HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ CHƯƠNG 01: BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỦ ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ

Bản ghi

1 CHƯƠNG 01: BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỦ ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI Đầu tiên in nhắc lại các kiến thức về đạo hàm, đây là phần kiến thức trong chương trình toán THPT lớp 11 học kì II. 1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số y f ác định trên khoảng a; b và điểm a b nếu tồn tại giới hạn 0 ; f ( ) f ( 0) lim hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f tại f ( ) f ( 0) Ký hiệu y ' 0 lim hoặc f ' Lưu ý: Nếu hàm số có đạo hàm trong khoảng a; b thì liên tục trên khoảng đó nhưng ngược lại thì chưa chắc đúng.. Các quy tắc tính đạo hàm u u, v v Chú ý: u v' u ' v ' u. v ' u '. v u. v ' và ku ' ku ' ' ' u u '. v v '. u k k. v ' và ; v 0 v v v v BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP Hàm số cơ bản Hàm số hợp C ' 0 (C là hằng số) ' u. u. u u với 0 với u 0 u u 1 với >0 u với u>0 u u sin cos cos sin sin cos 1 với k cos 1 với k sin tan cot u u.cosu u u.sin u tanu u với u k cos u u cot u với u k sin u

2 1 ln với 0 1 log a với 0 ln a e ln u e. u với u 0 u u log a u với u 0 u ln a u u e u e a u a.ln a u '..ln a u a a Tiếp theo in trình bày cách tìm GTLN, GTNN của hàm số một biến bằng đạo hàm, đây là kỹ năng cực kỳ quan trọng để ứng dụng giải các Bài toán thực tế.. Định nghĩa GTLN, GTNN Cho hàm số y f ác định trong khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng) + Nếu có 0 K sao cho f f 0, K thì 0 khoảng K. Kí hiệu: ma y f 0 K + Nếu có 0 K sao cho f f 0, K thì 0 trên khoảng K. Kí hiệu: min. f được gọi là giá trị lớn hất của hàm số trên f được gọi là giá trị nhỏ hất của hàm số y f 0 K. Phương pháp tìm GTLN, GTNN. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K: Phương pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K, rồi nhìn trên đó để kết luận ma, min. Bài toán : Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn a b y f Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên khoảng đó và kết luận. Phương pháp : Nếu hàm số f() liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có các bước làm sau: y f đã cho. 1. Tính đạo hàm của hàm số trên đoạn ;. Tìm các điểm 1; ;...; n. Tính: 1 f a ; f ( ); f ( );...; f ( ); f ( b ). n a b, tại đó ; : f ' 0 hoặc f '. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên (ở mục ) Khi đó: M ma f ;m min f Chú ý: a; b a; b 1. Hàm số y f liên tục trên đoạn ; không ác định. a b thì hàm số f() luôn tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tất cả các giá trị trung gian nằm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f() trên đoạn đó.. Nếu đề bài không cho rõ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng, đoạn nào cón nghĩa là ta tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập ác định của hàm số đó. min f f a. Tính đạo hàm y '. Nếu y ' 0, a; b ma f f b min f f b. Tính đạo hàm y '. Nếu y ' 0, a; b ma f f a

3 Ngoài ra cần trang bị thêm một số kiến thức về bất đẳng thức cơ bản để giải quyết các bài này nhanh hơn: 5. Bất đẳng thức Cauchy cho và số: Hai số: Với A, B 0 ta luôn có A B AB, dấu bằng ảy ra khi A B Ba số: Với A, B, C 0 ta luôn có A B C ABC, dấu bằng ảy ra khi A B C BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1. Một số bài toán ứng dụng về kinh doanh, sản suất trong cuộc sống. Ý tưởng giải là cố gắng thiết lập một hàm số một biến sau đó ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN. Bài 1: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ đồng mỗi tháng thì có thêm căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu? A B C D Lời giải: Gọi là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, ( : đồng ; đồng) Ta có thể lập luận như sau: Tăng giá đồng thì có căn hộ bị bỏ trống. Tăng giá đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống. Theo quy tắc tam uất ta có số căn hộ bị bỏ trống là: Do đó khi cho thuê với giá đồng thì số căn hộ cho thuê là: Gọi F là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, (F(): đồng). 1 Ta có: F( ) ( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ). 1 Bài toán trở thành tìm GTLN của F 90, ĐK: F ' F '

4 Bảng biến thiên: X F () + 0 F() F ma Suy ra F() đạt giá trị lớn nhất khi Vậy công ty phải cho thuê với giá đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất. Chọn A. Nhận ét: 1 Sau khi tìm được hàm F( ) 90. Ta không cần phải đi khảo sát và vẽ bảng biến thiên như trên. Đề đã cho bốn đáp án, ta dùng phím CALC của MTCT để thay lần lượt các giá trị vào, cái nào làm cho F() lớn nhất chính là giá trị cần tìm. Bài : Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 0 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là đồng. A..000đ B..000đ C..000đ D đ Lời giải: Gọi là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (: đồng; đồng). Ta có thể lập luận như sau: Giá đồng thì bán được 0 quả bưởi Giảm giá đồng thì bán được thêm 50 quả. Giảm giá thì bán được thêm bao nhiêu quả? Theo quy tắc tam uất số quả bán thêm được là: Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán : Gọi F( ) là hàm lợi nhuận thu được ( F( ) : đồng). 1 1 Ta có: F( ) Bài toán trở thành tìm GTLN của 1 F( ) , Đk:

5 1 F ' F ' Vì hàm F() liên tục trên nên ta có: F F F thì Vậy với.000 F đạt GTLN. Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là.000 đồng. Chọn C. Bài. Một e khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa được là 60 hành khách một chuyến. Nếu một 5m chuyến chở được m hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là 0 đồng. Tính số hành khách trên mỗi chuyến e để nhà e thu được lợi nhuận mỗi chuyến e là lớn nhất.? A. 0 B. 0 C. 50 D. 60 Lời giải: Gọi là số hành khách trên mỗi chuyến e để số tiền thu được là lớn nhất, (0 60) Gọi F() là hàm lợi nhuận thu được (F(): đồng) Số tiền thu được : 5 5 F Bài toán trở thành tìm để F() đạt giá trị lớn nhất. 75 F ' ( loai) F ' (t/ m) Bảng biến thiên X F () + 0 F() F ma Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến e khách đó phải chở 0 người. Chọn B. Bài. Một công ty chuyên sản uất thùng phi nhận được đơn đặt hàng với yêu cầu là thùng phi phải chứa 16 m mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có kích thước như thế nào để sản suất ít tốn vật liệu được nhất?

