Ch ng 1 Lý thuyõt bëc Brower (h u h¹n chiòu) 1.1 X y dùng bëc cña nh x¹ liªn tôc BËc cña mét nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, trong ã Ω lµ mét tëp më, bþ chæ

Bản ghi

1 Ch ng 1 Lý thuyõt bëc Brower (h u h¹n chiòu) 1.1 X y dùng bëc cña nh x¹ liªn tôc BËc cña mét nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, trong ã Ω lµ mét tëp më, bþ chæn trong R n, t¹i mét ióm y (kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω) trong R n èi víi tëp Ω cã thó h nh dung nh lµ sè ( ¹i sè) c c nghiöm cña ph ng tr nh f(x) = y trong Ω. NÕu bëc b»ng 0 th ta ch a kõt luën îc nhiòu, nh ng nõu bëc lµ mét sè kh c 0 (ch¼ng h¹n lµ sè lî) th ta ch¾c ch¾n ph ng tr nh f(x) = y cã nghiöm trong Ω. Cã nhiòu c ch Ó x y dùng lý thuyõt bëc Brower, ch¼ng h¹n t«p«¹i sè hoæc gi i tých. ë y, chóng t«i sï dïng c«ng cô gi i tých, mµ cô thó lµ c c Þnh lý Hµm ng îc, Þnh lý Hµm Èn, Þnh lý Sard, Þnh lý Schwarz (vò viöc æi thø tù lêy ¹o hµm riªng). Ó x y dùng lý thuyõt bëc cho nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, t¹i mét ióm y (kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω) trong R n ta chia lµm ba b íc nh sau: ta Þnh nghüa bëc cho f lµ nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ) t¹i ióm y mµ nghþch nh cña nã kh«ng chøa ióm nµo cã Jacobien t¹i ã b»ng 0, ta Þnh nghüa bëc cho f lµ nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ) t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω, ta Þnh nghüa bëc cho f lµ nh x¹ thuéc líp C( Ω; R n ) t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω X y dùng bëc cña nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ) Cho Ω lµ mét tëp më, bþ chæn trong R n vµ f lµ nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ). Ta ký hiöu S = {x Ω Jf (x) = 0}, tëp nõp (crease) cña nh x¹ f, tëp gåm nh ng ióm x n»m trong Ω mµ Jacobien cña nh x¹ f t¹i ã b»ng 0. Khi ã, víi mçi ióm y mµ kh«ng n»m trong f(s) còng nh f( Ω) th tëp f 1 (y) chø gåm h u h¹n phçn tö. ThËt vëy, v gi sö kh«ng ph i vëy, do f 1 (y) Ω lµ tëp ãng, bþ chæn (compact) nªn nã cã mét d y {x n } n=1 (gåm

2 c c ióm ph n biöt), héi tô Õn x 0 f 1 (y). Cã Do ã, f(x 0 ) = y = f(x n ), vµ J f (x 0 ) 0 hay (f (x 0 )) 1 1. (f (x 0 )) 1 1 lim n f(x n ) f(x 0 ) f (x 0 )(x n x 0 ) x n x 0 = 0 (v«lý). Tõ ã ta cã Þnh nghüa bëc cña f lµ nh x¹ thuéc líp C 1 ( Ω; R n ) t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω, vµ nghþch nh cña nã kh«ng chøa ióm nµo mµ Jacobien t¹i ã b»ng 0. Þnh nghüa 1. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \ (f(s) f( Ω)), f C 1 ( Ω; R n ). BËc cña nh x¹ f èi víi miòn Ω t¹i ióm y îc x c Þnh nh sau: { x f deg(f, Ω, y) := 1 (y) sgn J f(x), nõuf 1 (y), 0, nõu f 1 (y) =. B»ng Þnh nghüa ta cã thó týnh bëc cña mét sè nh x¹ Æc biöt (tuyõn týnh) sau. VÝ dô 1. BËc cña nh x¹ ång nhêt I : Ω R n, Ix = x, èi víi tëp Ω t¹i ióm y R n lµ { 1, nõu y Ω, deg(i, Ω, y) := 0, nõu y Ω. VÝ dô. BËc cña nh x¹ tuyõn týnh kh«ng suy biõn T : Ω R n, èi víi tëp Ω t¹i ióm y R n lµ { sgn(dett ), nõu y Ω, deg(t, Ω, y) := 0, nõu y Ω. VÝ dô sau y sï cho ta thêy deg(f, Ω, y) = 0 nh ng ph ng tr nh f(x) = y vén cã (sè ch½n) nghiöm. VÝ dô 3. Cho nh x¹ f : ( 1, 1) R, f(x) = x ɛ, (0 < ɛ < 1). Cã f (x) = x, 0 f({ 1, 1}) f({0}) vµ f 1 (0) = { ɛ, ɛ}, nh ng deg(f, ( 1, 1), 0) = 0. Ó chuyón sang b íc thø hai ta cçn Õn mét c ch x c Þnh kh c cña bëc. MÖnh Ò 1. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \ (f(s) f( Ω)), f C 1 ( Ω; R n ). Khi ã, tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 sao cho víi bêt kú ɛ, ϕ ɛ nµo mµ 0 < ɛ < ɛ 0, ϕ ɛ C0 (R n ; R), supp ϕ ɛ B(0, ɛ) vµ ϕ ɛ (x)dx = 1 R n th deg(f, Ω, y) = Ω ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx.

