PHAN I

Kích thước: px
Bắt đầu hiển thị từ trang:

Download "PHAN I"

Bản ghi

1 TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT GIAÙO TRÌNH CÔ HOÏC ÑOAØN TROÏNG THÖÙ 00

2 Cô hoï - - MUÏC LUÏC MỤC LỤC... Phần I: TOÁN BỔ SUNG GIẢI TÍCH VECTOR...6 I. Hệ tọa độ Đề á (Desates)...6 II. Hệ tọa độ tụ...6 III. Hệ tọa độ ầu...7 IV. Cá phép tính veto...8 IV.. Phân tíh một vetoa á thành phần tự gao...8 IV.. Phép ộng veto...9 IV.3. Hệu ha veto...9 IV.4. Cộng nhều veto...0 IV.5.Tíh vô hướng...0 IV.6. Tíh veto... IV.7. V phân veto... V. Cá toán tử đặ bệt thường dùng tong vật lý... V.. Gadent... V.. Dvegene... V.3. Rotatonel (Cul)... Phần II: CƠ HỌC...4 Chương I:ĐỘNG HỌC...4. Khá nệm Chuyển động ơ họ Hệ qu hếu Không gan và thờ gan...5. Phương tình huyển động và Phương tình quỹ đạo Phương tình huyển động Phương tình quĩ đạo Vận tố Định nghĩa vận tố Bểu thứ ủa vận tố tong á hệ tọa độ...8 a) Tong hệ tọa độ Đềa :...8 b) Tong hệ tọa độ tụ...9 ) Tong hệ tọa độ ầu Vận tố gó và vận tố dện tíh...0 a) Vận tố gó...0 b) Vận tố dện tíh....4 Ga tố Độ ong và bán kính hính khú Ga tố tếp tuyến và ga tố pháp tuyến Cá dạng huyển động đơn gản Chuyển động thẳng Chuyển động bến đổ đều Chuyển động tòn...6

3 Cô hoï a) Vận tố gó...6 b) Ga tố gó...8 Chương II ĐỘNG LỰC HỌC...3. Định luật I Newton Lự và huyển động Định luật I Newton Hệ qu hếu tá đất...3. Nguyên lý tương đương Định luật II Newton Lự và ga tố : Khố lượng : Dạng khá quát định luật II Newton Định luật III Newton...38 Chương III CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN Khố tâm Định nghĩa Vận tố ủa khố tâm Phương tình huyển động ủa khố tâm Chuyển động ủa vật ắn Chuyển động tịnh tến Chuyển động quay Định luật bến thên và bảo toàn động lượng Khá nệm Định luật bảo toàn động lượng ủa một ơ hệ Xung lượng ủa ngoạ lự Chuyển động ủa vật ó khố lượng thay đổ Momen lự và momen động lượng Momen lự Momen động lượng...49 Chương IV TRƯỜNG LỰC THẾ TRƯỜNG HẤP DẪN Khá nệm và tính hất ủa tường lự thế Thế năng và ơ năng ủa tường lự thế Định luật bảo toàn ơ năng tong tường lự thế Sơ đồ thế năng Tường hấp dẫn : Định luật hấp dẫn vạn vật :...60 a) Sự thay đổ ga tố tọng tường theo độ ao :...6 b) Tính khố lượng ủa thên thể : Tường hấp dẫn...6 a) Bảo toàn moment động lượng tong tường hấp dẫn :...63 b) Thế năng hấp dẫn Chuyển động tong tường hấp dẫn...66

4 Cô hoï Chương V CƠ HỌC CHẤT LƯU Đạ ương về ơ họ hất lưu Tĩnh họ hất lưu Áp suất Công thứ ơ bản ủa tĩnh họ hất lưu Động họ hất lưu lý tưởng Định luật bảo toàn dòng Định luật Benoull Hện tượng nộ ma sát (nhớt) Hện tượng nộ ma sát và định luật newton Sự hảy ủa lưu hất tong một ống tụ...75 CHƯƠNG VI CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI Tính bất bến ủa vận tố ánh sáng Nguyên lý tương đố Nguyên lý về sự bất bến ủa vận tố ánh sáng Động họ tương đố tính phép bến đổ Loentz Sự mâu thuẫn ủa phép bến đổ Gallê vớ thuyết tương đố Ensten Phép bến đổ Loentz Cá hệ quả ủa phép bến đổ Loentz...83 a/ Khá nệm về tính đồng thờ và quan hệ nhân quả...83 b/ Sự o ngắn Loentz...84 / Định lý tổng hợp vận tố Động lự họ tương đố tính...87 a/ Phương tình ơ bản ủa huyển động hất đểm:...87 b/ Động lượng và năng lượng / Cá hệ quả Lự quán tính Không gan và thờ gan tong hệ quy hếu không quán tính Lự quán tính Lự quán tính tong hệ quy hếu huyển động thẳng ó ga tố Lự quán tính tong hệ quy hếu huyển động quay: Nguyên lý tương đương Tạng thá không tọng lượng Nguyên lý tương đương Lý thuyết tương đố ộng huyển động quay ủa Tá đất Ga tố tọng tường Lự Côôlt Con lắ Fuô...04 Chương VII DAO ĐỘNG VÀ SÓNG Dao động đều hòa Hện tượng tuần hoàn Dao động đều hoà Bểu thứ toán họ ủa dao động đều hòa :...08