6 A. R m, h m B. R m, h m C. R m, h m D. R m, h m Lời giải: Do thùng phi có dạng hình trụ nên: 16 Vtru R h 16 h, 1 R Diện tích toàn phần của thùng phi là: S R Rh R h R, Tp Thay (1) vào () ta được: STp R R R R R 16 S ' Tp R R 8 R R S ' Tp 0 R 8 0 R R Bảng biến thiên R 0 S (R) 0 + S(R) S min Vậy để sản uất thùng phi ít tốn vật liệu nhất thì R= (m) và chiều cao là h = (m). Chọn A. Bài 5. Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là 100m. Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ là 1 kg / m tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng tấn tôm. Với kinh nghiệm nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi 00 g / m tôm giống thì sản lượng tôm thu hoạch được, tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho thu hoạch là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống). A. 0 kg B. 70kg C. 7kg D. 69kg Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: 100.1= 100(kg). Gọi (0<<100) là số kg tôm cần thả ít đi trong vụ tôm tới. Khối lượng trung bình 1 kg / m tôm giống thu hoạch được: 000 :100 0 kg Khi giảm 0, kg tôm giống thì thì sản lượng tôm thu hoạch tăng thêm là kg / m Gọi F là hàm sản lượng tôm thu được vụ tới ( F( ) : kg ) Vậy sản lượng tôm thu hoạch được trong vụ tới có pt tổng quát là:

7 5 F 8 8 Bìa toán trở thành tìm để F() lớn nhất. Ta có: 5 F ' 5 70 F ' 0 0 Bảng biến thiên X 0 70 F () + 0 F() F ma 100 Vậy vụ tới ông Thanh phải thả số kg tôm giống là: ,67kg Chọn A. Nhận ét: Làm sao ta có thể tìm được hàm F() và tìm được hệ số 8 Ta có thể hiểu đơn giản như sau: nếu ta không giảm số lượng tôm giống thì sản lượng tôm thu kg tôm. hoạch được là: Nếu ta giảm số được là: mkg kg tôm giống thì số tôm giống cần thả là 100 và số kg tôm thu hoạch Theo giả thiết tôm giống giảm 0, kg / m thì 100m giảm 0kg, sản lượng thu được là 00kg. Ta có: m0 00 m 8 Bài 6. G 0, 5 0 mg Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức trong đó và > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu: A. 15mg B. 0mg C. 0mg D. 0mg 1 Ta có: G 0, 5 0 0

8 G ' 0 0(loai) G ' 0 0 0(t/ m) Bảng biến thiên: X 0 0 G () + 0 G() 100 Dựa vào bảng biến thiên thì bênh nhân cần tiêm một lượng thuốc 0mg Chọn D. Bài 7. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày uất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là G t : 5t t, (kết quả khảo sát được trong 10 tháng vừa qua). Nếu em G ' t là tốc độ truyền bệnh (người / ngày) tại thời điểm t thì tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ: A. 5 B. 0 C. 0 D. 15 Ta có: G ' t 90t t G '' t 90 6t G '' t t 0 t 15 Bảng biến thiên: T 0 15 G (t) + 0 G(t) 675 Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ 15. Chọn D. Bài 8: Hằng ngày mực nước của con kênh lên uống theo thủy triều. độ sâu hm của mực nước trong kênh t tính theo thời gian t h trong ngày cho bởi công thức h cos 1. Khi nào mực nước 6 của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất? t 10 h t 1 h t 15 h t h A. B. C. D. Ta có:

9 t t t h' sin sin t h' 0 sin 0 t 6 k, k Z 6 ở đây ta chỉ cần ét một số giá trị k 1 t Bảng biến thiên: Ta suy ra được h đạt GTLN khi t =10 (h) Lưu ý: Ngoài cách trên ta có thể làm như sau t t Vì 1 cos 1 9 cos t cos 1 t 1 k, k Z 6 Vậy h đạt GTLN khi t =10 (h) Vậy để h lớn nhất thì ( ) Bài 9: (Đề minh họa Quốc gia 017): Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 1cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng cm, rồi gấp tấm nhôm lại như hình nhau, mỗi hình vuông có cạnh vẽ dưới đây để được cái hộp không nắp. Tìm để được một cái hộp có thể tích lớn nhất. 6 cm cm A. B. C. cm D. cm Khi cắt tấm nhôm hình vuông và gập thành một cái hộp thì độ dài cạnh của cái hộp là: 1 Ta có: V S. h với 0 6 Bài toán trở thành tìm để V lớn nhất. Ta có: V ' V ' Bảng biến thiên: 0 6 V () + 0 V() 18 1

10 Vậy để thể tích hộp lớn nhất thì = cm Chọn C. Bài 10: Cuốn sách giáo khoa cần một trang chữ có diện tích là 8cm. Lề trên và dưới là cm, lề trái và lề phải là cm. Kích thước tối ưu của trang giấy? A. Dài cm, rộng 17cm B. Dài 0cm, rộng 0cm C. Dài cm, rộng 18cm D. Dài cm, rộng 19cm Gọi chiều dài của trang chữ nhật là cm, 0 Chiều rộng của trang chữ nhật là: 8 cm 6 cm Chiều dài của trang giấy là 8 Chiều rộng của trang giấy là : cm 8 0 Diện tích trang giấy: S 6 08 Bài toán trở thành tìm để S đạt giá trị nhỏ nhất. 0 Ta có: S ' 0 (t/ m) S ' 0 0 (loai) Bảng biến thiên 0 S () 0 + S() S min Vậy kích thước tối ưu của trang giấy có chiều dài là 0 cm, chiều rộng là 0 cm. Bài 11: Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi bằng 16cm thì hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? A. 6cm B. 0cm C. 16cm D. 0cm Gọi độ dài hình chữ nhật đó là: cm. Chiều rộng của hình chữ nhật đó là: 8 cm Suy ra 8 S 8 8 Diện tích hình chữ nhật đó là: Bài toán trở thành tìm để S đạt GTLN. Ta có: S ' 8 ; S ' 0 8 0

11 Vì hàm S() liên tục trên 8, ta có: S S 16; 8 0 Kết luận: hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16cm Lưu ý: Bìa này ta còn có thể sử dụng lí thuyết của lớp 10. Tìm GTLN của parapol với hệ số b a<0 thì Sma S 16 a a Chọn C. Bài 1: Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1, mét và đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất C 1, phải ác định vị trí đó? Biết rằng góc BOC là góc nhọn. B A. AO,m B. AO m C. AO,6m D. AO m 1,8 A O AO cm, 0 Đặt độ dài cạnh Suy ra: BO,, CO 10, Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác OBC ta có: OB OC BC, 10, 1,96 cos BOC. OB. OC, 10, 5,76, 10, Vì góc BOC là góc nhọn nên bài toán trở thành bài toán tìm để 5,76 F, 10, Đạt GTNN., t, t,. Đặt Suy ra F t 6 t 5 t t 5t t t 7 Ta tìm t để F( t ) nhận giá trị nhỏ nhất. F ' t t 7 5 t t 7 5t 6 5t 6 1 t t 7 5 t t 7 5 t t 7

