ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂ

Kích thước: px
Bắt đầu hiển thị từ trang:

Download "ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂ"

Bản ghi

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 205

2 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ THỊ THO PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng. Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Hà Nội - 205

3 Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương. Bài toán bất đẳng thức biến phân Kiến thức chuẩn bị Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert Toán tử chiếu Tính liên tục của hàm lồi Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi Bài toán bất đẳng thức biến phân Các khái niệm Các ví dụ minh họa Sự tồn tại nghiệm Chương 2. Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường Phương pháp chiếu cơ bản cải biên Kết luận Tài liệu tham khảo

4 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Lê Dũng Mưu. Thầy là người đã hướng dẫn khóa luận tốt nghiệp và nay là hướng dẫn luận văn thạc sĩ cho em. Hai chặng đường đã qua, thầy luôn tận tình hướng dẫn và chỉ bảo nghiêm khắc, thầy cũng cung cấp nhiều tài liệu quan trọng cũng như giành nhiều thời gian giải đáp những thắc mắc trong suốt quá trình làm việc cùng thầy. Em xin gửi tới các thầy, cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã giảng dạy lớp Cao học Toán khóa , lời cảm ơn chân thành đối với công lao dạy dỗ của các thầy, các cô trong hai năm qua. Đặc biệt, em muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy dạy chuyên ngành nhóm Toán Ứng Dụng. Mặc dù nhóm chỉ có tám thành viên nhưng các thầy luôn lên lớp với cả nhiệt huyết và những chuyên đề hay, sâu sắc. Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, các bạn, các anh, các chị của lớp cao học Toán khóa và giành riêng lời cảm ơn cho gia đình Toán Ứng Dụng. Là em út của nhóm, nên luôn được mọi người quan tâm nhiều hơn. Thời gian học cùng các anh chị đã cho em những kỷ niệm đẹp, được học những điều hay cũng như những kiến thức thú vị. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 3 tháng 0 năm 205 Học viên Ngô Thị Tho 2

5 LỜI MỞ ĐẦU Năm 966, Hatman và Stampacchia đã công bố những nghiên cứu đầu tiên của mình về bài toán bất đẳng thức biên phân, liên quan tới việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều kiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Năm 980, Kinderlehrer và Stampacchia cho xuất bản cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", giới thiệu bài toán biến phân trong không gian vô hạn chiều và ứng dụng của nó. Năm 984, cuốn sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" của C. Baiocci và A. Capelo đã áp dụng bất đẳng thức biến phân và tựa biến phân để giải các bài toán không có biên. Hiện nay bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khác nhau,như là: bất đẳng thức biến phân vectơ, tựa bất đẳng thức biến phân, giả bất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng... Bài toán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Vì mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực trong toán học cũng như thực tế như tối ưu hóa, bài toán bù, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao thông, cân bằng di trú... Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Dựa trên tính chất của kiểu đơn điệu G. Cohen đã nghiên cứu phương pháp nguyên lý bài toán phụ. Ngoài ra còn có phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp chiếu, phương pháp điểm trong. Những phương pháp này khá hiệu quả, dễ thực hiện trên máy tính nhưng sự hội tụ của chúng chỉ được đảm bảo trên cơ sở các giả thiết khác về tính chất đơn điệu. Có nhiều phương pháp chiếu khác nhau, như là: phương pháp chiếu cơ bản, phương pháp chiếu dưới đạo hàm, và phương pháp chiếu siêu phẳng. Mỗi phương pháp giải quyết một lớp các bài toán bất đẳng thức biến phân nhất định. Do đó sự hội tụ của thuật toán được đảm bảo. Luận văn trình bày phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường và chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Các phương pháp này tạo ra một dãy hội tụ của các điểm lặp dễ dàng tính được. Chúng đều hội tụ 3

6 tới nghiệm duy nhất của bài toán. Luận văn gồm hai chương: Chương : Bài toán bất đẳng thức biến phân, được chia làm hai phần: Phần : Nhắc lại một số kiến thức trong Giải tích hàm và Giải tích lồi, như là: hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert, toán tử chiếu, tính liên tục của hàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi. Phần 2: Phát biểu bài toán, trình bày một số khái niệm và mô hình minh họa cho bài toán. Sau đó, chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán. Chương 2: Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Nội dung chính của chương là trình bày hai thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cường và thuật toán chiếu cơ bản cải biên để giải bài toán V I(K,F). Phát biểu và chứng minh các định lý về sự hội tụ của dãy lặp tạo bởi các thuật toán đó. Đưa ra một số ví dụ chứng minh rằng các điều kiện của định lý tồn tại nghiệm là cần thiết. Nếu bỏ đi một trong các điều kiện đó, dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán. 4

7 Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kết quả của Giải tích hàm có liên quan tới sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của một dãy số. Nhắc lại một số khái niệm và định lý cơ bản của Giải tích lồi, như là: định nghĩa và tính chất của toán tử chiếu, tính liên tục, đạo hàm và dưới vi phân của một hàm lồi, Định lý tách, Định lý Moreau- Rockafellar. Phần sau ta sẽ giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và nhấn mạnh bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Chỉ ra các ví dụ về bài toán bất đẳng thức biến phân thường gặp trong thực tế cũng như trong các mô hình toán học. Cuối chương phát biểu và chứng minh định lý về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán. Nội dung chủ yếu được trích dẫn từ tài liệu [], [2], [3], [6], [0]. Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Hilbert thực trang bị một tô pô yếu, với tích vô hướng.,. và chuẩn tương ứng của nó là.. 5

8 .. Kiến thức chuẩn bị... Hội tụ mạnh và yếu trong không gian Hilbert Định nghĩa... Giả sử H là không gian tuyến tính thực, với mọi x H xác định một số gọi là chuẩn của x ( kí hiệu x ) thỏa mãn ba tiên đề sau:. Xác định dương: x H x 0; x = 0 x = Thuần nhất dương: x H; λ R λx = λ x. 3. Bất đẳng thức tam giác: x, y H x + y x + y. Định nghĩa..2. Giả sử H là không gian tuyến tính thực, cặp (H,, ) với thỏa mãn các điều kiện:, : H H R (x,y) x,y. Xác định dương: x,x 0 x H; x,x = 0 x = Đối xứng: x,y = y,x x,y H. 3. Song tuyến tính: αx + βy,z = α x,z + β y,z α, β R, x,y,z H. được gọi là không gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert, đầy đủ được gọi là không gian Hilbert, kí hiệu là H. Ví dụ.... H = R n ;x = (x,x 2,,x n );y = (y,y 2,,y n ) H tích vô hướng và chuẩn trên R n được xác định bởi n x,y = x i y i, i= x = n i= x 2 i. 6

9 2. H = C [a,b] là không gian các hàm liên tục. Khi đó với mọi x,y H tích vô hướng chuẩn được xác định bởi b x,y = x(t)y(t)dt, a b x = a x(t) 2 dt. Giả sử H là không gian Hilbert thực, H là không gian đối ngẫu của H và f H. Kí hiệu ϕ f : H R là các phiếm hàm tuyến tính ϕ f (x) = f (x). Khi f chạy khắp H ta có một họ ánh xạ (ϕ f ) f H. Định nghĩa..3. Tô pô yếu trên H được định nghĩa bởi tô pô sinh bởi họ ánh xạ (ϕ f ) f H. Kí hiệu σ(h, H ). Như vậy tô pô yếu σ(h, H ) là tô pô yếu nhất trên H đảm bảo cho tất cả các phiếm hàm f H đều liên tục. Định nghĩa..4. ) Ta nói dãy {x k } hội tụ mạnh đến x ( kí hiệu x k x) nếu lim x k x = 0. k 2) Dãy {x k } hội tụ yếu đến x ( kí hiệu x k x) nếu {x k } hội tụ về x theo tô pô yếu σ tức là f H f (x k ) f (x). Mệnh đề... Giả sử {x k } H và { f k } H. Khi đó a) x k x x k,y x,y, y H. b) Nếu x k x thì x k x. c) Nếu x k x thì {x k } bị chặn và x lim k x k. d) Nếu x k x và lim k x k x thì x k x. e) Nếu x k x và f k f thì f k (x k ) f (x). Khi H là không gian hữu hạn chiều thì tô pô yếu và tô pô thông thường trên H trùng nhau. Đặc biệt, một dãy hội tụ mạnh khi và chỉ khi nó hội tụ yếu. 7

10 ..2. Toán tử chiếu Định nghĩa..5. Cho H là một không gian Hilbert thực, tập C H được gọi là tập lồi nếu: x,y C,λ [0,] λx + ( λ)y C, nón nếu: λ > 0, x C λx C, nón lồi nếu nó vừa là một nón vừa là một tập lồi. Hình.: tập lồi, nón, nón lồi Mệnh đề..2. Giả sử A, B là các tập lồi trong không gian Hilbert thực H, thì các tập sau là tập lồi: A B :={x x A, x B}, αa + βb :={x x = αa + βb, a A, b B,α,β R}, A B :={x x = (a,b), a A, b B}. Định nghĩa..6. Siêu phẳng trong không gian Hilbert thực H là một tập hợp các điểm có dạng {x H a(x) = α}, trong đó a H là một phiếm hàm tuyến tính và α R. Một siêu phẳng sẽ chia không gian ra hai nửa không gian. Nửa không gian được định nghĩa như sau: 8

11 Định nghĩa..7. Cho a H là một phiếm hàm tuyến tính và α R. Tập được gọi là nửa không gian đóng và tập gọi là nửa không gian mở. {x a(x) α}, {x a(x) > α}, Định nghĩa..8. Cho hai tập C và D khác rỗng, ta nói siêu phẳng a(x) = α tách C và D nếu a(x) α a(y), x C, y D. Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách chặt C và D nếu a(x) < α < a(y), x C, y D. Ta nói siêu phẳng a(x) = α tách mạnh C và D nếu supa(x) < α < inf a(y). x C y D Định lý... (Định lý tách ) Cho C và D là hai tập lồi khác rỗng trong không gian Hilbert thực H sao cho C D = /0. Khi đó có một siêu phẳng tách C và D. Định lý..2. (Định lý tách 2) Cho C và D là hai tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H sao cho C D = /0. Giả sử có một tập compăc. Khi đó hai tập C và D có thể tách mạnh bởi một siêu phẳng. Định nghĩa..9. Giả sử C là một tập lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và x 0 C.. Nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x 0 kí hiệu là N C (x 0 ) được định nghĩa bởi: N C (x 0 ) := {ω H ω T (x x 0 ) 0 x C}. Tập N C (x 0 ) được gọi là nón pháp tuyến (trong) của C tại x Nón pháp tuyến ε của C tại x 0 được định nghĩa bởi: N ε C (x0 ) := {ω H ω T (x x 0 ) ε x C}. 9

12 Hiển nhiên 0 N C (x 0 ) và từ định nghĩa trên ta thấy N C (x 0 ) là một nón lồi đóng. Định nghĩa..0. Giả sử C /0 (không nhất thiết lồi) là một tập con của không gian Hilbert H và y là một véc-tơ bất kỳ, khoảng cách từ y đến C được định nghĩa bởi d C (y) := inf x y. x C Nếu tồn tại π C sao cho d C (y) := π y, thì ta nói π là hình chiếu (khoảng cách) của y trên C, kí hiệu π = p C (y). Hình.2: Hình chiếu khoảng cách Theo định nghĩa, ta thấy rằng hình chiếu p C (y) của y trên C sẽ là nghiệm của bài toán tối ưu { } min x 2 x y 2 x C. Nói cách khác, việc tìm hình chiếu khoảng cách của y trên C có thể đưa về việc tìm cực tiểu của hàm toàn phương x y 2 trên C. Chú ý rằng, nếu C /0, thì d C (y) hữu hạn, vì 0 d C (y) x y, x C. Mệnh đề..3. Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng. Khi đó:. Với mọi y H,π C hai tính chất sau là tương đương: a) π = p C (y), b) y π N C (π). 2. Với mọi y H, hình chiếu p C (y) của y trên C luôn tồn tại và duy nhất. 0

13 3. Nếu y / C, thì p C (y) y,x p C (y) = 0 là siêu phẳng tựa của C tại p C (y) và tách hẳn y khỏi C, tức là pc (y) y,x p C (y) 0 x C, và pc (y) y,y p C (y) < Ánh xạ y p C (y) có các tính chất sau: a) p C (x) p C (y) x y x, y. (tính không giãn), b) p C (x) p C (y),x y p C (x) p C (y) 2, (tính đồng bức). Chứng minh.. giả sử π = p C (y). Lấy x C và λ (0,). Đặt x λ := λx + ( λ)π. Do x,π C và C lồi, nên x λ C. Hơn nữa do π là hình chiếu của y nên π y y x λ. Hay π y 2 (π y) + λ(x π) 2. Khai triển vế phải, ước lược và chia hai vế cho λ > 0, ta có λ x π π y,x π 0. Điều này đúng với mọi x C và λ (0,). Do đó khi cho λ 0, ta được π y,x π 0, x C. Vậy y π N C (π). Giả sử ngược lại y π N C (π). Với mọi x C, có 0 (y π) T (x π) = (y π) T (x y + y π) = y π 2 + (y π) T (x y). Dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta có: y π 2 (y π) T (y x) y π. y x. Suy ra y π y x x C, và do đó π = p C (y.)