3 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 3 Chøng minh. NÕu f 1 (y) =, hay y f( Ω), th do Ω lµ tëp compact ( ãng, bþ chæn trong R n ) cã f( Ω) lµ tëp compact, nªn tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 < ρ(y, f( Ω)). Khi ã, víi 0 < ɛ < ɛ 0, x Ω cã ϕ ɛ (f(x) y) = 0. Do ã, ta cã ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx = 0 = deg(f, Ω, y). NÕu f 1 (y), mµ y f(s) f( Ω), nªn Ω f 1 (y) = {x 1,..., x m }, J f (x i ) 0 i = 1,..., m. Do f C 1 ( Ω : R n ), víi mçi i cã J f (x i ) 0, nªn theo Þnh lý Hµm ng îc tån t¹i l n cën më U i cña x i, l n cën më V i cña y sao cho f : U i V i lµ vi ph«i vµ J f Ui kh«ng æi dêu. Tån t¹i sè d ng ɛ 1 sao cho B(y, ɛ 1 ) m V i. Ta Æt W i = f 1 (B(y, ɛ 1 )) U i. Khi ã, Ω\( m W i ) lµ tëp compact nªn tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 < ɛ 1 mµ ɛ 0 < ρ(y, f( Ω\( m W i ))). Khi ã, víi ɛ, ϕ ɛ nµo mµ 0 < ɛ < ɛ 0, ϕ ɛ C 0 (R n ; R), supp ϕ ɛ B(0, ɛ) vµ R n ϕ ɛ (x)dx = 1 th nõu x W i ( i = 1,..., m) : ρ(y, f(x)) > ɛ 0 > ɛ, hay ϕ ɛ (f(x) y) = 0; cßn nõu x W i : sgn J f (x) = sgn J f (x i ) 0, do ã Ω ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx = = = m ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx W i m sgn J f (x i ) ϕ ɛ (f(x) y)j f (x)dx m sgn J f (x i ). f(w i)=b(y,ɛ 1 ) 1.1. X y dùng bëc cña nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ) Ó x y dùng kh i niöm bëc cho nh x¹ f thuéc líp C ( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω ta cçn Õn mönh Ò sau. MÖnh Ò. Cho Ω lµ mét tëp më, bþ chæn trong R n, mét ióm y R n \ f( Ω), (ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0), vµ f C ( Ω; R n ). Khi ã, víi bêt kú y 1, y nµo ta còng cã nõu y i B(y, ρ 0 ), y i f(s), i = 1,, th deg(f, Ω, y 1 ) = deg(f, Ω, y ).

4 4 Chøng minh. LÊy 0 < δ < ρ 0 y y i, i = 1,. Theo MÖnh Ò 1, tån t¹i mét sè d ng ɛ < δ vµ mét hµm ϕ ɛ C0 (R n ; R), supp ϕ ɛ B(0, ɛ), sao cho víi i = 1, ta Òu cã Cã deg(f, Ω, y i ) = ϕ ɛ (z y 1 ) ϕ ɛ (z y ) = Ω ϕ ɛ (f(x) y i )J f (x)dx. 1 0 d dt ϕ ɛ(z y 1 + t(y 1 y ))dt trong ã, w(z) = ( 1 d ϕ 0 dt ɛ(z y 1 + t(y 1 y ))dt)(y 1 y ). Chó ý r»ng, víi z f( Ω), 0 < t < 1 cã = div(w(z)), (1.1) z (1 t)y 1 ty = (z y) + (1 t)(y y 1 ) + t(y y ) δ > ɛ nªn víi x Ω th w j (f(x)) = 0. Do ã, nõu Æt v i (x) = { n trong ã, A ij (x) = ( 1) i+j det{ l f k } l i,k j, th v i C 0 (R n ; R), supp v i Ω, vµ v i (x) x i = j,k=1 j=1 w j(f(x))a ij (x), nõu x Ω, 0, nõu x R n \ Ω, w j (f(x)) f k (x) A ij (x) + x k x i L¹i cã, nõu Æt g j = (f 1,..., f j 1, f j+1,..., f n ) t, vµ c j,i,k = j=1 w j (f(x)) A ij(x) x i. (1.) { det( 1 g j,..., i 1 g j, i+1 g j,..., k 1 g j, ik g j, k+1 g j,..., n g j ), nõu k > i, 0, nõu k = i, det( 1 g j,..., k 1 g j, ik g j, k+1 g j,..., i 1 g j, i+1 g j,..., n g j ), nõu k < i, cã A ij(x) x i = ( 1) i+j n k=1 c j,i,k, mµ f C ( Ω; R n ), theo Þnh lý Schwarz, ik g = ki g hay c j,i,k = ( 1) i+k 1 c j,k,i nªn A ij (x) x i = ( 1) i+j = c j,i,k = k=1 ( 1) k+j k=1 ( 1) i+j ( 1) i+k 1 c j,k,i k=1 c j,k,i = 0. (1.3)

5 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 5 Ngoµi ra, n div(v(x)) = = = f k (x) x i A ij (x) = δ jk J f (x) nªn tõ (1.)-(1.3) cã j,k=1 j,k=1 j,k=1 w j (f(x)) f k (x) A ij (x) + x k x i w j (f(x)) x k ( f k (x) ) A ij (x) x i + j=1 w j (f(x)) A ij(x) x i ( w j (f(x)) j=1 w j (f(x)) δ jk J f (x) = div(w(f(x)))j f (x) x k A ij (x) ) x i nªn tõ (1.1) deg(f, Ω, y 1 ) deg(f, Ω, y ) = (ϕ ɛ (f(x) y 1 ) ϕ ɛ (f(x) y ))J f (x)dx Ω = div(w(f(x)))j f (x)dx Ω = div(v(x))dx Ω = div(v(x))dx (v i C 0 (R n ; R), supp v i Ω) R m n i v i (x)) = dx i dx = 0, (v i (x) = 0, x Ω). x i R n 1 Tõ MÖnh Ò, víi mçi ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn th trong mét l n cën B(y, ρ 0 ), ρ 0 = ρ(y, f( Ω))(ρ lµ kho ng c ch Euclid trong kh«ng gian R n ), cña y trõ ra mét tëp f(s) cã é o 0 ( Þnh lý Sard), bëc cña f èi víi tëp Ω lµ nh nhau t¹i bêt kú ióm nµo. Ta cã thó Þnh nghüa bëc cho nh x¹ f C ( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y f( Ω) nh sau. Þnh nghüa. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \f( Ω), ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0, f C ( Ω; R n ). BËc cña nh x¹ f èi víi miòn Ω t¹i ióm y îc x c Þnh nh sau: trong ã, z B(y, ρ 0 ) \ f(s). deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, z), NhËn xðt. 1. BËc deg(f, Ω, y) lµ hµm h»ng Þa ph ng èi víi y trªn tëp R n \ f( Ω).. Trªn mçi tëp liªn th«ng A R n \ f( Ω) bëc deg(f, Ω, y) lµ kh«ng thay æi X y dùng bëc cña nh x¹ thuéc líp C( Ω; R n ) ViÖc x y dùng bëc cho nh x¹ f thuéc líp C( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω còng cçn Õn mét MÖnh Ò, gièng nh MÖnh Ò, cho ta thêy týnh h»ng Þa ph ng cña bëc èi víi c c nh x¹ f thuéc líp C ( Ω; R n ).