5 Cô hoï Phương tình ủa dao động đều hòa Năng lượng ủa dao động đều hòa Ví dụ áp dụng Dao động ủa một quả nặng teo ở đầu một lò xo Con lắ vật lý Tổng hợp dao động Nguyên lý hồng hất Tổng hợp ha dao động ùng phương và ùng hu kỳ Tổng hợp ha dao động ó hu kỳ khá nhau hút ít Hện tượng pháh Tổng hợp ha dao động ó phương vuông gó Tổng hợp ha dao động ó phương vuông gó và ùng tần số Tổng hợp ha dao động vuông gó và ó tần số khá nhau...4 TÀI LIỆU THAM KHẢO...6

6 Cô hoï PHAÀN I: TOAÙN BOÅ SUNG GIAÛI TÍCH VECTOR I. Heä toïa ñoä Ñeà aù (Desates) x z Tong heä toïa ñoä Ñeà aù, ba tuï Ox, Oy, Oz vuoâng goù vôù nhau. k A Veto OA où theå beåu deãn : j y OA x + yj+ zk () O Hay OA xe x + ye y + ze z x, y, z : thaønh phaàn uûa veto teân ba tuï;, j, k : Caù veto ñôn vò. Vaäy où theå beåu deãn veto daïng (x,y,z). Theå tíh v phaân dv ñöôï tính : dv dx dy dz II. Heä toïa ñoä tuï z Tong heä toïa ñoä tuï, vò tí uûa ñeåm A baát kyø ñöôï xaù ñònh bôû ba toïa ñoä ρ, ϕ, z. ρ : hình heáu uûa teân maët phaúng xoy. A ϕ : goù göõa Ox vaø ρ. z z : hình heáu uûa teân tuï Oz. ρ x Vaäy, veto baùn kính uûa ñeåm où theå ñöôï veát döôù daïng : ρeρ + () ze z Beát ba toïa ñoä tuï uûa moät ñeåm ta où theå xaù ñònh ñöôï ba toïa ñoä Ñeà aù uûa ñeåm aáy baèng pheùp beán ñoå : OA Aρ eρ + Aϕeϕ + A z e z (3) x ρosϕ y ρsnϕ z z ds ρ dϕ dz y ρ x + y y hoaë ϕ atg x z z : deän tíh v phaân (4)

7 Cô hoï III. Heä toïa ñoä aàu dv ds. dρ ρ dϕdzdρ : Theå tíh v phaân. z θ O ϕ A y θ, ϕ. x Tong heä toïa ñoä aàu, vò tí uûa ñeåm A baát kyø ñöôï xaù ñònh baèng toïa ñoä, Tong ñoù : : ñoä daø uûa veto baùn kính θ : goù göõa Oz vaø ϕ : ñònh nghóa nhö tong heä toïa ñoä tuï. Caù veto ñôn vò tong heä toïa ñoä aàu laø :,e e θ vaø e. Tong ñoù : e : Veto ñôn vò doï theo tuï. e : Veto ñôn vò naèm tong maët phaúng knh tuyeán ñ qua A vaø θ vuoâng goù vôù e, où heàu theo heàu taêng uûa θ. : Veto ñôn vò ñöôï ñònh nghóa nhö tong heä toïa ñoä tuï. Vaäy, e ϕ veto baùn kính uûa ñeåm A où daïng : sau : e (5) Ta où söï leân heä göõa ba toïa ñoä aàu vôù ba toïa ñoä Ñeà aù uûa moät ñeåm nhö OA A e + A e A e θ θ + ϕ ϕ ϕ (6)

8 Cô hoï x snθ osϕ y snθ snϕ z osθ (7) ds snθ dϕdθ snθdθdϕ S π π 0 0 snθ dθ dϕ 4π dv snθdθdϕdz x + y + z z θ aos (8) x + y + z y ϕ atg x V π π sn θdθdϕd π Nhaän xeùt :. Tuøy theo tính haát uûa huyeån ñoäng, ta où theå hoïn heä toïa ñoä thíh hôïp ñeå moâ taû huyeån ñoäng. Thoâng thöôøng, neáu haát ñeåm huyeån ñoäng theo moät ñöôøng thaúng ta hoïn heä toïa ñoä Ñeà aù, neáu haát ñeåm huyeån ñoäng quanh moät tuï ta hoïn heä toïa ñoä tuï, oøn neáu haát ñeåm huyeån ñoäng quanh taâm ta hoïn heä toïa ñoä aàu.. Töôøng hôïp haát ñeåm huyeån ñoäng tong moät maët phaúng ta thöôøng xeùt tong maët phaúng z 0. Kh ñoù heä toïa ñoä Ñeà aù où toïa ñoä x vaø y, oøn aù heä toïa ñoä tuï vaø aàu suy beán thaønh heä toïa ñoä öï, töù heä où ha toïa ñoä laø vaø ϕ. 3. Caù heä toïa ñoä Ñeà aù, tuï vaø aàu ñeàu laø aù heä toïa ñoä töï gao. Caù veto ñôn vò doï theo aù tuï ñeàu vuoâng goù vôù nhau töøng ñoâ moät. IV. Caù pheùp tính veto IV.. Phaân tíh moät vetoa aù thaønh phaàn töï gao Thöôøng moät veto ñöôï xaù ñònh ñoá vôù moät heä toïa ño. Moät veto où theå ñöôï phaân tíh a aù thaønh phaàn theo aù beán soá khoâng gan uûa heä toïa ñoä töông thíh ñeå teän veä phaân gaû. Caù heä toïa ñoä thöôøng duøng laø heä toïa ñoä Ñeà aù, heä toïa ñoä tuï vaø heä toïa ñoä aàu. Moät veto A où theå veát daïng : A Au heàu tíh : 0 0 u goï laø veto ñôn vò tong heä toïa ñoä Ñeà aù Oxyz, u song song vaø uøng A vaø u. Caù veto ñôn vò, j, k höôùng doï theo 3 tuï Ox, Oy, Oz. Coù theå phaân

