Mét sè ph ng ph p gi i ph ng tr nh v«tû NguyÔn V n Rin To n 3A LỜI NÓI ĐẦU: Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương

Bản ghi

1 LỜI NÓI ĐẦU: Phương trình là một mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán phổ thông Giải phương trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh khá giỏi nhiều khi còn lúng túng trước việc giải một phương trình, đặc biệt là phương trình vô tỷ Trong những năm gần đây, phương trình vô tỷ thường uyên uất hiện ở câu II trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng Vì vậy, việc trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỷ kèm với phương pháp giải chúng là rất quan trọng Như chúng ta đã biết phương trình vô tỷ có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải khác nhau Trong bài tập lớn này, tôi in trình bày một số phương pháp giải phương trình vô tỷ, mỗi phương pháp đều có bài tập minh họa được giải rõ ràng, dễ hiểu; sau mỗi phương pháp đều có bài tập áp dụng giúp học sinh có thể thực hành giải toán và nắm vững cái cốt lõi của mỗi phương pháp Hy vọng nó sẽ góp phần giúp cho học sinh có thêm những kĩ năng cần thiết để giải phương trình chứa căn thức nói riêng và các dạng phương trình nói chung Page 1

2 A BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: Giải phương trình: 1 1 (*) Điều kiện: 0 1 Cách 1: (*) ( ) 1 (1 ) 9 ( ) 6 0 ( ) ( PTVN) 0 (thỏa điều kiện) 1 Vậy nghiệm của phương trình là 0; 1 Cách : Nhận ét: 1 =1+ được biểu diễn qua và 1 Đặt t 1 ( t 0) t 1 Phương trình (*) trở thành: t 1 t 1 1 t t t 0 t Với t 1 ta có phương trình: 0 (ĐHQG HN, khối A-000) nhờ vào đẳng thức: (thỏa điều kiện) 1 Với t ta có phương trình: Page

3 9 9 PTVN Vậy nghiệm của phương trình là 0; 1 1 0( ) Cách : Nhận ét: và 1 (*) (1) có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể 9 không thỏa mãn phương trình (1) Do đó, (1) 1 () t Đặt t ( t 0), () 1 t Ta có: 1 1 t t 1 t t (t 1t 9) 9t 18t 9 t 1t 9 t(t 6t 7t ) 0 t 1t 1t 6t 0 t( t 1)(t t ) 0 t 0 t 1 Với t 0 ta có 0 0 (thỏa điều kiện) Với t 1 ta có 1 1 (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là 0; 1 Cách : Nhận ét: và có mối quan hệ đặc biệt, cụ thể Đặt a ( a 0); b 1 ( b 0) Ta có hệ phương trình: 1 ab a b ab ( a b) a b ( a b) ab 1 1 ab ( a b) a b a b ( ) ( ) Page

4 a b 1 ab ( a b) ab 0 a b 1 a b a b ab a 1 b 0 a, b là nghiệm của phương trình X X 0 a 0 b 1 a b (Trường hợp loại vì 0 ) ab a 1 1 Với ta có 1(thỏa điều kiện) b a 0 0 Với ta có 0(thỏa điều kiện) b Vậy nghiệm của phương trình là 0; 1 Cách : Nhận ét: Từ 1 1, ta nghĩ đến đẳng thức: sin a cos a 1 Đặt sin a, 0 a Phương trình (*) trở thành: 1 sin a 1 sin a sin a 1 sin a sin acos a sin a cos a ( vì cos a 0) (sin a cos a) (sin a cos a) 0 sin a cos a 1 sin a cos a 1 sin( a ) 1 sin a cos a a k 1 sin( a ) ( k ) a k a k a 0 ( k ) ( vì 0 a ) a k a Với a 0 ta có 0 0 (thỏa điều kiện) Page