6 6 MÖnh Ò 3. Cho Ω lµ tëp bþ chæn trong R n, f, g lµ c c nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ) vµ y lµ mét ióm kh«ng n»m trªn nh cña biªn Ω cña nh x¹ f. Khi ã, tån t¹i mét sè d ng ɛ (phô thuéc vµo f, g, Ω) sao cho deg(f + tg, Ω, y) = deg(f, Ω, y), 0 < t < ɛ. Chøng minh. Khi g = sup x Ω g(x) = 0 th ta dô dµng cã iòu ph i chøng minh. Khi g > 0, Ó chøng minh MÖnh Ò nµy, ta chia thµnh ba tr êng hîp sau. TH1: y f( Ω) hay ρ = ρ(y, f( Ω)) > 0. Víi ɛ = th ρ g ρ(y, (f + tg)( Ω)) ρ(y, f( Ω)) t g ρ > 0, 0 < t < ɛ nªn deg(f + tg, Ω, y) = 0 = deg(f, Ω, y), 0 < t < ɛ. TH: y f( Ω) \ (f(s) f( Ω)) cã f 1 (y) = {x 1,..., x m }, J f (x i ) 0, i = 1,..., m. XÐt nh x¹ h(t, x) = f(x) tg(x) y cã h(0, x i ) = 0, D x h(0, x i ) = f (x i ), mµ f C ( Ω; R n ), f (x i ) kh«ng suy biõn, nªn theo Þnh lý Hµm Èn tån t¹i sè d ng ɛ i, l n cën më U i cña x i vµ nh x¹ liªn tôc ϕ i : ( ɛ i, ɛ i ) U i sao cho ϕ i (0) = x i, h(t, ϕ i (t)) = 0 t ( ɛ i, ɛ i ), i = 1,..., m, vµ (t, ϕ i (t)) lµ nghiöm duy nhêt cña ph ng tr nh h(t, x) = 0 trong ( ɛ i, ɛ i ) U i. Do f, g C ( Ω; R n ) nªn ta cã thó thu nhá ( ɛ i, ɛ i ) U i sao cho c c U i «i mét rêi nhau, sgn J f+tg (x) = sgn J f (x) = sgn J f (x i ) (t, x) ( ɛ i, ɛ i ) U i, y (f + tg)( Ω \ ( m U i )) t ( ɛ i, ɛ i ). Æt ɛ = min 1 i m ɛ i, víi 0 < t < ɛ : (f + tg) 1 (y) = {ϕ 1 (t),..., ϕ m (t)} sgn J f+tg (ϕ i (t)) = sgn J f (ϕ i (t)) = sgn J f (x i ) 0 y (f + tg)(ω) \ ((f + tg)(s) (f + tg)( Ω)). t ( ɛ, ɛ), Khi ã, deg(f +tg, Ω, y) = m sgn J f+tg ((ϕ i (t))) = m sgn J f (x i ) = deg(f, Ω, y), 0 < t < ɛ.

7 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 7 TH3: y f(s) \ f( Ω) cã z B(y, ρ ) \ f(s) sao cho 3 deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, z). (1.4) Mµ z B(y, ρ 3 ) \ f(s) hay z f( Ω) \ (f(s) f( Ω)) nªn tõ TH tån t¹i mét sè d ng ɛ 0 sao cho deg(f + tg, Ω, z) = deg(f, Ω, z), 0 < t < ɛ 0. (1.5) Chän sè d ng ɛ sao cho ɛ < min{ɛ 0, ρ(y,f( Ω)) 3 g }. Víi 0 < t < ɛ cã ρ(y, (f + tg)( Ω)) ρ(y, f( Ω)) t g ρ(y, z) ρ(y, f( Ω)) 3 ρ(y, f( Ω)), 3 nªn ρ(y, (f + tg)( Ω)) ρ(y, z) do ã, tõ (1.4), (1.5) cã deg(f + tg, Ω, y) = deg(f + tg, Ω, z) = deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω, y). Víi mçi f C( Ω; R n ), y f( Ω) nõu g 0, g 1 C ( Ω; R n ), f g i ρ(y,f( Ω)), i = 0, 1 th deg(g 1, Ω, y) = deg(g, Ω, y). ThËt vëy, víi 0 t 1 cã f (g 0 + t(g 1 g 0 )) (1 t) f g 0 + t f g 1 ρ(y, f( Ω)), mµ g 0, g 0 + t(g 1 g 0 ) C ( Ω; R n ) nªn theo MÖnh Ò 3 th hµm deg(g 0 + t(g 1 g 0 ), Ω, y) lµ h»ng Þa ph ng theo t trªn tëp compact [0, 1], do ã lµ h»ng trªn [0, 1] hay deg(g 0, Ω, y) = deg(g 1, Ω, y). Do Ω lµ tëp bþ chæn nªn tëp c c nh x¹ g thuéc líp C ( Ω; R n ) mµ f g < ρ(y,f( Ω)) kh c rçng, tõ ã ta cã Þnh nghüa bëc cho nh x¹ f thuéc líp C( Ω; R n ) èi víi tëp Ω t¹i ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω nh sau. Þnh nghüa 3. Cho Ω R n lµ mét tëp më, bþ chæn, vµ y R n \f( Ω), ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0, f C ( Ω; R n ). BËc cña nh x¹ f èi víi miòn Ω t¹i ióm y îc x c Þnh nh sau: trong ã, g C ( Ω; R n ), f g ρ 0. deg(f, Ω, y) = deg(g, Ω, y),