9 Cô hoï OA OA x + yj + zk x + y + z IV.. Pheùp oäng veto Ñeå xaù ñònh pheùp oäng veto, ta xeùt töôøng hôïp dòh huyeån nhö sau : C d d V V A B d V Neáu moät haát ñeåm ñ töø A ñeán B ñöôï beåu deãn bôû d vaø sau ñoù haát ñeåm ñ töø B C ñöôï beåu deãn bôû d. Vaäy où theå xem ñeåm ñaõ dòh huyeån moät khoaûng d ñeå ñ töø A C. Coù theå veát d d + d. Pheùp oäng veto où tính gao hoaùn : V V + V V + V Ta où : AC AD + DC Do vaäy : V AD AB + BD V + V osθ V (V + V osθ ) + (V snθ) V + V + V V osθ V + V + VV os θ (8) E V V θ C V snθ A V B V osθ D * Ñaë beät : V vaø V thaúng goù nhau θ π/ IV.3. Heäu ha veto Ta xem : Kh ñoù : V V + V

10 Cô hoï D V V V + ( V ) D V + V V os( π ) D V θ + (9) V + V V V osθ Pheùp töø veto khoâng où tính haát gao hoaùn. IV.4. Coäng nheàu veto Ta môû oäng ho töôøng hôïïp oäng ha veto V + V + V..., deã thaáy V 3 aèng duøng pheùp tònh teán ta laàn löôït saép xeáp sao ho muõ uûa veto naøy tuøng vôù ñeåm ñaàu uûa veto keá teáp, veto toång seõ laø ñoaïn thaúng noá leàn ñeåm ñaàu uûa veto ñaàu teân ñeán ñeåm muõ uûa veto uoá uøng. Ñoá vôù hình beân ta où : V V + V + V + 3 V4 V V 4 V 3 V V Xeùt veto toång tong maët phaúng xoy ta où : V (V x + Vy j) + (Vx + V y j) +... ( Vx + Vy +...) + (Vx + V y +...) j Vx + Vy j Tong ñoù : V x Vx + Vx +... Vx V osα V V α laø goù hôïp bôû y y + V y +... V vaø tuï Ox. V y V osα I, V snα laàn löôït laø thaønh phaàn uûa IV.5.Tíh voâ höôùng V sn α Tíh voâ höôùng uûa ha veto A vaø B kí heäu xaù ñònh laø moät soá voâ höôùng nhö sau : A.B A.B. osθ vôù θ laø goù hôïp bôû ( A, B ) V theo ha tuï Ox vaø Oy. A. B (0) (ñoï laø A haám B ) ñöôï Vôù ñònh nghóa teân huùng ta deã daøng suy a moät soá tính haát sau : Vôù

11 Cô hoï k B j B B B k A j A A A z y x z y x z y x A A A A.A A + + z z y y x x B A B A B A.B A + + Neáu A B thì 0.B A Tíh voâ höôùng où tính haát gao hoaùn : A B. A.B Tíh voâ höôùng où tính haát phaân phoá : ( ) C A. A.B B.C A. + Caù veto ñôn vò k, j, v où tính haát : 0 k. j.k j. k.k j j.. v v v IV.6. Tíh veto Cho ha veto vaø. Tíh veto A A B vaø B kí heäu A (ñoï nhaân B A B ) ñöôï xaù ñònh laø moät veto thaúng goù vôù maët phaúng höùa A vaø, où heàu tuaân theo qu taé vaën nuùt ha vaø où ñoä lôùn : B θ sn A.B. B A, θ : goù hôïp bôû ( A, B ) () Töø ñònh nghóa teân ta où aù tính haát sau : A B A B B A B ( ) C A B A C B A + + θ 0 k k j j A j ; k k j ; k j B A Cho ha veto : k B j B B B k A j A A A z y x z y x ( ) ( ) ( )k B A B A j B A B A B A B A B A x y y x x z z x y z z y + Hay z y x z y x B B B A A A k j B A IV.7. V phaân veto Cho haøm soá veto ) f(s, töù veto f phuï thuoä vaøo beán soá s.

