Microsoft Word - da_toana_2011new.doc

Bản ghi

1 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I: x+, Khảo sá y= x. TXĐ: R-\, (x ) ( x+ ) x+ + x y ' = = = (x ) (x ) (x ) y ' < x Hàm số nghich biến rên mỗi khoảng xác định. *. Các iệm cận: y= + (x ) lim y= iệm cận ngang y= x ± lim y=+, lim y= iệm cận đứng : x= *. Bảng biến hiên: + x x x y + y + *. đồ hị (Hình dưới).

2 . x+ PT hoành độ giao điểm = x + m () x Với điều kiện x () x+ = x x+ m + = + x x mx x m + = x mx m * 3 ' m m m + > m = + + = + 4 do đó () luôn có nghiệm phân biệ m. Vậy y = x + m luôn cắ (C) ại điểm phân biệ A; B. -Hoành độ A, B là nghiệm của (), y ' = x Hệ số góc iếp uyến của (C) ại A;B là k = y' =, k = y' = ( A) ( ) ( B) ( ) xa xb Đặ x = ; A = xa ; B = xb ; Từ (*) heo Vie a có : m x A.x B = xa+ xb = m + = (x + x ) = m = (m+ ) A B A B. = 4x.x x + x + A B A B A B = m+ + m+ = + + k + = + = = A B A B A B k A B A. B A B 4 m+ = = 4( m+ ). Vậy GTLN của k + k là, dấu = xảy ra khi và chỉ khi m =. Câu II

3 . ĐK : x k π (k Z ). Phương rình sin x + sin x+ cosx = sin x sin x sinx cos x+ sin x cos x = sin xcosx π x= + kπ π cos x x= + kπ = cos x+ sinx= π π sin x + = x= + mπ 4 4. Tập xác đinh : R 3 5x y 4xy + 3y ( x+ y) = x,y R xy( x + y ) + = ( x+ y ) () x+ y= u Xé () đặ u 4v dấu = khi và chỉ khi x=y x.y= v v. u v + = u u v = v *Với v hì u = ( v+ ) ( 3) Thay vào () 3 5x y 4xy + 3y x y= x+ y = xy+ x + y = + + = x y 4xy 3y x y x y xy x y + 6y x y= x x y x y = x y xy = x= y xy= Với xy= (Loại so với rường hợp đang xé). x = y, hay vào (3): y= 3y = y + 9y = 4y + 5y = y= 5 5 ( k, m Z)

4 Từ đó (x ; y) = ; ; ; * v = xy =, ừ (3) x+ y = + = 4 Dấu = khi x = y Từ đó x= x= ; y= y= Vậy nghiệm của hệ là x x x x = = = = 5 5 ; ; ; y= y= y = y= 5 5 Câu III. π π π x sin x+ x+ cos x x cos x I= dx= dx+ dx= I + I x sin x+ cos x x sin x+ cos x π π I 4 = x = 4 Tính I, đặ = x sin x+ cos x d= sin x+ x cos x sinx= x cos x x= = π π x= = π + 4 π + 4 d π I = = ln = ln + 4 Vậy I = π π + ln Câu IV

5 a) Vì (SAB) (ABC);(SAC) (SBC) nên SA (ABC). Theo g AB BC SB BC AB 3 SBA= 6 SA= = a 3. Ta có MN // BC => N là rung điểm AC 3 3 3a S(BCNM) = S(ABC) =.a = a a 3 VS.BCNM = S (BCNM).SA =..a 3=. 3 3 SBA là góc giữa (SBC) và (ABC) b) Gọi K là rung điểm của BC, a có AB // NK AB // mp (SNK), do đó khoảng cách h giữa AB và SN chính bằng khoảng cách ừ B đến mp(snk). Tính được SN= a 5, NK= a,sk= a + cos N= = sin N= SN.NK 5 5 S(SNK) = SN.NK.sin N= a. VS.BNK = S (BNK).SA =. S (ABC).SA a 3 3VS.BNK a 3 =. a.a 3=. Từ đó h= = S Câu V Viế lại P dưới dạng Đặ SN NK SK 5 p= + + y z x x y z (SNK) y z x = a, = b; = c hì a có abc=. Vì x =max(x,y,z) nên bc x y z và bc Và biểu hức P rở hành P = a + b + c Trước hế a có hể chứng minh bấ đẳng hức phụ + + b + c + bc Bấ đẳng hức này ương đương với ( bc )( b c) đúng với bc