14 2. Sự tồn tại. Do d C (y) := inf x C x y, nên theo định nghĩa của cận dưới đúng, tồn tại một dãy x k C sao cho lim k x k y = d C (y) < +. Vậy dãy {x k } bị chặn, do đó nó có một dãy con {x k j } hội tụ yếu đến một điểm π nào đó. Do C lồi, đóng, nên π C. Vậy π y = lim j x k j y = lim k x k y = d C (y). Chứng tỏ π là hình chiếu của y trên C. Tính duy nhất. Giả sử π và π là hình chiếu của y trên C, thì y π N C (π),y π N C (π ). Tức là π y,π π 0, π y,π π 0. Cộng hai vế của đẳng thức này ta suy ra π π 2 0, và do đó π = π. 3. Do y π N C (π), nên π y,x π 0 x C. Vậy π y,x = π y,π là một siêu phẳng tựa của C tại π. Siêu phẳng này tách y khỏi C vì y π, nên π y,y π = π y 2 < Theo phần (2) ánh xạ x p C (y) xác định khắp nơi. Do z p C (z) N C (p C (z)) với mọi z, nên áp dụng với z = x và z = y, ta có: x pc (x), p C (y) p C (x) 0 y pc (y), p C (x) p C (y) 0. Cộng hai bất đẳng thức lại ta được pc (y) p C (x), p C (y) p C (x) + x y 0. 2

15 Theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz ta suy ra p C (x) p C (y) x y. Để chứng minh tính đồng bức, áp dụng tính chất (b) của (), lần lượt với p C (x) và p C (y), ta có: pc (x) x, p C (x) p C (y) 0, y pc (y), p C (x) p C (y) 0. Cộng hai bất đẳng thức ta được pc (x) p C (y) + y x, p C (x) p C (y) = p C (x) p C (y),y x + p C (x) p C (y) 2 0. Chuyển vế ta có pc (x) p C (y),x y p C (x) p C (y) 2. Suy ra điều phải chứng minh. Hệ quả... Cho C H là một tập lồi, đóng. Với x H và y C bất kỳ, y P C (x) 2 x y 2 x P C (x) 2. Chứng minh. Cho x H và y C, ta có x y 2 = (x P C (x)) (y P C (x)) 2 = x P C (x) 2 + y P C (x) 2 2 x P C (x),y P C (x). Do x P C (x),y P C (x) 0, suy ra x y 2 x P C (x) 2 + y P C (x) 2. Hệ quả được chứng minh. Toán tử chiếu là một công cụ hữu hiệu nhằm giải bài toán cân bằng và các trường hợp đặc biệt của nó như: Bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, bài toán điểm yên ngựa... Trong luận văn này, ta sẽ vận dụng giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. 3

16 ..3. Tính liên tục của hàm lồi Cho C H là tập lồi và f : C R {+ }, ta sẽ kí hiệu: dom f := {x C : f (x) < + }. Tập dom f được gọi là miền hữu dụng của tập f. Tập epi f := {(x, µ) C R : f (x) µ}, được gọi là trên đồ thị của hàm f. Hàm f gọi là chính thường nếu dom f /0 và f (x) > với mọi x dom f. Định nghĩa... Hàm f được gọi là lồi nếu epi f là một tập lồi. Hàm f là hàm lõm nếu f là hàm lồi. Nếu f vừa lồi vừa lõm thì ta nói f là hàm afin. Hình.3: Hàm lồi Tính chất... Cho C H là một tập lồi, khác rỗng. Hàm f : H R {+ } được gọi là i) lồi trên C nếu: f (λx + ( λ)y) λ f (x) + ( λ) f (y), x,y C,λ [0,], ii) lồi thực sự (chặt) trên C nếu: f (λx + ( λ)y) < λ f (x) + ( λ) f (y), x,y C,x y,λ (0,), 4

17 iii) lồi mạnh trên C nếu: f (λx + ( λ)y) λ f (x) + ( λ) f (y) βλ( λ) x y 2 2 với hệ số β > 0, nếu x,y C,λ [0,]. Mệnh đề..4. Cho C là một tập lồi trong không gian Hilbert thực H. Khi đó:. Nếu f và g là các hàm lồi trên C thì f + g cũng là hàm lồi trên C. Nếu f hoặc g là hàm lồi thực sự thì f + g cũng là hàm lồi thực sự. 2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên C, λ là một số thực dương thì λ f là một hàm lồi (lồi thực sự) trên C. 3. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên C, B là tập con lồi của C thì hạn chế f B của hàm f trên C cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên C. Định nghĩa..2. Một điểm x C được gọi là điểm trong tương đối của C nếu nó là điểm trong của C theo tô-pô cảm sinh bởi aff(c) (tập afin nhỏ nhất chứa C). Tập hợp các điểm trong tương đối của C ký hiệu là ric. Định nghĩa..3. Cho f : H R, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x 0 H nếu {x k } H : x k x 0 lim k f (x k ) f (x 0 ). Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D H nếu nó liên tục dưới tại mọi x D. Hàm f là nửa liên tục trên nếu f là nửa liên tục dưới. Nếu hàm f vừa liên tục trên vừa liên tục dưới thì nó liên tục. Định nghĩa..4. Một hàm số thực f được gọi là tựa lồi trên tập lồi C nếu mọi số thực β tập mức dưới {x C f (x) β} lồi. Tương tự, hàm f là tựa lõm trên C nếu f là hàm tựa lồi trên C. Nếu f tựa lồi trên C thì x,y C và λ [0,] ta có f (λx + ( λ)y) max( f (x), f (y)). Tương tự, nếu f tựa lõm trên C thì x,y C và λ [0,] ta có f (λx + ( λ)y) min( f (x), f (y)). 5

18 Định lý..3. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H và x 0 H. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: a) f liên tục tại điểm x 0. b) f bị chặn trên trong một lân cận của x 0. c) int(epi f ) /0. d) int(dom f ) /0. và f liên tục trong int(dom f ). trong đó intc là kí hiệu phần trong của tập C...4. Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi Tính khả vi của hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong các phương pháp tối ưu hóa. Lớp các hàm lồi có những tính chất rất đẹp mà các lớp hàm khác không có. Giả sử f : H R là hàm lồi. Ta có các khái niệm sau Định nghĩa..5. Vectơ ω H được gọi là dưới đạo hàm của f tại x 0 H nếu: ω,x x 0 f (x) f (x 0 ), x H. Tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x 0 được gọi là dưới vi phân của hàm f tại x 0, kí hiệu là f (x 0 ) := {ω H : ω,x x 0 f (x) f (x 0 ), x H}. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x 0 nếu f (x 0 ) /0. Định nghĩa..6. Cho ε > 0, một vectơ ω H được gọi là ε-dưới đạo hàm của f tại x 0 H nếu: ω,x x 0 f (x) f (x 0 ) + ε, x H. Tập hợp tất cả các ε-dưới đạo hàm của hàm f tại x 0 được gọi là ε-dưới vi phân của hàm f tại x 0, kí hiệu là ε f (x 0 ) := {ω H : ω,x x 0 f (x) f (x 0 ) + ε, x H}. Hàm f được gọi là ε-khả dưới vi phân tại x 0 nếu ε f (x 0 ) /0. 6

19 Mệnh đề..5.. α 0 ta có (α f )(x) = α f (x). 2. Giả sử f là một hàm lồi, h(x) = f (Ax + b). Khi đó h(x) = A T f (Ax + b). Mệnh đề..6. (Định lý Moreau-Rockafellar). Cho f i,i =,2,,n là các hàm lồi chính thường trên H. Khi đó Nếu ri(dom f i ) /0 thì n i= n i= f i (x) ( f i (x) = ( n i= n i= f i (x)), x H. f i (x)), x H. Định nghĩa..7. Giả sử x H,d H\{0}, hàm f được gọi là: a) Khả vi Frechet tại x 0 nếu tồn tại ω H sao cho f (x) f (x 0 ) ω,x x 0 lim x x 0 x x 0 = 0, x H. Một điểm ω như thế nếu tồn tại, sẽ duy nhất và được gọi là đạo hàm của f tại x 0, kí hiệu là f (x 0 ) hoặc f (x 0 ). b) Có đạo hàm theo hướng d tại x 0 nếu tồn tại giới hạn f (x 0 +td) f (x 0 ) lim. t 0 + t ta gọi giới hạn đó là đạo hàm theo hướng d của f tại x 0, kí hiệu là f (x 0,d). Định lý..4. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H và x dom f. Khi đó a) f có đạo hàm theo mọi hướng tại x và f (x,d) = inf λ>0 b) x f (x) f (x,d) x,d, d H. c) f (x) /0 f nửa liên tục dưới tại 0. d) Nếu f khả vi tại x H thì f (x) = f (x). f (x + λd) f (x). λ Nói chung một hàm lồi không nhất thiết khả vi tại mọi điểm. Dưới vi phân là một khái niệm mở rộng của đạo hàm trong trường hợp hàm không khả vi. Trong trường hợp f (x ) chỉ gồm duy nhất một điểm thì f khả vi tại x. 7

20 .2. Bài toán bất đẳng thức biến phân.2.. Các khái niệm Định nghĩa.2.. Cho K H là một tập đóng, khác rỗng, F : K H là một ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biên phân (đơn trị) là bài toán Tìm x K sao cho F(x ),y x 0, y K. (VIP) Tập nghiệm của bài toán kí hiệu là S(K, F). Định nghĩa.2.2. Giả sử K H là một tập lồi đóng, khác rỗng và toán tử F : K H được gọi là a) đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho F(x) F(y),x y γ x y 2 x,y K, b) đơn điệu trên K nếu F(x) F(y),x y 0 x,y K, c) giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 sao cho F(x),y x 0 F(y),y x γ y x 2 x,y K, d) giả đơn điệu trên K nếu F(x),y x 0 F(y),y x 0 x,y K. Theo định nghĩa trên các kéo theo (a) (b),(a) (c),(c) (d),(b) (d), là hiển nhiên. Chú ý rằng một toán tử giả đơn điệu mạnh có thể không đơn điệu. Ví dụ.2.. Cho 0 < r < R, đặt K = B(r) := {x H : x r} và F được cho bởi F(x),y x := K(x),y x + (R x ) G(x),y x. Trong đó K và G thỏa mãn các điều sau: 8

21 i) K(x),y x 0, x,y K và G là β đơn điệu mạnh trên K, ii) K(0),y y K(y 0 ), y 0 = 0 K : R G(0),y 0 + (R y 0 ) G(y 0 ), y 0 > 0 Giả sử F(x),y x 0, do K(x),y x 0 nên ta có: G(x),y x 0. Suy ra G(y),x y β y x 2 (do G là đơn điệu mạnh). Theo định nghĩa của F(x),y x ta có: x,y K, F(y),x y = K(y),x y + (R y ) G(y),x y (R r)β y x 2. Suy ra F giả đơn điệu mạnh trên K. Hơn nữa theo (ii) ta có: F(0),y 0 + F(y 0 ), y 0 = K(0),y 0 + R G(0),y 0 + Do đó F không đơn điệu. + K(y 0 ), y 0 + (R y 0 ) G(y 0 ), y 0 > 0. Định nghĩa.2.3. Giả sử toán tử F là toán tử giả đơn điệu mạnh thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Kí hiệu là VI(K, F). Mệnh đề.2.. Cho K H là một tập lồi đóng và toán tử F : K H liên tục. a) Nếu F giả đơn điệu mạnh thì VI(K, F) nếu có thì có duy nhất một nghiệm. b) Nếu F giả đơn điệu thì S(K, F) là một tập lồi. Chứng minh. Giả sử F là toán tử giả đơn điệu mạnh và u,v S(K,F), thì F(v ),u v 0 và F(v ),v u γ v u 2. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức ta được γ v u 2 0. Suy ra u = v. Cho F liên tục và giả đơn điệu. Để chứng minh S(K,F) là một tập lồi ta chỉ cần chứng minh rằng S(K,F) = {u K : F(u),u u 0}. u K Thật vậy, nếu u S(K,F) thì F(u ),u u 0 với mọi u K. Do hàm F giả đơn điệu nên F(u),u u 0 với mọi u K. Do vậy u thuộc vế phải của đẳng thức 9

22 trên. Ngược lại, giả sử u {u K : F(u),u u 0}. Cho u K tùy ý, vectơ u K u = τu + ( τ)v K với mọi τ (0,),u,v K. Do đó, ta có: F(τu + ( τ)v),u u 0, τ (0,). Cho τ thì F(u ),u u 0. Do đó, u S(K,F). Vì với mỗi u K, tập {u K : F(u),u u 0} là lồi và giao của các tập lồi là một tập lồi nên S(K,F) là một tập lồi. Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa.2.4. Ánh xạ F được gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho: F(u) F(v) L u v, u,v K. P K (.) là một ánh xạ liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz L= Các ví dụ minh họa Nhiều bài toán trong tối ưu hóa, phương trình vật lý toán và nhiều vấn đề trong kinh tế, kỹ thuật, cân bằng giao thông đô thị... đều có thể mô tả dưới dạng bài toán bất đẳng thức biến phân. Ví dụ.2.2. (Bài toán cân bằng giao thông đô thị) Xét một mạng giao thông được cho bởi một luồng mạng hữu hạn. Gọi + I là tập hợp các phương tiện giao thông, + P là tập hợp các điểm nút giao thông, + E là tập hợp các cạnh (tuyến đường). Giả sử A P và B P, sao cho A B /0. Mỗi phần tử thuộc A gọi là một điểm nguồn. Mỗi phần tử thuộc B gọi là một điểm đích. Mỗi điểm nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh (tuyến đường). Kí hiệu: + fe i là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường e E. Đặt f là vectơ có các thành phần là fe i với i I, và e E. + c i e là chi phí sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường E. Đặt c là vectơ có các thành phần là c i e với i I, và e E. + dω i là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên tuyến đường ω = (A,B).Đặt d là vectơ có các thành phần là dω i với i I, và ω A B. Giả sử chi phí giao thông phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c( f ) là một hàm của f. 20

23 + λ i ω là mức độ chi phí trên tuyến đường ω của phương tiện giao thông i. + x i ω : là mật độ giao thông của phương tiện i I trên tuyến đường ω = (A,B) Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn: d i ω = p P ω x i p, i I,ω A B. (.) Trong đó, P ω kí hiệu là tập các tuyến đường của ω = (A,B) (nối điểm nguồn A và điểm đích B). Theo phương trình (.), thì nhu cầu sử dụng loại phương tiện i trên tuyến đường ω đúng bằng mật độ giao thông của phương tiện đó trên tuyến đường nối điểm nguồn và điểm đích của tuyến đường đó. Khi đó ta có: f i e = p P ω x i pδ ep, i I,ω A B. (.2) Trong đó: khi e P δ ep = 0 khi e / P. Với mỗi tuyến đường p nối một điểm nguồn và một điểm đích, đặt c i p = c i eδ ep. e E Như vậy, c i p là chi phí sử dụng phương tiện i trên tuyến đường p. Mỗi cặp (d, f ) thỏa mãn (.) và (.2) được gọi là điểm cân bằng mạng giao thông nếu: c i = λω i (d ) khi x i p > 0 p = > λω i (d ) khi x i p = 0. Với mỗi i I và mỗi tuyến đường P. Theo định nghĩa này, tại điểm cân bằng đối với một loại phương tiện giao thông và mọi tuyến đường, chi phí sẽ thấp nhất khi có lưu lượng giao thông trên tuyến đó. Ngược lại, chi phí sẽ không phải là thấp nhất. Đặt K = {( f,d) x 0 sao cho (.) và (.2) đúng }. Khi đó, ta có định lý sau: Định lý.2.. Mỗi cặp vectơ ( f,d ) K là một điểm cân bằng của mạng giao thông khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sau ( ) Tìm ( f,d ) K : c( f ),λ(d ),( f,d) ( f,d ) 0, ( f,d) K. 2