12 Cô hoï - - df f ( s + ds) f(s) lm : ñaïo haøm veto f () ds s 0 s Ta où moät soá tính haát sau : d da db ( A ± B) ± ds ds ds d da db ( A.B).B +. A ds ds ds d da db ( A B) B + A ds ds ds d dφ da ( Φ A ) A + Φ (vôù φ voâ höôùng ) ds ds ds Ñaïo haøm eâng phaàn : Cho A ( x,y,z). V phaân uûa A theo moät beán soá goï laø ñaïo haøm eâng phaàn : A A( x + x,y,z) A( x,y,z ) lm (3) x x 0 x Tính haát : v phaân eâng phaàn où aù tính haát goáng v phaân veto noù teân. V. Caù toaùn töû ñaë beät thöôøng duøng tong vaät lyùù V.. Gadent Cho moät haøm voâ höôùng U(x, y, z), gadent uûa U ñöôï kí heäu laø gadu U, vôù : U U U U + j + k (4) x y z V.. Dvegene vôù : Cho haøm soá veto A ( x,y,z), dvegene uûa A kí heäu laø Dv A A, Tong ñoù A A x y A z A + + x y z A A + A j + A k (5) x y z V.3. Rotatonel (Cul) Cho haøm soá veto A ( x,y, z), Cul uûa A kí heäu laø Rot A A, vôù :

13 Cô hoï A x A x j y A y k z A z (6)

14 Cô hoï Khaù neäm PHAÀN II: CÔ HOÏC CHÖÔNG I:ÑOÄNG HOÏC Tong höông naøy, muï teâu laø ngheân öùu söï huyeån ñoäng uûa vaät theå döôù hình thöù ñoäng hoï haát ñeåm, huùng ta hæ gôù haïn veä moâ taû huyeån ñoäng maø höa ñeà aäp ñeán nguyeân nhaân gaây a huyeån ñoäng. Ta xeùt moät vaø khaù neäm ô baûn :..- Chuyeån ñoäng ô hoï Chuyeån ñoäng ô hoï laø söï thay ñoå vò tí uûa vaät naøy ñoá vôù vaät khaù hoaë uûa phaàn naøy ñoá vôù phaàn khaù uûa uøng moät vaät. Chuyeån ñoäng uûa moät vaät où tính haát töông ñoá, kh noù ñeán huyeån ñoäng uûa moät vaät naøo ñoù phaû xem noù huyeån ñoäng ñoá vôù vaät naøo. Kh ñoù huyeån ñoäng uûa vaät ñöôï xem laø söï thay ñoå toïa ñoä khoâng gan theo thôø gan so vôù vaät ñöôï qu öôù ñöùng yeân. Khaù neäm ñöùng yeân uõng hæ où tính haát töông ñoá, ho ñeán nay ngöôø ta höa tìm ñöôï vaät naøo ñöùng yeân tuyeät ñoá aû. Ngay maët tôø uõng huyeån ñoäng xung quanh taâm theân haø uûa huùng ta vaø theân haø naøy uõng huyeån ñoäng töông ñoá so vôù aù theân haø khaù tong vuõ tuï bao la... Heä qu heáu Chuyeån ñoäng ô hoï où tính haát töông ñoá, vaäy kh xeùt huyeån ñoäng uûa moät haát ñeåm aàn xaù ñònh oõ ñeåm aáy huyeån ñoäng so vôù nhöõng vaät naøo ñöôï xem laø ñöùng yeân. Heä vaät maø ta qu öôù laø ñöùng yeân vaø duøng laøm moá ñeå khaûo saùt, xaù ñònh vò tí uûa ñeåm huyeån ñoäng ñöôï goï laø heä qu heáu. Kh khaûo saùt huyeån ñoäng ta où theå hoïn heä qu heáu naøy hay heä qu heáu khaù. Caàn hoïn heä qu heáu thíh hôïp sao ho veä moâ taû vaø ngheân öùu tính haát huyeån ñoäng ñöôï ñôn gaûn nhaát. Ñeå moâ taû huyeån ñoäng tong phaïm v khoâng lôùn teân beà maët quaû ñaát, thöôøng ta hoïn heä quy heáu laø quaû ñaát hay moät heä vaät naøo ñoù khoâng huyeån ñoäng ñoá vôù taù ñaát. Ví duï, ñeå ngheân öùu huyeån ñoäng uûa moät quaû ñaïn phaùo, où theå hoïn heä qu heáu laø maët ñaát hay hính laø khaåu phaùo. Taù ñaát huyeån ñoäng hung quanh maët tôø, do vaäy tong moät soá töôøng hôïp kh ngheân öùu aù huyeån ñoäng tong thaù döông heä, taâm maët tôø ñöôï hoïn laø heä qu heáu. Ñaàu theá kyû 7, nhôø söû duïng heä qu heáu maët tôø (heä qu heáu Copen), Keple môù tìm ñöôï qu luaät ñuùng ñaén moâ taû huyeån ñoäng uûa uûa aù haønh tnh tong Thaù döông heä. Maë duø ñöôï moâ taû khaù nhau tong aù heä qu heáu khaù nhau, nhöng neáu beát huyeån ñoäng töông ñoá uûa aù heä qu heáu, où

