Bài tập Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 5,6,7 CHƯƠNG 5,6,7 ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 1. Giả sử có hai nhà kinh tế định ước lượng mức chi

Bản ghi

1 CHƯƠNG 5,6,7 ƯỚC LƯỢNG VÀ KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 1. Giả sử có hai nhà kinh tế định ước lượng mức chi tiêu trung bình của các gia đình cho thực phẩm và họ dùng hai ước lượng không chệch độc lập nhau là U và V. Do nhà kinh tế thứ hai ít cẩn thận hơn nên độ lệch chuẩn của V lớn gấp 3 lần độ lệch chuẩn của U. Để kết hợp hai ước lượng lại sao cho thu được một ước lượng chung của m người ta đề nghị 3 cách sau: X 1 = 1 2 U V ; X 2 = 3 4 U V ; X 3 = 2 3 U V a) Trong các ước lượng trên, ước lượng nào là không chệch? b) Trong các ước lượng trên, ước lượng nào là hiệu quả hơn cả? ĐS: a) Cả 3; b) X Cho W = (X 1, X 2, X 3 ) là một mẫu ngẫu nhiên được lập từ tổng thể phân phối chuẩn N(µ; σ 2 ). Lập thống kê G = 1 3 X X X 3 a) Tìm kỳ vọng toán và phương sai của G? b) G có phải là ước lượng hiệu quả nhất của µ không? ĐS: a) E(G) = µ; V (G) = σ2 ; b) không phải 3. Cho mẫu ngẫu nhiên W = (X 1, X 2,..., X 2n 1, X 2n ) được rút ra từ tổng thể phân phối chuẩn N(µ; σ 2 ). Xây dựng hai thống kê sau X 1 = 1 n n X 2k 1 ; X 2 = 1 n n X 2k k=1 k=1 a) X 1, X 2 có phải là ước lượng không chệch của µ hay không? b) X 1, X 2 có phải là ước lượng hiệu quả nhất của µ hay không? ĐS: X 1, X 2 là ước lượng không chệch nhưng không là ước lượng hiệu quả nhất của µ 4. Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(µ, σ 2 ), σ 2 đã biết. Hãy tìm ước lượng hợp lý tối đa cho µ. ĐS: x 5. Tìm ước lượng hợp lý tối đa của tham số λ trong phân phối Poisson? ĐS: x 6. Cho X là năng suất lúa ở một khu vực (đơn vị tính: tạ/ha). Điều tra ở một số thửa ruộng ta có: X Số thửa ruộng a) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của toàn vùng với độ tin cậy 96%? b) Những thửa ruộng đạt năng suất trên 45 tạ/ha là những thửa ruộng đạt năng suất cao. Hãy ước lượng tỷ lệ những thửa ruộng đạt năng suất cao của vùng này với độ tin cậy 95%? c) Nếu muốn ước lượng năng suất lúa trung bình của toàn vùng đạt được độ chính xác là 1, 4 tạ/ha thì cần độ tin cậy là bao nhiêu? Học kỳ 2 ( ) 1