24 Ví dụ.2.3. (Bài toán cân bằng di trú) gọi Bài toán cân bằng di trú bao gồm một tập hữu hạn các điểm X. Với mỗi i, j X, + b i là mật độ cố định tại vị trí i, + h i j là trọng số của dòng di trú từ vị trí đầu i đến đích j, + x i là mật độ hiện tại tại vị trí i, + u i là tiện ích di trú, + c i j là chi phí di trú. Đặt x = {x i i X} và h = {h i j i, j X,i j}, ta định nghĩa X = { (x,h) Từ ràng buộc h > 0, h i j b i, i j những luồng h là bị chặn. Do đó, mật độ là bị chặn nên X bị chặn. } x i = b i + h ji h i j, i X. (.3) i j i j h > 0, h i j b i, i j x i = b i + h ji h i j, i X, i j i j Quy luật trong (.3) phản ánh sự bảo toàn của dòng và ngăn cản dòng di trú. Rõ ràng, các dòng di trú là không âm. Điều kiện không âm cho mô hình di trú vô hướng là phức tạp hơn mô hình cân bằng mạng. Giả sử rằng tính tiện ích phụ thuộc mật độ, nghĩa là u i = u i (x), và chi phí di trú phụ thuộc và dòng di trú, nghĩa là c i j = c i j (h). Chúng ta nói rằng cặp (x,h ) X là cân bằng nếu u i (x ) u j (x ) + c i j (h = 0 nếu h i j ) + µ > 0, i 0 nếu h i j = 0, i, j N; (.4) Trong đó µ j 0 nếu h is = b i, s i = 0 nếu h is < b i, với mỗi i N. s i 22 (.5)

25 Tập các điều kiện cân bằng (.4), (.5) có thể được viết lại tương đương với bất đẳng thức biến phân. Tìm một cặp (x,h ) sao cho (xi x i )u i (x ) + (h i j h i j)c i j (h ) 0, (x,h) H. i N i, j N,i j Ngoài những vấn đề thực tế, như hai bài toán trên được đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân thì ta còn có nhiều bài toán điển hình khác cũng được đưa về bài toán này. Ví dụ.2.4. Bài toán điểm bất động Brouwer Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng, compăc yếu trong H và ánh xạ T : K K là ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau Tìm x K : x = T (x ). Bài toán điểm bất động được đưa về bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) thông qua mệnh đề sau Mệnh đề.2.2. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi F(x) = x T (x), x K. Khi đó, nghiệm của bài toán điểm bất động trùng với nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP). Tức là bài toán bất đẳng thức biến phân tương đương với bài toán điểm bất động. Chứng minh. Giả sử x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và F(x) = x T (x), với mọi x K, tức là F(x ),x x 0, x K. Do F(x ) = x T (x ), x K. Suy ra x T (x ),x x 0, x K. Do T (x ) K nên thay x ở trên bởi T (x ) thì x T (x ),T (x ) x 0. 23

26 Hay x T (x ) 0. Từ đó, ta được x = T (x ). Ngược lại, giả sử x là nghiệm của bài toán điểm bất động. Khi đó x = T (x ). Suy ra Hay F(x ) = x T (x ) = 0. F(x ),x x = 0 Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ.2.5. Bài toán bù phi tuyến Trước khi phát biểu bài toán, ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa bài toán (VIP) và nón pháp tuyến của một tập lồi. Mệnh đề.2.3. Cho K H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và ánh xạ F : K H, x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) khi và chỉ khi F(x ) thuộc nón pháp tuyến của K tại x, tức là x S(K,F) F(x ) N K (x ). Nói cách khác, x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân khi và chỉ khi 0 F(x ) + N K (x ). Chứng minh. Theo định nghĩa ta có x S(K,F) F(x ),x x 0, x K F(x ),x x 0, x K F(x ) N K (x ). Suy ra điều phải chứng minh. Định nghĩa.2.5. Cho K H là một tập lồi, đóng, khác rỗng, nón đối ngẫu của K, kí hiệu là K, là một tập được định nghĩa bởi K = {y : y,x 0, x K}. 24

27 Về mặt hình học, K là tập hợp bao gồm tất cả các vectơ y H tạo thành một góc không tù với mọi vectơ x K. Sau đây, chúng ta sẽ đi phát biểu bài toán bù phi tuyến: Cho K H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và K là nón đối ngẫu của K, ánh xạ F : K H. Bài toán bù phi tuyến là bài toán Tìm x K : F(x ) K ; x,f(x ) = 0. (NCP) Tập các nghiệm của bài toán (NCP) kí hiệu là S (K,F). Mối quan hệ giữa bài toán (VIP) và bài toán (NCP) được thể hiện qua mệnh đề sau: Mệnh đề.2.4. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của bài toán (NCP) và bài toán (VIP) là trùng nhau, tức là: S (K,F) = S(K,F). Chứng minh. Giả sử x S(K,F). Theo định nghĩa, ta có: x K : F(x ),x x 0, x K. Bằng cách lấy x = 0 K, suy ra F(x ), x 0. Bằng cách lấy x = 2x K, suy ra F(x ),x 0. Từ đó, ta thu được F(x ),x = 0. Mặt khác, từ định nghĩa ta có: 0 F(x ),x x = F(x ),x F(x ),x = F(x ),x, x K. Vậy F(x ) K. Suy ra x S (K,F). Hay S(K,F) S (K,F). Ngược lại, giả sử x S (K,F). Theo định nghĩa, ta có: F(x ) K : F(x ),x = 0. Mặt khác, vì F(x ) K, nên với mọi x K ta có: F(x ),x x = F(x ),x F(x ),x = F(x ),x 0. Suy ra x S(K,F). Hay S (K,F) S(K,F). Vậy S (K,F) = S(K,F). Suy ra điều phải chứng minh. 25

28 .2.3. Sự tồn tại nghiệm Trong phần này, trình bày chứng minh theo tài liệu [9] rằng bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh luôn tồn tại một nghiệm và đó là nghiệm duy nhấtcủa bái toán. Bổ đề.2.. Giả sử K là một tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert H. Cho F : K H là một toán tử sao cho F( ),y là nửa liên tục trên với mỗi y K. Giả sử tập compăc W : x K\W, y K : F(x),y x < 0. Thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm. Mệnh đề.2.5. Giả sử F là β giả đơn điệu mạnh trên K. Nếu F( ),y là nửa liên tục trên với mỗi y K thì bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm duy nhất. Chứng minh. Giả sử K không bị chặn. Theo Bổ đề (.2.) ta có: hình cầu đóng B : x K\B, y K B : F(x),y x < 0. (.6) Thật vậy, nếu không, với mọi hình cầu đóng B r tâm O, bán kính r, tồn tại x r K\B r sao cho F(x r ),y 0 x 0, y K B r. Cố định r 0 > 0, thì với mọi r > r 0, tồn tại x r K\B r sao cho F(x r ),y 0 x r 0, với y 0 K B r0. Do đó, vì F là β giả đơn điệu mạnh, ta có: F(y 0 ),x r y 0 + β x r y r. (.7) Mặt khác, do tập K lồi và F(y 0 ), y 0 lồi trên K, với ε r := r tồn tại x0 K sao cho ε r 2 F(y 0 ),x 0 y 0 /0, trong đó ε r 2 F(y 0 ),x 0 y 0 là viết tắt của ε r -khả dưới vi phân của hàm lồi F(y 0 ), y 0 tại x 0. Lấy w ε r 2 F(y 0 ),x 0 y 0, theo định nghĩa của ε r -khả dưới vi phân ta có: F(y 0 ),x y 0 + r w,x x 0 + F(y 0 ),x 0 y 0 x. Thay x = x r ta thu được F(y 0 ),x r y 0 +β x r y r F(y 0 ),x 0 y 0 + w,x r x 0 + β x r y 0 2 F(y 0 ),x 0 y 0 w x r x 0 + β x r y

29 Cho r, từ đó x r, suy ra F(y 0 ),x r y 0 + β x r y 0 2 mâu thuẫn với (.7). Do đó, điều kiện bức (.6) phải đúng. Theo Bổ để.2., bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) thừa nhận một nghiệm. Trong trường hợp K bị chặn, mệnh đề là một hệ quả của Định lý Ky Fan.[5] Tính duy nhất nghiệm được suy luận trực tiếp từ Mệnh đề.2.. Mệnh đề được chứng minh. 27

30 Chương 2 Phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh Chương này, trình bày các thuật toán chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh V I(K,F). Phần đầu, trình bày thuật toán chiếu dưới đạo hàm tăng cường (mỗi bước lặp có hai lần chiếu) với độ dài bước được lấy từ một khoảng đóng của các số thực dương, không yêu cầu phụ thuộc vào hằng số Lipschitz. Dãy lặp tổng quát thu được từ thuật toán này hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán. Phần sau, trình bày thuật toán chiếu cơ bản cải biên (mỗi bước lặp chỉ có một lần chiếu) với độ dài bước được lấy tùy ý từ một khoảng đóng cố định của các số thực dương. Trình bày chứng minh dãy lặp tổng quát thu được từ thuật toán này hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán. Phương pháp này đòi hỏi hằng số Lipschitz và môđun của giả đơn điệu mạnh trong việc lựa chọn khoảng đóng cố định chứa độ dài bước. Nội dung chủ yếu của chương được trích dẫn từ tài liệu [7], [8]. 28

31 Đề tiện cho việc theo dõi, em xin phát biểu lại bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu manh như sau: Định nghĩa Cho K H là một tập đóng, khác rỗng, F : K H là toán tử giả đơn điệu mạnh trên K. Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh là bài toán Tìm x K sao cho F(x ),y x 0, y K. (VI) Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu là VI(K, F). 2.. Phương pháp chiếu dưới đạo hàm tăng cường Thuật toán 2.. Chọn một điểm đầu u 0 K và một dãy các độ dài bước {λ k } k=0 R + với Bước : Đặt k=0. λ k = +, k=0 lim λ k = 0. k Bước 2: Tính u k = P K (u k λ k F(u k )), u k+ = P K (u k λ k F(u k )). Bước 3: Nếu u k = u k thì dừng lại. Ngược lại thì đặt k + = k và quay lại bước 2. Nếu thuật toán dừng ở bước thứ k, thì ta đặt u k = u k với mọi k k +. Vì thế, Thuật toán 2.. tạo ra một dãy lặp vô hạn. Định lý 2... Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Giả sử F : K H là liên tục Lipschitz và giả đơn điệu mạnh trên K, thì dãy lặp {u k } được tạo bởi Thuật toán 2.. hội tụ mạnh tới nghiệm u của bài toán. Hơn nữa, tồn tại một chỉ số k 0 N sao cho γλ k < với mọi k k 0 và u k+ u k ( γλ j ) u k 0 u, j=k 0 trong đó γ > 0 là hằng số giả đơn điệu mạnh của F. Ngoài ra, lim k ( γλ j ) = 0. k j=k 0 29

32 Chứng minh. Do F liên tục Lipschitz nên tồn tại L > 0 sao cho Theo Hệ quả.. ta có: F(u) F(v) L u v, u,v K. v P K (u) 2 u v 2 u P K (u) 2, v K,u H. Thay v = u K,u = u k λ k F(u k ) và u k+ = P K (u k λ k F(u k )) vào bất đẳng thức trên ta được u u k+ 2 u k λ k F(u k ) u 2 u k λ k F(u k ) u k+ 2 = (u k u ) λ k F(u k ) 2 (u k u k+ ) λ k F(u k ) 2 = u k u 2 u k u k λ k F(u k ),u u k+. Vì u S(K,F), nên F(u ),u u 0, với mọi u K. Theo tính chất giả đơn điệu mạnh của F ta có F(u),u u γ u u 2 với mọi u K. Cho u = u k K, ta được bất đẳng thức mới F(u k ),u u k γ u k u 2. Do đó F(u k ),u u k+ = F(u k ),u u k + F(u k ),u k u k+ Suy ra u k+ u 2 γ u k u 2 + F(u k ),u k u k+. u k u 2 u k u k+ 2 2γλ k u k u 2 + 2λ k F(u k ),u k u k+ = u k u 2 u k u k 2 u k u k+ 2 2 u k u k,u k u k+ 2γλ k u k u 2 + 2λ k F(u k ),u k u k+ = u k u 2 u k u k 2 u k u k+ 2 2γλ k u k u u k u k λ k F(u k ),u k+ u k. Mặt khác u k u k λ k F(u k ),u k+ u k = u k u k λ k F(u k ),u k+ u k + λ k F(u k ) λ k F(u k ),u k+ u k λ k F(u k ) F(u k ),u k+ u k > λ k F(u k ) F(u k ) u k+ u k λ k L u k u k u k+ u k. 30

33 Suy ra u k+ u 2 u k u 2 u k u k 2 u k u k+ 2 Hơn nữa nên ta thu được + 2λ k L u k u k u k+ u k 2γλ k u k u 2. 2λ k L u k u k u k+ u k λ 2 k L2 u k u k 2 + u k+ u k 2, u k+ u 2 u k u 2 u k u k 2 + λ 2 k L2 u k u k 2 2γλ k u k u 2 u k u 2 ( λ 2 k L2 ) u k u k 2 2γλ k u k u 2. Cho λ k 0, khi đó tồn tại k 0 N sao cho 2γλ k λ 2 k L2 với mọi k k 0. Do đó với k k 0, ta có γλ k 2 2 λ 2 k L2 < và u k+ u 2 u k u 2 2γλ k ( u k u k 2 + u k u 2 ) u k u 2 γλ k ( u k u k + u k u ) 2 u k u 2 γλ k u k u 2. Lấy tổng của các bất đẳng thức u k+ u 2 u k u 2 γλ k u k u 2 từ k 0 tới n. Ta được Vì thế n u n+ u 2 u k 0 u 2 γλ k u k u 2. k=k 0 n k=k 0 γλ k u k u 2 u k 0 u 2 u n+ u 2. Vì u k+ u 2 u k u 2 γλ k u k u 2 u k u 2 với k k 0. Do vậy ( n ) γ u n u 2 n γλ k u k u 2 k=k 0 Vì k=0 tới u. k=k 0 λ k u k 0 u 2 u n+ u 2 u k 0 u 2. λ k = + và γ > 0 nên lim n u n u = 0. Do đó dãy {u k } hội tụ theo chuẩn 3

34 Tiếp theo ta sẽ chứng minh tồn tại k 0 N sao cho γλ k < với mọi k k 0 và u k+ u k j=k 0 ( γλ j ) u k 0 u. Với k k 0 u k+ u 2 ( γλ k ) u k u 2 ( γλ k )( γλ k ) u k u 2. k j=k 0 ( γλ j ) u k 0 u 2. Suy ra u k+ u k ( γλ j ) u k 0 u. j=k 0 Mặt khác, ta thấy rằng γλ j + γλ j j k 0, do đó k j=k 0 ( γλ j ) khi k. Định lý được chứng minh. k j=k 0 ( + γλ j ) + γ k j=k 0 λ j 0 Trong phần tiếp theo, ta sẽ chứng minh giả thiết hàm F là giả đơn điệu mạnh và hai điều kiện λ k = +, lim λ k = 0 là cần thiết cho khẳng định của Định lý 2... k=0 k Ví dụ 2... Cho K = R và F(u) = u. Dễ thấy, F là liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh trên K và S(K,F) = {0}. Chọn u 0 = K và định nghĩa dãy {λ k } bằng cách đặt λ k = (k + ) 2 k N. Từ đó λ k < +, và dãy lặp {u k } được tạo bởi Thuật toán 2.. được cho bởi k=0 u k+ = P K (u k λ k F(P K (u k λ k F(u k )))) = u k λ k F(u k λ k F(u k )) = u k λ k (u k λ k u k ) = ( λ k + λ 2 k )uk. 32