12 1 50 t 7t 5t 6 t 7 1 9t 1 5 t t 7 t t 7 5 t t 7 t t 7 F ' t 0 t 9 BBT t, 9 F (t) 0 + F(t) 1 Thay vào đặt ta có:, 9,m 5 Vậy để nhìn rõ nhất thì AO =, m. Chọn A. Bài 1: Một công trình nghệ thuật kiến trúc trong công viên thành phố Việt Trì có dạng là một tòa nhà hình chóp tứ giác đều nội tiếp một mặt cầu có bán kính 5(m). Toàn bộ tòa nhà đó được trang trí các hình ảnh lịch sử và tượng anh hùng, do vậy để có không gian rộng bên trong tòa nhà người ta đã ây dựng tòa nhà sao cho thể tích lớn nhất. Tính chiều cao của tòa nhà đó. 0 5 A. h m B. h m C. h m D. h m Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao của hình chóp tứ giác đều lần lượt là và h, (>0, h>0, m) Dựng mặt phẳng trung trực của 1 cạnh bên cắt trục đáy ở O, vậy O là tâm mặt câu. Ta có: OS 5 m, nên OI h 5, với I là giao của đường chéo đáy. Vì tam giác OIC vuông nên ta có: IC OC OI 5 h 5 10h h 0h h, 5 h 10 Ta có thể tích khối chóp tứ giác đều: 1 1 V h Bh 0h h h 0h h Bài toán trở thành tìm h để V(h) đạt GTNN. 1 V ' h 0h 6h 1 0 V ' h 0 0h 6h 0 h F min BBT

13 h 5 0 V h + 0 ' V h V ma 10 0 Vậy chọn chiều cao đó là h m Chọn A. Bài 1: Khi nuối cá thí nghiệm trong hồ, một nhà khoa học đã nhận thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng là P n 80 0n g. Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? A. 1 B. 1 C. 1 D. 11 Giải Gọi F n là hàm cân nặng của n con cá sau vụ thu hoạch trên một đơn vị diện tích Ta có: F n 80 0 n. n 80n 0n Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của n con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ là lớn nhất. * Bài toán trở thành tìm n sao cho F() đạt GTLN. F ' n 80 0n F ' n n 0 n 1 Học sinh tự lập bảng biến thiên. Vậy phải thả 1 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất. Chọn C. Bài 15: (Trích luận văn thạc sĩ Nguyễn Văn Bảo): Một khúc gỗ tròn hình trụ cần ẻ thành một chiếc à có tiết diện ngang là hình vuông và miếng phụ như hình vẽ. Hãy ác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. Biết đường kính khúc gỗ là d. A. Rộng B. Rộng C. Rộng d, dài 16 d, dài 15 d, dài d 7 17 d 7 17 d D. Rộng d, dài 1 d 7 17 d

14 Giải Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi d d đó tiết diện ngang của thanh à có độ dài cạnh là 0,0 y Theo đề bài ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có: d 1 8 y d y d Do đó, miếng phụ có diện tích là: 1 d S d 8 d với 0 Bài toán trở thành tìm để S() đạt GTLN. Ta có: 1 S '( ) d 8 d d d 8 d d 8 d d d d và ' S d d d 16 BBT X 0 16 d d S () + 0 S ma S() d d Vậy miếng phụ có kích thước Chọn A d, y d 16 Bài 16: Nhà Long muốn ây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ nhật có nắp đậy có thể tích bằng 576m. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá tiền thuê nhân công để ây hồ tính theo m là đồng/m. Hãy ác định kích thước của hồ chứa nước sao cho chi phí thuê nhân công là ít nhất và chi phí đó là bao nhiêu? A. Rộng 6m, dài 1m, cao 8m. Tiền: 16 triệu

15 B. Rộng 6m, dài 1m, cao 8m. Tiền: 15 triệu C. Rộng 6m, dài 1m, cao 8m. Tiền: 1 triệu D. Rộng 6m, dài 1m, cao 8m. Tiền: 1 triệu. Gọi, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hồ chứa nước, 0, y 0, h 0, m y Ta có: y V Thể tích hồ chứa nước V yh h y Diện tích cần ây dựng hồ chứa nước: S y h yh Để chi phí nhân công là ít nhất thì diện tích cần ây dựng là nhỏ nhất, mà vẫn đạt thể tích như mong muốn. Bài toán trở thành tìm để S nhỏ nhất. 178 S 178 S ' BBT X 0 6 S () 0 + S() S min Vậy kích thước của hồ là: rộng 6m, dài 1m, cao 8m. Diện tích cần ây: Chi phí ít nhất là: Chọn A. m Bài 17: Một công ty chuyên sản uất container muốn thiết kế các thùng gỗ đựng hàng ở bên trong có dạng hình hộp chữ nhật và không có nắp, có đáy là hình vuông. Thùng gỗ có thể chứ được 6,5m. Hỏi các cạnh của hình hộp chữ nhật có độ dài là bao nhiêu để tổng diện tích ung quanh và diện tích mặt đáy của thùng là nhỏ nhất? A. Cạnh bên:,5m, cạnh đáy: 5m. B. Cạnh bên: m, cạnh đáy: 5 10 m C. Cạnh bên: m, cạnh đáy: 5 10 m D. Cạnh bên: 5m, cạnh đáy: 5 6 m. Giải. 0, h 0, m. Gọi, h lần lượt là độ dài cạnh đáy hình vuông, chiều cao của thùng gỗ,

16 V 6,5 Thể tích thùng gỗ: V h h Diện tích ung quanh và diện tích mặt đáy của thùng là: S h 6,5. 50 Bài toán trở thành tìm để S() nhỏ nhất. 50 S ' 50 S ' BBT X 0 5 S () 0 + S() S min Vậy để tổng diện tích ung quanh và diện tích đáy của thùng là nhỏ nhất thì cạnh đáy là 5m, chiều cao,5m. Chọn A. Bài 18: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R, nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp? A. R B. 5R C. R D. R Giải. Gọi là độ dài cạnh của hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính của hình tròn 0 R. Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là R Ta có diện tích của hình chữ nhật là: Bài toán trở thành tìm để S() đạt GTLN. R S ' R R R S R R (t/ m) R S ' 0 0 R 0 R R (loai) BBT:

17 X 0 R R S () + 0 R S() Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là Bài 19: (Đề thi thử Việt Trì lần I): Để thiết kế một chiếc bể cá hình chữ nhật có chiều cao là 60 cm, thể tích là cm, người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành đồng/m và loại kính để làm mặt đáy có giá thành là đồng/m. Chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: A đồng B đồng C đồng C đồng. Giải V Diện tích của đáy hộp là: S 1600cm 0,16m h 60, 0, m Bài 0: R Gọi chiều dài cạnh đáy của hộp là Chiều rộng của hộp là 0,16 Gọi F là hàm chi phí để làm để cá. Chi phí để hoàn thành bể cá: 0,16 F 0, , , Bài toán trở thành tìm để F() đạt GTNN. 10 F ' F ' , BBT X 0 0, F () 0 + F() F min Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: 8.00 đồng

18 Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy là hình vuông không có có nắp có thể tích chứa được dm. Tìm kích thước của thùng để lượng vàng mạ là ít nhất. Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau: A. Cạnh đáy: dm, cao: 1dm. B. Cạnh đáy: dm, cao: dm. C. Cạnh đáy: 1dm, cao: dm. D. Cạnh đáy: dm, cao: dm. Giải, 0, dm Gọi: Độ dài cạnh đáy của hộp là Chiều cao của hộp là h, h 0, dm. S() là diện tích của hộp cần mạ dm Ta có khối lượng cần mạ là: P d S C S vang... Với C là hằng số, P vang là khối lượng riêng của vàng. Ta có: Khối lượng vàng cần mạ tỉ lệ thuận với V Thể tích hộp V h h 16 S h Bài toán trở thành tìm để S S đạt giá trị nhỏ nhất. 16 S ' 16 S ' 0 0 BBT X 0 S () 0 + S() Vậy để tiết kiệm nhất lượng vàng cần mạ thì chũng ta phải sản uất hoppj có kích thước cạnh đáy: dm, cao : h 1dm. Chọn A. Bài 1: Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là 50m.Vụ trước ông nuôi với mật độ là 0 con/m và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi 8 con / m thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên 0,5kg. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất? Giả sử không có hao hụt khi nuôi. A. 51 con B. 511 con C. 510 con D. 509 con S min Số cá giống mà ông thanh đã thả trong vụ vừa qua là con Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là: 1500 :1000 1,5 kg. Gọi số cá giống cần thả ít đi trong vụ này là: con, 0

19 Theo đề bài, giảm 8 con thì mỗi con tăng thêm 0,5 kg / con Vậy giảm con thì mỗi con tăng thêm 0,065 kg / con. Tổng số lượng cá thu được ở vụ này: F ,5 0,065 0, Bài toán trờ thành tìm để Ta có: F ' 0,15 61 F đạt GTLN. F ' 0 0, BBT X F () + 0 F ma F() Vậy ông thanh phải thả số cá giống trong vụ này là: con Chọn A. Bài : Người ta cần làm một hộp theo dạng một khối lăng trụ đều không nắp với thể tích lớn nhất từ một miếng tôn hình vuông có cạnh là 1 mét. Thể tích của hộp cần làm. 5 A. V dm B. V dm C. V dm D. V dm Giải Giả sử mỗi góc cắt đi một hình vuông dm. 1 Khi đó chiều cao của hình hộp là dm, 0 Và cạnh đáy của hộp là 1 dm. Vậy thể tích của hộp là: V 1 dm Ta có: V ' Phương trình V ' ; 6 BBT X V + 0 V 7 1

20 Vậy thể tích cần tìm là: 7 dm. chọn A. Bài : (Đề minh học HSG Phú Thọ ) Một người nông dân có ba tấm lưới thép B0, mỗi tấm dài a m và muốn rào một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (Bờ sông là đường thẳng CD không phải rào). Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m? A B A. a B. 5 a AB a, AA' h, CD. Ta có: C. a a h a a a h a a h a a 1 D. S. h. a a a a D 7 a a a a... a a a a 7 a 7a Chọn D. Bài : Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá thành để ây đường ống trên bờ là USD mỗi km, và USD mỗi km để ây dưới nước. B là điểm trên bờ sao cho BB vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B là 9km. Vị trí C trên đoạn AB sao cho khi nối ống theo hướng ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: A. 9km B. 6,5km C. 5km D. km. B ' C km, 0 9 Ta đặt: C

21 Ta có: BC B ' B B ' C 6, AC 9 Gọi F() là hàm chi phí ây dựng đường ống nước từ ACB Ta có: F USD Bài toán trở thành tìm sao cho F() đạt GTNN F ' F ' ,5 Vì F() là hàm liên tục trên đoạn 0;9 nên ta có: F , F , F Vậy chi phí nhỏ nhất khi C cách A khoảng bằng 9km-,5km=6,5km. Chọn B. Bài 5: Một gia đình cần ây một cái bể nước hình trụ có thể chứa được 150m có đáy được làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn, bề mặt làm bằng kính. Tính chi phí thấp nhất cần dùng để ây bể nước đó. biết giá thành vật liệu làm bằng bê tông có giá thành là đồng/m, làm bằng tôn là đồng/m, bề mặt làm làm bằng kính là đồng/m. (số tiền để ây được tính lấy giá trị lớn hơn gần nhất với số tiền tính toán trên lí thuyết). A đ B đ C đ D đ Giải r m, h m lần lượt là bán kính của đáy bể và chiều cao của bể. Gọi Ta có: V 150 V r h h r r Gọi F(r) là hàm chi phí ây dựng bể nước Ta có: F r r rh r r r Bài toán trở thành tìm r để F ' r r r F r đạt GTNN F ' r r 0 r r 11 BBT

22 r F 0 + F F min Vậy chi phí thấp nhất là 675 F ,97 11 Chọn C. đồng. Bài 6: Có một tấm gỗ hình vuông có độ dài cạnh là m. Cắt tấm gỗ đó thành tấm gỗ có hình dạng là một tam giác vuông sao cho tổng của một cạnh tam giác vuông và cạnh huyền của tấm gỗ tam giác vuông đó bằng 1,m. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ tam giác vuông đó bằng bao nhiêu để tam giác vuông có diện tích lớn nhất. A. 0,8m B. 0,9m C. 1m D. 1,1m Giả sử tấm dỗ cắt có hình dạng tam giác vuông là ABC, BC là cạnh huyền. VÌ cạnh AB, AC là như nhau nên ta có thể đặt AB, 0 0,6 Khi đó, cạnh huyền BC 1, Cạnh góc vuông còn lại là: BBT AC 1, 1,, 1 Ta có diện tích tam giác ABC: S 1,, Bài toán trở thành tìm để S đạt GTLN , 1 1,,6 S ' 1,, 1,, 1,, S ' 0 1,,6 0 0, X 0 0, 0,6 S () + 0 S ma S() Vậy cạnh BC=0,8m Bài 7: Anh Tuân muốn ây dựng một hố ga không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứ được 00cm, tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng. Xác định diện tích đáy của hố ga để khi ây hố tiết kiệm được nguyên liệu nhất. A. 170cm B. 160cm C. 150cm D. 10cm