8 8 Chó ý. èi víi tr êng hîp nh x¹ f inc 1 ( Ω; R n ), ióm y f(ω) \ (f( Ω) f(s)) ta cã hai c ch x c Þnh bëc nh sau deg(f, Ω, y) x c Þnh bëi b íc 1, deg(f, Ω, y) th«ng qua c ba b íc, Çu tiªn xêp xø bëi nh x¹ thuéc líp C ( Ω; R n ), sau ã x c Þnh theo b íc. Tuy nhiªn, hai c ch nµy Òu cho ta cïng mét kõt qu. iòu nµy îc kióm tra nh c ch chøng minh ë TH cña MÖnh Ò Mét sè týnh chêt cña bëc Nh vëy ta Þnh nghüa îc kh i niöm bëc cho nh x¹ liªn tôc f tõ mét tëp bþ chæn Ω trong R n vµo R n èi víi tëp Ω t¹i mét ióm y kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω. Hay nãi c ch kh c, ta x y dùng îc mét hµm tõ tëp c c bé ba (f, Ω, y), trong ã Ω lµ mét tëp bþ chæn trong R n, f lµ nh x¹ liªn tôc tõ Ω vµo R n, y lµ mét ióm kh«ng n»m trong nh cña biªn Ω, vµo tëp c c sè nguyªn: deg : {(f, Ω, y) f : Ω liªn tôc R n, Ω bþ chæn R n, y R n \ f( Ω)} Z. Tõ viöc x y dùng bëc ta th ý bëc cã mét sè týnh chêt sau. Þnh lý 4. (d1) deg(id, Ω, y) = 1, nõu y Ω. (d) deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω 1, y) + deg(f, Ω, y), trong ã Ω 1 Ω =, Ω 1 Ω Ω, y f( Ω \ (Ω 1 Ω )). (d3) deg(h(t,.), Ω, y(t)) lµ hµm kh«ng phô thuéc vµo t trªn [0, 1], trong ã h : [0, 1] Ω R n, y : [0, 1] R n lµ c c nh x¹ liªn tôc, y(t) h(t, Ω), t [0, 1]. (d4) nõu deg(f, Ω, y) 0 th f 1 (y). (d5) deg(., Ω, y) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp c c nh x¹ liªn tôc f : Ω R n, mµ y f( Ω). deg(f, Ω,.) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp R n \ f( Ω). Do ã, deg(f, Ω,.) lµ h»ng sè trªn tõng thµnh phçn liªn th«ng cña tëp R n \ f( Ω). (d6) deg(g, Ω, y) = deg(f, Ω, y) nõu y f( Ω), f Ω = g Ω. (d7) deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω 1, y) nõu Ω 1 lµ tëp më trong Ω, y f( Ω \ Ω 1 ). Chó ý. Ng êi ta chøng minh îc r»ng cã duy nhêt mét hµm deg : {(f, Ω, y) f : Ω mµ tho m n ba týnh chêt (d1), (d), (d3). liªn tôc R n, Ω bþ chæn R n, y R n \ f( Ω)} Z,

9 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 9 Chøng minh. C c týnh chêt (d1), (d4) dô dµng kióm tra. TÝnh chêt (d7) îc suy ra tõ týnh chêt (d) b»ng c ch lêy Ω = vµ deg(f,, y) = 0. TÝnh chêt (d6) îc suy ra tõ týnh chêt (d3) b»ng c ch chän c c nh x¹ h, y nh sau h : [0, 1] Ω R n, h(t, x) = tf(x) + (1 t)g(x) y : [0, 1] R n, y(t) = y. TÝnh chêt d(3) îc suy ra tõ týnh chêt (d6) b»ng c ch sau. Víi mçi t 0 [0, 1], do deg(., Ω, y(t 0 )) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp c c nh x¹ liªn tôc f : Ω R n mµ y(t 0 ) f( Ω), vµ h, y lµ c c nh x¹ liªn tôc, y(t 0 ) h(t 0, Ω), nªn tån t¹i mét l n cën w t0 cña t 0 trong [0, 1] mµ deg(h(t,.), Ω, y(t 0 )) = deg(h(t 0,.), Ω, y(t 0 )) t w t0. (1.6) B»ng c ch thu nhá l n cën w t0 sao cho ρ(y(t), y(t 0 )) < ρ(y(t 0 ), h(t, Ω)) ta cã Tõ (1.6), (1.7) ta cã deg(h(t,.), Ω, y(t)) = deg(h(t,.), Ω, y(t 0 )) t w t0. (1.7) deg(h(t,.), Ω, y(t)) = deg(h(t 0,.), Ω, y(t 0 )) t w t0 hay deg(h(t,.), Ω, y(t)) lµ hµm h»ng Þa ph ng trªn tëp compact [0, 1], hay lµ hµm h»ng trªn ã. Nh vëy ta chø cßn ph i chøng minh hai týnh chêt (d), (d5). Ta chøng minh týnh chêt (d). Tõ gi thiõt y f( Ω \ (Ω 1 Ω )) cã ρ(y, f( Ω)) ρ 0 (= ρ(y, f( Ω \ (Ω 1 Ω )))), ρ(y, f( Ω 1 )) ρ 0, ρ(y, f( Ω )) ρ 0. Khi ã, tån t¹i g C ( Ω), f g ρ 0 4, ρ 1 = ρ(y, g( Ω \ (Ω 1 Ω )) > 0 mµ Theo Þnh nghüa, tån t¹i z B(y, ρ 1 ) \ g(s) deg(f, Ω, y) = deg(g, Ω, y), (1.8) deg(f, Ω i, y) = deg(g, Ω i, y), i = 1,. (1.9) deg(g, Ω, y) = deg(g, Ω, z), (1.10) deg(g, Ω i, y) = deg(g, Ω i, z), i = 1,. (1.11) Do ρ 1 = ρ(y, g( Ω \ (Ω 1 Ω )) > 0 nªn z (g( Ω \ (Ω 1 Ω ) g(s)), do ã tõ Þnh nghüa cã Tõ (1.8)-(1.1) ta cã deg(g, Ω, z) = deg(g, Ω 1, z) + deg(g, Ω, z). (1.1) deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω 1, z) + deg(f, Ω, z).

10 10 B y giê, ta chøng minh týnh chêt (d5). LÊy f C( Ω), y f( Ω)(ρ 0 = ρ(y, f( Ω)) > 0). Chän l n cën U(f) = {g C( Ω) f g < ρ 0 4 }. Ta sï chøng minh trong l n cën U(f) bëc deg(., Ω, y) lµ kh«ng æi. ThËt vëy, tõ Þnh nghüa cã mét nh x¹ g 0 U(f) C ( Ω; R n ) sao cho Víi g U(f) cã deg(f, Ω, y) = deg(g 0, Ω, y). (1.13) g g 0 f g + f g 0 3ρ 0 8, ρ(y, g( Ω)) ρ(y, f( Ω)) f g 3ρ 0 4, nªn g g 0 1 ρ(y, g( Ω)), do ã theo MÖnh Ò 3 cã Tõ (1.13), (1.14) cã deg(g, Ω, y) = deg(g 0, Ω, y). (1.14) deg(f, Ω, y) = deg(g, Ω, y) hay deg(., Ω, y) lµ hµm h»ng trong l n cën U(f). Cuèi cïng, ta chøng minh deg(f, Ω,.) lµ hµm h»ng Þa ph ng theo y vµ lµ h»ng sè trªn tõng thµnh phçn liªn th«ng cña tëp R n \ f( Ω). NÕu y f( Ω) hay ρ = ρ(y, f( Ω)) > 0 ta chän l n cën Khi ã, z U(y) th f 1 (z) = hay U(y) = {z R n ρ(y, z) < ρ}. deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, z), z U(y). NÕu y f(ω) \ f( Ω) th theo Þnh nghüa tån t¹i y 0 B(y, ρ 0 ) \ f(s) sao cho Víi z B(y, ρ 0 ) \ f( Ω) cã 4 deg(f, Ω, y) = deg(f, Ω, y 0 ). (1.15) ρ(z, f( Ω)) ρ(y, f( Ω)) ρ(y, z) 3ρ 0 4, ρ(z, y 0 ) ρ(z, y) + ρ(y, y 0 ) 3ρ 0 4, nªn ρ(z, f( Ω)) ρ(z, y 0 ) do ã theo MÖnh Ò cã Tõ (1.15), (1.16) cã deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω, y 0 ). (1.16) deg(f, Ω, z) = deg(f, Ω, y), z B(y, ρ 0 4 ) \ f( Ω). ViÖc chøng minh deg(f, Ω,.) lµ h»ng sè trªn tõng thµnh phçn liªn th«ng cña tëp R n \ f( Ω) îc suy ra dô dµng tõ týnh chêt h»ng Þa ph ng cña nã.