15 Cô hoï theå töø aùh moâ taû huyeån ñoäng ñoá vôù heä qu heáu naøy suy a aùh moâ taû huyeån ñoäng ñoá vôù heä qu heáu khaù. Ví duï, beát huyeån ñoäng toøn uûa moät ñeåm teân vaønh xe ñaïp ñoá vôù xe ñaïp, beát huyeån ñoäng uûa xe ñaïp ñoá vôù maët ñöôøng, où theå xaù ñònh ñöôï huyeån ñoäng uûa moät ñeåm teân vaønh xe ñaïp ñoá vôù maët ñöôøng. Tong ô hoï, kh ngheân öùu huyeån ñoäng uûa vaät theå ñôn gaûn, nheàu luù où theå boû qua aûnh höôûng do kíh thöôù, hình daïng uûa vaät vaø löï aûn uûa moâ töôøng. Luù ñoù xem vaät nhö laø moät haát ñeåm. Tong thöï teá, tuøy töôøng hôïp uï theå maø ta où theå xem vaät laø haát ñeåm hoaë oá theå. Heä qu heáu huyeån ñoäng thaúng, ñeàu goï laø heä qu heáu quaùn tính...3 Khoâng gan vaø thôø gan Kh haát ñeåm huyeån ñoäng thì vò tí töông ñoá uûa noù seõ thay ñoå tong khoâng gan theo thôø gan. Thôø gan tong ô hoï oå ñeån ñöôï xem laø toâ ñeàu ñaën töø quaù khöù ñeán töông la, ñoàng nhaát vaø khoâng quan heä ñeán huyeån ñoäng uûa vaät haát. Khoâng gan uõng ñöôï xem laø toáng oãng, ñoàng nhaát, ñaúng höôùng, où 3 heàu vaø tuaân theo hình hoï Eudde, khoâng leân quan ñeán huyeån uûa vaät haát. Vaät lyù hoï heän ñaï hæ a aèng thôø gan vaø khoâng gan laø ha phaïm tuø vaät haát leân quan nhau vaø hòu aûnh höôûng bôû huyeån ñoäng uûa vaät haát. Tuy nheân, kh ngheân öùu huyeån ñoäng uûa nhöõng vaät vó moâ vôù vaän toá aát beù so vôù vaän toá aùnh saùng, aù quan neäm uûa ô hoï oå ñeån ñöôï xem laø gaàn ñuùng vaø où theå söû duïng ñeå moâ taû huyeån ñoäng. Luù ñoù où theå xem aù ñoä daø vaø khoaûng thôø gan laø nhö nhau tong moï pheùp ño.. Phöông tình huyeån ñoäng vaø Phöông tình quyõ ñaïo.. Phöông tình huyeån ñoäng Tong huyeån ñoäng ô hoï, vò tí uûa moät haát ñeåm seõ ñöôï xaù ñònh hoaøn toaøn neáu ta beát 3 gaù tò veà soá ño uûa toïa ñoä. Vaäy ñeå xaù ñònh huyeån ñoäng uûa moät haát ñeåm, ta aàn beát vò tí uûa ñeåm aáy taï nhöõng thôø ñeåm khaù nhau, töù aàn beát veto baùn kính uûa haát ñeåm laø haøm uûa thôø gan : (t) (.) Phöông tình teân beåu deãn vò tí uûa haát ñeåm theo thôø gan vaø goï laø phöông tình huyeån ñoäng uûa haát ñeåm. Vaäy, tong heä toïa ñoä Ñeàa ta où : x x(t) ; y y(t) ; z z(t) (.) Töông töï tong heä toïa ñoä tuï ta où : ρ ρ(t) ; ϕ ϕ(t) ; z z(t) (.3) Tong heä toïa ñoä aàu ta où : (t) ; θ θ(t) ; ϕ ϕ(t) (.4)