35 Vì u 0 =, ta có u k+ = = k j=0 k j= ( λ j + λ 2 j ) = ( k + 2 2(k + ) ) ( j + ) 2 = k N. k j=0 k j= ( j( j + 2) ( j + ) 2 ) ( j + ) 2 + ( j + ) 4 Do đó, {u k } là dãy giảm và bị chặn dưới nên nó hội tụ. k + 2 lim k uk lim k 2(k + ) = 2. Ta được lim k u k = u với u 2.Do vậy, dãy {uk } không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F). Ví dụ Cho K,F,u 0 như trong Ví dụ 2.. và λ k = với mọi k N. Do đó λ k = +. Tuy nhiên như đã tính toán ở trên u k = k ( λ j + λ j 2 ) = với mọi k=0 k N. Do vậy lim k u k = không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán. Ví dụ Cho K = R 2 và F(u) = ( u 2,u ) với mọi u = (u,u 2 ) K. Dễ thấy hàm F liên tục Lipschitz và đơn điệu trên K, và nghiệm của bài toán VI(K,F) là (0,0) T. Cho u 0 = (u 0,u0 2 )T K\{(0,0) T } bất kỳ và {λ k } được cho bởi j=0 λ k = k + k N. Khi đó λ k = +, lim λ k = 0. Để chứng minh F không giả đơn điệu mạnh trên K, k=0 k ta chỉ cần chọn u = (,0) T,v = (2,0) T, khi đó F(u),v u = 0 và F(v),v u = 0. Dãy lặp {u k } được tạo bởi Thuật toán 2.. được cho bởi u 0 = (u ( 0,u0 2 )T ) u k+ = ( (k + ) 2 u k+ 2 = (k + ) 2 u k + k + uk 2 ) u k 2 k + uk 33

36 Ta có u k+ = (u k+ ) 2 + (u k+ 2 ) 2 = (u k )2 + (u k 2 )2 (k + ) 2 + (k + ) 4 = u k = u 0 k j=0 (k + ) 2 + (k + ) 4 ( ) ( j + ) 2 + ( j + ) 4. Khi đó lim k uk = u 0 lim k k j=0 u 0 lim k 2 2 u0 = µ u 0 (µ ( k + 2 2(k + ) 2 2 ). ) ( j + ) 2 + ( j + ) 4 Do đó, {u k } không hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F). Ta sẽ chứng minh tập hợp các điểm tụ của dãy {u k } là đường tròn S := {u R 2 : u = µ u 0 }. Với mỗi k N, cho z k = u k + iuk 2 là số phức được tạo bởi uk. Để chứng minh tập hợp các điểm tụ của {u k } là đường tròn ta chỉ cần chứng minh tập các điểm tụ của {z k } là đường tròn. S := {z C : z = µ z 0 } trong mặt phẳng phức. Ta có ( u k+ + iu k+ 2 = i ( k + )u k (k + ) 2 + i + k + ( = i ( k + )u k (k + ) 2 + i ( = i ) k + (k + ) 2 (u k + iuk 2 ). 34 ) i (k + ) 2 i k + (k + ) 2 u k 2 ) u k 2

37 ( Đặt a k = i k + (k + ) 2, ta có zk+ = a k z k k = a j )z 0. Với mỗi k ta viết j=0 a k dưới dạng hàm mũ a k = r k e iθ k, trong đó r k = a k = (k + ) 2 + (k + ) 4, θ k = arctan ( ) (k + ) (k + ) 2 ( π 2,0 ). Thì ( ( k k z k+ = a 0 r j )e ωki z 0 = a 0 r j ) z 0 e ωki e θi, j= j= trong đó a 0 = i,ω k = k θ j và θ ( π,π] là argument chính của z 0. Vì j= ( ) (k + ) θ k = arctan (k + ) 2 = ( ) k O k 2, nên lim θ k = 0 và lim ω k =. k k Cho z = a 0 µ z 0 e iθ là một điểm tùy ý trên S. Với mọi m N, tồn tại duy nhất k m N sao cho ω km θ θ 2mπ < ω km. Do đó ω km (θ θ 2mπ) ω km ω km = θ km. Vì θ km 0, ta có ω km (θ θ 2mπ) 0 khi m. Nghĩa là ω km + 2mπ θ θ khi m. Do vậy Hơn nữa lim m eω km i = lim m e(ω km +2mπ)i = e (θ θ)i. ) k lim m ( r j = lim j= m k j=0 ( ) ( j + ) 2 + ( j + ) 4 = µ. Vậy ta được lim m zk m+ = a 0 µe (θ θ)i e θi := z. Ta đã chứng minh được tập tất cả các điểm tới hạn của {z k } là đường tròn S. Qua các ví dụ trên ta thấy rằng, nếu bỏ đi bất kỳ một trong ba đều kiện trên thì dãy lặp {u k } đều không hội tụ tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F,K). 35

38 2.2. Phương pháp chiếu cơ bản cải biên Thuật toán Cho trước u 0 K và {λ k } (0,+ ). Bước : Đặt k=0. Bước 2: Tính u k = P K (u k λ k F(u k )), nếu u k = u k thì dừng lại. Nếu không thì chuyển sang bước tiếp theo. Bước 3: Đặt u k+ = u k, sau đó quay lại bước 2. Nếu thuật toán chấm dứt ở bước thứ k, thì ta đặt u k = u k với mọi k k +. Như vậy, đối với một dãy các độ dài bước thay đổi {λ k } (0,+ ), Thuật toán 2.2. tạo ra cho mỗi điểm ban đầu u 0 K một dãy lặp vô hạn {u k }. Mệnh đề Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và ánh xạ F : K H là giả đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tục Lipschitz trên K với hằng số L. Cho {u k } là dãy lặp được tạo ra bởi Thuật toán 2.2. và u là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) thì [ + λ k (2γ λ k L 2 )] u k+ u 2 u k u 2, k N. Chứng minh. Ta có u k+ = P K (u k λ k F(u k )), theo Mệnh đề..3(3) u k λ k F(u k ) u k+,u u k+ 0, u K. Thay u = u K ta thu được bất đắng thức u k λ k F(u k ) u k+,u u k+ 0, hoặc tương đương 2 u k u k+,u u k+ 2λ k F(u k ),u u k+. (2.) Từ đó u S(K,F), suy ra F(u ),u u 0, với mọi u K. Do tính chất giả đơn điệu mạnh của F ta có F(u),u u γ u u 2 với mọi u K. Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính liên tục Lipschitz của F, 2λ k F(u k ),u u k+ = 2λ k F(u k+ ),u k+ u + 2λ k F(u k ) F(u k+ ),u u k+ 36

39 2λ k γ u k+ u 2 + 2λ k F(u k ) F(u k+ ) u k+ u 2λ k γ u k+ u 2 + 2λ k L u k u k+ u k+ u. Mặt khác ta có: 2λ k L u k u k+ u k+ u u k u k+ 2 + (λ k L) 2 u k+ u 2, ta thu được 2λ k F(u k ),u u k+ 2λ k γ u k+ u 2 + u k u k+ 2 Mặt khác + (λ k L) 2 u k+ u 2. (2.2) 2 u k u k+,u u k+ = u k u k+ 2 + u u k+ 2 (u k u k+ ) (u u k+ ) 2 Kết hợp (2.) với (2.2) và (2.3) ta được = u k u k+ 2 + u k+ u 2 u k u 2. (2.3) u k u k+ 2 + u k+ u 2 u k u 2 2λ k γ u k+ u 2 + u k u k+ 2 + (λ k L) 2 u k+ u 2. Suy ra [ + λ k (2γ λ k L 2 )] u k+ u 2 u k u 2, k N. Suy ra định lý được chứng minh. Bài toán VI(K,F) luôn có duy nhất một nghiệm, và dãy lặp được tạo bởi Thuật toán 2.2., với độ dài bước được chọn từ một khoảng đóng của các số thực dương, hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất đó. Cụ thể, ta có định lý sau: Định lý Cho K là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, F : K H là ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên K với môđun γ và liên tục Lipschitz trên K với hằng số L. Giả sử rằng 0 < a λ k b < 2γ, k N, (2.4) L2 37

40 trong đó a, b là các hằng số dương. Cho {u k } là dãy lặp tạo ra bởi Thuật toán Khi đó, dãy {u k } hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất u của bài toán. Hơn nữa, các sai số tiên nghiệm và hậu nghiệm là u k+ u µk+ µ u u 0, và u k+ u µ µ uk+ u k, đúng với mọi k N. Ở đây µ = + a(2γ bl 2 ) (0,). Chứng minh. Vì 0 < a λ k b < 2γ L 2, k N, nên Theo Mệnh đề 2.2. ta có [ + λ k (2γ λ k L 2 )] [ + a(2γ bl 2 )] >, k N. [ + λ k (2γ λ k L 2 )] u k+ u 2 u k u 2, k N. Suy ra Do đó [ + a(2γ bl 2 )] u k+ u 2 u k u 2, k N. u k+ u 2 + a(2γ bl 2 ) uk u 2 ( ) µ 2 u k u 2, µ =. + a(2γ bl 2 ) Suy ra u k+ u µ u k u, k N. µ 2 u k u µ k+ u 0 u. 38

41 Ta có µ (0,) nên µ k+ 0. Suy ra u k+ u 0.Điều này chứng tỏ {u k } hội tụ tuyến tính tới u. Mặt khác u k u u k u k+ + u k+ u u k u k+ + µ u k u. Suy ra Do đó u k u µ uk u k+, k N. u k+ u µ k+ u 0 u µk+ µ u0 u, u k+ u µ u k u µ µ uk u k+. Suy ra định lý được chứng minh. Chú ý 2.2. Khi a = b = λ, độ dài bước là cố định. Do đó phương pháp chiếu cơ bản cải biên trở thành phương pháp chiếu cơ bản và µ trở thành Ta có λ ( 0, 2γ ) L 2 µ như một hàm của λ µ := µ = + λ(2γ λl 2 ).. Các ước tính sai số là chặt chẽ khi µ là nhỏ nhất. Xét ( 0, 2γ ) L 2, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của µ là L L 2 + γ 2 tại điểm λ := γ L 2. Chú ý Ngoài ra giá trị µ có thể được xem như một hàm µ = µ(a,b) của biến (a,b) thuộc miền { (a,b) R 2 : 0 < a b < 2γ } L 2. Đặt b = ta, với t [, + ) cố định, tương tự như trên ta tính được hàm µ(a,b) = µ(a,ta) đạt giá trị nhỏ nhất là tại a = γ. Từ đó + γ2 tl2 tl 2 L min : t < + = + γ2 L 2 + γ. 2 tl 2 39

42 Vậy suy ra { min µ(a,b) : 0 < a b < 2γ } L 2 = L L 2 + γ 2. Do đó, giá trị nhỏ nhất của µ là µ = (a,b ) = ( γ L 2, γ L 2 ). L đạt được tại điểm duy nhất L 2 + γ2 Chú ý Ước lượng sai số trong Định lý 2.2. là hữu ích trong việc áp dụng Thuật toán 2.2. để giải bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh.ví dụ, công thức u k+ u µk+ µ u u 0 cho phép chúng ta ước tính số lượng bước lặp cần để đạt được một độ chính xác nhất định. Cụ thể, với ε > 0 bất kỳ, nếu µk+ µ u u 0 ε thì ta có u k+ u ε. Hệ quả Trong các kí hiệu của Định lý 2.2., nếu F là đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên K thì dãy {u k } tạo ra bởi Thuật toán 2.2. hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F) và các ước tính sai số nêu trên được thỏa mãn. Ví dụ 2.2. Cho H = l 2 là không gian Hilbert thực mà các thành phần là các dãy bình phương khả tổng của các vô hướng thực. Ví dụ H = {u = (u,u 2,,u i, ) : u i 2 < + }. Định nghĩa u,v = u,u u i v i và u = là tích vô hướng và i= i= chuẩn của hai vectơ u,v trên H, với u = (u,u 2,,u i, ),v = (v,v 2,,v i, ) H bất kỳ. Cho α,β R sao cho β > α > β 2 > 0. Đặt K α = {u H : u α}, F β (u) = (β u )u, trong đó α,β là các tham số. Dễ thấy S(K α,f β ) = {0}. Hàm F β là liên tục Lipschitz và giả đơn điệu mạnh trên K α. Thật vậy, với u,v K α bất kỳ, F β (u) F β (v) = (β u )u (β v )v = β(u v) u (u v) ( u v )v β u v + u u v + u v v β u v + α u v + α u v = (β + 2α) u v. 40

43 Do đó F β là liên tục Lipschitz trên K α với hằng số Lipschitz L := β + 2α. Cho u,v K α sao cho F β (u),v u 0. Theo giả thiết u α < β. Suy ra u,v u 0. Do đó Fβ (v),v u = (β v ) v,v u (β v ) ( v,v u u,v u ) (β α) u v 2 = γ u v 2, ở đây γ := β α > 0. Suy ra F β là giả đơn điệu mạnh trên K α. Hơn nữa F β không thể ( ) β đơn điệu mạnh cũng không thể đơn điệu trên K α. Thật vậy, ta chọn u =,0,,0,,v = 2 (α,0,,0, ) K α. Ta có Fβ (u) F β (v),u v ( ) β 3 = 2 α < 0. ( Lấy u 0 K α bất kỳ, và λ 0, 2γ ) ( ) 2(β α) L 2 = 0, (β + 2α) 2 tùy ý, đặt λ k = λ với mọi k N. Theo Định lý 2.2., dãy {u k } được tạo bởi Thuật toán 2.2. hội tụ tuyến tính tới 0. Hơn nữa, u k+ 0 µk+ µ u u 0 và u k+ 0 µ µ uk+ u k với mọi k N, trong đó µ = + λ[2(β α) λ(β + 2α) 2 ]. Theo Chú ý 2.2. giá trị nhỏ nhất của µ là µ = λ = λ = β α (β + 2α) 2. β + 2α (β α) 2 + (β + 2α) 2 ] tại điểm Nếu các độ dài bước tạo thành một dãy không khả tổng của các số thực dương thì Thuật toán 2.2. cũng tạo ra một dãy lặp hội mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán. Ta có: Định lý Cho K là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và F : K H là một ánh xạ giả đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tục 4