23 Gọi, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của hố ga, 0, y 0, h 0, cm h Ta có: h V 1600 Thể tích hố ga: V yh y h Diện tích cần ây dựng hố ga là: S y h yh Bài toán trở thành tìm để S() nhỏ nhất S '( ) S '( ) BBT X 0 10 S () 0 + S() S min Vậy chiều rộng của hố ga là 10cm, chiều dài là 16cm. Vậy diện tích đáy hố ga nhỏ nhất là: S cm. Chọn B Bài 8: Một trung tâm thương mại bán 500 ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là đồng một cái ti vi mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là đồng cộng thêm đồng mỗi cái ti vi. Trung tâm nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là ít nhất. Biết rằng mỗi lần đặt hàng về chỉ có một nửa trong số đó được trưng bày ở cửa hàng. A. Đặt hàng 5 lần, mỗi lần 100 ti vi B. Đặt hàng 0 lần, mỗi lần 15 ti vi C. Đặt hàng 10 lần, mỗi lần 50 ti vi D. Đặt hàng 50 lần, mỗi lần 50 ti vi Gọi là số lượng ti vi mà trung tâm đặt mỗi lần 0 (đơn vị: cái) Số lần đặt hàng mỗi năm của trung tâm: 500 Chi phí cho mỗi lần đặt hàng: Số lượng tivi trung bình gửi kho là, chi phí lưu trong kho tương ứng: Gọi F() là hàm chi phí mà trung tâm đó phải trả.

24 Ta có: 500 F Bài toán trở thành tìm để F() nhỏ nhất F ' F ' BBT X F () 0 + F() F min Vậy trung tâm phải đặt hàng 5 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. Chọn A. Bài 9: Mùa này công ty sách định ra cuốn trắc nghiệm Lý và Toán với giá sản uất là đồng và đồng. Khi đó hàm lợi ích chúng ta là u ; y 1 1 y, với, y là số lượng hai cuốn sách được in ra. Nhưng ban quản trị chỉ đồng ý đưa ra số tiền đồng. Theo bạn phải sản uất số lượng như thế nào để đạt doanh thu cho công ty sách cao nhất? 000 A triệu. B triệu. C triệu. D. Ta có hàm lợi ích là: u ; y y. Để cho gọn ta đặt a, b y Vì ban quản trị chỉ đồng ý đưa ra số tiền triệu đồng nên suy ra: a b a b 000 * Lúc này ta có: u ; y v a; b Ta có: * a a b b b a b 000 ab 5 Chon A ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thể tíchức này. 5 6 triệu.

25 Bài 0: Có hai cây cột dựng trên mặt đất lần lượt cao 1m và m, đỉnh của hai cây cột cách nhau 5m. Người ta chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa hai chân cột) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí như hình dưới. Tính độ dài dây ngắn nhất. A. 1 B. 7 C. 9 D. 5 Giải Đặt CD, 0. Ta tính được DE 5 1 Ta có AC BC 1 16 f Khi đó: f ' Giải phương trình 1 8 f ' 0, ta thu được 5 và tìm được min f 1, chọn A. Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có tổng diện tích tất cả các mặt là 6, độ dài đường chéo AC bằng 6. Hỏi thể tích của hình hộp lớn nhất là bao nhiêu? A. 8 B. 1. C. 8 D.. Đặt a, b, c là kích thước hình hộp thì ta có hệ: ab bc ca 6 ab bc ca 18 ab bc ca 18 a b c 6 a b c 6 a b c 6 Cần tìm GTLN của V abc y yz z 9 Đặt a, b y, c z thì có hệ mới y z 6 Đến đây chặn được miên của từng biến vì: y z 6 và y z yz yz 9 y z 9 6 Nên Tương tự 0 y, z, đến đây khảo sát hàm số này tìm ma. GTLN là V 8. chọn C. Bài : Một ca sĩ có buổi diễn âm nhạc có giá vé đã thông báo là 600 đô la thì sẽ có 1000 người đặt vé. Tuy nhiên sau khi đã có 1000 người đặt vé với giá 600 đô la thì quản lí kinh doanh của ca sĩ này nhận Ta có: V yz 9 6 A 1 D 5 C E B

26 thấy, cứ mỗi 0 đô la giảm giá vé thì sẽ thu hút thêm 100 người mua vé nên ông quyết định mở ra một chương trình giảm giá vé. Tìm giá vẽ phù hợp để có được số tiền vé thu vào là cao nhất và số tiền đó là bao nhiêu? A. 00 đô la/ vé, số tiền thu vào là đô la. B. 00 đô la/ vé, số tiền thu vào là đô la. C. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là đô la. D. 100 đô la/ vé, số tiền thu vào là đô la. Giải. Gọi là số lần giảm bớt đi 0 đô la trong giá vé. Khi đó giá vé sẽ là một người. Số người mua vé sẽ là: Khi đó số tiền thu được là: f Hàm số bậc có hệ số a Ta sẽ áp dụng kết quả đã được đưa ra đó là hàm số sẽ b 0000 đạt GTLN tại 10 a. 000 Khi đó: f Chọn A. Bài. Bác nông dân muốn làm hàng rà trồng ra hình chữ nhật có chiều dài song song với hàng tường gạch. Bác chỉ làm ba mặt hàng rào bởi vì mặt thứ tư bác tận dụng luôn bờ tường. Bác dự tính sẽ dùng 00m lưới để làm nên toàn bộ hàng rào đó. Diện tích đất trồng rau lớn nhất bác có thể rào nên là: Hàng rào Bờ tường A. 1500m. B m. C. 500m. D. 5000m. Đề bài cho ta dữ liệu về chu vi của hàng rào là 00m. Từ đó ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa và r, đến đậy ta có thể đưa về hàm số một biến theo hoặc theo r như sau: Ta có: r 00 r 100. Từ đây ta có r Diện tích đất rào được tính bởi: f Xét hàm số f 100 trên khoảng 0;00 Đến đây áp dụng quy tắc tìm GTLN của hàm số trên đoạn. ta có:

27 Từ đó ta có f ' f là GTLN của diện tích đất rào được. chọn D. Bài : Một người có một dây ruy băng dài 10 cm, người đó cần bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp ( như hình vẽ minh họa ). Hỏi dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu? A. 000 cm B cm C. 500 cm D cm Gọi cm; y cm lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, y 0; 0 Dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 10cm. Ta có: y. 10 y 0 Bài 5: Thể tích khối hộp quà là: V. y 0 Thể tích V lớn nhất khi hàm số f ( ) 0 f ' 6 60, cho với 0 0 đạt GTLN f ' Lập Bảng Biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là: V 1000 cm. Chọn B Thể tích nước của một bề bơi sau t phút bơm tính theo công thức V t Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi ' v t V t 1 t 100 0t 0 t 90. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng. A. Tốc độ bơm giảm từ phút 60 đến phút thứ 90. B. Tốc độ bơm luôn giảm. C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75. D. Cả A, B, C đều sai. 9 1 Xét hàm V ' t t 0 t V '' t t V '' 0 khi t 0, t Dựa vào bảng biến thiên, Ta có hàm số V đồng biến trên (0;60), nghịch biến trên (60;90). Chọn A. Bài 6: Khi sản uất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần hình trụ nhỉ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?

28 A. 0,7 B. 0,6 C. 0,8. D. 0,5. Giải. Ta có S S S rl r 1 tp q d V r l l thay vào (1) ta được: r Stp r f r r f ' r r r f '( r) 0 khi r gần bằng 0,68. Chọn A. Bài 7: Do nhu cầu sử dụng người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao h, có thể tích là 1m. Với a, h như thế nào để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất? A. a 1; h 1. B. a ; h C. a ; h D. a ; h. Giải. 1 V a h 1 a h S ah a a f a a f ' a a a Dấu = ẩy ra khi a 1. Chọn A. Bài 8: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD 60 cm. Ta gấp tấm nhôm theo cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ để được 1 hình lăng trụ khuyết đáy. Tìm để thể tích khối lăng trụ lớn nhất? B M Q C M Q B,C A N P D 60cm N P A,D A. 0 B. 0 C. 5 D. 0

29 Gọi m a là độ dài đường trung tuyến đối với cạnh NP Diện tích tam giác NAP = S NAP 60 Ta có: ma V h. m. NP A f f ' f khi =0. Xét hàm f ' 0, ma Chọn A. Bài 9. Một sợi dây kim loại 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số a r nào sau đây đúng? A. B. C. D a C r 60 a r a 60 a a 0 a 0.8 Shv Sht f ' f ' 0 khi a 16 8 a 60r Suy ra. CHọn C. r Bài 0: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng a, cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB; BFC; CGD; DHA; sau đó gò các tam giác AEH; BEF; CFG; DGH sao cho đỉnh A, B, C, D trùng nhau như hình vẽ. Thể tích lớn nhất của khối tứ giác đều tạo được là: a a A. B. 6 a a C. D Gọi h là chiều cao hình chóp, là độ dài đáy, I là trung điểm EH. A B E H F G D C

30 a a a SI h 0,5 h 1 V h Xét a a f. a. a a f ' f ' 0 khi a a a 1 a V... a 81 Chọn D. Bài 1: Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất. R 5 R 7 R 8 R A. B. C. D. Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V. khi đó: V h r Vì h h r R V h R hr h Bài toán trờ thành tìm GTLN của hàm số h V h hr, h 0;R h R Ta có: V ' h R 0 h BBT h r 0 V (h) + 0 R R

31 V(h) R R Từ BBT, suy ra mav V 0;R Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng R, R Khi đó, Thể tích khối trụ là:. Bài : Cho số dương m, hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất. m m m m A. B. C. D. 5 Cho m>0. Đặt là số thứ nhất, 0<<m, số thứ hai là m-. P m, 0; m. Ta có: Xét tích P ' m 0 BBT m 0 m X P + 0 ' P m m m m Suy ra: ma P P m. vậy phân tich m thành tổng hai số. Chọn D. 0; m Bài : Tìm hai số có hiệu là 1 sao cho tích của chúng là bé nhất A. và B. và C. và D. và Gọi một trong hai số phải tìm là, ta có số kia là 1 1 Xét tích P 1. tc: P ' 1 0 BBT

32 X 1 P () 0 + P() Suy ra: số kia là min P P. Vậy tích hia số bé nhất khi một trong hai số là. CHọn A. 1 và Bài : Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền a a 0. bằng hằng số a a a ma S khi AB ; BC a 0; 6 a a a ma S khi AB ; BC a 0; 5 a a a ma S khi AB ; BC a 0; a a a ma S khi AB ; BC a 0; A. B. C. D. a Kí hiệu cạnh góc vuông AB là, 0; Khi đó cạnh huyền BC a, cạnh góc vuông kia là AC BC AB a a a. 1 a Diện tích tam giác ABC là S. a a, 0;. Ta có: aa a S ' 0 a a

33 BBT X 0 a S () + 0 a S() 6 a Suy ra a a a ma S khi AB, BC. CHỌN A. a 0; 6 Bài 5: Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó. a S a 0; 5 8 A. ma S a S a 0; 8 C. ma S a a a S a 0; 7 B. ma S a S a 0; D. ma S a Đặt BM ; 0; ta được MN a ; QM Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: S MN. PQ a a. Ta có: S ' a 0 BBT a X 0 a S () + 0 S() a 8 a a 7 1 a

34 Suy ra S() đạt GTLN tại điểm a S S a 0; 8 ma Bài 6: Cho một parapol a ( P) : y a và GTLN của diện tích hình chữ nhật là. CHọn A. và điểm A ;0 cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó. M 1; ; AM 7 M 1;1 ; AM 5 A. 0 0 B. C. M ;1 ; AM 5 D. M 0 0 Giải M ; là một điểm bất kì của parapol (P). Gọi Ta có: AM 6 9. Khoảng cách AM đạt GTNN khi và chỉ khi Xét f 6 9. Xác định điểm M thuộc parapol (P) sao cho khoảng 0 0 ; ; AM f AM đạt GTNN. f ' BBT X 1 f 0 + ' f Suy ra f() đạt GTNN tại điểm =-1 và vị trí điểm M 1;1 ; AM 5. CHọn B f 1 5. Do đó, khoảng cách AM đạt GTNN khi M nằm ở Bài 7: Một tạp chí được bán với giá 0 nghìn đồng một cuốn. Chi phí uất bản cuốn tạp chí (bao gồm: Lương cán bộ, công nhân viên, giấy in, ) được cho bởi công thức C 0,0001 0, 10000, C được tính theo đơn vị vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là nghìn đồng. 1) a) Tính tổng chi phí T b) Tỉ số M M T (uất bản và phát hành) cho cuốn tạp chí được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi uất bản cuốn. Tính theo và tìm số lượng tạp chí cần uất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất. ) Các khoản thu bao gồm tiền bán tạp chí và 90 triệu nhận được từ quảng cáo và sự trợ giúp cho báo chí. Giả sử số cuốn in ra đều được bán hết. L 0,0001 1, a) Chứng minh rằng số tiền lãi khi in cuốn tạp chí là b) Hỏi in bao nhiêu cuốn thì có lãi.