16 Cô hoï ÔÛ moã thôø ñeåm t, haát ñeåm où moät vò tí xaù ñònh vaø kh t beán theân thì haát ñeåm huyeån ñoäng moät aùh leân tuï, vaäy haøm (t) laø nhöõng haøm xaù ñònh, ñôn tò vaø leân tuï uûa t.... Phöông tình quó ñaïo Kh huyeån ñoäng vò tí uûa haát ñeåm luoân luoân thay ñoå, vaïh thaønh moät ñöôøng leân tuï tong khoâng gan, ñoù laø quó ñaïo uûa haát ñeåm huyeån ñoäng. Hay où theå xem quó ñaïo uûa haát ñeåm huyeån ñoäng laø ñöôøng taïo bôû taäp hôïp taát aû aù vò tí uûa noù tong khoâng gan tong suoát quaù tình huyeån ñoäng. Beát heä phöông tình huyeån ñoäng où theå suy a ñöôï phöông tình quó ñaïo baèng aùh khöû t khoû aù phöông tình ñoù. Chaúng haïn, tong heä toïa ñoä Ñeàa, khöû t khoû heä phöông tình (.) ta ñöôï : f (x,y) 0 ; f (y,z) 0 f (x,y) 0 laø phöông tình ñöôøng ong C naøo ñoù tong maët phaúng (xoy), f (y,z) 0 laø phöông tình ñöôøng ong C naøo ñoù tong maët phaúng (yoz). Vaäy heä phöông tình moâ taû quó ñaïo huyeån ñoäng uûa haát ñeåm goàm ha phöông tình voâ höôùng ñoä laäp, moã phöông tình moâ taû moät maët ong tong khoâng gan. Quó ñaïo uûa haát ñeåm hính laø ñöôøng aét uûa ha maët ong ñoù. Tong aù heä toïa ñoä khaù nhau, aù phöông tình quó ñaïo noù hung où daïng khaù nhau, nhöng huùng uøng moâ taû moät quó ñaïo xaù ñònh. Quó ñaïo laø moät tong nhöõng ñaë töng ô baûn uûa huyeån ñoäng. Tuy nheân, teân uøng moät quó ñaïo, haát ñeåm où theå huyeån ñoäng theo nhöõng qu luaät khaù nhau. Vì vaäy, ngoaø phöông tình quó ñaïo huùng ta aàn phaû beát qu luaät huyeån ñoäng uûa haát ñeåm teân quó ñaïo ñoù..3 Vaän toá.3. Ñònh nghóa vaän toá Ngoaø vò tí, huyeån ñoäng uûa haát ñeåm oøn ñöôï ñaë töng baèng vaän toá uûa noù. Ñeå ñaë töng ho aû phöông, heàu vaø ñoä nhanh haäm uûa huyeån ñoäng haát ñeåm, ngöôø ta ñöa vaøo moät veto goï laø veto vaän toá. Tong huyeån ñoäng thaúng ñeàu vaän toá ñöôï xaù ñònh baèng tæ soá göõa quaõng ñöôøng dòh huyeån uûa haát ñeåm vaø khoaûng thôø gan maø haát ñeåm dòh huyeån heát quaõng ñöôøng ñoù. Tong huyeån ñoäng thaúng khoâng ñeàu, vaät huyeån ñoäng luù nhanh luù haäm vaø ôû moã thôø ñeåm huyeån ñoäng ñöôï ñaë töng baèng moät vaän toá khaù nhau. *- Xeùt huyeån ñoäng uûa moät haát ñeåm teân ñöôøng ong :

17 Cô hoï Ta hoïn moät ñeåm O teân ñöôøng laøm goá vaø hoïn heàu döông laø heàu huyeån ñoäng uûa haát ñeåm. Gaû söû ôû thôø ñeåm t, haát ñeåm ôû vò tí M xaù ñònh bôû hoaønh ñoä ong s(t), ôû thôø ñeåm t + t haát ñeåm ôû vò tí M töông öùng vôù s + s. Vaäy tong khoaûng t haát ñeåm dòh huyeån ñöôï moät quaõng ñöôøng s. Quaõng ñöôøng tung bình haát ñeåm dòh huyeån ñöôï tong moät ñôn vò thôø gan ñöôï ñònh nghóa laø vaän toá tung bình uûa haát ñeåm tong khoaûng t : s v t Xeùt töôøng hôïp haït hæ dòh huyeån theo phöông Ox. Neáu tong khoaûng thôø gan voâ uøng beù haït dòh huyeån ñöôï moät ñoaïn ñöôøng voâ uøng beù dx thì tong khoaûng thôø gan aáy huyeån ñoäng où theå xem laø ñeàu vaø où theå xem vaän toá taï thôø ñeåm t laø : x dx t v lm 0 t Vaäy vaän toá baèng ñaïo haøm uûa toïa ñoä theo thôø gan vaø noù hung laø haøm uûa thôø gan v v(t). Beát beåu thöù vaän toá, où theå xaù ñònh ñöôï quaõng ñöôøng ñ uûa haït tong khoaûng thôø gan ho töôù. Neáu hoïn goá toïa ñoä taï x 0 laø vò tí uûa haït ôû thôø ñeåm t0 thì vò tí uûa haït ôû thôø ñeåm t ñöôï xaù ñònh nhö sau : dx v x(t) t 0 v(t) Tong töôøng hôïp toång quaùt, kh huyeån ñoäng khoâng ñeàu vaø où phöông thay ñoå thì vaän toá uûa haït ñöôï ñònh nghóa laø moät veto, baèng tæ soá uûa veto ñoä dôø d s ha ho khoaûng thôø gan voâ uøng beù ñeå haït ñ ñöôï ñoä dôø aáy. Goï veto v laø veto vaän toá, ta où : s ds v lm t 0 t Neáu hoïn taï thôø ñeåm t 0 haát ñeåm ôû goá 0 (s 0), thì vò tí uûa haát ñeåm ôû thôø ñeåm t ñöôï xaù ñònh : t s v(t) 0 Xeùt aû phöông, heàu ta où : ds v Cheàu uûa veto v tuøng vôù veto ñoä dôø d s, töù ôû moã thôø ñeåm, vaän toá höôùng theo phöông teáp tuyeán vôù quó ñaïo vaø theo heàu huyeån ñoäng uûa haït.