11 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower C c øng dông cña lý thuyõt bëc Çu tiªn, ta sï dïng lý thuyõt bëc Ó chøng minh mét sè Þnh lý ch¼ng h¹n Þnh lý co rót, Þnh lý ióm bêt éng Brower, Þnh lý Miranda-Poincare, vµ Æc biöt Þnh lý Borsuk. Þnh lý Borsuk cã nhiòu p dông, nh Þnh lý vò Qu bãng tãc (Hairy ball), Þnh lý b nh Sandwich, vµ mét sè Þnh lý hêp dén kh c. Tr íc hõt, ta chøng minh Þnh lý Qu cçu tãc. Ó chøng minh Þnh lý nµy ta cçn Bæ Ò sau. Bæ Ò 5. Víi n lµ mét sè lî, kh«ng thó cã ång lu n H : [0, 1] S n 1 S n 1 mµ H(., 0) = id, H(., 1) = id. Chøng minh. Gi sö cã mét ång lu n H : [0, 1] S n 1 S n 1 mµ H(0,.) = id, H(1,.) = id. Tõ Þnh lý th c tión Tietze, ta cã thó th c trión ång lu n trªn thµnh ång lu n H : [0, 1] B n R n. Mµ H(0, x) = x, H(1, x) = x khi x S n 1 nªn theo týnh chêt (d3), (d6) trong Þnh lý 4 cã 1 = deg(id, B n, 0) = deg(h(0,.), B n, 0) = deg(h(1,.), B n, 0) = deg( id, B n, 0) = ( 1) n n lî = 1. iòu nµy lµ v«lý. Þnh lý 6. ( Þnh lý Qu cçu tãc) Víi n lµ mét sè lî. Víi mét tr êng vect bêt kú trªn mæt cçu n vþ S n 1 Òu cã thó t m îc trªn mæt cçu S n 1 mét ióm mµ t¹i ã tr êng vect cã gi trþ lµ vect 0. Chøng minh. Ta chøng minh Þnh lý nµy b»ng ph n chøng. Gi sö cã tr ng vect ϕ trªn S n 1 mµ nã kh c 0 t¹i mäi ióm trªn mæt cçu S n 1, nghüa lµ liªn tôc n 1 ϕ : S R n, (ϕ(x), x) = 0, x S n 1, ϕ(x) 0, x S n 1.

12 1 XÐt ång lu n sau th H : [0, 1] S n 1 R n, x H(t, x) = cos(πt)x + sin(πt) ϕ(x) ϕ(x), iòu nµy tr i víi Bæ Ò 5. H(t, x) = x = 1, (t, x) [0, 1] S n 1, H(0, x) = x, H(1, x) = x, x S n Þnh lý Brower vò ióm bêt éng vµ mét sè d¹ng t ng ng cña nã Þnh lý 7. ( Þnh lý co rót) H nh cçu ãng n vþ B n trong kh«ng gian R n kh«ng lµ tëp co rót îc. Nãi c ch kh c, kh«ng thó cã mét nh x¹ liªn tôc f tõ h nh cçu ãng B n lªn mæt cçu S n 1 mµ h¹n chõ cña nã trªn mæt cçu S n 1 lµ nh x¹ ång nhêt. Chøng minh. Gi sö ta cã thó x y dùng îc mét nh x¹ liªn tôc f tõ h nh cçu ãng B n lªn mæt cçu S n 1 mµ h¹n chõ cña nã trªn mæt cçu S n 1 lµ nh x¹ ång nhêt. Khi ã, ta xðt ång lu n sau h :[0, 1] B n R n h(t, x) = tx + (1 t)f(x). Cã h(0, x) = f(x), h(1, x) = x, h(t, x) = tx + (1 t)f(x) = tx + (1 t)x = x 0, x S n 1, t [0, 1], nªn theo týnh chêt (d3), (d1) trong Þnh lý 4 cã deg(f, B n, 0) = deg(id, B n, 0) = 1 do ã, theo týnh chêt (d4) trong Þnh lý 4 th f 1 (0). iòu nµy lµ tr i víi gi thiõt f lµ nh x¹ tõ B n vµo S n 1. Hay iòu gi sö lµ sai, nghüa lµ kh«ng cã mét nh x¹ liªn tôc f nµo tõ h nh cçu ãng B n lªn mæt cçu S n 1 mµ h¹n chõ cña nã trªn mæt cçu S n 1 lµ nh x¹ ång nhêt. Þnh lý 8. ( Þnh lý Brower) Cho f lµ mét nh x¹ liªn tôc tõ h nh cçu ãng B n vµo chýnh nã. Khi ã, f cã ióm bêt éng, nghüa lµ x B n : f(x) = x.