2 d) Người ta nhận định tỷ lệ những thửa ruộng đạt năng suất cao chiếm 50%. Theo bạn nhận định đó đúng không với mức ý nghĩa 5%? e) Nếu muốn ước lượng năng suất lúa trung bình với độ chính xác 0, 5 tạ/ha và độ tin cậy 99% dựa trên mẫu đã cho thì phải điều tra thêm bao nhiêu thửa ruộng nữa? ĐS: a) (43, 3565; 45, 5323); b) (0, 4243; 0, 6127); c) 0, 9918; d) nhận định đúng; e) Một công ty tiến hành điều tra thị trường về một loại sản phẩm mới. Phỏng vấn ngẫu nhiên 300 khách hàng thì có 90 người thích sản phẩm này. a) Hãy ước lượng tỉ lệ khách hàng thích sản phẩm này với độ tin cậy 98%? b) Với độ tin cậy 95%, tỉ lệ đó cao nhất là bao nhiêu? c) Nếu muốn có độ tin cậy 95% và độ chính xác của ước lượng tỉ lệ đó là 0, 03 thì cần phỏng vấn thêm bao nhiêu người nữa? d) Với mẫu điều tra trên và muốn độ chính xác của ước lượng tỉ lệ đó là 0, 0436 thì đảm bảo độ tin cậy là bao nhiêu? ĐS: a) (0, 2384; 0, 3616); b) 0, 3437; c) n = 597; d) 90% 8. Khảo sát về thu nhập của một số người trong một công ty ta có các số liệu sau: Thu nhập (triệu đ/năm) Số người Thu nhập (triệu đ/năm) Số người a) Những người có thu nhập trên 1, 5 triệu đồng/tháng là những người có thu nhập khá. Hãy ước lượng những người có thu nhập khá của công ty với độ tin cậy 97%. Biết tổng số người làm việc ở công ty là 1800 người. b) Nếu công ty báo cáo mức thu nhập bình quân của một người có thu nhập khá là 1, 6 triệu đ/tháng thì có tin cậy được không với mức ý nghĩa 3%? c) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng mức thu nhập trung bình của một người ở công ty với độ chính xác 700 nghìn đ/năm thì độ tin cậy là bao nhiêu? d) Ước lượng thu nhập trung bình của những người có thu nhập khá với độ tin cậy 90%? e) Nếu muốn dùng mẫu trên để ước lượng tỷ lệ người có thu nhập khá của công ty với độ chính xác 5% và độ tin cậy 99% thì cần khảo sát thu nhập của bao nhiêu người nữa? ĐS: a) (388; 687) (người); b) không chính xác; c) 97, 08%; d) (20, 2562; 21, 3718); e) Một công ty tiến hành khảo sát thăm dò thị trường người tiêu dùng tại thành phố về một loại sản phẩm A. Khảo sát ngẫu nhiên trên 400 hộ trong thành phố được số liệu về các hộ có sử dụng loại sản phẩm A như sau Số lượng (kg/tháng) , 5 1, , 5 2, Số hộ a) Nếu biết thành phố này có hộ, Hãy ước lượng khối lượng sản phẩm A được tiêu thụ trong tháng tại thành phố với độ tin cậy 96%? b) Một hộ sử dụng một tháng trên 2, 5kg sản phẩm A được xếp vào loại hộ ưa chuộng sản phẩm A. Nếu muốn ước lượng tỷ lệ hộ gia đình ưa chuộng sản phẩm A có độ chính xác 4% và độ tin cậy 98% thì cần phải khảo sát thêm bao nhiêu hộ nữa? Học kỳ 2 ( ) 2

3 c) Một công ty khác đã khảo sát thị trường trước đây để lại một tài liệu cho biết mức tiêu thụ sản phẩm A trung bình trong một tháng tại thành phố này là 740 tấn. Hãy nhận xét về tài liệu này với mức ý nghĩa 2%? d) Hãy kiểm định vấn đề trên bằng cách sử dụng P-value? ĐS: a) ( ; ) (kg); b) 592; c) chấp nhận kết quả nghiên cứu 10. Đo độ chịu lực của 200 mẫu bê tông người ta thu được kết quả như sau: Độ chịu lực (kg/cm 2 ) Số mẫu bê tông a) Hãy ước lượng độ chịu lực trung bình của bê tông với độ tin cậy 0, 95? b) Hãy ước lượng tỷ lệ bê tông loại A với độ tin cậy 0, 95. Biết rằng bê tông loại A có độ chịu lực lớn hơn 220kg/cm 2. ĐS: a) (219,29; 222,71); b) (0,471; 0,609) 11. Muốn ước lượng số lượng cá có trong hồ người ta bắt lên 2000 con, đánh dấu xong lại thả chúng xuống hồ. Sau đó người ta bắt lên 400 con và thấy có 80 con được đánh dấu. a) Với độ tin cậy 95% Hãy ước lượng số cá trong hồ? b) Nếu muốn sai số của ước lượng giảm đi một nửa thì lần sau phải đánh bắt bao nhiêu con cá? ĐS: a) (8.362; ) (con); b) (con) 12. Lãi suất cổ phiếu của một công ti trong 5 năm qua (đơn vị %) là 15; 10; 20; 7; 14. Với độ tin cậy 90% Hãy ước lượng: a) Độ phân tán? b) Độ phân tán tối đa của lãi suất cổ phiếu của công ti đó. Biết lãi suất cổ phiếu là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. ĐS: a) (0, 104; 1, 390) (%) 2 ; b) 0, 9286 (%) Rủi ro đầu tư thường được đo bằng phương sai của tỉ lệ thu hồi vốn của dự án. Theo dõi ngẫu nhiên tỉ lệ thu hồi vốn của hai dự án trong 10 năm thu được kết quả: Dự án 1 Dự án 2 Kích thước mẫu Tỉ lệ thu hồi vốn trung bình (%) 13, 2 14, 6 Phương sai mẫu (%) 2 10, 9 25, 6 a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ thu hồi vốn trung bình của hai dự án? b) Hãy ước lượng phương sai của tỉ lệ thu hồi vốn của hai dự án. Biết rằng tỉ lệ thu hồi vốn là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn? ĐS: a) DA1 : (10, 838; 15, 562) (%), DA2 : (10, 98; 18, 22) (%); b) DA1 : (5, 158; 36, 333) (%) 2, DA2 : (12, 114; 85, 333) (%) Điều tra doanh số bán hàng X (đơn vị: triệu đồng/tháng) của các hộ kinh doanh một loại hàng năm nay cho số liệu: Doanh số 11 11, , , 5 Số hộ Học kỳ 2 ( ) 3

