Đề chọn đội VMO 2016 Người tổng hợp: Nguyễn Trung Tuân Ngày 16 tháng 12 năm 2015 Tóm tắt nội dung Tài liệu chứa các đề chọn đội VMO 2016 của các tỉnh.

Bản ghi

1 Đề chọn đội VMO 2016 Người tổng hợp: Nguyễn Trung Tuân Ngày 16 tháng 12 năm 2015 Tóm tắt nội dung Tài liệu chứa các đề chọn đội VMO 2016 của các tỉnh. Mục lục 1 Hà Nội 4 2 Thành phố Hồ Chí Minh Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Quảng Ninh Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Bình Thuận 8 5 Hà Tĩnh Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Quảng Ngãi Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Hải Phòng Vòng Vòng 2 - Ngày thứ nhất Vòng 2 - Ngày thứ hai

2 8 Thanh Hóa Vòng Vòng Kiên Giang Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Đà Nẵng Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Hải Dương Ninh Bình Phú Thọ Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Nam Định Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Đại học Vinh Ngày thứ nhất Ngày thứ hai Chuyên Khoa học tự nhiên Vòng 1 - Ngày thứ nhất Vòng 1 - Ngày thứ hai Vòng 2 - Ngày thứ nhất Vòng 2 - Ngày thứ hai Chuyên Sư phạm Ngày thứ nhất Ngày thứ hai

3 19 Đoạn cuối 33 3

4 1 Hà Nội Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x, y) sao cho x2 y + xy 2 + 8x xy 2 + 4y số nguyên. là Bài 2. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 0, u 2 = 1, u n+2 = u n + u n n 1. Chứng minh u 2017 (u ) chia hết cho Bài 3. Với a, b, c [0; 2] thỏa mãn a + b + c = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab + a + bc + b + ca + c. Bài 4. Cho (c) là đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm trên (c) khác A và B sao cho ÂOC > 90. Trên đoạn thẳng OC ta lấy điểm K khác O và C. Gọi (c 1 ) là đường tròn tâm K bán kính KC và AD, AE là các tiếp tuyến của nó (D, E là các tiếp điểm). Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BK và DE cùng đi qua một điểm. Bài 5. Cho k là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện: Tồn tại 2k + 1 số nguyên dương phân biệt có tổng lớn hơn m và tổng của k số bất kì trong 2k + 1 số đó không vượt quá m 2. 4

5 2 Thành phố Hồ Chí Minh 2.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Chứng minh phương trình 3x 3 24x x 47 = 0 có ba nghiệm thực và ba nghiệm đó là độ dài các cạnh của một tam giác có góc lớn hơn 120. Bài 2. Xét x, y, z [0; 1] thỏa mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 xy yz zx + 1. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi K là một điểm bất kỳ trên đoạn AH. Trên tia KB lấy điểm M sao cho CA = CM, trên tia KC lấy điểm N sao cho BA = BN. Giả sử CM và BN cắt nhau tại I. Chứng minh rằng IM = IN. Bài 4. Cho hàm số f : N N thỏa mãn f(2) = 5, f(2016) = 2015, f(n) = f(f(n 1)) n 1. Tính f(0), f(1) và f(2015) biết f(2015) là một số lẻ. 2.2 Ngày thứ hai Bài 1. Cho dãy (a n ) xác định bởi a 1 = 1, a 2 = 1 2 và Chứng minh a n+1 = Z. a 2015 a 2016 a 2 n n 2. a n 1 + (5a n + 1) 2 Bài 2. Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với 60 < Â < 90. Gọi B 1 là điểm đối xứng với B qua AC, C 1 là điểm đối xứng với C qua AB, O 1 là điểm đối xứng với O qua BC. Chứng minh tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB 1 C 1 nằm trên O 1 A. Bài 3. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho a 3 + b và b 3 + a là lũy thừa của 2. Bài 4. Cần loại khỏi {1, 2,, 2015} ít nhất bao nhiêu phần tử để các phần tử còn lại có tính chất: không phần tử nào bằng tích của hai phần tử khác? 5

6 3 Quảng Ninh 3.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Giả sử a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a 3 b b3 c c3 a Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏa mãn f(f(x) + 3y) = 12x + f(f(y) x) x, y R. Bài 3. Cho số nguyên n > 1 và số nguyên tố p sao cho p 2 chia hết cho n và n 3 +n+2 chia hết cho p. Chứng minh rằng 4p 7 là một số chính phương. Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), H là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.P là điểm thay đổi nằm trong ABC và nằm trên đường phân giác qua A. Đường tròn đường kính AP cắt (O) tại điểm thứ hai G.L là hình chiếu vuông góc của P lên AH. a) Chứng minh rằng đường thẳng GL luôn đi qua một điểm cố định khi P thay đổi. b) Chứng minh rằng nếu GL đi qua trung điểm của HP thì P là tâm nội tiếp của ABC. 3.2 Ngày thứ hai Bài 1. Cho k là một số nguyên dương và dãy số (u n ) được xác định bởi Tính giới hạn lim n + u 1 = 3, u n+1 = u n + 4n + 2 n 1. un + u 4n + + u 4 k n un + u 2n + +. u 2 k n Bài 2. Tìm tất cả các đa thức P với hệ số thực thỏa mãn (x 1)P (x + 1) (x + 1)P (x 1) = 4P (x). Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn và không cân. Gọi AA 1, BB 1 là các đường cao của tam giác. Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A 1 B 1 C tại N (khác C). Gọi M là trung điểm của AB, K là giao điểm của CN và AB. CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CA 1 B 1 tại điểm thứ hai P, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai Q. 6

