÏÂ Â Â Â Ï ÂappleÈÏÚ Âapple ÆÏÂ Ï ÌÈÒappleÎ Ó Ì ÔÎÏ 1 Ó ÌÈappleË ÌÈÏ ÆÌÈÈ ÂÊ ÌÈ Â È Ò Ï Ï l 1 ÔÓÒapple Æ Â Ò x n + x n  Á Ó Û ÏÎ Ï Ï Á apple l 1 l 1 ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ 8

9 ÂÂ Ó Â Ùapple l 1 1 Âapple ÆÌÈ Á Ó ÂÏ Èapple ÔÎÏÂ Æ ÌÈÈ ÂÊÈ ÌÈ Â È Ò Ï Ï l Â Ú Ï Ê Â ÏÈÚÏ ÌÈÏÂ È ÙÒÏ ÏÂÎÈ È Â È ËÈ Ï ÁÎÂ Ï ± Ó ÈÏ Ó apple ÂÏÈ ÌÈ Ú Ó Æ ËÈ Ó ÏÂÙÎ ˆ ÈappleÎË ÊÚ ÏÈ ÙÒÓ Â ) Bomelli ËÈ ÈÙÏ Ï ÏÎÂapple ÊÚ È ÈË ËÈ ÊÂÁ ÍÈÏ Ï ÁÒÂapple Â Î Æ ÈÂ Ó ÚÂ È ÂappleappleÈ Â ÏÎ ÈÚ Ë ÏÈ Æ Ï È ÈÓ Í Ú Ó Ï  Bomelli ËÈ ÈÙÏ Ï ÔÂ Â È Â Æ µ ÏÈ Ó ÔË Èapple Â È ÈÎ Â Â Â Ó ÓÈ Arcavi, A. Bruckheimer, M. and Ben-Zvi, R. (1987). History of mathematics for teachers: The case of irrational numers, For the Learning of Mathematics 7, 18-, Arcavi, A. & Bruckheimer M. (1991). Reading Bomelli s x-purgated algera. College Mathematics Journal,, Reprinted in Anderson, M., Katz, V. and Wilson, R. (Eds.), 00, Sherlock Holmes in Baylon and other Tales of Mathematical History, The Mathematical Association of America, Boyer, C.B. (1985). A History of Mathematics, New Jersey: Princeton University Press. Dedron, P. and Itard, J. (197). Mathematics and Mathematicians, Vol, Transworld. Jayawardene, S.A. (197). The influence of practical arithmetics on the algera of Rafael Bomelli, ISIS 6, Smith, D.E. (199). A Source Book in Mathematics, New York: McGraw Hill. Smith, D. E. (195). History of Mathematics, Vol. II, New York: Dover. 9 ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ

10 0 ÌÈÏ ÓÂ Ï ˆÂ ÙÒ ˆÂ  6 5 Æ ÈappleÂ Ú È Î Ï ÂÚÓ Â 1089 ÂË Â È Ê Æ ÌÈÏ Ó ÙÒ 109 ÂÚË Â Æ ÂÏÁ È È ÏÚ Ï Ó È ÈÏ Â È ÍÎ Ì È ÂÚË Æ ˆÂ 6 0 ÌÈÏÈ Ï Â Â Â ÙÒÓ ÚÂ È Æ 0 ÏÁapple Ì Ï È ÈÚÈ Â È Ï ÂÚÓ ÈappleÂ Ú ˆ ÂÚÂ È ÈÎ Ì Â Ó ÂÈ ± ÏÈ Æ Æ (1 + x) 1 + x + x ÏÈ x + x 1 x 1 1 Ï apple x Ó ÌÏÚ apple Ì Æ 1 ÂÚÂ È 1 1 Â Â È ÔÎÏ ÍÈÏ ÈÙÏ ÚÎ ÍÈ Óapple x + 1 x x 1 x 1 a a Æ1 5 ÂÚÂ È ( 1.) 1 5  Èapple Â È ÔÎÏÂ Ï x + 5 x 1 x Â Ó ÂÈ Ï ÚÈ Ï ÌÈÙÒÂapple ÌÈ Ï Èapple ÌÈ Â Æ Ï ÔΠÆ(1.16) Â È ÈÏ Â È ÔÎÏ Æ1.1 ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ 10

11 ÓÂÏÎ Ó ÔË Â Ï ÈÎ ÈÂ Ó ÚÂ È Â ÂÚÂ È ÍÎ ÙÒÓ Â a a < < (a + 1) ÏÈ ÁÈappleapple (a + x) ÍÎ 0 < x < 1 ÌÈÈ ÔÎÏ a + ax + x ax + x a Ï apple Ê Â ax Ï ÒÁÈ ÔË x ÔÎÏ x < 1 ÔÂÂÈÎ x ÌÈÁÈappleÊÓ ÔÂ Â È Ï ax 1 a x 1 a a ax + x 1 x a (a + x 1 ) x a  Îapple Èapple Â È Ï x a a + x 1 ÏÈÏÎapple Ì Â x n+1 a Æa + x n  a + x n Ï n Â È ÂÎÊÏ È ÏÈ Æa + x 1 Â Ï ÔÂ Â È Ó Â Ï ÂappleÈ Ó ÈÙÏ (a + x 1 ) a + ax 1 + x 1 a + ax 1 ÍÎ Âapple È ÔÂÂÈÎ Ï (a + x 1 ) + x 1 > ÌÈÈ Ó 11 ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ

12 µ ÏÈ È ÈË ËÈ ÁÒÂapple ÈÙÏ x a a + x 1 (a + x 1 ) x a [(a + x 1 ) + a] x ( a) ( + a) ÈÎ Âapple Â Ï ÔÂ Â È Â a + x 1 Ï a + x 1 > Ï apple a + x 1 ÌÂ Ó Â Îapple Ì ÔÎÏ ( + a) x < ( a) ( + a) + a ÌÈÙ Èapple ÏÁapple x < a Ï apple Æ a + x < ÓÂÏÎ Ó ÔË ÂappleÈ Èapple Â È Ó ÊÂ Æ Ó ÏÂ Â È ÈÏ Â È Â Ï ÏÎÂapple ÓÂ Í È ÈÓ Í Ú Ó ÔË ÈÓ È È È ÂÊ Â Úˆ Úapple Â È ÂÏ Ï ÏÎÂapple Ê ÍÈÏ ÍÈ Óapple Ì Æ ÙÒÓ Ó Ï ÈÓ È È È ÂÊ È Úˆ Â È ÔÓÊ ÍÎ Ê Ë apple ÈËÓ Ó È Î n ε N Â Ú a + x n < a + x n 1 > ÌÈ ÏÂ Ó ÌÈ È È ÏÚ ÌÈÈÏappleÂȈ È ÌÈ ÙÒÓÏ Â È ËÈ 1