Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Chuyên đề nâng cao 2 ĐỊNH LÍ MÊ-NÊ-LA-UÝT, ĐỊNH LÍ XÊ-VA 1.1. Áp dụng tính chất phân giác

Bản ghi

1 Chuyên đề nâng cao 2 ĐỊNH LÍ MÊ-NÊ-LA-UÝT, ĐỊNH LÍ XÊ-VA 1.1. Áp dụng tính chất phân giác trong và ngoài đối với ABC ta có : EA = AB = AC và FA = AC EA = FA ( 1) EC BC BC FB BC AC FB EA MC FB Xét ABC có.. = 1( theo (1)) EC MB FA Vậy E, M, F thẳng hàng ( định lí Mê-nê-la-uýt) 1.2. Áp dụng tính chất phân giác trong và ngoài đối với ABC ta có : FB = BC, EA = AB, DC = AC FA AC EC BC DB AB Xét ABC ta có : FB EA DC BC AB AC.. =.. = 1 FA EC DB AC BC AB Vậy E,D, F thẳng hàng ( định lí Mê-nê-la-uýt) 1.3. Cách 1. Gọi M là giao điểm của EB và GC, D là giao điểm của CE và AB, K là giao điểm của AC và BG. Áp dụng Ta-lét ta có : GO = GC, DB = EB OB DB CM EM EB CM GO DB CM GC Xét BMG có.. =.. = 1 EM CG OB CM CG DB Vậy C, O, E thẳng hàng ( định lí Mê-nê-la-uýt) Cách 2 Gọi D là giao điểm của CO và AB, K là giao điểm của BO và AC, M là giao điểm của hai đường EB và CG. Đặt AC = b, AB = c Ta có : AB AC ABC HAC ( g. g ) = = AB. CH = AC. AH AH CH AB AC ABC HBA( g. g ) = = AB. AH = AC. BH BH AH

2 Áp dụng định lí Xê-va vào tam giác ABC vơi BK,AH, CD có : BD AH. AC BD AB CH. = 1 =.. = 1 DA AH. AH DA CG HB BD AB. CH BD AH. AC BD c BD c. = 1. = 1 = = = (*) DA AC. HB DA AH. AB DA b c c + d Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BMG với các điểm C, O, E và chú ý (*) ta có : BO GC ME BD GC b + c BD( c + b).. =.. = = 1 2 OG CM EB CG c c c Vậy C, O, E thẳng hàng 1.4. Gọi M là giao điểm của DB và EG. Áp dụng định lí Ta-lét ta có : GA = HC ; ED = FD GB HB EA FC Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BADcó ba điểm G, E, M thẳng hàng. GA MB ED FD HC MB.. = 1 =.. = 1 GB MD EA FC HB MD FD HC MB Ta xét BCD có.. = 1( cmt) FC HB MD =>M, H, F thẳng hàng ( định lí Mê-nê-la-uýt) Do đó các đường thẳng GE, HF, BD đồng quy 1.5.

3 Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác CAD với ba điểm B, K, P thẳng hàng ta có : AP BC KD AP BD KA = 1 =. =.3 = PC BD KA PC BC KD 2 2 Xét ABP và BCP có ùng chiều cao nên : ABP BCP AP = = PC Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ALB có ba điểm C, Q, K thẳng hàng. QA CL KB QA CB KA = 1 =. =. = QL CB KA QL CL KB LB 1 CB 3 vì = = LC 2 CL 2 AL ABL + = = = = QL + ACL ACL ABL ABC CQL BQL CQL BQL BQC Vậy Do đó ABC BQC ABC AL = = QL =. BQC =.2012 = 3521( đvdt) Hướng dẫn

4 CF 1 Lấy điểm F trên cạnh BC sao cho FB = 2 ;AF cắt BD và CE tại P và Q. Hãy chứng minh tam giác OPQ đều. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ACQ với cát tuyến DPO để suy ra PA = PQ = OP = OAQ vuông tại O AOC = Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt MF ( kéo dài ) tại N, cắt ME ( keó dài ) tại P. Nếu MA là phân giác của góc EMF thì ta cần chứng minh PA = AN. MB AE AN AF Áp dụng định lí Ta-lét có =, = PA BE MC FC MB AN AE AF. =. ( 1) PA MC BE FC Khi đó MA là phân giác của EMF AN AN MB MB PA = AN = 1. = PA PA MC MC AE AF MB MB BE AF. = ( theo ( 1 )).. = 1 BE FC MC MC AE FC =>AM,BF, CE đồng quy ( định lí Cêva ) 1.9. Cách 1.( làm trực tiếp )

5 Dựng các điểm C,E,A như ví dụ 2. Ta chứng minh ba đường thẳng BC, OA và F G đồng quy là xong. Đặt OB = OC ' = x, OG = OE ' = y Gọi Q là giao điểm của OA và BC. Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giáce OA với cát tuyến BC Q, ta suy ra được : QA' x CE '.. ( 1) QO y x CA' Gọi Q là giao điểm của F G và OA Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OA C với cát tuyến F GQ. Q ' A' y F ' C ' Q ' O y x F ' A ' = Ta suy ra được ( ) Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác E A C với cát tuyến F OC, suy ra F ' C ' CE ' x Q ' A' y CE ' x =. thế vào (2) ta có... 1 ( 3) F ' A' CA' y Q ' O y x CA' y = Từ (1) và (3) suy ra Q trùng với Q. kết thúc chứng minh. Cách 2: ử dụng lại kết quả của ví dụ 2 ( dựng thêm các điểm M, N) sau đó chứng minh ba đường thẳng BC, MN và F G đồng quy. Gọi G là giao điểm của MN và F G gọi Q là giao điểm của BC và F G. ' Ta có tỉ số QG = GN = GN. BC =... = Q G suy ra Q trùng với Q QF ' F ' M BC F ' M Q ' F ' Hướng dẫn

6 Gọi A1, B1, C 1 lần lượt là trung điểm của BN, NA, AB khi đó các điểm I, J, K lần lượt thuộc B C, C A, A B IC1 KB1 JA1 Ta chứng minh.. 1 IB KA JC = Từ đó suy ra điều phải chứng minh. ( có thể giải bài toán này bằng phương pháp diện tích )