7 a) Chứng minh KP đi qua trực tâm của ABC; b) Chứng minh MP = MQ. Bài 4. Có n học sinh tham gia một cuộc thi học sinh giỏi Toán và mỗi học sinh giải được đúng 3 bài toán. Hai học sinh bất kỳ có đúng một bài toán mà cả hai cùng giải được, trong khi đó mỗi bài toán được giải bởi đúng k học sinh. Tìm tất cả các số nguyên dương n và k thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 7

8 4 Bình Thuận Bài 1. Giải hệ phương trình { x 3 y x 3 = 1 x 2 y 2 + 2x 2 y 8x = 2. Bài 2. Cho x, y, z > 0 thoả mãn xy + yz + zx + xyz = 4. Chứng minh x y + y z + z x x + y + z xy + yz + zx. Bài 3. Cho tam giác ABC có AB +BC = 3AC, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Trên cạnh AC lấy M sao cho AM = CF. Gọi N, P là giao điểm của MB và đường tròn (I) với N nằm giữa B và P. Đường thẳng CN cắt đường thẳng DE tại K. Chứng minh rằng đường tròn qua ba điểm I, K, N tiếp xúc với đường tròn (I). Bài 4. Trong một hội nghị có 155 đại biểu, ban tổ chức nhận thấy có ít nhất 2015 cặp đại biểu quen biết nhau. Chứng minh rằng tồn tại 4 đại biểu A, B, C, D sao cho A và B, B và C, C và D, D và A quen biết nhau. 8

9 5 Hà Tĩnh 5.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho dãy số (x n ) xác định bởi x 1 = 1 và x n+1 = x n n 1. Tìm số thực dương a sao cho dãy (y n ) xác định bởi y n = giới hạn hữu hạn khác 0. a n x 1 x 2 x n n 1 có Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AH và tâm đường tròn nội tiếp I. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC và D là điểm đối xứng với A qua O. Đường thẳng MD cắt các đường thẳng BC, AH lần lượt tại P, Q. 1) Chứng minh rằng tam giác IP Q vuông; 2) Đường thẳng DI cắt (O) tại điểm thứ hai E. Hai đường thẳng AE, BC cắt nhau tại F. Chứng minh rằng nếu AB + AC = 2BC thì I là trọng tâm của tam giác AP F. Bài 3. Tìm tất cả các đa thức P với hệ số thực thỏa mãn P 3 (x) 3P 2 (x) = P (x 3 ) 3P ( x). Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn: tồn tại cách chia hình vuông có độ dài cạnh là n thành đúng 5 hình chữ nhật sao cho độ dài các cạnh của các hình chữ nhật đó là các số 1, 2,, Ngày thứ hai Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f : R R sao cho f(x 4 + f(y)) = y + f 4 (x) x, y R. Bài 2. Cho các số hữu tỷ a, b, c thỏa mãn a + b + c Z và (2a 1) 2 + (2b 1) 2 + (2c 1) 2 = 3. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên m, n thỏa mãn gcd(m, n) = 1 và abc = m2 n 3. Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường tròn (J) tiếp xúc ngoài với (O) tại D đồng thời tiếp xúc với tia đối của các tia BA, CA lần 9

10 lượt tại E, F. a) Chứng minh rằng DB DC = 1 + cos C 1 + cos B ; b) Giả sử AJ cắt (O) tại điểm thứ hai T. Gọi P, Q lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ AB, AC của (O) sao cho P Q BC. Các đường thẳng AP, BC cắt nhau tại M. Gọi I, N lần lượt là trung điểm của các đoạn EF, IM. Chứng minh rằng giao điểm của các đường thẳng NT, IQ luôn thuộc một đường cố định. Bài 4. Cho P là một đa giác lồi có 2016 cạnh. Một cách chia P thành các đường chéo không cắt nhau bên trong P được gọi là một cách chia đẹp P. a) Chứng minh rằng số đường chéo cần phải nối để chia đẹp P theo các cách khác nhau đều bằng nhau; b) Một tam giác thu được từ phép chia đẹp P nói trên được gọi là tam giác trong nếu cả 3 cạnh của nó đều là các đường chéo của P. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia đẹp P mà có đúng một tam giác trong biết rằng hai cách chia là khác nhau nếu có ít nhất một cặp tam giác không trùng nhau. 10

11 6 Quảng Ngãi 6.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 2a + b + 8bc b (a + c) 2 a + b + c. + 3 Bài 2. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi u 1 = 3, u n+1 = u2 n u n + 2 n n u i 1 Thành lập dãy (v n ) với v n = u i+1 2. Tìm lim n + v n. i=1 Bài 3. Người ta viết sẵn trên bảng đen n số nguyên dương 1, 2,..., n với n 2 và cho thực hiện trò chơi như sau: Ở mỗi bước đi, người chơi được phép chọn tùy ý hai số đang có trên bảng, xóa chúng đi và viết vào đó một số bằng hai lần tổng của hai số vừa được xóa. Trò chơi kết thúc sau n 1 bước đi. Số duy nhất có mặt trên bảng sẽ là số viên kẹo mà người chơi được thưởng. Chứng minh rằng dù chơi thế nào người chơi cũng được thưởng nhiều hơn 4n3 viên kẹo. 9 Bài 4. Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) có bán kính không bằng nhau và tiếp xúc ngoài với nhau tại T. Kẻ O 1 A tiếp xúc với (O 2 ) tại A, O 2 B tiếp xúc với (O 1 ) tại B sao cho A, B nằm về cùng một phía với O 1 O 2. Lấy H thuộc O 1 A, K thuộc O 2 B sao cho BH và AK cùng vuông góc với O 1 O 2, T H cắt (O 1 ) tại E, T K cắt (O 2 ) tại F, O 1 A cắt O 2 B tại I, EF cắt AB tại S. a) Chứng minh IT là phân giác góc O 1 IO 2. b) Chứng minh ba đường thẳng O 1 A, O 2 B và T S đồng quy. 6.2 Ngày thứ hai Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên N và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 2f(n)f(k + n) 2f(k n) = 3f(n)f(k), k n, f(1) = 1. Bài 6. 1) Cho 11 số nguyên dương a 1, a 2,..., a 11. Chứng minh rằng luôn tồn tại các 11