5 Với a 1 ta có 1 1 (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là 0; 1 Qua bài toán mở đầu, ta thấy có nhiều cách khác nhau để giải một phương trình vô tỷ Tuy nhiên, các cách đó đều dựa trên cơ sở là phá bỏ căn thức và đưa về phương trình đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải Sau đây, tôi in trình bày một số phương pháp cụ thể để giải phương trình vô tỷ B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm Một số phép biến đổi tương đương: Cộng, trừ hai vế của phương trình với cùng biểu thức mà không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình Nhân, chia hai vế của phương trình với cùng biểu thức khác 0 mà không làm thay đổi điều kiện của phương trình Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của phương trình Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của phương trình cùng dương 1 Lũy thừa hai vế của phương trình: 1 k1 k f ( ) g( ) f ( ) g ( ) k g( ) 0 f ( ) g( ) k f ( ) g ( ) f ( ) k g( ) f ( ) g( ) k1 1 g( ) 0 k f ( ) k g( ) f ( ) g( ) Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D, ta thường bình phương vế, điều đó nhiều khi cũng sẽ gặp khó khăn Với phương trình dạng: A B C và ta thường lập phương hai vế để đưa phương trình về dạng: A B A B A B C và ta sử dụng phép thế : A B C ta được phương trình hệ quả: A B A B C C Bài 1: Giải phương trình: 1 10 (*) Điều kiện: 1 Page

6 (*) (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là: 1 Bài : Giải phương trình: 1 0 (*) (*) 1 ( 1)( )( 1 ) ( 1)( )( 1 ) 0 ( 1)( ) 0 ( 1)( )( ) Thử lại, thỏa mãn phương trình (*) Vậy nghiệm của phương trình là: Bài : Giải phương trình: 1 Điều kiện: 0 Bình phương vế không âm của phương trình ta được: 1 1 1, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình : 1 Bình phương hai vế ta được phương trình hệ quả : ( 1) 0 1 Thử lại, 1thỏa mãn phương trình Vậy nghiệm của phương trình là: 1 Nhận ét : Nếu phương trình : f g h k Page 6

7 Mà có : f h g k, thì ta biến đổi phương trình về dạng : f h k g sau đó bình phương hai vế, giải phương trình hệ quả và thử lại nghiệm Bài : Giải phương trình : Điều kiện : 1 Bình phương vế phương trình? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào? Ta có nhận ét : như sau : (1) 1 (1) 1 1 Bình phương vế ta được phương trình hệ quả: Thử lại : 1, 1 là nghiệm của phương trình, từ nhận ét này ta có lời giải Nhận ét : Nếu phương trình : f g h k Mà có : f h k g thì ta biến đổi phương trình về dạng: f h k g sau đó bình phương hai vế, giải phương trình hệ quả và thử lại nghiệm Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: Trục căn thức: 1 Trục căn thức để uất hiện nhân tử chung: Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm 0 Như vậy, phương trình A ta có thể giải phương trình luôn đưa về được dạng tích 0 0 Page 7

8 A 0 hoặc chứng minh A 0 vô nghiệm, chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh giá A 0 vô nghiệm Bài 1: Giải phương trình: 1 1 Điều kiện: 1 Ta nhận thấy : 1 pt và ( ) ( ) ( ) (thỏa) Dễ dàng chứng minh được phương trình 0 vô nghiệm vì VT 0, ; ; Vậy là nghiệm của phương trình Bài : Giải phương trình: 1 Để phương trình có nghiệm thì : 1 0 Ta nhận thấy : = là nghiệm của phương trình, như vậy phương trình có thể phân tích về dạng A 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách như sau : pt 1 6 Page 8

9 1 0 1 Dễ dàng chứng minh được : 0, 1 Vậy là nghiệm của phương trình Bài : Giải phương trình : 1 Điều kiện: Nhận thấy là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình: pt ( ) (*) 1 1 Phương trình (*) vô nghiệm vì: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 9 Đưa về hệ tạm : Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C, mà : A B C ở đây C có thể là hằng số, có thể là biểu thức của Ta có thể giải như sau : Page 9