18 Cô hoï M τ d s M v (t) + d v( t + t ) O Hình. Veto vaän toá taï moät vò tí M laø moät veto v où phöông naèm teân teáp tuyeán vôù quó ñaïo taï M, où heàu theo heàu huyeån ñoäng vaø où gaù tò baèng tò tuyeät ñoá uûa v. Goï τ laø veto ñôn vò, teáp tuyeán vôù quó ñaïo taï ñeåm M vaø höôùng theo heàu huyeån ñoäng uûa haát ñeåm, thì : ds v v τ (.5) Vaäy veto vaän toá laø tæ soá göõa veto dòh huyeån voâ uøng beù d s uûa haát ñeåm vôù khoaûng thôø gan voâ uøng beù ñeå haát ñeåm ñ ñöôï ñoä dôø ds. Baây gôø laáy ha vò tí voâ uøng gaàn nhau uûa haït, öùng vôù aù veto baùn kính vaø +. Roõ aøng laø v phaân uûa veto baùn kính d baèng ñoä dôø voâ uøng beù d d s uûa haït : d ds Vaäy où theå veát beåu thöù vaän toá : d v Vaäy, vaän toá uûa haát ñeåm taï moät ñeåm naøo ñoù baèng ñaïo haøm baä nhaát theo thôø gan uûa veto baùn kính taï ñeåm ñoù. Thöù nguyeân uûa vaän toá laø LT vaø ñôn vò laø (m/s)..3. Beåu thöù uûa vaän toá tong aù heä toïa ñoä a) Tong heä toïa ñoä Ñeàa : Ñoä dòh huyeån v phaân uûa haát ñeåm : ds dxe + dye + dze x y z

19 Cô hoï e x ey j ez k Theo (.5 ) ta où : ds dx dy dz v ex + ey + ez (.6) Goï v x, v y, v z laø thaønh phaàn uûa v teân aù tuï toïa ñoä : v v e + v e + v e x x y y z dx vx x& dy vy y& Vaäy : dz vz z& Chaát ñeåm huyeån ñoäng baát kì tong khoâng gan où theå xem ñoàng thôø tham ga ba huyeån ñoäng thaúng teân ba tuï toïa ñoä Ñeàa vôù aù vaän toá töông öùng v x, v y, v z. Ñoä lôùn veto vaän toá : v v + v + v x y z z (.7) v ho beát haát ñeåm huyeån ñoäng nhanh hay haäm, oøn heàu uûa noù xaù ñònh heàu huyeån ñoäng uûa haát ñeåm teân quó ñaïo. v v x y vz os( Ox, v), os(oy,v), os(oz,v) (.8) v v v b) Tong heä toïa ñoä tuï ds dρeρ +ρdϕeϕ + dze z dρ dϕ dz v eρ + ρ eϕ + e z (.9) Caù thaønh phaàn uûa veto vaän toá tong heä toïa ñoä tuï : dρ v ρ ρ& v ϕ dϕ ρϕ&

20 Cô hoï dz v z z& Döïa teân tính haát töï gao uûa heä toïa ñoä tuï, ta deã daøng suy a gaù tò uûa veto vaän toá : v vx + vy + vz ρ& +ρ ϕ& + z& (.0) ) Tong heä toïa ñoä aàu ds d e + dθ e + sn θ dϕ e v d e + dθ e θ θ + θ dϕ e ϕ ϕ sn (.) toá : Caù thaønh phaàn uûa veto vaän toá tong heä toïa ñoä aàu : d v & v v θ ϕ dθ θ& dϕ snθ snθ ϕ& Döïa teân tính töï gao uûa heä toïa ñoä aàu, suy a ñöôï gaù tò uûa veto vaän v v + vθ + vϕ & & + θ + sn θϕ (.).3.3 Vaän toá goù vaø vaän toá deän tíh a) Vaän toá goù Tong phaàn teân huùng ta ñaõ ñöa vaøo aù ñaï löôïng ñaë töng ho söï thay ñoå nhanh hay haäm uûa toïa ñoä goù theo thôø gan laø θ vaø ϕ, aù ñaï löôïng naøy ñöôï goï laø vaän toá goù. Ñeå xaù ñònh ñöôï heàu uûa vaän toá goù, ta qu öôù nhö sau : Neáu veto baùn kính quay moät goù θ theo heàu vaën ñnh oá thuaän thì ñnh oá teán theo heàu uûa veto vaän toá goù ta où : ω. Goï n laø veto ñôn vò doï theo ω,

21 Cô hoï - - dθ ω n θ& n (.3) v + d O ω θ Hình. Luù ñoù veto vaän toá goù ω, veto baùn kính vaø veto vaän toá v uûa haát ñeåm huyeån ñoäng taïo thaønh moät tam deän thuaän, ta où heä thöù : v ω (.4) b) Vaän toá deän tíh Vaän toá deän tíh laø moät ñaï löôïng où gaù tò baèng deän tíh maø baùn kính veto queùt ñöôï tong moät ñôn vò thôø gan vaø où heàu uøng heàu vôù vaän toá goù : ds v s n (.5) Töø hình (.) ta où : ds ( + d ) sn( θ) Boû qua aù soá haïng voâ uøng beù baä ha ta ñöôï : ds dθ Vaäy : v s dθ n θ& n v s ω Coâng thöù teân où theå veát döôù daïng : v s Keát hôïp aù oâng thöù ta où : [ ω ]