44 Lipschitz trên K với hằng số L. Giả sử {λ k } là một dãy các vô hướng dương với λ k = +, k=0 lim λ k = 0. (2.5) k Dãy lặp {u k } được tạo thành từ Thuật toán 2.2. sẽ hội tụ mạnh tới u là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F). Hơn nữa, tồn tại một chỉ số k 0 N sao cho với mỗi k k 0,λ k (2γ λ k L 2 ) > 0, và u k+ u u k 0 u. k i=k 0 [ + λ i (2γ λ i L 2 ] Chứng minh. Vì λ k 0, nên tồn tại k 0 N sao cho λ k L 2 < λ với mọi k k 0. Do đó λ k (2γ λ k L 2 ) > λ k (2γ γ) = γλ k > 0, với mọi k k 0. Vì thế, từ [ + λ k (2γ λ k L 2 )] u k+ u 2 u k u 2, suy ra Vậy u k+ u 2. + λ k (2γ λ k L 2 ) uk u 2 [ + λ k (2γ λ k L 2 )] [ + λ k (2γ λ k L 2 )] uk u 2 k i=k 0 [ + λ i (2γ λ i L 2 )] uk 0 u 2. u k+ u u k 0 u. (2.6) k i=k 0 [ + λ i (2γ λ i L 2 )] Tiếp theo, ta sẽ chứng minh dãy {u k } hội tụ theo chuẩn tới u. Với mỗi k N, đặt và viết lại công thức (2.6), ta được α k = λ k (2γ λ k L 2 ) u k+ u u k 0 u. k i=k 0 ( + α i ) 42

45 Vì α k = λ k (2γ λ k L 2 ) > γλ k với mỗi k k 0, nên α k = +. Do đó k=k 0 k i=k 0 ( + α i ) + k i=k 0 α i 0 khi k. Vì thế, u k+ u 0, hay dãy {u k } hội tụ theo chuẩn tới u. Định lý được chứng minh. Hệ quả Cho {λ k } như trong Định lý Cho F là đơn điệu mạnh trên K với mô-đun γ và liên tục Lipschitz trên K với một hằng số L. Thì dãy {u k } bất kỳ được tạo ra từ Thuật toán 2.2. hội tụ theo chuẩn tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K, F) và tồn tại một chỉ số k 0 N sao cho u k+ u u k 0 u, k i=k 0 [ + λ i (2γ λ i L 2 ] đúng với mỗi k k 0. Ví dụ Cho H = l 2,α,β R sao cho β > α > β 2 > 0. Đặt K α = {u H : u α}, F β (u) = (β u )u, trong đó α,β là các tham số, và λ k = k +, k N. Khi đó λ k = +, lim λ k = 0. k=0 k Cho {u k } là một dãy lặp được tạo bởi Thuật toán Suy ra dãy {u k } hội tụ (β + 2α)2 mạnh tới 0 là nghiệm duy nhất của bài toán VI(K α,f β ). Đặt k 0 = 2(β α), thì λ k (2γ λ k L 2 ) > 0, với mọi k k 0. Ta có u k+ 0 [ ( 2(β α) ki=k0 + i + )] uk 0 0, k k 0. (β + 2α)2 (i + ) 2 Chúng ta sẽ xét xem điều gì sẽ xảy ra nếu bỏ điều kiện (2.4) và (2.5) lần lượt được đưa ra ở Định lý 2.2. và Định lý thông qua ví dụ sau: Ví dụ Đặt K = R và F(u) = u. Rõ ràng F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh trên K và S(K,F) = 0. Chọn u 0 = K và λ k =, k N. (k + 2) 2 43

46 Từ đó lim λ k = 0 và λ k < +, cả hai điều kiện (2.4) và (2.5) đều bị lược bỏ. Dãy k k=0 lặp u k được tạo bởi Thuật toán 2.2. với u 0 = được cho bởi u k+ = P K (u k λ k F(u k )) = u k λ k u k = ( λ k )u k. Do đó, u k+ = = k i=0 ( λ i ) = k i=0 ( ) (i + 2) 2 k (i + )(i + 3) i=0 (i + 2) 2 = k + 3, k N. 2(k + 2) Vậy lim k u k = 2. Nghĩa là {uk } không hội tụ đến nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F). Vậy các điều kiện (2.4) và (2.5) không thể bỏ đi, nếu không dãy lặp sẽ không hội tụ tới nghiệm của bài toán cần tìm. Ví dụ Cho K = R và F(u) = u, và u 0 R\{0}. Cho λ k (0,+ ) thỏa mãn điều kiện λ k = +, lim λ k = 0 và λ k, k N. Khi đó dãy lặp {u k } trở thành k=0 k u k+ = P K (u k λ k F(u k )) = u k λ k u k = ( λ k )u k. Để chứng minh {u k } hội tụ tuyến tính đến 0, ta cần chứng minh: u k+ 0 lim k u k = µ, với µ (0,). 0 Vì lim k λ k = 0 và u k 0 với mọi k N, ta có u k+ 0 lim k u k = lim λ k =. 0 k Vậy {u k } không hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F). Ví dụ trên cho thấy rằng dãy {u k } được xét trong Định lý có thể không hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(K,F). Mặt khác, trong một so sánh với dãy lặp được tạo Định lý 2.2., công thức lặp trong Định lý có tốc độ hội tụ chậm hơn. Như vậy, bên cạnh những ưu điểm nêu trên, thì phương pháp chiếu cải biên không có hằng số tiên nghiệm cũng có những nhược điểm về tốc độ hội tụ. 44

47 KẾT LUẬN Sau khi được Hatman và Stampacchia giới thiệu lần đầu vào năm 966, trải qua 50 năm phát triển không ngừng, bài toán bất đẳng thức biến phân đã trở thành một công cụ hữu hiệu, để nghiên cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi và trong nhiều bài toán khác. Gần đây, các bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm, và có được nhiều kết quả quan trọng. Người ta đã tìm ra nhiều phương pháp để giải bài toán này. Bản luận văn này nhằm mục đích giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh. Cụ thể là, sau khi tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về Giải tích hàm và Giải tích lồi, trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân với các ví dụ minh họa. Sau đó, luận văn trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Tiếp đến, luận văn giới thiệu hai thuật toán chiếu để giải lớp bài toán này, đồng thời xét đến sự hội tụ của các thuật toán trong không gian Hilbert.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ THANH HẢI MỘT TIẾP CẬN TỐI ƯU HAI CẤP CHO HIỆU CHỈNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH HỒNG UYÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH HỒNG UYÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH HỒNG UYÊN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP H

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP H ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP HÀM SIÊU VIỆT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suấ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suấ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG TRUNG HIẾU SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC ĐỘ ĐO XÁC SUẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC NGUYỄN DUY KHÁNH BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành:

Chi tiết hơn

Đề toán thi thử THPT chuyên Hùng Vương tỉnh Bình Dương năm 2018

Đề toán thi thử THPT chuyên Hùng Vương tỉnh Bình Dương năm 2018 SỞ GD-ĐT BÌNH DƯƠNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN 5 MÔN TOÁN TRƯỜNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 07-08 Thời gian làm bài: 90 phút. Mã đề: 4 Đề gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm. Câu. Gọi x 0 là nghiệm dương lớn nhất

Chi tiết hơn

Diễn đàn MATHSCOPE PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn Anh Huy

Diễn đàn MATHSCOPE PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn Anh Huy Diễn đàn MATHSCOPE PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn Anh Huy 6-7 - 01 Mục lục Lời nói đầu....................................... 6 Các thành viên tham gia chuyên đề........................

Chi tiết hơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG PHẠM VĂN NAM PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG PHẠM VĂN NAM PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LI BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG ----------------------------- PHẠM VĂN NAM PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LIÊN TỤC Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân

Chi tiết hơn

Phân tích các bài toán giải tích trong kì thi Olympic toán sinh viên TS. Lê Phương Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh Ngày 25 tháng 12 năm 2016

Phân tích các bài toán giải tích trong kì thi Olympic toán sinh viên TS. Lê Phương Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh Ngày 25 tháng 12 năm 2016 Phân tích các bài toán giải tích trong kì thi Olympic toán sinh viên TS. Lê Phương Đại học Ngân hàng TP Hồ Chí Minh Ngày 5 tháng năm 6 Mục lục Kiến thức cơ sở 4. Giải bài toán Olympic như thế nào....................

Chi tiết hơn

Đề chọn đội VMO 2016 Người tổng hợp: Nguyễn Trung Tuân Ngày 16 tháng 12 năm 2015 Tóm tắt nội dung Tài liệu chứa các đề chọn đội VMO 2016 của các tỉnh.

Đề chọn đội VMO 2016 Người tổng hợp: Nguyễn Trung Tuân Ngày 16 tháng 12 năm 2015 Tóm tắt nội dung Tài liệu chứa các đề chọn đội VMO 2016 của các tỉnh. Đề chọn đội VMO 2016 Người tổng hợp: Nguyễn Trung Tuân Ngày 16 tháng 12 năm 2015 Tóm tắt nội dung Tài liệu chứa các đề chọn đội VMO 2016 của các tỉnh. Mục lục 1 Hà Nội 4 2 Thành phố Hồ Chí Minh 5 2.1 Ngày

Chi tiết hơn

Layout 1

Layout 1 MỤC LỤC Mục lục 3 Thiếp chúc mừng năm mới của Tổng Bí thư, Chủ tịch nước Nguyễn Phú Trọng SỰ KIỆN 4 Kỳ diệu thay Đảng của chúng ta 7 Thông báo Hội nghị lần thứ 9 Ban Chấp hành Trung ương Đảng khóa XII

Chi tiết hơn

NHỮNG CÁI BẪY CHẾT NGƯỜI TRONG VẬT LÝ HỌC NHỮNG CÁI BẪY CHẾT NGƯỜI TRONG VẬT LÝ HỌC Vũ Huy Toàn Công ty cổ phần CONINCO-MI 4 Tôn Thất Tùng, Hà Nội. Em

NHỮNG CÁI BẪY CHẾT NGƯỜI TRONG VẬT LÝ HỌC NHỮNG CÁI BẪY CHẾT NGƯỜI TRONG VẬT LÝ HỌC Vũ Huy Toàn Công ty cổ phần CONINCO-MI 4 Tôn Thất Tùng, Hà Nội. Em Vũ Huy Toàn Công ty cổ phần CONINCO-MI 4 Tôn Thất Tùng, Hà Nội. Email: vuhuytoan@conincomi.vn Vì sao trong suốt nhiều thế kỷ qua, bao nhiều nhà bác học xuất chúng, tài ba, lỗi lạc mà vẫn để cho vật lý

Chi tiết hơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU HÀ KHẢO SÁT THÀNH NGỮ TRÊN BÁO AN NINH THẾ GIỚI Chuyên ngành: Ngôn ngữ học Mã số: 60.22.01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC XÃ HỘI VÀ NHÂN VĂN Đà

Chi tiết hơn

Phó Đức Tài Giáo trình Đại số tuyến tính

Phó Đức Tài Giáo trình Đại số tuyến tính Phó Đức Tài Giáo trình Đại số tuyến tính 1 2 0 2 2 1 0 2 1 2 2 0 2 1 1 0 1 1 1 0 2 2 2 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 0 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 1 2 0 0 0 1

Chi tiết hơn

Microsoft Word - SC_AB1_VIE.doc

Microsoft Word - SC_AB1_VIE.doc SỐNG TRONG ĐẤNG CHRIST Nhận dạng môn đồ - Phần 1 Dr. David Platt 09/09/07 Nếu quý vị có Kinh Thánh, và tôi hi vọng như vậy, xin cùng mở ra với tôi Ma-thi-ơ đoạn 11. Sách đầu tiên của Tân Ước. Ma-thi-ơ

Chi tiết hơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2019 LẦN 3 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (Đề thi gồm 06 trang) (50 câu hỏi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2019 LẦN 3 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (Đề thi gồm 06 trang) (50 câu hỏi TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 9 LẦN TRƯỜNG THPT CHUYÊN Môn: TOÁN Thời gin làm ài: 9 phút (Đề thi gồm 6 trng) (5 câu hỏi trắc nghiệm) Mã đề thi Họ và tên thí sinh: Số áo dnh: Câu : Cho

Chi tiết hơn

Layout 1

Layout 1 MỤC LỤC Mục lục SỰ KIỆN 3 NGUYỄN XUÂN THẮNG: Chủ nghĩa Mác trong thế kỷ XXI và giá trị lý luận đối với con đường phát triển của Việt Nam 13 TẠ NGỌC TẤN: Tổ chức bộ máy hệ thống chính trị - Vấn đề trung

Chi tiết hơn

Giáo trình Giải tích điều hòa Đặng Anh Tuấn Ngày 15 tháng 9 năm 2017

Giáo trình Giải tích điều hòa Đặng Anh Tuấn Ngày 15 tháng 9 năm 2017 Giáo trình Giải tích điều hòa Đặng Anh Tuấn Ngày 15 tháng 9 năm 2017 Mục lục 0.1 Không gian tô-pô và phân hoạch đơn vị......... 5 0.2 Độ đo Borel phức và định lý biểu diễn Riesz...... 7 0.3 Không gian

Chi tiết hơn

Truy cập Website : hoc360.net Tải tài liệu học tập miễn phí Đề thi thử THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm 2018 Câu 1: Khi kích thích cho con l

Truy cập Website : hoc360.net Tải tài liệu học tập miễn phí Đề thi thử THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - Lần 2 - Năm 2018 Câu 1: Khi kích thích cho con l Đề thi thử THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - Lần - Năm 08 Câu : Khi kích thích cho con lắc lò xo dao động điều hòa, đại lượng nào sau đây không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu? A. Biên độ dao động. B. Tần

Chi tiết hơn

Microsoft Word - KHÔNG GIAN TINH THẦN

Microsoft Word - KHÔNG GIAN TINH THẦN KHÔNG GIAN TINH THẦN Nguyễn Trần Bạt Chủ tịch / Tổng giám đốc, InvestConsult Group Khi nghiên cứu về sự phát triển của con người, tôi đã rút ra kết luận rằng sự phát triển của con người lệ thuộc vào hai

Chi tiết hơn

(Microsoft Word - 4_Vuong NC-T\ doc)

(Microsoft Word - 4_Vuong NC-T\ doc) Tạp chí Khoa học ĐHQGHN, Khoa học Xã hội và Nhân văn, Tập 29, Số 2 (2013) 34-49 Động thái hướng tới mô hình Trung Hoa trong nỗ lực hoàn thiện thể chế chính trị - xã hội triều Nguyễn giai đoạn nửa đầu thế

Chi tiết hơn

Phần mở đầu

Phần mở đầu BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trương Thu Sương TÌM HIỂU ĐẶC TRƯNG NGÔN NGỮ CỦA NHẬT BÁO CẦN THƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ NGÔN NGỮ HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

Chi tiết hơn

Tp

Tp VỤ KIỆN CƠ SỞ SẢN XUẤT BÁNH MÌ TIẾN PHÁT GÂY Ô NHIỄM VÀ NHỮNG BẤT CẬP TRONG PHÁP LUẬT & THỰC TIỄN Nguyên đơn: Gia đình bà TRẦN ANH Địa chỉ: 28 Phong Phú, P. 12, Q. 8, TP. HCM Bị đơn: CƠ SỞ SẢN XUẤT BÁNH