10 A B A B A B C C A B, khi đó ta có hệ: A C A B Bài 1: Giải phương trình sau : Ta thấy: Phương trình đã cho có nghiệm 0 không phải là nghiệm của phương trình Xét trục căn thức ta có : Ta có hệ phương trình: Thử lại thỏa; vậy phương trình có nghiệm : =0; = 8 7 Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau : Phương trình biến đổi về tích: 1 Sử dụng đẳng thức: u v 1 uv u 1 v 1 0 au bv ab vu u bv a 0 A B Bài 1: Giải phương trình : 1 1 PT Page 10

11 Vậy nghiệm của phương trình là: 0; 1 Bài : Giải phương trình : 1 0, không phải là nghiệm 0, ta chia hai vế cho : 1 PT Vậy nghiệm của phương trình là: 1 Bài : Giải phương trình: 1 Điều kiện: 1 PT 1 ( )( 1) (thỏa) Vậy nghiệm của phương trình là: 0; 1 Bài : Giải phương trình : Điều kiện: 0 Chia cả hai vế cho ta được: (thỏa) Vậy nghiệm của phương trình là: 1 Dùng hằng đẳng thức: k Biến đổi phương trình về dạng : A B k Page 11

12 Bài 1: Giải phương trình : Điều kiện: 0 Khi đó pt đã cho tương đương: (thỏa) 10 1 Vậy nghiệm của phương trình là: Bài : Giải phương trình sau : 9 Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương : (thỏa) Vậy nghiệm của phương trình là: 1; 18 9 Bài : Giải phương trình sau : PT 0 1 Vậy nghiệm của phương trình là: 1 II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường: Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t f và chú ý điều kiện của t Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t và quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt ẩn phụ em như hoàn toàn Bài 1: Giải phương trình: 1 1 Page 1

13 Điều kiện: 1 Nhận ét: Đặt t 1( t 0) thì phương trình trở thành: 1 t t t 1 0 ( t 1) 0 t 1 t Với t 1 ta có phương trình: (thỏa) Vậy nghiệm của phương trình là: 1 Bài : Giải phương trình: 6 1 Điều kiện: Đặt t t ( t 0) thì Thay vào ta có phương trình sau: t 10t 6 ( t ) 1 t t t 8t ( t t 7)( t t 11) 0 t 1 t 1 (vì t 0 ) t 1 t 1 Với t 1 ta có: 1 (1 ) 1 Với t 1 ta có: 1 ( ) Vậy nghiệm của phương trình là: 1 ; Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện Ta được: ( ) ( 1) 0, từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng Đơn giản nhất là ta đặt : y và đưa về hệ đối ứng(xem phần dặt ẩn phụ đưa về hệ) Bài : Giải phương trình: 1 6 Điều kiện: 1 6 Đặt y 1(0 y ) thì phương trình đã cho trở thành: y y y 10y y 0 0 ( y y )( y y ) 0 Page 1

14 1 1 y 1 17 y 1 17 y ( vì 0 y ) Với y ta có phương trình 1 (thỏa) Vậy nghiệm của phương trình là: Bài : Giải phương trình: Điều kiện: 0 1 Đặt y 1 (0 y 1) phương trình trở thành: (1 y ) (00 y )(1 y) (1 y) (1 y) (00 y )(1 y) y 1 (1 y) ( y y 100) y 1( vì 0 y 1) y Với y 1 ta có phương trình Vậy nghiệm của phương trình là: 0 Bài : Giải phương trình: 1 Điều kiện: 1 0 Chia cả hai vế cho ta được phương trình: (*) 1 1 Đặt t ( t 0) phương trình (*) trở thành: t 1 t t 0 t 1 t Với t 1 ta có phương trình Page 1