12 số x i { 1; 0; 1} (i = 1; 2;...; 11) không đồng thời bằng 0 sao cho 11 i=1 x ia i chia hết cho ) Cho đa thức P (x) với các hệ số nguyên, chia hết cho 3 khi x lấy các giá trị nguyên k, k + 1, k + 2. Chứng minh rằng P (m) chia hết cho 3, m Z. Bài 7. Trên mặt phẳng cho điểm I cố định và ba đường tròn (O 1 ; R 1 ),(O 2 ; R 2 ), (O 3 ; R 3 ) cùng qua I; ngoài ra A, B, C theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O 2 ) và (O 3 ), (O 3 ) và (O 1 ), (O 1 ) và (O 2 ). Biết rằng I nằm trong tam giác ABC. Đường thẳng d 1 tiếp xúc với (O 1 ), (O 2 ) lần lượt tại M, N và không cắt (O 3 ), đường thẳng d 2 tiếp xúc với (O 2 ), (O 3 ) lần lượt tại P, Q và không cắt (O 1 ), đường thẳng d 3 tiếp xúc với (O 3 ), (O 1 ) lần lượt tại E, F và không cắt (O 2 ). Giả sử các đường tròn (O 1 ), (O 2 ) và (O 3 ) thay đổi sao cho R1 2 + R2 2 + R Hãy tính bán kính của các đường tròn (O 1 ), (O 2 ) và (O 3 ) và khoảng cách giữa các tâm các đường tròn đó sao cho tổng S = S IMN + S IP Q + S IEF lớn nhất. 12

13 7 Hải Phòng 7.1 Vòng 1 2z + x 3 z = 3x 2 Bài 1. Giải hệ phương trình 2x + y 3 x = 3y 2 (x, y, z R) 2y + z 3 y = 3z 2. Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng 1 a 2 + b 2 + c 2 + a + 1 a 2 + b 2 + c 2 + b + 1 a 2 + b 2 + c 2 + c 9 2. Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AB. D là một điểm thay đổi trên tia đối của tia BC; MD cắt AC tại E. Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên AC. a) Chứng minh hàng A, C, E, I điều hòa; b) Gọi H là hình chiếu của A trên BC, HE cắt AD tại F, CF cắt DI tại K, N là trung điểm của DK. Chứng minh N nằm trên một đường thẳng cố định. Bài 4. Cho các số tự nhiên lẻ a, b thỏa mãn a 2 + b = 14ab. Chứng minh rằng 7 ab. Bài 5. Với mỗi số nguyên dương n, gọi a n là số hoán vị f : [n] [n] thỏa mãn f(f(f(k))) = k k [n]. Tìm chữ số cuối cùng của a Vòng 2 - Ngày thứ nhất Bài 1. Cho dãy số (u n ) xác định bởi u 1 = 1 2, u 2 = 3 2, u n+1 = 20 u n + 15 u n 1 2 n 2. Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 2. Cho hàm số f : R R thỏa mãn (y + 1)f(x) + f(xf(y) + f(x + y)) = y x, y R. a) Chứng minh f(0) 1; b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện trên. 13

14 Bài 3. Tam giác ABC có tâm nội tiếp I. Một đường tròn qua B, C cắt các đoạn IB, IC tại P, Q sao cho BP.CQ = P I.QI. Chứng minh a) Hai đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác P QI, ABC tiếp xúc với nhau tại T ; b) IT đi qua trung điểm của P Q. Bài 4. Cho đa giác đều A 1 A 2... A 15 nội tiếp (O). Có bao nhiêu tứ giác lồi ABCD không phải là hình thang mà A, B, C, D {A 1, A 2,, A 15 } và O nằm trong ABCD. (Hai tứ giác được gọi là khác nhau nếu tập các đỉnh của chúng khác nhau.) 7.3 Vòng 2 - Ngày thứ hai Bài 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AD cắt BC tại E, AB cắt CD tại F, AC cắt BD tại M, EM cắt OF tại N. P, Q là trung điểm của AC, BD. Các đường tròn ngoại tiếp AQD, BQC cắt nhau tại R khác Q. Chứng minh rằng M, N, O, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn. Bài 2. Tìm tất cả các đa thức với hệ số thực P sao cho x, y, z R, xy + yz + zx = 1 P (x) + P (y) + P (z) = P (x + y + z). Bài 3. Tìm x, y nguyên dương sao cho 3x 5 + 4x + 5 = 9.4 y. Bài 4. Cho đa giác lồi G có 2016 cạnh. X là tập chứa n > 1 cạnh hay đường chéo của G sao cho 2 đoạn bất kỳ trong X đều có điểm chung. Tìm giá trị lớn nhất của n. 14