4 a) Những hộ có doanh số trên 12, 5 triệu đồng/1 tháng là những hộ có doanh số cao. Có tài liệu cho rằng tỉ lệ hộ có doanh số cao là 35%. Cho nhận xét về tỉ lệ trong tài liệu đó với mức ý nghĩa 5%? b) Năm trước doanh số bán hàng trung bình của các hộ này là 120 triệu/1 năm. Có thể cho rằng doanh số bán hàng của các hộ này năm nay tăng lên hay không với mức ý nghĩa 1%? c) Hãy kiểm định các vấn đề trên bằng cách sử dụng P-value? ĐS: a) Bác bỏ H 0 ; b) Chấp nhận H Trước đây định mức tiêu dùng điện cho 1 hộ gia đình trong một tháng là 140KW. Do đời sống nâng cao, người ta theo dõi 100 hộ gia đình và thu được các số liệu sau: Lượng tiêu dùng Số hộ gia đình a) Hãy ước lượng mức tiêu dùng điện trung bình tối đa cho một hộ gia đình với độ tin cậy 96%? b) Với mức ý nghĩa 5%, ta có cần nâng định mức tiêu dùng lên không? c) Nếu trước đây mức biến động của mức tiêu dùng điện cho 1 hộ gia đình là σ 2 = 400. Vậy hiện nay mức độ biến động trên tăng hay giảm? Hãy cho kết luận với mức ý nghĩa 5%? Giả thiết rằng lượng điện tiêu dùng của một hộ gia đình là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. ĐS: a) 151, 5601KW; b) Cần thay đổi định mức; c) Đã tăng lên 16. Sau một năm thực hiện các biện pháp hạn chế xe máy, quan sát xe máy và ô tô qua lại tại một điểm giao thông tiêu biểu trong thành phố người ta thấy số ô tô chiếm 3, 5%. a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số xe máy tối đa trong thành phố, biết rằng thành phố có ô tô? b) Nếu năm trước tỉ lệ ô tô trong tổng số ô tô và xe máy là 4% thì với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng năm nay số xe máy trong thành phố đã giảm đi hay không Nếu giả thiết số ô tô trong thành phố không thay đổi? c) Kiểm định vấn đề trên bằng cách dùng P-value? ĐS: a) chiếc; b) Chưa đủ cơ sở cho rằng số xe máy giảm đi 17. Để so sánh trọng lượng trung bình của trẻ sơ sinh ở khu vực thành thị và nông thôn, người ta theo dõi mỗi vùng 500 trẻ có kết quả như sau: Khu vực x s Nông thôn 3, 0kg 0, 4kg Thành thị 3, 2kg 0, 3kg Với mức ý nghĩa 0, 02 có thể coi trọng lượng trẻ sơ sinh ở hai khu vực là khác nhau không? (ĐS: khác nhau) 18. Khảo sát khả năng học ngoại ngữ của sinh viên, qua một kỳ thi ngoại ngữ ta thấy trên 120 sinh viên nữ có 95 người đạt kết quả, trên 200 sinh viên nam có 140 người đạt kết quả. Với mức ý nghĩa 0, 05 có thể nói gì về khả năng học ngoại ngữ của sinh viên nam và sinh viên nữ? (ĐS: có thể xem là như nhau) 19. Thống kê số tai nạn lao động tại hai xí nghiệp có các số liệu sau: Học kỳ 2 ( ) 4