15 Vậy nghiệm của phương trình là: 1 Bài 6: Giải phương trình : 1 0 không phải là nghiệm của phương trình 1 1 Chia cả hai vế cho ta được: (*) 1 Đặt t= phương trình (*) trở thành : t t 0 t 1 Với t 1 ta có phương trình Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: n n n (1 ) 1 (1 ) 0 6 ( )( ) (1 )( ) (00 )(1 1 ) 9 ( )( 9 18) Nhận ét: Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc đối với biến : Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u uv v 0 (1) bằng cách Xét v 0 phương trình trở thành : v 0 thử trực tiếp Các trường hợp sau cũng đưa về được (1): a A bb c A B u v mu nv u u 0 v v Page 1

16 Nếu thay các biểu thức A(), B() bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này 1 Phương trình dạng : a A bb c A B Như vậy phương trình Q P P A B Q aa bb Chú ý một số phân tích trước khi đặt ẩn phụ: có thể giải bằng phương pháp trên nếu Bài 1: Giải phương trình : 1 Điều kiện: 1 Đặt u 1, v 1 u v Phương trình trở thành: u v uv 1 u v * Với u v ta có phương trình PTVN 1 * Với u v ta có phương trình (thỏa) 7 7 Vậy nghiệm của phương trình là Bài : Giải phương trình sau : Điều kiện: ( ) Nhận ét: Ta viết Đồng nhất ta được Page 16

17 Đặt u v 1 0, 1 0, ta được phương trình: v 9u u v 7 uv 1 v u Với v 9u ta có phương trình 1 9( 1) Với v u ta có phương trình 1 ( 1) 0( PTVN) Vậy nghiệm của phương trình là Nhận ét: Đặt y phương trình trở thành thuần nhất bậc đối với và y y y 6 0 y y 0 y 0 Với y ta có phương trình 0 0 Với y ta có phương trình 8 0 Vậy nghiệm của phương trình là ; Bài : Giải phương trình : Phương trình dạng : u v mu nv Phương trình cho ở dạng này thường khó phát hiện hơn dạng trên, nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên Bài 1: Giải phương trình : 1 1 u ( u 0) Ta đặt : v 1 ( v 0) khi đó phương trình trở thành : v 0 u v u v ( u v) u v v(v u) 0 v u (loaïi) Với v 0 ta có phương trình Vậy nghiệm của phương trình là 1 Bài : Giải phương trình : 1 1 Page 17

18 1 Điều kiện: Bình phương vế ta có : (*) u Ta có thể đặt : khi đó (*) trở thành : v 1 1 u v (loaïi) uv u v 1 u v 1 Với u v ta có phương trình 1 1 ( ) 1 0 (PTVN) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bài : Giải phương trình : Điều kiện: Chuyển vế bình phương ta được: 0 1 Nhận ét : Không tồn tại số, u để : vậy ta không thể đặt v 1 Nhưng may mắn ta có : Ta viết lại phương trình: ( )( ) (*) Đến đây bài toán được giải quyết u v u Đặt, khi đó phương trình (*) trở thành: u v uv 9 v u v Page 18

19 - Với u v ta có phương trình (loaïi) 9 - Với u v ta có phương trình 8 9 ( ) (loaïi) 61 Vậy nghiệm của phương trình là 8; Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn: Phương pháp giải: Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai dạng: f ( ) Q( ) f ( ) P( ) với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho Đặt f ( ) t, t 0 Phương trình đã cho trở thành t t Q( ) P( ) 0 Sau đó, giải t theo rồi thay vào giải phương trình f ( ) Bài 1: Giải phương trình : 1 (*) Đặt t phương trình (*) trở thành : t t t 0 t 1 Với t ta có phương trình Với t 1 ta có phương trình 1 1 Vậy nghiệm của phương trình là 7 t và đưa ra kết luận Bài : Giải phương trình : 1 1 Đặt t, t Khi đó phương trình trở thành : 1 t t 0 Page 19