35 c) In bao nhiêu cuốn thì lãi nhiều nhất? tính số tiền lãi. Giải. 1)a) Tổng chi phí cho cuốn tạp chí là: T C 0, 0, , b) Ta có: M ,0001 0, với 1,,... (6) ta ét hàm số y M 0;. trên khoảng M được ác định bởi công thức (6) với mọi 0, trong đó hàm số M đạt Trong đó GTNN trên 0; Ta có: M ' 0, BBT M ' 0 + M() Suy ra M M min 10000, 0;, Vậy chi phí trung bình cho cuốn tạp chí thấp nhất khi (cuốn). chi phí cho mỗi cuốn khi đó là, van đồng 000 (đồng). * là: 9000 (vạn đồng) ) a) Tổng số tiền thu được khi bán cuốn tạp chí Số tiền lãi khi bán cuốn là: L 9000 T 0, , b) có lãi khi 0 L. Tức là: 0,9 0,71 0,9 0, 71 0,0001 1, ,0001 0, Vì lấy giá trị nguyên dương và ,85 và ,15 Nên L 0,0001 1, ; L đạt GTLN c) ét hàm số:, và tìm >0 để tại đó trên 0; Ta có: L' 0,000 1, BBT. X L () + 0 L() 7100

36 Suy ra L L ma ; Vậy muốn lãi nhiều nhất thì phải in 9000 cuốn khi đó tiền lãi thu được là: 7100 vạn đồng (đồng). Bài 8: Một hành lang giữa hai toàn nhà có hình dạng của hình lăng trụ đứng. Hai mặt bên ABB A và ACC A là hai tấm kính hình chữ nhật dài 0 m, rộng 5 m, Gọi (mét) là độ dài cạnh BC. a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo. b) Tìm sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. A' A 0 C' 5 B' a) V m ;0 10 b) Hình lăng trụ có thể tích lớn nhất khi 5 m và mav V 5 50m Bài 9: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài cạnh bằng 1 và cung AB là một phần tư đường tròn tâm A, bán kính AB chứ trong hình vuông. Tiếp tuyến tại điểm M của cung BD cắt đoạn thẳng CD tại điểm P và cắt đoạn thẳng BC tại điểm Q. Đặt DP và y PQ a) Chứng minh rằng PQ y y và PQ y. Từ đó tính y theo. b) Tính PQ theo và tìm để PQ có độ dài nhỏ nhất. 1 a) y ; b) PQ ;0 1 1 đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất khi 1 Bài 50: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đó từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc km / h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km / h. Xác định vị trí của điểm M để người đó đến kho nhanh nhất. Đặt BM ;0 7. Khi đó C B 0;10 AM 5, MC 7.

37 Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là T Hàm số T đạt GTNN tại điểm 5, 7km Bài 51: Một hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình cầu bán kính a. a a) Chứng minh rằng thể tích của hình chóp là: V a 5 7 (giờ), 0 7 6, trong đó là chiều cao ci=ủa hình chóp. b) Với giá trị nảo của, hình chóp có thể tích nhỏ nhất. a) Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo hình tròn tâm O, bán kính a nội tiếp tam giác SMN. Có thể tính thể tích hình chóp theo và SNH. Sau đó sử dụng đẳng thức a SO. Để tìm hệ thức giữa a, và. Ta có: HN cot ; MN cot a. thể tích hình chóp là: 1 V MN. SH cot Ta tính cot theo a và. Từ đẳng thức: a sin 1 cos SH OH SO a a ; cos a cos cot sin Từ đó suy ra công thức cần chứng minh. b) Cần chú ý V ác định khi >a. Bài 5: Một sợi dây kim loại dài a a. 60 cm được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông, đoạn thứ hai uốn thành hình tròn. Phải cắt sợi dây như thế nào để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất. 60 Độ dài cạnh hình vuông là cm. Đoạn dây được uốn thành hình vuông là 0 0,6cm. Bán kính đường tròn là r cm. 60 Đoạn dây dây được uốn thành vòng tròn có độ dài là: 6,cm 0 r 0 Ta có: r 60 ;0 r

38 Tổng diện tích hình vuông và hình tròn là S r 1 r 0 r 0 Dễ thấy S đạt GTNN tại điểm r Bài 5: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn bằng nhau, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,96m. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước mỗi ngăn là a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a,,b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể. A. a,6 cm; b 0,6 cm; c 0,6cm. B. a, cm; b 0,9 cm; c 0,6cm C. a 0,9 cm; b 1, cm; c 0,6cm D. a 1, cm; b 1, cm; c 0,9cm. c V abc 1,96 S ac bc ab ac bc ab ac bc ab Ta có: (1) 81 Theo đề bài V abc 1, 96 abc () 15 Bài toán trở thành tìm a, b, c để S min với ĐK () Từ (1) Ta có: abc abc abc S b a c b 15 a 15 c b a c 15 abc b a Dấu = ảy ra khi: b a c b c b b 81 b 81 Thay vào ():. b. b 1, Vậy a 0,9; c 0,6 Chọn C. Dạng : b a

39 Một số bài toán ứng dụng về chuyển động Bài 5: Một vật chuyển động có phương trình là S t t t s vị mét. a. Tính vận tốc của vặt chuyển động tại thời điểm t=(s) b. Tính gia tốc của vật chuyển động tại thời điểm t=6(s). Giải 0sin,, quãng đường tính theo đơn a) Ta có: vt S ' t 0 t. cos t 0cos t vậy: v S ' 0 cos m / s b) Ta có: at v' t 0 t sin t 0 sin t Vậy: a 6 v' 6 0 sin m / s Bài 55: S t 50 t, t s, độ cao tính theo đơn vị là mét. Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là a. Tính vận tốc của vật rơi tự do tại thời điểm t=6(s). 50 m / s. b. Sau thời gian bao lâu thì vật rơi tự do đạt vận tốc Giải. a. Ta có vt S ' t 10t. Vậy vận tốc thời điểm t 6s là: v6 S ' m / s b. Vậy để vận tốc của vật rơi do đạt 50 m / s thì: 50 10t t 5s Bài 56: Một vật chuyển động có vận tốc được biểu thị bởi công thức là vt t t t tính theo đơn vị là (m/s) a. Tính gia tốc của vật tại thời điểm t=(s). b. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc chuyển động của vật bằng 1 m/s. giải: a t v' t 10t 7. t s a) Ta có: Vậy gia tốc của vật tại thời điểm ' / a v m s b) Vật tại thời điểm vận tốc chuyển động của vật bằng 1 m/s: t 1 (t/ m) vt 1 5t 7t 1 t, (loai) Với t 1 s : a1 v' m / s 5 7, (s), trong đó v( t )