5 Xí nghiệp Số công nhân Số tai nạn lao động I II Với mức ý nghĩa 0, 05 Hãy kết luận xem chất lượng công tác bảo hộ lao động tại hai xí nghiệp trên có khác nhau không? ĐS: U qs = 1, 82 - Chưa có cơ sở để kết luận là khác nhau. 20. Công ty lương thực của thành phố A muốn tìm hiểu mức tiêu thụ gạo của nhân dân thành phố bằng cách điều tra ngẫu nhiên 400 hộ gia đình ở khắp thành phố. Kết quả điều tra về mức tiêu thụ gạo trong một năm của mẫu đã chọn được thống kê theo bảng sau: Mức tiêu thụ mỗi hộ (kg/năm) Số hộ GĐ Cho biết mức tiêu thụ gạo mỗi năm của mỗi hộ gia đình ở thành phố A có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn chưa biết và tồn thành phố có hộ gia đình. a) Hãy ước lượng tổng mức tiêu thụ gạo trung bình mỗi tháng của tồn bộ nhân dân thành phố A với độ tin cậy 0, 95. b) Nếu cho rằng hộ gia đình nào có mức tiêu thụ gạo mỗi năm dưới 625 kg là hộ gia đình có không quá 4 nhân khẩu. Hãy ước lượng số hộ gia đình có không quá 4 nhân khẩu của thành phố A với độ tin cậy 0, 90. c) Công ty lương thực của thành phố B cũng điều tra ngẫu nhiên 900 hộ gia đình của thành phố và tính được mức tiêu thụ gạo trung bình là 730 kg/năm với độ lệch chuẩn là 100 kg/năm. Biết rằng mức tiêu thụ gạo của mỗi gia đình của thành phố B trong một năm cũng có phân phối chuẩn. Có người cho rằng mức tiêu thụ gạo của mỗi hộ gia đình của hai thành phố A và B là khác nhau. Hãy kiểm định lời nhận xét đó với mức ý nghĩa 0, 025. ĐS: a) ( ; )(kg); b) (64320; 85680) (hộ gia đình); c) Nhận xét có cơ sở. 21. Giám đốc tài chính của một doanh nghiệp muốn so sánh chi phí tiếp khách giữa hai bộ phận bán hàng và sản xuất. Một mẫu điều tra 15 biên nhận chi phí mỗi nơi kết quả cho như sau: Bộ phận bán hàng x 1 = 42, 5 USD s 1 = 9, 50 USD Bộ phận sản xuất x 2 = 31, 75 USD s 2 = 8, 20 USD a) Với mức ý nghĩa 1%, có sự khác nhau hay không về chi phí trung bình giữa hai bộ phận trên. Giả sử các chi phí có cùng độ lệch chuẩn. b) Với mức ý nghĩa 1%, với số liệu trên hãy cho kết luận về sự khác nhau về phương sai của chi phí của hai bộ phận. Giả sử chi phí của hai bộ phận có phân phối chuẩn. ĐS: a) Không khác nhau; b) Phương sai như nhau 22. Độ rủi ro trong đầu tư thường được đo bằng phương sai của tỉ lệ thu hồi vốn. Để quyết định xem nên đầu tư vào ngành nào một người đã thu thập số liệu về hai ngành kinh tế và thu được kết quả sau: Học kỳ 2 ( ) 5

6 Ngành A Ngành B Số dự án điều tra Tốc độ hồn vốn trung bình (%) 10, 48 11, 00 Phương sai mẫu (%) 2 1, Vậy với mức ý nghĩa 0, 05 có thể cho rằng rủi ro đầu tư ở ngành B cao hơn ngành A hay không. Giả thiết tỉ lệ thu hồi vốn là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. ĐS: F qs = 11, 11 Học kỳ 2 ( ) 6