Chi tiết hơn

Microsoft Word - Day_lop_4_P1.doc

Microsoft Word - Day_lop_4_P1.doc Dự Án Phát Triển Giáo Viên Tiểu Học GIÁO TRÌNH Dạy Học Lớp 4 Theo Chương Trình Tiểu Học Mới Ebook.moet.gov.vn, 2008 Tiếng Việt A. Tổng quan về tiểu mô-đun 1. Mục tiêu của tiểu mô-đun Học xong tiểu môđun

Chi tiết hơn

ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH

ĐOÀN TNCS HỒ CHÍ MINH TỈNH TIỀN GIANG TÀI LIỆU SINH HOẠT CHI ĐOÀN Tháng 7/2017 Lƣu hành nội bộ HỌC TẬP VÀ LÀM THEO TƢ TƢỞNG, ĐẠO ĐỨC, PHONG CÁCH HỒ CHÍ MINH Học tập gƣơng làm việc suốt đời của Chủ tịch Hồ Chí Minh 1. Làm việc

Chi tiết hơn

Microsoft Word - Giao duc va nang cao suc khoe.doc

Microsoft Word - Giao duc va nang cao suc khoe.doc TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y KHOA THÁI NGUYÊN GIÁO DỤC VÀ NÂNG CAO SỨC KHỎE NHÀ XUẤT BẢN Y HỌC Hà Nội 2007 1 Chủ Biên PGS. TS. Đàm Khai Hoàn BAN BIÊN SOẠN 1. PGS.TS. Đàm Khai Hoàn 2. ThS. Hạc Văn Vinh 3. ThS. Nguyễn

Chi tiết hơn

BÃy gi© Di L¥c BÒ Tát nói v§i ThiŒn Tài r¢ng :

BÃy gi© Di L¥c BÒ Tát nói v§i ThiŒn Tài r¢ng : An Lạc Tập Thích Đạo Xước soạn Thích Nhất Chân dịch Bộ An Lạc Tập này trọn một bộ gồm 12 đại môn, môn nào cũng đều trích dẫn các Kinh và Luận ra để chứng minh, nhằm khuyến khích người học tin tưởng mà

Chi tiết hơn

SỞ GD & ĐT THANH HÓA Trường PTTH Chuyên LAM SƠN ****************************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học *

SỞ GD & ĐT THANH HÓA Trường PTTH Chuyên LAM SƠN ****************************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học * SỞ GD & ĐT THANH HÓA Trường PTTH Chuyên LA SƠN ****************************** SÁNG KIẾN KINH NGHIỆ Năm học 013 014 ---------------- * ------------------ ỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG ẶT PHẲNG TỌA

Chi tiết hơn

A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA Liên Trì Đại Sư Chùa Vân Thê soạn Sớ Sao Pháp Sư Cổ Đức Diễn Nghĩa Giảng giải: Pháp Sư T

A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA Liên Trì Đại Sư Chùa Vân Thê soạn Sớ Sao Pháp Sư Cổ Đức Diễn Nghĩa Giảng giải: Pháp Sư T A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA Liên Trì Đại Sư Chùa Vân Thê soạn Sớ Sao Pháp Sư Cổ Đức Diễn Nghĩa Giảng giải: Pháp Sư Tịnh Không Việt dịch: Bửu Quang Tự đệ tử Như Hoà TẬP MỘT Chư vị đồng tu. Hôm nay chúng

Chi tiết hơn

KINH PHÁP CÚ Illustrated Dhammapada Illustrations by Mr. P. Wickramanayaka Tâm Minh Ngô Tằng Giao CHUYỂN DỊCH THƠ

KINH PHÁP CÚ Illustrated Dhammapada Illustrations by Mr. P. Wickramanayaka Tâm Minh Ngô Tằng Giao CHUYỂN DỊCH THƠ KINH PHÁP CÚ Illustrated Dhammapada Illustrations by Mr. P. Wickramanayaka Tâm Minh Ngô Tằng Giao CHUYỂN DỊCH THƠ KINH PHÁP CÚ MINH HỌA: Mr. P. Wickramanayaka (Illustrated Dhammapada) CHUYỂN DỊCH THƠ:

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA TẬP ĐIỂM BÉO TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2019 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN NAM SINH CHỈ SỐ

Chi tiết hơn

Truy cập Website : hoc360.net Tải tài liệu học tập miễn phí Đề thi thử THPT QG THPT Chuyên Đại học Vinh - lần 4 Câu 1: Trong máy quang phổ lăng kính,

Truy cập Website : hoc360.net Tải tài liệu học tập miễn phí Đề thi thử THPT QG THPT Chuyên Đại học Vinh - lần 4 Câu 1: Trong máy quang phổ lăng kính, Đề thi thử THPT QG THPT Chuyên Đại học Vinh - lần 4 Câu : Trong máy quang phổ lăng kính, lăng kính có tác dụng A. tăng cường độ chùm sáng B. tán sắc ánh sáng C. nhiễu xạ ánh sáng D. giao thoa ánh sáng

Chi tiết hơn

Đề cương chương trình đại học

Đề cương chương trình đại học ĐỀ CƢƠNG KHOA HỌC QUẢN LÝ Mục Lục Câu 1: Vì sao phải hình thành các tổ chức? Nêu các loại hình tổ chức?...3 Câu 2: Nêu các hoạt động cơ bản của tổ chức? Các hoạt động đó dẫn đến nhu cầu về quản lý như

Chi tiết hơn

Đau Khổ

Đau Khổ Chúng tôi đã thuyết giảng về những cảm xúc đau khổ và các tai hại mà chúng sẽ gây ra cho việc hành trì tu tập của chúng ta. Tuy nhiên, điều ấy không có nghĩa là chúng ta không quan tâm đến những cảm xúc

Chi tiết hơn

Nhu cầu của sự an lạc và tình thương

Nhu cầu của sự an lạc và tình thương Tôi du hành đến nhiều nơi vòng quanh thế giới và khi thuyết giảng trước quần chúng, tôi có cảm nghĩ rằng tôi là một người bà con trong gia đình của họ. Mặc dù chúng tôi có thể mới gặp lần đầu tiên, tôi

Chi tiết hơn

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CHƯƠNG 04 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC... Các khái niệm cơ bản nhất Chủ đề 1. Các bài toán tính toán số phức B

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CHƯƠNG 04 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC... Các khái niệm cơ bản nhất Chủ đề 1. Các bài toán tính toán số phức B CHƯƠNG 04 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO SỐ PHỨC... Các khái niệm cơ bản nhất Chủ đề. Các bài toán tính toán số phức Bài tập áp dụng chi tiết Chủ đề. Phương trình số phức Bài tập áp dụng chi tiết Chủ đề 3. Các

Chi tiết hơn

193 MINH TRIẾT KHUYẾN THIỆN - TRỪNG ÁC VÌ HÒA BÌNH CỦA PHẬT GIÁO HIỂN LỘ QUA VIỆC THỜ HAI VỊ HỘ PHÁP TRONG NGÔI CHÙA NGƯỜI VIỆT Vũ Minh Tuyên * Vũ Thú

193 MINH TRIẾT KHUYẾN THIỆN - TRỪNG ÁC VÌ HÒA BÌNH CỦA PHẬT GIÁO HIỂN LỘ QUA VIỆC THỜ HAI VỊ HỘ PHÁP TRONG NGÔI CHÙA NGƯỜI VIỆT Vũ Minh Tuyên * Vũ Thú 193 MINH TRIẾT KHUYẾN THIỆN - TRỪNG ÁC VÌ HÒA BÌNH CỦA PHẬT GIÁO HIỂN LỘ QUA VIỆC THỜ HAI VỊ HỘ PHÁP TRONG NGÔI CHÙA NGƯỜI VIỆT Vũ Minh Tuyên * Vũ Thúy Hằng ** Như thách thức cùng năm tháng, như nằm ngoài

Chi tiết hơn

Đoàn Viết Hoạt và sứ mệnh xương rồng Đỗ Thái Nhiên So với các loài thực vật khác, xương rồng là loại cây có sức chịu đựng cao cấp nhất và trường kỳ nh

Đoàn Viết Hoạt và sứ mệnh xương rồng Đỗ Thái Nhiên So với các loài thực vật khác, xương rồng là loại cây có sức chịu đựng cao cấp nhất và trường kỳ nh Đoàn Viết Hoạt và sứ mệnh xương rồng Đỗ Thái Nhiên So với các loài thực vật khác, xương rồng là loại cây có sức chịu đựng cao cấp nhất và trường kỳ nhất đối với mọi tình huống khắc nghiệt của đất đai và

Chi tiết hơn

CÔNG TY TNHH XÂY DỰNG TXD CẨM NANG XÂY NHÀ Dành cho người xây nhà 1 P a g e

CÔNG TY TNHH XÂY DỰNG TXD CẨM NANG XÂY NHÀ Dành cho người xây nhà 1 P a g e CÔNG TY TNHH XÂY DỰNG TXD CẨM NANG XÂY NHÀ Dành cho người xây nhà 1 P a g e Mục lục PHẦN 1: XÂY NHÀ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU... 4 1. Quy trình làm nhà... 4 2 P a g e Quy trình 6 bước tạo nên một ngôi nhà... 4 Bước

Chi tiết hơn

Em hãy tưởng tượng và kể lại một cuộc gặp gỡ với một trong các nhân vật cổ tích hoặc truyền thuyết

Em hãy tưởng tượng và kể lại một cuộc gặp gỡ với một trong các nhân vật cổ tích hoặc truyền thuyết Em hãy tưởng tượng và kể lại một cuộc gặp gỡ với một trong các nhân vật cổ tích hoặc truyền thuyết Author : vanmau Em hãy tưởng tượng và kể lại một cuộc gặp gỡ với một trong các nhân vật cổ tích hoặc truyền

Chi tiết hơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Minh Phong MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC TỔNG HỢP VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 12 Ở VIỆT NAM LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC

Chi tiết hơn

LỜI GIỚI THIỆU Chia sẽ ebook : Tham gia cộng đồng chia sẽ sách : Fanpage : C

LỜI GIỚI THIỆU Chia sẽ ebook :   Tham gia cộng đồng chia sẽ sách : Fanpage :   C LỜI GIỚI THIỆU Chia sẽ ebook : http://downloadsachmienphi.com/ Tham gia cộng đồng chia sẽ sách : Fanpage : https://www.facebook.com/downloadsachfree Cộng đồng Google :http://bit.ly/downloadsach Người lãnh

Chi tiết hơn

Mở đầu

Mở đầu CẦU NGUYỆN HY VỌNG TẬP 9 ĐỨC HỒNG Y PHANXICÔ XAVIÊ NGUYỄN VĂN THUẬN Cầu Nguyện Hy Vọng 9. Đức Hồng Y Phanxicô Xaviê Nguyễn Văn Thuận. Trang 1 MỤC LỤC 1. Chỗ của Chúa trong đời con... 5 2. Đức ái nhẫn nại...

Chi tiết hơn

Microsoft Word

Microsoft Word Phòng cháy chữa cháy Hệ thống Sprinkler tự động Yêu cầu thiết kế và lắp đặt Fire protection Automatic sprinkler systems Design and installation requirements LỜI NÓI ĐẦU TCVN 7336:2003 do Ban kỹ thuật tiêu

Chi tiết hơn

NGHỊ LUẬN XÃ HỘI VỀ LỐI SỐNG ĐẸP

NGHỊ LUẬN XÃ HỘI VỀ LỐI SỐNG ĐẸP NGHI LUÂ N XA HÔ I VÊ LÔ I SÔ NG ĐE P ĐÊ : Hãy hướng về phía Mặt Trời, bóng tối sẽ ngả về phía sau bạn. Gợi ý làm bài + Yêu cầu về kĩ năng: Đáp ứng được yêu cầu của bài văn Nghị luận xã hội. Bố cục hợp

Chi tiết hơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TÂM LUYỆN THI THỦ KHOA Hồ Chí Minh - Năm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TÂM LUYỆN THI THỦ KHOA Hồ Chí Minh - Năm BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRUNG TÂM LUYỆN THI THỦ KHOA Hồ Chí Minh - Năm wwwluyenthithukhoavn PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP PHẦN : XÁC ĐỊNH SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Việc biết một phương trình có bao nhiêu nghiệm,

Chi tiết hơn

PHÁP MÔN TỊNH ÐỘ HT. Trí Thủ ---o0o--- Nguồn Chuyển sang ebook Người thực hiện : Nam Thiên Link A

PHÁP MÔN TỊNH ÐỘ HT. Trí Thủ ---o0o--- Nguồn   Chuyển sang ebook Người thực hiện : Nam Thiên Link A PHÁP MÔN TỊNH ÐỘ HT. Trí Thủ ---o0o--- Nguồn http://www.niemphat.net Chuyển sang ebook 19-6-2009 Người thực hiện : Nam Thiên namthien@gmail.com Link Audio Tại Website http://www.phatphaponline.org Mục

Chi tiết hơn

Có phải bởi vì tôi là LGBT? Phân biệt đối xử dựa trên xu hướng tính dục và bản dạng giới tại Việt Nam Lương Thế Huy Phạm Quỳnh Phương Viện nghiên cứu

Có phải bởi vì tôi là LGBT? Phân biệt đối xử dựa trên xu hướng tính dục và bản dạng giới tại Việt Nam Lương Thế Huy Phạm Quỳnh Phương Viện nghiên cứu Có phải bởi vì tôi là LGBT? Phân biệt đối xử dựa trên xu hướng tính dục và bản dạng giới tại Việt Nam Lương Thế Huy Phạm Quỳnh Phương Viện nghiên cứu Xã hội, Kinh tế và Môi trường Con người được dạy để

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN Cao học phương pháp Toán Sơ Cấp K25 Thực hiện : Nguyễn Hạ Thi Giang BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM Người hướng dẫn: GS.TSK

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN Cao học phương pháp Toán Sơ Cấp K25 Thực hiện : Nguyễn Hạ Thi Giang BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM Người hướng dẫn: GS.TSK ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN Cao học phương pháp Toán Sơ Cấp K5 Thực hiện : Nguyễn Hạ Thi Giang BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Đà Nẵng - 0 BÀI TẬP : (Tuần hoàn cộng

Chi tiết hơn

Đề minh họa THPT Quốc Gia 2019 môn vật lý Sở Giáo dục và Đào tạo - Bình Dương

Đề minh họa THPT Quốc Gia 2019 môn vật lý Sở Giáo dục và Đào tạo - Bình Dương BỘ GD & ĐT TỈNH BÌNH DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 05 trang) ĐỀ MINH HỌA THPT QUỐC GIA NĂM 019 Bài thi: KHOA HỌC TỰ NHIÊN Môn thi thành phần: VẬT LÝ Thời gian làm bài: 50 phút, không kể thời gian

Chi tiết hơn

(Microsoft Word - Ph? k\375 t?c \320?A TH? PHONG2)

(Microsoft Word - Ph? k\375 t?c \320?A TH? PHONG2) Phả ký tộc ÐỊA THẾ PHONG-THỦY CỦA HÀ-NỘI, HUẾ, SÀI-GÒN VÀ VẬN MỆNH CỦA DÂN TỘC VIỆT NAM. Source: http://www.vietnamgiapha.com Từ xưa đến nay, việc lựa chọn một khu vực thích hợp và thuận tiện làm thủ đô