40 Bìa 57: (Đề KSCL THPT Việt Trì) Một chất điểm chuyển động theo quy luật S t 1 t t, t( s). Vận tốc vm / đạt giá trị lớn nhất khi t bằng bao nhiêu. A. t B. t C. t D. t 1 v t S ' t 6t t Ta có: v' t 6 6 t. v t t t ' BBT t 0 1 V t + 0 ' V(t) V ma s của chuyển động Vậy vận tốc của chuyển động đạt GTLN khi t=1. Chọn D. Bài 58: Hằng ngày mực nước của hồ thủy điện ở miền Trung lên và uống theo lượng nước mưa, và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8h sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên uống theo thời t gian t (giờ) trong ngày cho bởi công thức ht t 5t. Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi ả nước theo quy đinh trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi ả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới ả nước. A. 15h B. 16h C. 17h D. 18h Ta có: h' t 10t t t (loai) h' t 0 10t t 0 t 1 (t/ m) BBT t 0 1 h t + 0 ' ht h ma Vậy để mực nước lên cao nhất thì phải mất 1 giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày. Chọn A. Bài 59: (đề minh họa Quốc gia 017) Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động v t 5t 10, t( s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ chậm dần đều với vận tốc

41 lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét? A. 0,m B. m C. 10m D. 0m. Ta có: v0 10 m / s Gia tốc của ô tô chuyển động chậm dần đều: a v' t 5. Tại thời điểm ô tô dừng lại thì vận tốc bằng 0. v v0 as S S 10 m Ta có: t Vậy ô tô còn có thể đi được quãng đường là 10m. Chọn C. Lưu ý: Bài này còn có thể áp dụng tích phân để tìm quãng đường di chuyển của ô tô khi dừng lại. Bài 60: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng cách 00km (tới nơi sinh sản). Vận tốc dòng nước 6km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong thời gian t giờ cho bởi công thức E v cv t, trong đó c là hằng số; E tính bằng jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất là bao nhiêu? A. 9km/h B. 6km/h C. 10km/h D. 1km/h v 6 km / h, v 6 Vận tốc của con cá khi bơi ngược dòng: 00 Thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: t h v 6 Năng lượng tiêu thụ của con cá khi bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản: cv v E v cv cv. v 6 v 6 v 6 v 6 00cv v v E ' v v 9. v 6 v 6 v 6 BBT X 6 9 E ' 0 + E() E min Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng v 9 km / h. Chọn. A Nhận ét:

42 00. Và sẽ tìm được chọn v 6 v 6 km / h đó là Chọn sai hoàn toàn vì vận tốc v trong biểu thức E v cv t, v là vận tốc Đối với bài này có rất nhiều em tìm nhầm hàm E v cv 6 J thực của con cá khi di chuyển, còn t là thời gian con cá bơi từ nơi sinh sống đến nơi sinh sản ứng với vận tốc của con cá đã trừ đi vận tốc dòng nước. Bài 61: (trích từ Luận văn thạc sĩ Nguyễ Văn Bảo) Chi phí về nhiên liệu của một tàu được chia làm hai phần. Trong đó phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 80 ngàn đồng/giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v 10 km / h thì phần thứ hai bằng 0 ngàn đồng/giờ. Hãy ác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất? A. 10km/h B. 15km/h C. 0km/h D. 5km/h Gọi km / h là vận tốc của tàu. Thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là 1 (giờ). Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: 1.80 (ngàn đồng). Khi vận tốc v 10 km / h thì chi phí cho quãng đường 1 km ở phần thứ hai là: 1.0 (ngàn đồng). 10 km / h, gọi y (ngàn đồng) chi phí cho quãng đường 1 km tại vận tốc thì Xét tại vận tốc chi phí cho quãng đường 1 km tại vận tốc, ta có: Ta có: k k. Suy ra y Vậy tổng chi phí tiền nhiên liệu cho 1 km đường là: Bài toán trở thành tìm để CHọn C. Bài 6: P nhỏ nhất P ' P ' P ''( ) P ''(0) 0 Suy ra P đạt GTNN tại 0 Vậy vận tốc của tàu 0 km / h. y k P

43 1 Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động S gt, trong đó g 9,8 m / s và t tính bằng giây (s). Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s bằng: A. 9m/s B. 5m/s C. 10m/s D. 18m/s v S ' gt nên tại thời điểm t 5s. Vận tốc của vật là: v 9,8.5 9 m / s. CHọn A. Bài 6: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S t t t, trong đó t tính bằng giấy (s) và S tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm lúc t=s là: A. m / s B. 6 m / s C. 8 m / s D. 1 m / s a S '' 6 t 6 a 6. 6 m / s. nên tại thời điểm t=s thì gia tốc của chất điểm là: Chọn B. Bài 6: Cho chuyển động thẳng theo phương trình S t t 9t 7, trong đó t tính bằng giấy (s) và S tính bằng mét (m).gia tốc chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: A. 0 m / s B. 6 m / s C. m / s D. 1 m / s v S ' t 6t 9; a S '' 6t 6 t 1 Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu: t 6t 9 0 t loai t thì gia tốc của chuyển động là: a m / s Với 1. Chọn D. Bài 65: 1 Một chất điểm chuyển động theo quy luật S t t t 100, trong đó t tính bằng giấy (s). Chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất tại thời điểm: A. t 1 B. t 16 C. t 5 D. t t l S ' t t 0 t 1 Vậy chất điểm đạt GTNN tại t= 1s. Chọn A. Bài 66: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc at t t m / s đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc?. Hỏi quãng

44 A m B a t t t v' t at; S ' t v( t) Theo đề ta có: vận tốc ban đầu là 10 m / s m C. m D. m 1 vt t t 10 m / s 1 1 S t t t 10t m 1 Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là: 00 S 10 m. Chọn C. Bài 67: Một vật chuyển động với vận tốc vtm / s, có gia tốc v' t m / s. vận tốc ban đầu của t 1 vật là 6 m / s. Vận tốc của vật sau 10 giây là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị): A. 1m/s B. 1m/s C. 11m/s. D. 1m/s. v m / s. Chọn B Vận tốc của vật sau 10 giây là