13 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 13 Chøng minh. Cã nhiòu c ch chøng minh Þnh lý nµy. ë y chóng t«i tr nh bµy hai c ch chøng minh. Thø nhêt, dïng lý thuyõt bëc Ó chøng minh. Thø hai, nã lµ HÖ qu cña Þnh lý co rót. C ch 1. NÕu cã mét ióm x S n 1 mµ f(x) = x th Þnh lý îc chøng minh. NÕu víi mäi x S n 1 mµ f(x) x hay x tf(x) 0, 0 t 1. XÐt ång lu n sau Cã h(0, x) = x, h(1, x) = x f(x), h :[0, 1] B n R n h(t, x) = x tf(x). h(t, x) = x tf(x) 0, x S n 1, t [0, 1], nªn theo týnh chêt (d3), (d1) trong Þnh lý 4 cã deg(id f, B n, 0) = deg(id, B n, 0) = 1 do ã, theo týnh chêt (d4) trong Þnh lý 4 th (id f) 1 (0). Hay x B n : f(x) = x. C ch. Gi sö nh x¹ liªn tôc f tõ B n vµo chýnh nã kh«ng cã ióm bêt éng, nghüa lµ f(x) x, x B n. Khi ã, ta lu«n cã thó nèi x vµ f(x) thµnh mét tia T x = {tf(x) + (1 t)x t 0} cã gèc t¹i x. Tia T x nµy sï c¾t mæt cçu S n 1 t¹i duy nhêt mét ióm ϕ(x). Nh vëy, ta x y dùng îc mét nh x¹ liªn tôc cã týnh chêt ϕ(x) = x nõu x S n 1. ϕ : B n S n 1 iòu nµy tr i víi Þnh lý co rót. Do ã, iòu gi sö sai hay mét nh x¹ liªn tôc f tõ B n vµo chýnh nã cã ióm bêt éng. NhËn xðt. TÝnh chêt ióm bêt éng lµ bêt biõn èi víi mét phðp ång ph«i, nªn mét nh x¹ liªn tôc tõ mét tëp ång ph«i víi h nh cçu ãng B n vµo chýnh nã Òu cã ióm bêt éng. Ch¼ng h¹n, nh x¹ liªn tôc f tõ mét tëp låi, compact, kh c rçng D vµo chýnh nã cã ióm bêt éng. Ta cã thó chøng minh kõt qu nµy b»ng Þnh lý th c trión Tietze, mµ kh«ng cçn x y dùng phðp ång ph«i tõ h nh cçu ãng B n lªn tëp låi, compact, kh c rçng D, nh sau. B»ng Þnh lý th c trión Tietze, tån t¹i mét nh x¹ liªn tôc f : R n R n, f D = f, f(r n ) conv(f(d)) D.

14 14 Mµ D lµ tëp compact nªn tån t¹i mét sè d ng R Ó D B(0, R). Khi ã, f B(0,R) : B(0, R) (D )B(0, R). Do ã, f B(0,R) cã ióm bêt éng hay mµ f B(0,R) (B(0, R)) D nªn Ta cã iòu ph i chøng minh. x B(0, R) : x = f B(0,R) (x) x D : x = f B(0,R) (x) = f(x). Þnh lý 9. ( Þnh lý Miranda-Poincare) Ký hiöu [a, b] = {x R n a (i) x (i) b (i), i = 1,..., n}, trong ã a = (a (1),..., a (n) ), b = (b (1),..., b (n) ), a (i) < b (i), i = 1,..., n. Cho f lµ mét nh x¹ liªn tôc tõ [a, b] vµo R n tho m n f i (x (1),..., x (i 1), a (i), x (i+1),..., x (n) ) 0, f i (x (1),..., x (i 1), b (i), x (i+1),..., x (n) ) 0. Khi ã, tån t¹i x [a, b] mµ f(x) = 0. Chó ý. y lµ më réng tù nhiªn cña Þnh lý Bonzano-Cauchy ( Þnh lý gi trþ trung b nh) lªn nhiòu chiòu. Tuy nhiªn viöc chøng minh th kh«ng ph i lµ mét më réng tçm th êng. Cã thó chøng minh trùc tiõp Þnh lý nµy b»ng ph ng ph p quy n¹p nh ng ph i sö dông thµnh th¹o c c Þnh lý Hµm ng îc, Hµm Èn, Sard vµ phðp ång lu n. ë y, chóng t«i sö dông lý thuyõt bëc Ó chøng minh. Chøng minh. LÊy x 0 = 1 (a + b). Gi sö (1 t)f(x) = t(x x 0 ), víi t [0, 1], x [a, b]. Do x [a, b] nªn cã mét chø sè i sao cho hoæc x (i) = a (i) hoæc x (i) = b (i). NÕu x (i) = a (i) th x (i) x (i) 0 < 0, f i (x) 0 nªn t = 0 do ã f(x) = 0. NÕu x (i) = b (i) th x (i) x (i) 0 > 0, f i (x) 0 nªn t = 0 do ã f(x) = 0. Nh vëy, nõu cã x [a, b] mµ f(x) = 0 th ta cã iòu ph i chøng minh. Cßn nõu kh«ng ph i vëy th (1 t)f(x) t(x x 0 ) 0, t [0, 1], x [a, b]. Khi ã, xðt ång lu n sau XÐt ång lu n sau Cã h(0, x) = f(x), h(1, x) = x 0 x, h :[0, 1] B n R n h(t, x) = (1 t)f(x) t(x x 0 ). h(t, x) = (1 t)f(x) t(x x 0 ) 0, x [a, b], t [0, 1],

15 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 15 nªn theo týnh chêt (d3), (d1) trong Þnh lý 4 cã deg(f, [a, b], 0) = deg(x 0 id, [a, b], 0) = ( 1) n 0 do ã, theo týnh chêt (d4) trong Þnh lý 4 th f 1 (0). Hay tån t¹i x [a, b] mµ f(x) = 0. NhËn xðt. Ng êi ta chøng minh îc r»ng Þnh lý Brower vµ Þnh lý Miranda-Poincare lµ t ng ng nhau. ë y, chóng t«i sï dïng Þnh lý Miranda-Poincare Ó chøng minh Þnh lý Brower nh sau. Gi sö f lµ nh x¹ liªn tôc tõ h nh cçu n vþ ãng B n (theo chuèn max) vµo chýnh nã. Víi mçi m > 1, xðt nh x¹ sau g m : B n R n, g m i (x) = f i (x) NÕu x = (x (1),..., x (i 1), 1, x (i+1),..., x (n) ) th g m i (x) < 1 NÕu x = (x (1),..., x (i 1), 1, x (i+1),..., x (n) ) th g m i (x) > 1 + m m 1 < 0. m m 1 > 0. m m 1 x i. Do ã theo Þnh lý Miranda-Poincare tån t¹i x m B n mµ g m (x m ) = 0. Mµ B n lµ tëp compact nªn d y {x m } m= cã d y con héi tô Õn x 0 B n. L¹i cã, g m héi tô Òu Õn nh x¹ f(x) x trªn B n khi m tiõn ra v«cïng. Do ã, f(x 0 ) = x Þnh lý Borsuk vµ c c øng dông cña nã Þnh lý 10. ( Þnh lý Borsuk) Cho Ω lµ mét tëp më, bþ chæn, èi xøng (x Ω ( x) Ω) vµ chøa gèc to¹ é trong R n, f C( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî (f( x)) = f(x) vµ nh cña biªn f( Ω) kh«ng chøa gèc to¹ é. Khi ã, deg(f, Ω, 0) lµ sè lî. Chó ý. Tr íc khi i vµo chøng minh Þnh lý Borsuk, ta Ó ý r»ng víi mét nh x¹ liªn tôc f bêt kú trªn mét tëp èi xøng cã nhiòu c ch Ó t¹o ra mét nh x¹ lî ch¼ng h¹n (f(x) f( x)) lµ mét nh x¹ lî, liªn tôc. Ngoµi ra, nõu biõt bëc lµ mét sè lî, nghüa lµ nã kh c 0, th ph ng tr nh cã nghiöm. Chøng minh. Ta cã thó gi sö r»ng f C 1 ( Ω; R n ), 0 f( Ω) vµ J f (0) 0. V nõu kh«ng ta cã thó x y dùng mét nh x¹ lî f C 1 ( Ω; R n ), 0 f( Ω) vµ J f (0) 0 mµ deg(f, Ω, 0) = deg( f, Ω, 0) nh sau. LÊy mét nh x¹ g 1 C 1 ( Ω; R n ) sao cho f g 1 lµ mét sè ñ nhá ( iòu nµy lµm îc do Ω lµ compact ). Æt g (x) = 1 (g 1(x) g 1 ( x)).