15 8 Thanh Hóa 8.1 Vòng 1 Bài 1. Cho dãy (u n ) được xác định bởi u 0 = a 0, u n+1 = u 2 n n 0. Hãy tìm tất cả các giá trị của a để dãy có giới hạn hữu hạn. Bài 2. Cho a, b, c là các số không âm và không có hai trong các số đó đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng 1 b 2 bc + c c 2 ca + a a 2 ab + b 3 2 ab + bc + ca. Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 3. Cho tam giác ABC không cân ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường tròn ω tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Các đường thẳng AI, BI, CI cắt lại đường tròn ω lần lượt tại các điểm thứ hai ở D, E, F. Các đường thẳng đi qua I song song với BC, CA, AB lần lượt cắt các đường thẳng EF, DF, DE tại các điểm K, L, M. a) Chứng minh K, L, M thẳng hàng và nằm trên đường thẳng vuông góc với OI; b) Gọi X là giao điểm của AI và EF, Y là giao điểm của BI và DF, Z là giao điểm của CI và DE. Điểm P bất kỳ trên đường thẳng BC (P B, C). Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác P DX, P EY, P F Z cùng đi qua điểm Q khác P và Q thuộc một đường tròn cố định khi P thay đổi trên đường thẳng BC. Bài 4. Cho tập hợp M gồm n (n N ) phần tử. Với cặp tập con (A, B) của X, ta tính số phần tử của A B. Tính tổng của tất cả các số phần tử của mọi giao có thể gồm hai tập con của tập M. 8.2 Vòng 2 Bài 1. Tìm tất cả các hàm f : R (0; + ) sao cho với mọi số thực x các điều kiện sau đây đồng thời thỏa mãn: (i) f(2x) = f 2 (x); (ii) f( x) = 1 f(x) ; 15

16 (iii) f(x) x + 1. Bài 2. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. Gọi I a, I b và I c lần lượt là tâm của đường tròn bàng tiếp góc A, đường tròn bàng tiếp góc B và đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác đó. Gọi (I b ), (I c) lần lượt là các đường tròn đối xứng với các đường tròn (I b ), (I c ) qua trung điểm các cạnh AC, AB. P, Q là giao điểm của (I b ), (I c). a) Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các đường tròn (I b ), (I c); b) Chứng minh rằng P Q đi qua tiếp điểm của (I a ) với cạnh BC. (Ở đây ký hiệu (X) là đường tròn tâm X). Bài 3. Cho đa thức f(x) = x 6 11x x Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p đều tìm được số nguyên dương n sao cho p f(n). 16

17 9 Kiên Giang 9.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng ( ) 3 ( ) a + b + c ab + bc + ca a2 + b 2 + c Bài 2. Cho dãy số (u n ) được xác định bởi u 1 (0; 1), u n = 1 ( ) u n 1 + 3u 2 n n 2. Chứng minh rằng dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Bài 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M thuộc cung BC (không chứa A). Gọi D, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các đường thẳng AC, AB. Xác định điểm M để độ dài DH lớn nhất. Bài 4. Cho P 0 (x), P 1 (x),..., P 9 (x) là các đa thức thỏa mãn: P 0 (x 10 ) + xp 1 (x 10 ) x 8 P 8 (x 10 ) = (x 9 + x x + 1)P 9 (x) x R. Chứng minh P k (1) = 0 với k = 1, Ngày thứ hai Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏa mãn f(x f(y)) = 1 x y, x, y R. Bài 6. Chứng minh rằng phương trình (4x 1)(4y 1) = 4z không có nghiệm nguyên dương nhưng có vô số nghiệm nguyên. Bài 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao AH. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại điểm D. Đường tròn đường kính AI cắt đường tròn (O) tại điểm M và cắt đường thẳng AH tại điểm N (M, N khác A). a) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trung điểm T của cung BC (không chứa A). b) Chứng minh rằng ba điểm M, N, D thẳng hàng. 17

18 10 Đà Nẵng 10.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Giả sử x 1, x 2, x 3...x 2015 là 2015 số thực thuộc đoạn [ 1, 1] thỏa mãn ) Chứng minh x i < 672; i= x 3 i = 0. i= ) Tìm giá trị lớn nhất của x i. i=1 Bài 2. Giả sử a 1, a 2, a 3...a 2016 là một dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện a m + a n a m+n a m + a n + 1 với mọi cặp số nguyên dương m, n mà m + n Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho a n = [nx] với mỗi n {1, 2,.., 2016} Bài 3. Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường phân giác góc A của tam giác cắt cạnh BC tại D và cắt lại đường tròn (O) tại E. Gọi K là điểm nằm trong mặt phẳng chứa ABC, thỏa mãn các điều kiện KB = KC và BKC + BAC = 180. Giả sử K nằm trong ABC. 1) Chứng minh rằng bốn điểm A, O, K, D cùng thuộc một đường tròn, kí hiệu là (P ). 2) Gọi L là giao điểm thứ hai của (P ) và (O). Chứng minh LAB = KAC. 3) Gọi G là giao điểm của AL và BC; I là tâm đường tròn nội tiếp ABC; M là trung điểm của đoạn GI, N là giao điểm thứ hai của đường thẳng EM và đường tròn (O). Chứng minh rằng các đường thẳng NI, AK cắt nhau tại một điểm thuộc (O). Bài 4. Có một số bi màu xanh, một số bi màu đỏ, một số bi màu trắng được đặt sẵn trong một cái hộp. Một người chơi được cung cấp đủ lượng bi thuộc cả 3 loại màu xanh, đỏ, trắng và tại mỗi lượt người chơi sẽ lấy từ hộp ra 2 viên bi rồi thực hiện tiếp trò chơi theo luật như sau: - nếu 2 viên bi được lấy ra có màu khác nhau thì người chơi phải bỏ vào hộp 1 viên bi khác màu với 2 viên đó(cụ thể: nếu đã lấy ra 1 bi xanh, 1 bi đỏ thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi trắng, nếu đã lấy ra 1 bi đỏ, 1 bi trắng thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi xanh, nếu đã lấy ra 1 bi trắng, 1 bi xanh thì phải bỏ vào hộp 1 viên bi đỏ) 18