20 Bây giờ ta thêm bớt, để được phương trình bậc theo t có là một số chính phương: t 1t 1 0 t 1 t 1 0 t 1 Với t ta có phương trình Với t 1 ta có phương trình 1 0 Vậy nghiệm của phương trình là 1 Từ một phương trình đơn giản : triển ra ta sẽ được pt sau: , khai Bài : Giải phương trình: Điều kiện: 1 1 Nhận ét: Đặt t 1, phương trình trở thành: 1 1 t t 1 (1) Từ đó 1 t thay vào (1) ta được phương trình: t 1 t Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách theo 1, 1 Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được: 1 t (1 ) t t 1 ( 1 ) t 1 (*) t Với t 1 ta có phương trình 1 1 Với t 1 ta có phương trình t ( 1 ) t 1 (1 ) 0 (*) 1 1 (1 )(1 ) Vậy nghiệm của phương trình là ; 0 Page 0

21 Bài : Giải phương trình: Điều kiện: 9 16 (1) (1) ( ) 16 ( ) 16( ) 9 16 Đặt 8( ) 16 ( ) 8 t t ( ); 0 Phương trình trở thành t 16t 8 0 Vì nên t 0 không thỏa điều kiện t 0 Với t thì ( ) Vậy nghiệm của phương trình là t1 t 0 8( ) Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình: 1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường: Đặt u, v Từ đó tìm được hệ theo u,v (thỏa đk ) và tìm mối quan hệ giữa và Bài 1: Giải phương trình: 0 Đặt y y y( y) 0 Khi đó ta có hệ phương trình: y Giải hệ này ta được nghiệm( ; y) (;);( ; y) (;) Vậy nghiệm của phương trình là ; Bài : Giải phương trình sau: 1 6 Điều kiện: 1 Đặt a 1, b 1( a 0, b 0) ta được hệ phương trình: a b b a (1) () Page 1

22 Lấy (1)-() vế theo vế ta được phương trình: a b 1 ( a b)( a b 1) 0 a b (loaïi) Với a b 1 ta có Vậy nghiệm của phương trình là Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối ứng loại I: Bài 1: Giải phương trình: 1 ( )( ) Điều kiện: Đặt a ( a 0); b ( b 0) Ta có hệ phương trình: a b 1 ab a b 1 ab a b 1 ab a b ( a b) ab (1 ab) ab a b 1 ab a b 1 ab a b ( ab) ab ab a 1 b a, b laø nghieäm cuûa phöông trình X X 0 a b 1 a 1 1 Với ta có 1 b a Với ta có b 1 1 Vậy nghiệm của phương trình là 1; Bài : Giải phương trình: 17 Điều kiện: 0 17 Đặt a ( a 0); b 17 ( b 0) Page

23 Ta có hệ phương trình a b 17 ( a b ) a b 17 ( a b) ab ( ab) 17 a b a b a b (9 ab) ( ab) 17 ( ab) 6ab 6 0 a b a b a b ab a b (loaïi vì 16 0) ab 16 a 1 b a, b laø nghieäm cuûa phöông trình X X 0 a b 1 a 1 1 Với ta có hệ phương trình 1 b 17 a Với ta có hệ phương trình 16 b Vậy nghiệm của phương trình là 1; 16 Bài : Giải phương trình: ( )( ) 1 Đặt a ; b ta có hệ phương trình: a b ab 1 ab 1 ( a b) ( a b) 1 ( a b) ( a b) 7 0 a b 7 ( a b) ab( a b) 7 0 ab 1 ( a b) ( a b) ( a b) ( a b) 7 0 ( a b 1) ( a b) ( a b) 7 0 ab 1 ( a b) ab 1 ( a b) a b vì a b a b ab 1 ( a b) 1 ( ( ) ( ) 7 0) a b X X, laø nghieäm cuûa phöông trình 0 a 1 b a b 1 Page