16 16 Cã g C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî vµ g (0) cã óng n gi trþ riªng (kó c béi) nªn ta cã thó chän mét sè d ng λ ñ nhá mµ kh«ng ph i lµ gi trþ riªng cña g (0). Ta Æt f(x) = g (x) λx, cã f C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, J f(0) = J g λid(0) 0, f f 1 sup (g 1 (x) f(x)) (g 1 ( x) f( x)) + λx x Ω g 1 f + λ sup x x Ω mµ Ω lµ compact, nªn víi g 1 f ñ nhá, λ ñ nhá th deg( f, Ω, 0) = deg(f, Ω, 0). Chó ý r»ng, mæc dï J f (0) 0 nh ng 0 vén cã thó lµ ióm nõp cña f. Trong tr êng hîp 0 f(s f ) th do f lµ nh x¹ lî nªn nõu f(x) = 0, J f (x) 0 th f( x) = 0, J f ( x) = ( 1) n J f (x). Do ã, cã lµ sè lî. deg(f, Ω, 0) = sgn J f (0) + x f 1 (0)\{0} sgn J f (x) Ta sï x y dùng mét nh x¹ lî g C 1 ( Ω; R n ) mµ 0 (g(s g ) g( Ω)) vµ deg(f, Ω, 0) = deg(g, Ω, 0). Chän ϕ C 1 (R; R) mµ ϕ( t) = ϕ(t) t R, ϕ (0) = 0, ϕ(t) = 0 chø khi t = 0 (ch¼ng h¹n ϕ(t) = t 3 ). Æt Ω k = {x Ω i {1,..., k} : x (i) 0}, f 1 (x) = f(x) ϕ(x (1) ) ( f 1 : Ω 1 R n ). Cã f 1 C 1 (Ω 1 ; R n ) lµ nh x¹ lî. Do m( f 1 (S f1 )) = 0 nªn ta cã thó chän y 1 gçn gèc to¹ é tuy ý sao cho y 1 f 1 (S f1 ). Æt g 1 (x) = f(x) ϕ(x (1) )y 1. Do khi g 1 (x) = 0, x (1) 0 th g 1(x) = ϕ(x (1) ) f 1(x) nªn g 1 C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, 0 g 1 (S g1 Ω 1 ),

17 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 17 g 1 ñ gçn f (khi y 1 ñ nhá). Gi sö ta x y dùng îc nh x¹ lî g k g k (S gk Ω k ). Æt f k+1 (x) = g k(x) ϕ(x (k+1) ) C 1 ( Ω; R n )(1 k < n) ñ gçn f vµ 0 ( f k+1 : {x Ω k+1 x (k+1) 0} R n ). Do m( f k+1 (S fk+1 )) = 0 nªn ta cã thó chän y k+1 gçn gèc to¹ é tïy ý sao cho y k+1 f k+1 (S fk+1 ). Æt Do khi g k+1 (x) = 0, x (k+1) 0 th nªn g k+1 (x) = g k (x) ϕ(x (k+1) )y k+1. g k+1(x) = g k(x) (0,..., ϕ (x (k+1) )y k+1,..., 0) t = ϕ(x (k+1) ) f k+1(x) g k+1 C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, 0 g k+1 (S gk+1 {x Ω k+1 x (k+1) 0}), x Ω k+1, x (k+1) = 0 th g k+1 (x) = g k (x) vµ g k+1 (x) = g k (x), do ã 0 g k+1 (S gk+1 Ω k+1 ), g k+1 ñ gçn f (khi y 1,..., y k+1 ñ nhá). Nh vëy, b»ng quy n¹p ta sï x y dùng îc nh x¹ g = g n C 1 ( Ω; R n ) sao cho g n C 1 ( Ω; R n ) lµ nh x¹ lî, 0 g n (S gn Ω n ), x Ω \ Ω n, nghüa lµ x = 0 th g n(0) = g k (0) = f (0), do ã 0 g n (S gn Ω), g n ñ gçn f (khi y 1,..., y n ñ nhá) hay deg(g n, Ω, 0) = deg(f, Ω, 0). Sau y lµ mét vµi øng dông cña Þnh lý Borsuk. Þnh lý 11. ( Þnh lý Borsuk- Ulam) Cho f : B n R n lµ mét nh x¹ liªn tôc. Khi ã, tån t¹i x B n mµ f( x) = f(x).