19 - nếu 2 viên bi được lấy ra cùng màu với nhau thì người chơi ko phải bỏ lại vào hộp viên bi nào cả. Và cứ như thế cuộc chơi chỉ dừng lại khi trong hộp hết bi hoặc chỉ còn 1 viên bi. Chứng minh rằng kết quả cuối cùng của cuộc chơi ko phụ thuộc vào cách lấy bi của người chơi( cho dù người chơi được phép nhìn vào hộp) Ngày thứ hai Bài 5. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O, R) và ngoại tiếp đtròn (I; r), O I. Một đường tròn ω đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng OI tại I. Đường thẳng AO cắt đường tròn ω tại G. Đường thẳng đi qua I và vuông góc với BC cắt lại đường tròn ω tại K. Gọi L là điểm đối xứng với K qua A. 1) Chứng minh rằng AG = 2r. 2) Giả sử hai điểm B, C cố định. Khi A di chuyển trên đường tròn (O), chứng minh rằng LI luôn đi qua một điểm cố định. Bài 6. Cho P (t) là một đa thức với hệ số thực (của một biến số t) thỏa mãn P (1) = P ( 1). Chứng minh rằng có một đa thức Q(x, y) với hệ số thực (của hai biến số x, y) sao cho P (t) = Q(t 2 1, t(t 2 1)) với mọi giá trị của t. Bài 7. Cho số tự nhiên n > 2 và tập S gồm n điểm nằm trên một đường tròn. Tìm số lớn nhất có thể có các tam giác nhọn mà cả ba đỉnh đều thuộc S. 19

20 11 Hải Dương Bài 1. Cho dãy số (y n ) thỏa mãn y 1 > 0 và y 3 n+1 = y 1 + y y n n 1. Chứng minh rằng dãy (y n )/n có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 2. 1) Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Một đường tròn tiếp xúc với tia AB, AC tại E, F đồng thời tiếp xúc trong với (O) tại T. Các tiếp tuyến tại A, T của (O) cắt nhau tại K. Đường thẳng T E cắt (O) tại M khác T, đường thẳng T F cắt (O) tại N khác T. Chứng minh K, M, N thẳng hàng. 2) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có AC, BD vuông góc với nhau tại H. Gọi I, J, K, L lần lượt là các hình chiếu của H trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA. Biết IK, JL đều không đi qua H. Chứng minh rằng giao điểm của IK và JL nằm trên OH. Bài 3. Cho m là số nguyên dương và p là số nguyên tố lớn hơn m. Chứng minh rằng số các số nguyên dương n sao cho đa thức f(x) = mx 2 (m+n p)x+n có nghiệm hữu tỷ bằng số ước dương của m. Bài 4. Cho một dãy gồm 2016 ô vuông xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách điền các số 1, 2, 3, 4, 5 vào các ô vuông đó sao cho mỗi ô vuông chỉ điền một số và hiệu hai số trong mỗi hai ô vuông kề nhau bằng 1 hoặc 1? 20

21 12 Ninh Bình Câu 1. Cho trước số tự nhiên n(n 3); a 1, a 2,..., a n là các số thực dương bất kì. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a 2 1 na a 2 a 3 + a 2 2 na a 3 a a 2 n 1 na 2 n 1 + a n a 1 + a 2 n na 2 n + a 1 a 2. Câu 2. Cho trước 2 số thực dương α, β. Hàm số f : (0; + ) (0; + ) thỏa mãn f(f(x)) + αf(x) = β(α + β)x, x > 0. Tính f(2015). Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và D là một điểm thuộc cung BC của đường tròn (O) không chứa A. M là trung điểm của đoạn thẳng BC. P là một điểm nằm trên đường thẳng DM. E, F lần lượt là hai điểm thuộc đoạn thẳng AC, AB sao cho P E DC, P F DB. Các tiếp tuyến tại E, F của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt nhau tại T. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn O cắt nhau tại S. Gọi Q là điểm thuộc đường tròn (O) sao cho DQ BC. Chứng minh rằng AQ ST. Câu 4. Cho n 3, n N, X {1; 2;...; n 3 }, X = 3n 2. Chứng minh rằng có thể tìm được 9 số a 1, a 2,..., a 9 đôi một khác nhau thuộc X sao cho a 1 x + a 2 y + a 3 z = 0 hệ phương trình a 4 x + a 5 y + a 6 z = 0 có nghiệm nguyên (x 0, y 0, z 0 ) thỏa a 7 x + a 8 y + z 9 z = 0 mãn x 0, y 0, z