24 a 1 1 Với ta có hệ phương trình 6 b a Với ta có hệ phương trình b 1 1 Vậy nghiệm của phương trình là 6; Bài : Giải phương trình ( ) Điều kiện: 0 Đặt a ( a 0); b ( b ) b a a b Ta có hệ phương trình: (*) a b a b ( a b) ( a b ) Ta có a b vaø a b a 1 Do đó, (*) b 1 a 1 1 Với ta có hệ phương trình 1 b 1 1 Vậy nghiệm của phương trình là 1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối ứng loại II: n n 1 Dạng 1: Giải phương trình b a a b n n b at Cách giải: Đặt t a b ta có hệ phương trình đối ứng loại II: n t b a Bài 1: Giải phương trình 1 1 Đặt t 1 ta có hệ phương trình 1 t 1 t 1 t t 1 t ( t ) ( t)( t t ) 0 t t t 1 0 ( 1)( 1) t 1 t ( VN) 1 t t 0 ( t) t 0 Page

25 Vậy nghiệm của phương trình là 1 ; 1 Dạng : Giải phương trình a a Cách giải: Đặt t a a t ta có hệ phương trình đối ứng loại II: t a Bài 1: Giải phương trình Điều kiện: 0 Đặt t 007 ta được hệ 007 t 007 t 007 t t 007 t t ( t )( t 1) t t t (loaïi) t t Vậy nghiệm của phương trình là Dạng : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược Bài 1: Giải phương trình: 1 1 Điều kiện Đặt 1 ay b ( ay b) ( 1) ay (b 1) Chọn a, b để hệ ( ay b) 1 ( ay b) 1 đối ứng loại II là hệ đối ứng Page

26 Chọn a 1; b 1 ta được hệ ( y 1) ( y 1) ( y 1) y y ( 1) y 0 ( y)( y) 0 0 y (loaïi) y ( VN ) y y Vậy nghiệm của phương trình là Dạng : Cho phương trình n a b c( d e) n d ac với các hệ số thỏa mãn (*) e bc n Cách giải: Đặt dy e a b Bài 1: Giải phương trình Điều kiện PT Kiểm tra a ; b ; c 7; d 1; e ; 0; thỏa mãn (*)Đặt y ( y ) ta có hệ 8 Page 6

27 1 9 7 y y y 7( y)( y 1) ( y) ( I ) 1 9 y 7 y ( y)(7 7 y 8) 0 8 ( II ) y ( I) 6 y (loaïi) 1 1 y y ( II ) y y 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1 (loaïi vì y ) ; 1 1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ gần đối ứng: Bài 1: Giải phương trình: Nhận ét: Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước: Đặt y 1 thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được Page 7

28 Để thu được hệ (1) ta đặt : y 1, chọn, sao cho hệ có thể giải được (đối ứng hoặc gần đối ứng ) y 1 y y 1 0 (1) Ta có hệ : (*) 1 y 1 y 0 () Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với () và mong muốn của chúng ta là có nghiệm y 1 Nên ta phải có :, ta chọn được ngay ; 1 Ta có lời giải như sau : 1 Điều kiện:, Đặt 1 (y ), ( y ) ( ) y 1 Ta có hệ phương trình sau: ( y)( y ) 0 (y ) Với y Với y Vậy nghiệm của phương trình là: ; 8 8 Chú ý : Chúng ta có thể tìm ngay ; bằng cách ta viết lại phương trình như sau: ( ) 1 Khi đó đặt 1 y, nếu đặt y 1 thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn, ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn Một số phương trình được ây dựng từ hệ: Giải các phương trình sau: Page 8

29 III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 1 Phương pháp: 1,1 Dùng hằng đẳng thức : f ( ) 0 f ( ) g ( ) 0 g( ) 0 1 Dùng bất đẳng thức: ( ) f m, D g( ) m ( ) Khi đó, phương trình f ( ) g( ) với mọi D f m, D g( ) m Nếu f ( ) g( ), D (1) thì phương trình f ( ) g( ) tương đương với dấu đẳng thức ở (1) ảy ra Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: (1) (1) 16 ( 16) ( ) 0 16 ( ) Vậy nghiệm của phương trình là Bài : Giải phương trình: (*) 1 1 Điều kiện: Ta có Mặt khác Do đó, (*) Vậy nghiệm của phương trình là 0 Page 9