18 18 Chøng minh. p dông Þnh lý Borsuk cho nh x¹ sau g : B n R n, g(x) = 1 (f(x) f( x)), lµ mét hµm liªn tôc, lî trªn tëp bþ chæn, èi xøng, chøa gèc to¹ é. NÕu 0 g(s n 1 ) th deg(g, B n, 0) lµ sè lî, kh c 0, nªn tån t¹i x B n mµ g(x) = 1(f(x) f( x)) = 0 hay f(x) = f( x). NÕu 0 g(s n 1 ) nghüa lµ tån t¹i x B n mµ g(x) = 1 (f(x) f( x)) = 0 hay f(x) = f( x). Þnh lý 1. ( Þnh lý b nh Sandwich) Cho A 1,..., A n lµ c c tëp bþ chæn, o îc trong R n. Khi ã, tån t¹i mét siªu ph¼ng H = {y R n (y, a) = b}, trong ã a R n, b R lµ cè Þnh, chia Òu c c A i, i = 1,..., n theo é o, nghüa lµ m(a i H + ) = m(a i H ), i = 1,..., n, trong ã, H + = {y R n (y, a) b}, H = {y R n (y, a) b}. Chøng minh. Ta cã nhën xðt sau B n = {x R n x (n+1) 0 : (x, x (n+1) ) S n } lµ mét tëp compact, èi xøng vµ chøa gèc to¹ é. Víi mçi x B n cã duy nhêt mét x (n+1) 0 mµ (x, x (n+1) ) S n, ta Æt Ta x y dùng îc nh x¹ sau H x = {y R n (y, x) = x (n+1) }, H + x = {y R n (y, x) x (n+1) }. f : B n R n, f i (x) = m(a i H + x ). DÔ thêy f tho m n Þnh lý Borsuk- Ulam, nªn tån t¹i x 0 B n mµ f i ( x 0 ) = f i (x 0 ), i = 1,..., n hay m(a i H + x 0 ) = m(a i H x 0 ), i = 1,..., n. Trong Lý thuyõt Ph ng tr nh elliptic cã mét iòu thó vþ sau. Trong kh«ng gian cã sè chiòu lín h n, to n tö vi ph n a α D α lµ elliptic th bëc cña nã m ph i lµ sè ch½n. α m iòu nµy nghüa lµ víi n 3, nõu a thøc sau P (ξ) = a α ξ α, a α C α =m

19 Bµi 1. Lý thuyõt bëc Brower 19 kh«ng cã nghiöm ξ R n \ {0} th bëc m cña nã lµ sè ch½n. Chó ý r»ng, nõu hö sè a α lµ c c sè thùc th dô dµng chøng minh. Tuy nhiªn, ë y c c hö sè a α lµ c c sè phøc th kh«ng qu hión nhiªn. Bëi v, khi n = iòu nµy kh«ng cßn óng, ch¼ng h¹n a thøc sau Þnh lý 13. Víi n 3, nõu a thøc sau P (ξ 1, ξ ) = ξ 1 + ( 1) 1/ ξ. P (ξ) = α =m a α ξ α, a α C kh«ng cã nghiöm ξ R n \ {0} th bëc m cña nã lµ sè ch½n. Chøng minh. Ta chøng minh Þnh lý b»ng ph n chøng. Gi sö m lµ sè lî. XÐt nh x¹ Cã f : R R, f(ξ 1, ξ ) = (ReP (ξ 1, ξ, 0,..., 0), ImP (ξ 1, ξ, 0,..., 0)). f( ξ 1, ξ ) = ( 1) m f(ξ 1, ξ ) m = lî f(ξ 1, ξ ), f(ξ 1, ξ ) 0, ξ 1 + ξ 0, nªn theo Þnh lý Borsuk deg(f, B(0, 1), 0) lµ sè lî. Víi mçi h > 0 xðt nh x¹ f h : R R, f h (ξ 1, ξ ) = (ReP (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0), ImP (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0)). Víi h > 0 ñ nhá th f h ñ gçn f nªn theo týnh chêt (d5) trong Þnh lý 4 cã deg(f h, B(0, 1), 0) = deg(f, B(0, 1), 0) lµ mét sè lî, kh c 0, nªn tån t¹i (ξ 1, ξ ) B(0, 1) sao cho f h (ξ 1, ξ ) = 0 hay P (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0) = 0 víi (ξ 1, ξ, h, 0,..., 0) R n \ {0}. iòu nµy tr i víi gi thiõt hay m lµ sè ch½n. Þnh lý d íi y lµ mét Þnh lý thó vþ trong gi i tých nhiòu chiòu. Khi sè chiòu b»ng 1 viöc chøng minh kh«ng khã. Nh ng khi sè chiòu lín h n 1 viöc chøng minh kh«ng cßn n gi n. Þnh lý 14. Cho f : R n R n lµ nh x¹ liªn tôc, n nh tho m n f(x) khi x. Khi ã, f lµ mét ång ph«i.

20 0 Chøng minh. Çu tiªn, ta chøng minh f lµ toµn nh. Khi ã, tõ gi thiõt, f cã nh x¹ ng îc. Ó chøng minh f lµ toµn nh, Ó ý r»ng R n lµ tëp liªn th«ng, ta sï chøng minh f(r n ) võa ãng, võa më. LÊy y R n sao cho cã d y {x n } n=1 trong Rn mµ f(x n ) y khi n. D y {x n } n=1 lµ d y bþ chæn v nõu kh«ng nã cã mét d y con x n k, theo gi thiõt th f(x nk ) khi n k. iòu nµy m u thuén víi viöc f(x n ) y khi n. Khi ã, {x n } n=1 cã mét d y con x n k x R n, mµ f liªn tôc, f(x nk ) f(x) khi n k. Do ã, y = f(x) hay y f(r n ). Do ã, f(r n ) ãng. Ta chøng minh f(r n ) më, nghüa lµ víi mçi x 0 R n ta ph i chø ra c c sè d ng r, R sao cho B(f(x 0 ), R) f(b(x 0, r)). Ta chø cçn chøng minh iòu nµy èi víi ióm x 0 = 0 vµ hµm f mµ f(0) = 0. V nõu kh«ng ta xðt hµm th f(x) = f(x + x 0 ) f(x 0 ) f : R n lt,1 1 R n, f(x) khi x, f(0) = 0, B(0, r) + x 0 = B(x 0, r), B(0, R) = B(f(x 0 ), R) f(x 0 ). Chän r = 1, ký hiöu B n = {x R n x 1}. Do f lµ n nh nªn f Bn : B n f( B n ) lµ song nh. XÐt ång lu n Cã H : [0, 1] B n R n, 1 t H(t, x) = f Bn( x) f B n( 1 + t 1 + t x). 1)H(0, x) = f Bn(x), H(1, x) = f Bn( x x ) f B n( ), ) nõu H(t, x) = 0, (t, x) [0, 1] S n 1 th f Bn( 1 t 1 x) = 1+t f B n( x) do ã x = t x 1+t 1+t 1+t hay x = 0 (v«lý v x S n 1 ), nªn H(t, x) 0, (t, x) [0, 1] S n 1, 3) H(1, x) lµ nh x¹ lî nªn theo Þnh lý Borsuk deg(h(1,.), B n, 0) lµ sè lî. Khi ã, theo týnh chêt (d3), (d5) trong Þnh lý 4 cã mét sè d ng R sao cho deg(f B n, B n, y) = deg(f B n, B n, 0) = deg(h(1,.), B n, 0), y B(0, R), lµ sè lî hay B(0, R) f(b n ). ViÖc chøng minh f 1 liªn tôc kh«ng khã.