22 13 Phú Thọ 13.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho dãy số thực x n xác định bởi x 1 = 3 và x n+1 = 3 + x n 1 3x n n 1. Chứng minh rằng dãy số (x n ) không có giới hạn hữu hạn khi n. Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f : R R thoả mãn f(xf(x) + f(y)) = y + f 2 (x) x, y R. Bài 3. Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới (O)( B, C là các tiếp điểm). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. D là một điểm bất kì trên EF. Từ D kẻ tiếp tuyến DP, DQ tới (O)(P, Q là các tiếp điểm). Giả sử P Q cắt EF tại M. Chứng minh rằng DAM = 90. Bài 4. Với các số nguyên a, b, c thuộc đoạn [1; 2015], hỏi có tất cả bao nhiêu bộ (a, b, c) sao cho 9 a 3 + b 3 + c 3? 13.2 Ngày thứ hai Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4 + a + b + c + 2a b 2 + c 2 + 2b c 2 + a 2 + 2c a 2 + b 2 9. Bài 2. Cho p là một số nguyên tố lẻ. Xét a 1, a 2,, a n là các số nguyên dương phân biệt không vượt quá p 1 thỏa mãn p a k 1 + a k a k n k = 1, 2,, p 2. Giả sử σ là một hoán vị của {a 1, a 2,, a n }. Chứng minh rằng tồn tại i, j (i j) sao cho p a i σ(a i ) a j σ(a j ). Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tập {1, 3,, 2n 1} có thể phân hoạch thành 12 tập con mà tổng các phần tử của mỗi tập con đều bằng nhau. 22

23 14 Nam Định 14.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Giải hệ phương trình Bài 2. Dãy số thực dương (u n ) thỏa mãn { 3x 3 16 = 2(x 2 x + y) 3y 3 16 = 2(y 2 y + x). u 2016 n+1 = u 1 + u u n n 1. 1) Chứng minh u 2015 n+1 < u 2015 n + 1 n 1; 2) Chứng minh dãy (u n /n) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC, D, E, F là chân các đường cao kẻ từ A, B, C. Các đường thẳng EF, BC cắt nhau tại G. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là hình chiếu của H trên AG, N là trung điểm của EF, M là trung điểm của BC. Các đoạn AH, EF cắt nhau tại L. Đường trung trực của LD cắt GH tại P. 1) Gọi I là giao điểm của HG, AM. Chứng minh HG AM và L, I, D, P cùng nằm trên một đường tròn; 2) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác KGI, DP L tiếp xúc nhau. Bài 4. Hàm số f : (0; + ) R thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1) Tồn tại a > 0 để f(a) = 1; ( ( ) a a 2) f(x)f(y) + f f = 2f(xy) x, y > 0. x) y Chứng minh f là hàm hằng. Bài 5. Cho A = {P 1, P 2,, P 2016 } là tập các điểm phân biệt trong không gian thỏa mãn: Với ba điểm bất kỳ thuộc A luôn tồn tại ít nhất hai điểm mà đoạn thẳng nối hai điểm đó có độ dài bé hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại hai hình cầu S 1, S 2 bán kính 1 sao cho mỗi điểm của tập A nằm bên trong S 1 hoặc S Ngày thứ hai Bài 1. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn 1 a + 1 b + 1 c + 1 d = 4. 23

24 Chứng minh rằng a3 + b b3 + c c3 + d d3 + a 3 2 2(a + b + c + d) 4. Bài 2. Tìm tất cả P, Q R[x] sao cho P (Q(x)) = P (x)q(x). Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp (O). AD, BE, CF là các đường cao của tam giác. Gọi (ω) là đường tròn tâm A và đi qua D. Hai đường tròn (ω) và (O) cắt nhau tại M, N. 1) Chứng minh MN đi qua trung điểm của các đoạn DE, DF ; 2) Gọi G là giao điểm của BC và EF ; DP là đường kính của (ω). Đường thẳng P G cắt (ω) tại điểm thứ hai Q. Chứng minh rằng trung điểm của DQ nằm trên (O). Bài 4. Tìm tất cả các cặp (n, p) các số nguyên dương sao cho p nguyên tố, n 2p và n p 1 (p 1) n + 1. Bài 5. Cho tập E = {2017, 2018,, n} (n > 1) có n phần tử. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn: Với mỗi A E, tồn tại a, b, c A hoặc a, b, c E \ A sao cho a b + c =

25 15 Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh 15.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho A là tập tất cả các số nguyên dương không vượt quá 2016 và nguyên tố cùng nhau với Hỏi có bao nhiêu số a A mà tồn tại b Z sao cho a b là số chính phương. Bài 2. Cho a, b, c và d là các số thực thỏa mãn a 2 1, a 2 + b 2 5, a 2 + b 2 + c 2 14, a 2 + b 2 + c 2 + d Chứng minh rằng 1) a + b + c + d 10; 2) ad + bc 10. Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f : R R thỏa mãn f(x 2f(y)) = 5f(x) 4x 2f(y) x, y R. Bài 4. Cho đường tròn k với dây BC không phải đường kính. I là trung điểm của BC, điểm A di động trên cung lớn BC. Gọi I 1 là đường tròn qua I tiếp xúc với AB tại B. I 2 là đường tròn qua I tiếp xúc với AC tại C. Các đường tròn I 1, I 2 cắt nhau tại D khác I. a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AID đi qua một điểm cố định khác I. b) Gọi K là trung điểm của AD. E là tâm đường tròn qua K tiếp xúc với AB tại A, F là tâm đường tròn qua K tiếp xúc với AC tại A. Chứng minh ÊAF không đổi Ngày thứ hai Bài 1. Dãy số (x n ) được xác định bởi x n = Tìm giới hạn 1 ( ) n N. 1 n cos n lim x 1 + x 3 + x x 2n 1. x 2 + x 4 + x x 2n { (x 1) 2 + (y + 1) 2 = b Bài 2. Tìm b để tồn tại a sao cho hệ y = x 2 + (2a + 1)x + a 2 có nghiệm. 25