30 Bài : Giải phương trình: Điều kiện: 0 Ta có : Do đó 9 (*) (1) 1 (*) Vậy nghiệm của phương trình là 7 Bài : Giải phương trình : (*) Điều kiện: Biến đổi phương trình ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki ta có: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Do đó (16 ) (*) Vậy nghiệm của phương trình là Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: Page 0

31 IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ: 1 Phương pháp: Nếu hàm số y f ( ) đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên khoảng ( a; b ) thì phương trình f ( ) k ( k const) có không quá một nghiệm thuộc( a; b ) Nếu hàm số y f ( ) đơn điệu (tăng hoặc giảm) trên D thì u, v D ta có f ( u) f ( v) u v Nếu hàm số y f ( ) đơn điệu tăng và g( ) là hàm hằng hoặc đơn điệu giảm trên ( a; b ) thì phương trình f ( ) g( ) có không quá một nghiệm thuộc ( a; b ) Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: 1 0 Điều kiện: Xét hàm số f ( ) 1 D ; f '( ) 1 0, ( 1) Suy ra f ( ) đồng biến trên D Do đó, phương trình f ( ) 0 nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất Dễ thấy f ( 1) 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1 Bài : Giải phương trình: ( 1) (*) Điều kiện: 1 f ( t) t t treân D 1; Xét hàm số f '( t) ( t 1) 0, t 1 Do đó, f ( t ) đồng biến trên D Page 1

32 (*) f 1 f ( 1) ( 1) 0 0 ( 1)( ) 0 1( thoûa) Vậy nghiệm của phương trình là 1; 0; Bài : Giải phương trình: Điều kiện: 1 Xét hàm số f ( ) 1 f D 1; f '( ) 0, 1 1 Suy ra f ( ) đồng biến trên 1; Đồ thị hàm số g( ) 17 là parabol ( P ) có đỉnh I (1;18) và bề lõm hướng uống dưới nên g( ) nghịch biến trên 1; Do đó, phương trình f ( ) g( ) nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất Dễ thấy, f () g() Vậy phương trình có nghiệm duy nhất Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: ( 1) 9 0 V PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA: 1 Nếu a thì có thể đặt a sin t; t ; Bài 1: Giải phương trình: Điều kiện 1 hoặc acos t ; t 0; Page

33 Đặt sin t; t ; phương trình trở thành t 1 cost sin t 1 cost cos sin t sin t cos t sin t cos t t t cos sin 1 0 t cos 0 t k 1 (k ) t 1 t k sin 6 Kết hợp với điều kiện của t suy ra t 6 1 Vậy phương trình có một nghiệm sin 6 Bài : Giải phương trình: Điều kiện: 1 Khi đó VP>0 - Nếu 1;0 thì - Nếu 0;1 thì 1 nên phương trình (*) vô nghiệm Đặt cos t, t 0; ta có: 6 t t t t sin cos cos sin sin t 1 6cos1 sin t sin t t t 6 cos 1 sin 0 1 cost 6 Vậy nghiệm của phương trình là Bài : Giải phương trình: (*) Page

34 1 Điều kiện cos t; t 0; phương trình trở thành Đặt t t t t sin cos tan cot sin t sin t 0 cost 0 Vậy nghiệm của phương trình là 0 (1 sin t) sin t Bài : Giải phương trình: (1) Điều kiện: - Nếu thì ( ) Vậy để giải PT(1) ta chỉ cần ét ; Đặt cos t; t 0; khi đó phương trình đã cho trở thành t k t k t t cos t cos ( k ) t k t k t 7 t Kết hợp với điều kiện của t ta được t 7 Vậy nghiệm của phương trình là cos ; cos 7 Nếu a thì ta có thể đặt: a a ; t ; ; t 0 hoặc ; t 0; ; t sin t cost 1 Bài 1: Giải phương trình: Điều kiện 1 1 Đặt ; t ; phương trình trở thành: sin t Page