Chi tiết hơn

Kinh Từ Bi

Kinh Từ Bi Kinh Từ Bi Ni sư Ayya Khema Diệu Liên-LTL chuyển ngữ 1 Người hằng mong thanh tịnh: Nên thể hiện pháp lành, Có khả năng, chất phác, Hiền hòa, không kiêu mạn. Sống dễ dàng, tri túc, Thanh đạm không rộn ràng,

Chi tiết hơn

Mười Vạn Câu Hỏi Vì Sao?: Toán Học Chia sẽ ebook : Tham gia cộng đồng chia sẽ sách : Fanpage :

Mười Vạn Câu Hỏi Vì Sao?: Toán Học Chia sẽ ebook :   Tham gia cộng đồng chia sẽ sách : Fanpage : Mười Vạn Câu Hỏi Vì Sao?: Toán Học Chia sẽ ebook : http://downloadsachmienphi.com/ Tham gia cộng đồng chia sẽ sách : Fanpage : https://www.facebook.com/downloadsachfree Cộng đồng Google :http://bit.ly/downloadsach

Chi tiết hơn

LUẬT BẤT THÀNH VĂN TRONG KINH DOANH Nguyên tác: The Unwritten Laws of Business Tác giả: W. J. King, James G. Skakoon Người dịch: Nguyễn Bích Thủy Nhà

LUẬT BẤT THÀNH VĂN TRONG KINH DOANH Nguyên tác: The Unwritten Laws of Business Tác giả: W. J. King, James G. Skakoon Người dịch: Nguyễn Bích Thủy Nhà LUẬT BẤT THÀNH VĂN TRONG KINH DOANH Nguyên tác: The Unwritten Laws of Business Tác giả: W. J. King, James G. Skakoon Người dịch: Nguyễn Bích Thủy Nhà xuất bản: NXB Tri thức Nhà phát hành: Phương Nam Khối

Chi tiết hơn

A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA Liên Trì Đại Sư Chùa Vân Thê soạn Sớ Sao Pháp Sư Cổ Đức Diễn Nghĩa Giảng giải: Pháp Sư T

A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA Liên Trì Đại Sư Chùa Vân Thê soạn Sớ Sao Pháp Sư Cổ Đức Diễn Nghĩa Giảng giải: Pháp Sư T A DI ĐÀ KINH SỚ SAO DIỄN NGHĨA Liên Trì Đại Sư Chùa Vân Thê soạn Sớ Sao Pháp Sư Cổ Đức Diễn Nghĩa Giảng giải: Pháp Sư Tịnh Không Việt dịch: Bửu Quang Tự đệ tử Như Hoà TẬP BỐN Hàng thứ ba trang thứ nhất

Chi tiết hơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGHỆ THUẬT TRUNG ƯƠNG NINH VIỆT TRIỀU QUẢN LÝ HOẠT ĐỘNG BIỂU DIỄN NGHỆ THUẬT TẠI NHÀ HÁT CHÈO NINH BÌNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGHỆ THUẬT TRUNG ƯƠNG NINH VIỆT TRIỀU QUẢN LÝ HOẠT ĐỘNG BIỂU DIỄN NGHỆ THUẬT TẠI NHÀ HÁT CHÈO NINH BÌNH BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGHỆ THUẬT TRUNG ƯƠNG NINH VIỆT TRIỀU QUẢN LÝ HOẠT ĐỘNG BIỂU DIỄN NGHỆ THUẬT TẠI NHÀ HÁT CHÈO NINH BÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ QUẢN LÝ VĂN HÓA Hà Nội, 2018 BỘ GIÁO

Chi tiết hơn

Học không được hay học để làm gì? Trải nghiệm học tập của thanh thiếu niên dân tộc thiểu số (Nghiên cứu trường hợp tại Yên Bái, Hà Giang và Điện Biên)

Học không được hay học để làm gì? Trải nghiệm học tập của thanh thiếu niên dân tộc thiểu số (Nghiên cứu trường hợp tại Yên Bái, Hà Giang và Điện Biên) Học không được hay học để làm gì? Trải nghiệm học tập của thanh thiếu niên dân tộc thiểu số (Nghiên cứu trường hợp tại Yên Bái, Hà Giang và Điện Biên) Hà Nội, 12/2011 1 MỤC LỤC Lời cảm ơn Trang 4 1. Đặt

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THU HẰNG MỘT SỐ MÔ HÌNH XÁC SUẤT TRONG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THU HẰNG MỘT SỐ MÔ HÌNH XÁC SUẤT TRONG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - PHẠM THỊ THU HẰNG MỘT SỐ MÔ HÌNH XÁC SUẤT TRONG KHOA HỌC MÁY TÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất

Chi tiết hơn

Bình giảng tác phẩm truyện Kiều của Nguyễn Du

Bình giảng tác phẩm truyện Kiều của Nguyễn Du Bình giảng tác phẩm truyện Kiều của Nguyễn Du Author : elisa Bình giảng tác phẩm truyện Kiều của Nguyễn Du - Bài số 1 "Truyện Kiều còn, tiếng ta còn; tiếng ta còn, nước ta còn" (Phạm Quỳnh). Kiệt tác Truyện

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA LÊ MINH THÀNH ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ LÒ HƠI TẦNG SÔI TUẦN HOÀN ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA LÊ MINH THÀNH ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ LÒ HƠI TẦNG SÔI TUẦN HOÀN ỨNG DỤNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA --------------------------------------- LÊ MINH THÀNH ĐIỀU KHIỂN NHIỆT ĐỘ LÒ HƠI TẦNG SÔI TUẦN HOÀN ỨNG DỤNG TRÍ TUỆ NHÂN TẠO Chuyên ngành : KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN

Chi tiết hơn

Inbooklet-Vn-FINAL-Oct9.pub

Inbooklet-Vn-FINAL-Oct9.pub TỔ CHỨC CARE QUỐC TẾ TẠI VIỆT NAM SỔ TAY PHÒNG NGỪA GIẢM NHẸ ẢNH HƯỞNG CỦA LŨ VÀ BÃO DÀNH CHO CỘNG ĐỒNG Trang 32 Trang Tài liệu tham khảo Giới Thiệu Về Phòng Ngừa Thảm Họa. Hội Chữ thập đỏ Việt Nam. Nxb

Chi tiết hơn

Hạnh Phúc Bên Trong

Hạnh Phúc Bên Trong Khổ đau và Hạnh phúc Chúng ta phải chịu khổ đau mà không có sự lựa chọn nào khác. Chúng ta không muốn khổ đau, chúng ta tìm mọi cách để được hạnh phúc nhưng khổ đau lại xuất hiện bất kể ước muốn của chúng

Chi tiết hơn

NguyenThiThao3B

NguyenThiThao3B BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ LAO ĐỘNG - THƯƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC LAO ĐỘNG XÃ HỘI NGUYỄN THỊ THẢO NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ĐỘI NGŨ CÔNG CHỨC CẤP XÃ, HUYỆN YÊN ĐỊNH, TỈNH THANH HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ QUẢN

Chi tiết hơn

KINH TỨ THẬP NHỊ CHƯƠNG CÓ PHẢI LÀ CUỐN KINH ĐẦU TIÊN ĐƯỢC DỊCH TẠI TRUNG QUỐC KHÔNG? HẠNH CƠ Nguồn Chuyển sang ebook 2

KINH TỨ THẬP NHỊ CHƯƠNG CÓ PHẢI LÀ CUỐN KINH ĐẦU TIÊN ĐƯỢC DỊCH TẠI TRUNG QUỐC KHÔNG? HẠNH CƠ Nguồn   Chuyển sang ebook 2 KINH TỨ THẬP NHỊ CHƯƠNG CÓ PHẢI LÀ CUỐN KINH ĐẦU TIÊN ĐƯỢC DỊCH TẠI TRUNG QUỐC KHÔNG? HẠNH CƠ Nguồn http://http://www.quangduc.com Chuyển sang ebook 20 8-2009 Người thực hiện : Nam Thiên namthien@gmail.com

Chi tiết hơn

Hãy để mọi chuyện đơn giản - Tolly Burkan

Hãy để mọi chuyện đơn giản - Tolly Burkan Dịch giả: Kỳ Thư Lời tựa Cho dù bạn đang ở đâu trên trái đất này, nơi núi non hùng vĩ hay ở chốn phồn hoa đô hội, trên thiên đường hay dưới địa ngục, thì bạn cũng chính là người tạo dựng nên cuộc sống

Chi tiết hơn

"NHÂN-QUẢ" & ĐẠO ĐỨC

NHÂN-QUẢ & ĐẠO ĐỨC 76 CHUYÊN MỤC SỬ HỌC - NHÂN HỌC - NGHIÊN CỨU TÔN GIÁO TIẾN TRÌNH THỐNG NHẤT HAI MIỀN NAM - BẮC TRÊN CÁC LĨNH VỰC CHÍNH TRỊ, KINH TẾ, VĂN HÓA, XÃ HỘI TRONG CUỘC KHÁNG CHIẾN CHỐNG MỸ (1954-1975) TRẦN THỊ

Chi tiết hơn

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG Đề Chuẩn 06 Thời gian làm bài : 90 phút Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của x để

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG Đề Chuẩn 06 Thời gian làm bài : 90 phút Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của x để THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG Đề Chuẩn 06 Thời gian làm bài : 90 phút Câu : Tìm tất cả các giá trị thực của x để đồ thị hàm số y log0,5x nằm phía trên đường thẳng y x B. 0 x C. 0 x D. x pq pq Câu : Cho p,

Chi tiết hơn

LỜI NÓI ĐẦU Mục lục CHƯƠNG 1: ĐƯA KHOA HỌC VÀO TRƯỜNG HỌC Chúng ta cần đánh thức từ trong sâu thẳm tâm hồn những người làm công tác giáo dục lòng nhiệ

LỜI NÓI ĐẦU Mục lục CHƯƠNG 1: ĐƯA KHOA HỌC VÀO TRƯỜNG HỌC Chúng ta cần đánh thức từ trong sâu thẳm tâm hồn những người làm công tác giáo dục lòng nhiệ LỜI NÓI ĐẦU Mục lục CHƯƠNG 1: ĐƯA KHOA HỌC VÀO TRƯỜNG HỌC Chúng ta cần đánh thức từ trong sâu thẳm tâm hồn những người làm công tác giáo dục lòng nhiệt tình và hứng thú của họ đối với hiện tượng tự nhiên,

Chi tiết hơn

Tông Hiến Kho Tàng Đức Tin CÔNG BỐ QUYỂN GIÁO LÝ HỘI THÁNH CÔNG GIÁO ÐƯỢC SOẠN THẢO TIẾP SAU CÔNG ÐỒNG CHUNG VA-TI-CA-NÔ II GIO-AN PHAO-1Ô, GIÁM MỤC,

Tông Hiến Kho Tàng Đức Tin CÔNG BỐ QUYỂN GIÁO LÝ HỘI THÁNH CÔNG GIÁO ÐƯỢC SOẠN THẢO TIẾP SAU CÔNG ÐỒNG CHUNG VA-TI-CA-NÔ II GIO-AN PHAO-1Ô, GIÁM MỤC, Tông Hiến Kho Tàng Đức Tin CÔNG BỐ QUYỂN GIÁO LÝ HỘI THÁNH CÔNG GIÁO ÐƯỢC SOẠN THẢO TIẾP SAU CÔNG ÐỒNG CHUNG VA-TI-CA-NÔ II GIO-AN PHAO-1Ô, GIÁM MỤC, TÔI TỚ CÁC TÔI TỚ THIÊN CHÚA ÐỂ GHI NHỚ MUÔN ÐỜI Kính

Chi tiết hơn

LIÊN MINH ĐẢNG CỘNG HOÀ Đảng của nhân dân nhằm thiết lập lại nền dân chủ HIẾN CHƯƠNG THÀNH LẬP Được thông qua trong hội nghị thành lập Liên minh Đảng

LIÊN MINH ĐẢNG CỘNG HOÀ Đảng của nhân dân nhằm thiết lập lại nền dân chủ HIẾN CHƯƠNG THÀNH LẬP Được thông qua trong hội nghị thành lập Liên minh Đảng LIÊN MINH ĐẢNG CỘNG HOÀ Đảng của nhân dân nhằm thiết lập lại nền dân chủ HIẾN CHƯƠNG THÀNH LẬP Được thông qua trong hội nghị thành lập Liên minh Đảng Cộng hoà, ngày 25/03/2007. Tiếng Việt Bản quyền thuộc

Chi tiết hơn

LỜI TỰA Sau khi cuốn sách Kinh nghiệm thành công của ông chủ nhỏ đầu tiên của tôi được phát hành, không ngờ chỉ trong vòng nửa năm đã có tới hơn một t

LỜI TỰA Sau khi cuốn sách Kinh nghiệm thành công của ông chủ nhỏ đầu tiên của tôi được phát hành, không ngờ chỉ trong vòng nửa năm đã có tới hơn một t LỜI TỰA Sau khi cuốn sách Kinh nghiệm thành công của ông chủ nhỏ đầu tiên của tôi được phát hành, không ngờ chỉ trong vòng nửa năm đã có tới hơn một triệu lượt truy cập trên mạng, rất nhiều độc giả để

Chi tiết hơn

MỞ ĐẦU

MỞ ĐẦU ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒ HỮU NHẬT ẢNH HƯỞNG VĂN HỌC DÂN GIAN TRONG TRUYỆN THIẾU NHI VIỆT NAM 1975-2010 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VĂN HỌC VIỆT NAM HUẾ - NĂM 2018 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Chi tiết hơn

MỞ ĐẦU

MỞ ĐẦU BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT PHẠM VĂN CHUNG NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG MÔ HÌNH BIẾN ĐỘNG ĐỊA CƠ KHU VỰC LÒ CHỢ CƠ GIỚI KHAI THÁC VỈA DÀY Ở MỘT SỐ MỎ THAN HẦM LÒ QUẢNG NINH LUẬN ÁN TIẾN

Chi tiết hơn

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ SỞ GD & ĐT PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 01 MÔN: TOÁN T

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ SỞ GD & ĐT PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 01 MÔN: TOÁN T SỞ GD & ĐT PHÚ THỌ TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG ------------- ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP LẦN MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 9phút; (5 Câu trắc nghiệm) Câu : Phát biểu nào sau đây là sai? A. lim un c (u

Chi tiết hơn

Microsoft Word - coi-vo-hinh.docx

Microsoft Word - coi-vo-hinh.docx www.chiakhoathanhcong.com hân hạnh giới thiệu đến Quý vị ebook miễn phí: CÕI VÔ HÌNH sưu tầm Quý vị có thể tìm đọc rất nhiều ebook miễn phí hay, bổ ích về Hạnh phúc, Thành công, Giàu có (Kiếm tiền - Làm