26 Bài 3. Cho số nguyên dương n > 1 và X = {1, 2,..., n}. A 1, A 2,..., A m và B 1, B 2,..., B m là hai dãy các tập con khác rỗng của X thỏa mãn điều kiện: Với mọi i và j thuộc {1, 2,..., m}, A i B j = nếu và chỉ nếu i = j. a) Chứng minh rằng với mỗi hoán vị (x 1, x 2,..., x n ) của X, có không quá một cặp (A i ; B i ) với i {1, 2,..., m} sao cho nếu x k A i và x l B i thì k < l. b) Gọi a i, b i lần lượt là số phần tử của các tập A i ; B i. Chứng minh rằng m 1 i=1 C a 1. i a i +b i Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường tròn (I) qua B và C lần lượt cắt BA, CA tại E, F. a) Giả sử các tia BF, CE cắt nhau tại D và T là tâm (AEF ). Chứng minh OT ID; b) Trên BF, CE lần lượt lấy các điểm G, H sao cho AG CE và AH BF. Các đường tròn (ABF ), (ACE) cắt BC tại các điểm M, N ( khác B và C ) và cắt EF tại P, Q ( khác E và F ). Gọi K là giao điểm MP và NQ. Chứng minh DK GH. 26

27 16 Đại học Vinh 16.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho số a > 0 và dãy (x n ) xác định bởi x 1 = x 2 = a, x n+1 = x n + 2 x n 1 n 3 n 2. Chứng minh rằng x n < 2(a + 3) n 1. Bài 2. Tìm tất cả các hàm f : (0; + ) (0; + ) sao cho các bất đẳng thức (i) f(x + y) f(x) + 2y; (ii) f(f(x)) 4x, đúng với mọi số thực dương x, y. Bài 3. Cho tam giác ABC và điểm X nằm trong tam giác đó. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của X lên các cạnh BC, BA và A, C lần lượt là điểm đối xứng của X qua BC, BA. a) Gọi E = BC XK, F = AB XH. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi Y là giao điểm thứ hai của đường tròn (A BC ) với đường tròn đường kính BX. Chứng minh rằng KX KY = HX HY. Bài 4. Một lớp học có n học sinh cùng tham gia trò chơi tô màu trên một bảng vuông n n như sau: - Trong phút đầu tiên, n học sinh tô màu n ô không cùng hàng hoặc cùng cột; - Trong mỗi phút tiếp theo, mỗi học sinh tô một ô có cạnh chung với ô mà học sinh đó tô ở phút liền trước; - Mỗi ô chỉ được tô đúng một lần. Hỏi sau n phút bảng vuông có thể được tô kín hay không trong các trường hợp: a) n = 30? b) n = 31? 27

28 16.2 Ngày thứ hai Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = a b + b c + c a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a + b + 1 a 2 + b b + c + 1 b 2 + c c + a + 1 c 2 + a Bài 2. Cho ABCD là tứ giác vừa nội tiếp vừa ngoại tiếp đường tròn. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của tứ giác. Đường thẳng qua I, song song với AB cắt AD và BC tại H và K. Chứng minh rằng độ dài HK bằng một phần tư chu vi tứ giác ABCD. Bài 3. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n sao cho p n có chứa 2015 chữ số bằng nhau liên tiếp. 28

29 17 Chuyên Khoa học tự nhiên 17.1 Vòng 1 - Ngày thứ nhất Câu I. Giải hệ { (x 2 + y 2 )(x + y 3) = 4y 6x (x 2 + y 2 )(x y 5) = 4x 6y. Câu II. Cho dãy (a n ) xác định bởi a 0 = 2; a 1 = 4; a 2 = 11 và a n = (n + 6)a n 1 3(2n + 1)a n 2 + 9(n 2)a n 3 (n 3). Chứng minh rằng trong dãy trên tồn tại vô hạn các số a n sao cho a n 1 chia hết cho Câu III. Cho tam giác ABC không cân, nhọn nội tiếp (O) cố định. B, C cố định và A di chuyển trên (O). I là tâm nội tiếp. AI cắt (O) tại điểm thứ hai M. F là hình chiếu của I lên AB. IF cắt BC tại S. SM cắt (O) tại T. (a) Chứng minh T I luôn đi qua một điểm cố định G khi A di chuyển. (b) Gọi H là trực tâm ABC. Q đối xứng với H qua F. L là hình chiếu của F lên IC. R đối xứng với I qua L. Chứng minh F L, QR, GI đồng quy. Câu IV. Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng xy 3 z Vòng 1 - Ngày thứ hai (x 2 + yz) 2 (y 3 + z 3 ) 3 8. Câu I. Chứng minh rằng phương trình x 2015 y 2016 = 2115 không có nghiệm với x, y Z. Câu II. Tìm số nguyên dương n 2015 nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên, hệ số bậc cao nhất dương và đa thức Q(x) với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện xp 2 (x) 2P (x) = (x 3 x)q 2 (x) với mọi x Z. Câu III. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Các điểm E, F nằm trên CA, AB sao cho EF BC. M, N tương ứng là chân đường cao kẻ từ C, B đến DE, DF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AF N cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM tại P khác A. Chứng minh rằng AP chia đôi BC. Câu IV. Trên mặt phẳng cho n điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đường thẳng nối hai điểm trong chúng được tô bởi đúng 29