35 1 cost 0 (1 cot t ) 1 1 cos t cot t cost cost 0 1 sin t sin t sin t t k ( k ) 1 Kết hợp với điều kiện của t suy ra t 1 1 Vậy phương trình có một nghiệm 1 sin 1 1 TỔNG QUÁT: Giải phương trình a a 1 Bài : Giải phương trình: 9 Điều kiện ; t 0;, t phương trình trở thành: cost sin t sin t sin t 1 t cost sin t (thỏa ĐK) cos Vậy phương trình có một nghiệm Đặt TỔNG QUÁT: Giải phương trình a a b với a,b là các hằng số cho trước Đặt tan t, t, để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn Bài 1: Giải phương trình: 0 1 Do Đặt tan t, t, Khi đó, PT() trở thành tan k t k 9 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: tan, tan, tan Page

36 1 1 Bài : Giải phương trình: 1 1 Điều kiện 0; 1 Đặt tan t, t,, t 0, t phương trình trở thành: cost sin t sin t cost sin t sin t cos t sin t cos t cost 1 0 sin t 1 sin t sin t 0 sin t 0 t k sin t 1 sin t sin t 0 sin t 1 k 1 t k sin t 6 Kết hợp với điều kiện suy ra t 6 1 Vậy phương trình có 1 nghiệm tan 6 Mặc định điều kiện là a Sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương trình và kết luận Bài 1: Giải phương trình: PT (1) Đặt cos t, t 0; phương trình () trở thành: 1 cost t k k 9 Suy ra phương trình () có tập nghiệm 7 S cos ; cos ; cos Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: Page 6

37 ( 1) (1 ) VI PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ 1 Phương pháp: a b a b Dấu = ảy ra b a b a b Dấu = ảy ra b a cùng hướng với a cùng hướng với a b a b Dấu = ảy ra a ngược hướng với b a b a b Dấu = ảy ra b a cùng hướng với Bài tập minh họa: Bài 1: Giải phương trình: 10 0 (*) Trong mặt phẳng tọa độ Oy chọn a( ;1); b( ;) a b(; ) Khi đó a ( ) 1 b ( ) 10 0 a b 9 16 a b 10 0 Ta có a b a b (1) Do đó, (*) (1) ảy ra dấu = a cùng hướng với b k( ) a kb ( k 0) 1 k 1 k 0 k Vậy nghiệm của phương trình là Bài : Giải phương trình: (*) Trong mặt phẳng Oy chọn a( ;0 ); b( ;11 ) a b (9;1 ) Khi đó a ( ) Page 7

38 b ( ) a b a b Ta có a b a b (1) Do đó, (*) (1) ảy ra dấu = a cùng hướng với b k( ) 6 a kb ( k 0) k 0 k 0 k 11 6 Vậy nghiệm của phương trình là 1 Bài : Giải phương trình: Điều kiện: Trong mặt phẳng Oy chọn a 9 18 ; 6 9 ; b(1;1) Khi đó, a b a b 18 6 Từ phương trình ta có 9 a b a b 6 ( ) 0 Thử lại ta được là nghiệm của phương trình Bài tập áp dụng: Page 8

39 TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Nguyễn Quốc Hoàn, Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải phương trình vô tỷ [] Nguyễn Phi Hùng Võ Thành Văn, Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ [] Nguyễn Đức Thắng, chuyên đề: Phương trình Bất phương trình vô tỷ [] SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao, Nhà uất bản giáo dục [] [6] Page 9

40 KẾT LUẬN: Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỷ trong khuôn khổ chương trình phổ thông Sau khi đã đọc ong phương pháp giải và bài tập minh họa, không những các bạn có thể giải được các bài tập áp dụng sau mỗi phương pháp mà có thể giải các bài tập chứa căn thức khác Trong quá trình làm bài tập lớn này, chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự góp ý của các bạn Xin trân trọng cảm ơn Huế, ngày 1 tháng 0 năm 01 NguyÔn V n Rin Page 0