Chi tiết hơn

Phần 1: LÝ LUẬN CHUNG VỀ VỒN VÀ HIỆU QUẢ SỬ DỤNG VỐN KINH DOANH TRONG CÁC DOANH NGHIỆP

Phần 1: LÝ LUẬN CHUNG VỀ VỒN VÀ HIỆU QUẢ SỬ DỤNG VỐN KINH DOANH TRONG CÁC DOANH NGHIỆP MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU... 1 CHƢƠNG 1: LÝ LUẬN CHUNG VỀ VỒN VÀ HIỆU QUẢ SỬ DỤNG VỐN TRONG CÁC DOANH NGHIỆP... 3 1.1. Khái quát về vốn kinh doanh... 3 1.1.1. Khái niệm về vốn kinh doanh... 7 1.1.2. Phân

Chi tiết hơn

Anh (chị) hãy phân tích vì sao trong những năm Đảng Cộng sản Đông Dương lại chủ trương chuyển hướng đấu tranh cách mạng

Anh (chị) hãy phân tích vì sao trong những năm Đảng Cộng sản Đông Dương lại chủ trương chuyển hướng đấu tranh cách mạng Câu 1: Anh (chị) hãy phân tích những chuyển biến của nền kinh tế Việt Nam sau chiến tranh thế giới thứ nhất. Trả lời Sau chiến tranh thế giới thứ nhất, nền kinh tế Việt Nam có những chuyển biến mạnh mẽ

Chi tiết hơn

19/12/2014 Do Georges Nguyễn Cao Đức JJR 65 chuyễn lại GIÁO DỤC MIỀN NAM

19/12/2014 Do Georges Nguyễn Cao Đức JJR 65 chuyễn lại GIÁO DỤC MIỀN NAM http://boxitvn.blogspot.fr/2014/12/giao-duc-mien-nam-viet-nam-1954-1975.html 19/12/2014 Do Georges Nguyễn Cao Đức JJR 65 chuyễn lại GIÁO DỤC MIỀN NAM VIỆT NAM (1954-1975) TRÊN CON ĐƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÁT

Chi tiết hơn

NHẠC DƯƠNG LÂU - HỒ ĐỘNG ĐÌNH Qua thi ca các sứ thần nước Nam Nguyễn Du, Đoàn Nguyễn Tuấn, Phan Huy Ích,Nguyễn Tông Khuê, Hồ Sĩ Đống, Ngô Thì Nhiệm, N

NHẠC DƯƠNG LÂU - HỒ ĐỘNG ĐÌNH Qua thi ca các sứ thần nước Nam Nguyễn Du, Đoàn Nguyễn Tuấn, Phan Huy Ích,Nguyễn Tông Khuê, Hồ Sĩ Đống, Ngô Thì Nhiệm, N NHẠC DƯƠNG LÂU - HỒ ĐỘNG ĐÌNH Qua thi ca các sứ thần nước Nam Nguyễn Du, Đoàn Nguyễn Tuấn, Phan Huy Ích,Nguyễn Tông Khuê, Hồ Sĩ Đống, Ngô Thì Nhiệm, Ngô Thì Vị TS Phạm Trọng Chánh Đi sứ không phải là chuyện

Chi tiết hơn

Phân tích bài thơ “Đàn ghi-tar của Lor ca” của Thanh Thảo – Văn hay lớp 12

Phân tích bài thơ “Đàn ghi-tar của Lor ca” của Thanh Thảo – Văn hay lớp 12 Phân tích bài thơ "Đàn ghi-tar của Lor ca" của Thanh Thảo - Văn hay lớp 12 Author : Hồng Thắm Phân tích bài thơ "Đàn ghi-tar của Lor ca" của Thanh Thảo - Bài làm 1 Thanh Thảo là nhà thơ có tiếng nói riêng,

Chi tiết hơn

Microsoft Word - Chuong 3. cac may lam nho.doc

Microsoft Word - Chuong 3. cac may lam nho.doc CHƯƠNG 3 CÁC THIẾT BỊ LÀM NHỎ 3.1. Máy nghiền: 3.1.1. Khái niệm : Trong công nghiệp sản xuất lương thực thực phẩm thường gặp quá trình nghiền nhỏ vật liệu từ các cục to, các hạt thành dạng bột thô, vừa

Chi tiết hơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦN THƠ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦN THƠ I. PHẦN LÝ THUYẾT: (2,0 điểm) Câu 1: (1,5 điểm) Tìm những yếu tố nghệ thuật đặc sắc được sử dụng trong đoạn thơ sau và nêu tác dụng của chúng: Ta làm con chim hót Ta làm một cành hoa Ta nhập vào hòa ca

Chi tiết hơn

Phát biểu cảm nghĩ về bài thơ Ông đồ của Vũ Đình Liên

Phát biểu cảm nghĩ về bài thơ Ông đồ của Vũ Đình Liên Phát biểu cảm nghĩ về bài thơ Ông đồ của Vũ Đình Liên Author : Hồng Thắm Phát biểu cảm nghĩ về bài thơ Ông đồ của Vũ Đình Liên - Bài làm 1 Còn duyên kẻ đón người đưa Hết duyên đi sớm, về trưa mặc lòng.

Chi tiết hơn

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp Sở GD&ĐT Hà Nội Trường THPT Tây Hồ TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC Môn: TOÁN Ghi chú: Học s

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp Sở GD&ĐT Hà Nội Trường THPT Tây Hồ TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC Môn: TOÁN Ghi chú: Học s Sở GD&ĐT Hà Nội Trường THPT Tây Hồ TÀI LIỆU HƯỚNG DẪN ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM HỌC - Môn: TOÁN Ghi chú: Học sinh sử dụng các bài tập trong cuốn Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp phổ thông và các bài tập

Chi tiết hơn

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG BẾP TỪ BOSCH PID679F27E Cảm ơn quý khách hàng đã lựa chọn sản phẩm bếp điện từ mang thương hiệu nổi tiếng BOSCH, hi vọng sản phẩm sẽ

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG BẾP TỪ BOSCH PID679F27E Cảm ơn quý khách hàng đã lựa chọn sản phẩm bếp điện từ mang thương hiệu nổi tiếng BOSCH, hi vọng sản phẩm sẽ HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG BẾP TỪ BOSCH PID679F27E Cảm ơn quý khách hàng đã lựa chọn sản phẩm bếp điện từ mang thương hiệu nổi tiếng BOSCH, hi vọng sản phẩm sẽ đem đến cho khách hàng sự yên tâm và hài lòng. Để

Chi tiết hơn

Microsoft Word - Khoi phuc su tho phuong.doc

Microsoft Word - Khoi phuc su tho phuong.doc KHÔI PHỤC SỰ THỜ PHƯỢNG Qua Đa-vít, người được gọi là Kẻ hát êm dịu của Y-sơ-ra-ên, âm nhạc được khôi phục theo đúng mục đích của nó trong việc thờ phượng. Môi-se chưa bao giờ sử dụng âm nhạc và hoạt động

Chi tiết hơn

ĐỀ THI THỬ LẦN 2 CHUYÊN VINH – MÔN VẬT LÝ

ĐỀ THI THỬ LẦN 2 CHUYÊN VINH – MÔN VẬT LÝ TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN (Đề thi có 4 trang) ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 8 - LẦN Bài thi: Khoa học Tự nhiên, Môn: VẬT LÝ Thời gian làm bài: 5 phút, không kể thời gian phát đề Họ, tên thí

Chi tiết hơn

TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Mã đề thi 061 Họ, tên thí sinh:... Số báo

TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút Mã đề thi 061 Họ, tên thí sinh:... Số báo TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 9 Bài thi: TOÁN Thời gian làm bài: 9 phút Mã đề thi 6 Họ, tên thí sinh: Số báo danh: Câu : Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = - + 9 là:

Chi tiết hơn

Microsoft Word - Các QĒ 214 vÀ cùng sự chớ Ăạo của TT - ngÀy 9-7 (1) (2)

Microsoft Word - Các QÄ’ 214 vÀ cùng sá»± chá»› Ăạo của TT - ngÀy 9-7 (1) (2) GS.TSKH. Là NGỌC KHUÊ THỰC HIỆN ĐÚNG CÁC QUYẾT ĐỊNH 214/QĐ-TTg VÀ 1468/QĐ-TTg CÙNG SỰ CHỈ ĐẠO CỦA THỦ TƯỚNG CHÍNH PHỦ ĐỂ ĐẢM BẢO DỰ ÁN ĐƯỜNG SẮT TỐC ĐỘ CAO BẮC NAM KHẢ THI VÀ HIỆU QUẢ HÀ NỘI, 2019 DÀN

Chi tiết hơn

Microsoft Word - NGH? T?M TANG XUA ? QUÊ TA

Microsoft Word - NGH? T?M TANG XUA ? QUÊ TA Nghề Tằm Tang Xưa Ở Quê Ta Hồ Phi Trong một bữa cơm, có món Khổ Qua trộn tôm ăn với bánh tráng, người bạn trẻ hỏi: - Hồi xưa ở Việt Nam, cháu nhớ có ăn cái gì vàng vàng như con sâu bằng đầu chiếc đũa cũng

Chi tiết hơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN-TIN BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC ĐỒNG THÁP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN-TIN BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC ĐỒNG THÁP TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN-TIN BÀI GIẢNG ÔN TẬP GIẢI TÍCH TUYỂN SINH ĐẠI HỌC VỪA LÀM VỪA HỌC ĐỒNG THÁP - 24 MỤC LỤC Lời nói đầu 3 Đạo hàm 4. Tính đạo hàm bằng định nghĩa...................

Chi tiết hơn

GVHD: NGUYỄN THỊ HIỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BẢO QUẢN CÁ Luận văn Các phương pháp bảo quản cá 1

GVHD: NGUYỄN THỊ HIỀN CÁC PHƯƠNG PHÁP BẢO QUẢN CÁ Luận văn Các phương pháp bảo quản cá 1 Luận văn Các phương pháp bảo quản cá 1 MỤC LỤC I. GIỚI THIỆU... 3 1. Chất dinh dưỡng trong cá... 3 1.1 Nước... 3 1.2 Protein... 3 1.3 Mỡ... 3 1.4 Vitamin... 3 1.5 Khoáng chất... 3 2. Lợi ích của việc sử

Chi tiết hơn

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG Đề Chuẩn 06 Thời gian làm bài : 90 phút Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của x để

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG Đề Chuẩn 06 Thời gian làm bài : 90 phút Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của x để THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG Đề Chuẩn 06 Thời gian làm bài : 90 phút Câu : Tìm tất cả các giá trị thực của x để đồ thị hàm số y log0,5x nằm phía trên đường thẳng y A. x B. 0 x C. 0 x D. x pq pq Câu : Cho

Chi tiết hơn

Microsoft Word - 2- Giai phap han che su phu thuoc kinh te vao Trung Quoc.doc

Microsoft Word - 2- Giai phap han che su phu thuoc kinh te vao Trung Quoc.doc CÁC KỊCH BẢN CÓ THỂ XẢY RA TRONG QUAN HỆ KINH TẾ VIỆT NAM - TRUNG QUỐC - GIẢI PHÁP HẠN CHẾ SỰ PHỤ THUỘC KINH TẾ VÀO TRUNG QUỐC Bài tổng thuật này sử dụng các nguồn tư liệu từ các báo cáo nghiên cứu đã

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ o0o NGÔ THANH SƠN PHÁT TRIỂN HOẠT ĐỘNG TÍN DỤNG TẠI NGÂN HÀNG THƢƠNG MẠI CỔ PHẦN CÔNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ o0o NGÔ THANH SƠN PHÁT TRIỂN HOẠT ĐỘNG TÍN DỤNG TẠI NGÂN HÀNG THƢƠNG MẠI CỔ PHẦN CÔNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ --------o0o--------- NGÔ THANH SƠN PHÁT TRIỂN HOẠT ĐỘNG TÍN DỤNG TẠI NGÂN HÀNG THƢƠNG MẠI CỔ PHẦN CÔNG THƢƠNG VIỆT NAM CHI NHÁNH ĐỐNG ĐA LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chi tiết hơn

TẬP ĐOÀN ĐIỆN LỰC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC BẢO VỆ RƠLE TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN Tài liệu tham khảo nội bộ dùng trong Khoa Hệ thố

TẬP ĐOÀN ĐIỆN LỰC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC BẢO VỆ RƠLE TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN Tài liệu tham khảo nội bộ dùng trong Khoa Hệ thố TẬP ĐOÀN ĐIỆN LỰC VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC BẢO VỆ RƠLE TRONG HỆ THỐNG ĐIỆN Tài liệu tham khảo nội bộ dùng trong Khoa Hệ thống điện TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC CÁC TÁC GIẢ THs. Nguyễn

Chi tiết hơn

Mật ngữ 12 chòm sao- Phân tích toàn bộ các cung hoàng đạo Ma kết - Capricornus (22/12 19/1) Ma kết khi còn trẻ đều rất ngây thơ. Tôi nghĩ ngay cả chín

Mật ngữ 12 chòm sao- Phân tích toàn bộ các cung hoàng đạo Ma kết - Capricornus (22/12 19/1) Ma kết khi còn trẻ đều rất ngây thơ. Tôi nghĩ ngay cả chín Mật ngữ 12 chòm sao- Phân tích toàn bộ các cung hoàng đạo Ma kết - Capricornus (22/12 19/1) Ma kết khi còn trẻ đều rất ngây thơ. Tôi nghĩ ngay cả chính họ cũng không biết mình đã từ thiên sứ biến thành

Chi tiết hơn

ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM KHÓA BỒI DƯỠNG NGHIỆP VỤ GIÁM SÁT THI CÔNG XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH CHUYÊN NGÀNH GIÁM SÁT THI CÔNG XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH GIAO THÔNG Bài Giả

ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM KHÓA BỒI DƯỠNG NGHIỆP VỤ GIÁM SÁT THI CÔNG XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH CHUYÊN NGÀNH GIÁM SÁT THI CÔNG XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH GIAO THÔNG Bài Giả ĐẠI HỌC MỞ TP.HCM KHÓA BỒI DƯỠNG NGHIỆP VỤ GIÁM SÁT THI CÔNG XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH CHUYÊN NGÀNH GIÁM SÁT THI CÔNG XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH GIAO THÔNG Bài Giảng Giám Sát Thi Công Đường Bộ Giảng viên trình bày:

Chi tiết hơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC Môn: NGỮ VĂN Thời gian làm bài 120 phút I. PHẦN LÝ TH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẦN THƠ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC Môn: NGỮ VĂN Thời gian làm bài 120 phút I. PHẦN LÝ TH CẦN THƠ I. PHẦN LÝ THUYẾT: (2,0 điểm) Câu 1: (1,5 điểm) Tìm những yếu tố nghệ thuật đặc sắc được sử dụng trong đoạn thơ sau và nêu tác dụng của chúng: Câu 2: (0,5 điểm) Ta làm con chim hót Ta làm một cành

Chi tiết hơn