30 một trong bốn màu khác nhau. Tìm n nguyên dương lớn nhất sao cho tồn tại cách tô màu mà với 4 điểm bất kỳ trong n điểm đã cho thì các đoạn thẳng nối giữa chúng được tô bởi cả bốn màu khác nhau Vòng 2 - Ngày thứ nhất Bài 1. Cho dãy (a n ) thỏa mãn a 0 = 1 và a n+1 = 3 7 ( (a 2 n + 1) 3 +a 3 n) n 0. Chứng minh (a n ) hội tụ và tìm lim(a n ). Bài 2. Tìm tất cả n nguyên dương sao cho 3 n + 4 n + 5 n 60 n. Bài 3. Cho ABC, E, F lần lượt thuộc CA, AB sao cho EF BC. Tiếp tuyến tại E, F của (AEF ) cắt BC tại M, N BE, CF lần lượt cắt F N, EM tại K, L. (a) Chứng minh KAB = LAC; (b) BE cắt CF tại X, EN cắt F M tại Y. Chứng minh XY đi qua điểm cố định khi E, F di chuyển. Bài 4. Cho x, y, z là 3 số nguyên dương sao cho x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của x P = 2 y 4x + 5y + y 2 z 4y + 5z + z2 x 4z + 5x Vòng 2 - Ngày thứ hai Bài 1. Tìm tất cả các hàm f : R R thỏa mãn f(x 1)f(y 2 ) = yf(xy) yf(y) x, y R. { a Bài 2. Cho dãy số (a n ) thỏa mãn 0 = a 1 = 5 a n+1 = 7a n a n n 1. Chứng minh a n là tổng hai số chính phương với mỗi số tự nhiên n. Bài 3. Cho ABC, đường tròn (K) đi qua B, C cắt đoạn AC, AB tại E, F. M, N đối xứng B, C lần lượt qua E, F. Tiếp tuyến tại A của (AMN) cắt MN, BC tại P, Q. Chứng minh rằng A là trung điểm của P Q. Bài 4. Cho bảng n n (n N ) và số k n Điền vào các ô trong bảng n n các số thực thuộc đoạn [ 1; 1] sao cho tổng các số trên mỗi bảng con k k bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng n n. 30

31 18 Chuyên Sư phạm 18.1 Ngày thứ nhất Bài 1. Cho dãy (u n ) thỏa mãn u 1 = 1, u 2 = 2 và u n+2 = 3 u 2 n+1 + 6u n n 1. Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 2. Cho các số thực không âm a, b và c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng 1 a2 + 1 b c ( 6 2)(ab + bc + ca). Bài 3. Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp (O). Một đường thẳng d thay đổi vuông góc với AO, các các cạnh AB, AC tại N, P (N P ) và cắt đường thẳng BC tại S. CN cắt BP tại T và AT cắt BC tại M. Đường thẳng SA cắt (O) tại điểm thứ hai L. Đường thẳng đi qua M song song với d, cắt AB, AC tại X, Y. Chứng minh 1) Đường tròn ngoại tiếp tam giác SXY luôn đi qua một điểm cố định; 2) Đường thẳng T L luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4. Trong mỗi ô của một bảng người ta đặt một đồng xu. Các đồng xu này có hai mặt: đỏ, đen. Giả sử ban đầu số đồng xu có mặt đỏ ngửa lên là số lẻ. Mỗi lần ta bỏ đi một đồng xu có mặt đỏ ngửa lên, đồng thời lật ngược lại các đồng xu bên cạnh. Chứng minh sau hữu hạn lần thực hiện phép bỏ xu, ta có thể bỏ đi tất cả các đồng xu Ngày thứ hai Bài 1. Tìm tất cả các hàm số f : (0; + ) (0; + ) sao cho 2f(x + y) + f(xy) = 2x + 2y + xy x, y > 0. Bài 2. Gọi S là tập các số nguyên dương chỉ có ước nguyên tố dạng 4k+1 (k Z). 1) Chứng minh mỗi s S, tồn tại số nguyên a thỏa mãn a 2 1 (mod s); 2) Một số nguyên dương n được gọi là tốt nếu với mỗi s S, tồn tại các số nguyên dương x, y thỏa mãn (x, s) = (y, s) = 1, x n + 65y n (mod s). 31

32 Xác định số nguyên dương bé nhất không phải là tốt. Bài 3. Tam giác ABC không cân có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. Đường thẳng qua D vuông góc với AD theo thứ tự cắt IB, IC tại M, N. F M, EN cắt nhau tại K. Chứng minh 1) AF M = AEN; 2) KIA = ÎDA. Bài 4. Trên bảng ghi 2015 số nguyên dương đầu tiên. Ta thực hiện thao tác xóa và ghi số như sau: Mỗi bước xóa hai số x, y trên bảng mà x y 2, và ghi hai số x 1, y + 1. Hỏi ta có thể thực hiện tối đa bao nhiêu bước? 32

33 19 Đoạn cuối - Tôi cảm ơn các thầy cô và các bạn đồng nghiệp rất nhiều, không có mọi người tôi không thể hoàn thành tài liệu này; - Các đề ở đây không phải đề chính thức, chúng đều được tôi gõ lại bằng L A TEX. Nếu có chỗ nào sai thì do lỗi của tôi; - Tuyển tập này cũng được đăng ở Nguyễn Trung Tuân tuan.nguyentrung@gmail.com Web: Facebook: 33