6 Từ đây, đặ bc = và a= ;. Bài oán đưa về việc ìm giá rị nhỏ nhấ của Xé f() f() 4 = Vậy f() ( )( ) ( + )( + ) 3+ + f () = = + = ( ) [ ] = ; f () =, suy ra Min f()= đạ ại = x = 4; y = ;z =. PHẦN RIÊNG A. Theo chương rình chuẩn Câu VI.a ) Đường ròn (C) có âm I (;),bán kính R = 5 Ta có SMIB = SMAIB = 5 do đó MB.IB = 5 MB= 5=> MI= 5 x+ y+ = Tọa độ M(x,y) là nghiệm của hệ (x ) + (y ) = 5 Giải hệ ìm được nghiệm (-3;) và (;-4) Vậy có hai điểm M hỏa mãn đk bài oán là: M (-3;) và M (;-4), Mặ phẳng rung rực của AB có phương rình r (Q): x + y z + = ; n Q = (;; ) Theo giả hiế,

7 r (P): x y z + 4 =, n P = (; ; ) r r r Gọi d là giao uyến của (P) và (Q), u d =[n Q, n P] = ( ; ; 3) x= nên d có phương rình y = + z = M d M(;+ ;3+ 3) Ta có MA = MB = 9 ( ) + (+ ) + (+ 3) = 9 = 4 + 6= 3 = Tìm điểm M (;;3) và M ; ; Câu VIIa Đặ z = a + bi với a,b R PT ( a bi) ( a b ) ( a bi) + = + + a b abi a b a bi + b + a b a+ = b= ;a = b a + = b( a+ ) = a = ;b=± = + + z = ;z = + i ;z = i Vậy 3 Câu 5. Viế lại P dưới dạng p= + + y z x x y z

8 Đặ y z x = a, = b; = c hì a có abc=. Vì x =max(x,y,z) nên x y z bc và bc Khi đó biểu hức P rở hành P = a + b + c Trước hế a có hể chứng minh bấ đẳng hức phụ + + b + c + bc Bấ đẳng hức này ương đương với ( bc )( b c) đúng với bc Từ đây, đặ bc = và a= ;. Bài oán đưa về việc ìm giá rị nhỏ nhấ của Xé f() f() 4 = Vậy f() ( )( ) ( + )( + ) 3+ + f () = = + = ( ) [ ] = ; f () =, suy ra Min f()= B. Theo chương rình nâng cao Câu VI.b đạ ại = x = 4; y = ;z =., Do (E) nhận Ox làm rục đối xứng ; A, B có hoành độ dương và OA= OB nên gọi a b A(a;b),B(a;-b), với a,b > và + = 4 SOAB = AB.OH =.b.a = ab BĐT Côsi a b a b = +. = ab S 4 4 S = max

9 a b = a= Tại a b + = b = 4 Vậy A ; ;b ; hoặc hoán vị, OA= = 4 Gọi B(x;y;z). Ta có OB= OA x + y + z = 3 () AB= OA + + = B (S) Trừ heo vế của (), (3) cho () 8x 8y+ 3= x+ y= 4 => 4x 4y 4z = 3 z = 4 Thay vào () (x 4) (y 4) z 3 () x + y + z 4x 4y 4z= ( 3) => x + y = 6 (x+ y) xy= 6 x= xy= y= Từ đó B (;4;4) hoặc B (4;;4) * uuur OA = (4; 4;) uuuur OB = (;4;4) uur uuur uuuur n = OA, OB = (6; 6;6) Cùng phương (;-;) PT : (OAB ) : x 4 y+ 4+ z= x y+ z= uuuur OB = (4;; 4) uur uuur uuuur n OA, OB = (6; 6; 6) cùng phương (;-;-) PT(OAB ) : x 4 y+ 4 z= x y z=.

10 Câu VII.b Đặ z= a+ bi(a,b R ) z= a bi a+ bi (+ i) + a bi+ i = i ( 3a 3b ) + (a+ b)i= a = 3a 3b= 3 a+ b= b = 3 Vậy z = a + b = 3