22 Cô hoï Ga toá v s [ v] (.6).4. Ñoä ong vaø baùn kính hính khuù Xeùt haát ñeåm huyeån ñoäng teân ñöôøng ong C. Gaû söû ôû thôø ñeåm t haát ñeåm ôû P. Sau ñoù, ôû thôø ñeåm t t + t haát ñeåm ôû P. Xem P P P s τ v laø moät ung beù baát kì uûa C. Qua C P P, P vaø moät ñeåm baát kyø P teân ung τ v R ϕ ñoù ta veõ moät voøng toøn thì ung P P où theå xem gaàn ñuùng laø moät ung uûa voøng toøn aáy vaø aøng ñuùng neáu P vaø P aøng gaàn nhau, töù kh P P aøng beù. Qua hình Hình.3 veõ ta thaáy vôù uøng ñoä daø s, goù ϕ seõ lôùn kh ñoaïn s aøng ong. Ngöôø ta ñònh nghóa ñoä ong tung bình K nhö sau : ϕ K (.7) s Kh P teán ñeán P thì K ñaït ñeán gaù tò gôù haïn goï laø ñoä ong uûa quó ñaïo. ϕ dϕ K lm s 0 s ds Luù ñoù voøng toøn teân ñeán moät vò tí gôù haïn goï laø ñöôøng toøn maät teáp vôù ñöôøng ong taï P. Goï R laø baùn kính uûa ñöôøng toøn maät teáp aáy thì : Vaäy : ds R dϕ dϕ K R ds (.8) Ñoä ong uûa quó ñaïo taï moät ñeåm ñöôï xaù ñònh bôû nghòh ñaûo uûa baùn kính voøng toøn maät teáp taï ñeåm aáy. Maët phaúng höùa ñöôøng toøn maät teáp vôù ñöôøng ong goï laø maët phaúng maät teáp vôù ñöôøng ong taï ñeåm töông öùng. Phaùp tuyeán vôù ñöôøng ong taï ñeåm aáy vaø naèm tong maët phaúng maät teáp ñöôï goï laø phaùp tuyeán hính vaø baùn kính uûa ñöôøng toøn maät teáp töông öùng goï laø baùn kính hính khuù taï ñeåm ñaõ ho.

23 Cô hoï Ga toá teáp tuyeán vaø ga toá phaùp tuyeán Noù hung, vaän toá uûa moät haït luoân luoân beán ñoå aû veà ñoä lôùn laãn phöông heàu. Ñaï löôïng ñaë töng ho söï beán theân uûa vaän toá theo thôø gan goï laø ga toá vaø ñöôï xaù ñònh baèng ñaïo haøm uûa vaän toá theo thôø gan. dv a (.9 ) Vaäy ga toá uûa haït baèng ñoä beán theân uûa vaän toá tong moät ñôn vò thôø gan. ds Ta où : v Neáu goï τ laø veto ñôn vò doï theo phöông teáp tuyeán uûa quó ñaïo huyeån ds ñoäng thì : v τ v τ (.0) Thay (.0) vaøo (.9) ta où : dv dτ a τ + v (.) Tong ñoù Ta où : dτ dτ dϕ ds dϕ ds ds dϕ v laø vaän toá uûa haït, ds R quó ñaïo taï ñeåm ñang xeùt. Vaäy : dτ v R dτ dϕ Ta xaù ñònh phöông, heàu vaø ñoä lôùn uûa (.) vôù R laø baùn kính hính khuù uûa (.3) dτ. Goï τ τ dϕ d τ τ( s+ ds) τ( s) τ τ vaø teáp tuyeán ñôn vò ôû aát gaàn nhau, ta où τ laï gaàn τ sao ho huùng où hung moät goá. Vì dτ laø veto voâ uøng beù vaø τ τ τ neân ta où : τ d τ dϕ τ Hình.4 dτ dϕ (.4) laø ha veto. Ta tònh teán

24 Cô hoï Maët khaù vì bình phöông veto τ τ ( τ) neân : d( τ) τ dτ 0 (.5) Heä thöù teân höùng toû veto d τ vuoâng goù vôù τ. Neáu goï n laø veto ñôn vò vuoâng goù vôù teáp tuyeán vaø höôùng vaøo taâm uûa ñöôøng toøn maät teáp doï theo baùn kính hính khuù uûa quó ñaïo, ta où theå veát : dτ n dϕ Keát hôïp oâng thöù teân vôù (.) vaø (.3) ta ñöôï : (.6) dv v a τ + n (.7) R Tong oâng thöù teân thaønh phaàn : dv a τ τ (.8) höôùng theo teáp tuyeán goï laø ga toá teáp tuyeán, oøn thaønh phaàn : v an n (.9) R höôùng veà taâm hính khuù uûa ñöôøng ong vaø vuoâng goù vôù phöông uûa veto vaän toá, goï laø ga toá phaùp tuyeán. Vaäy ga toá a ñöôï phaân tíh thaønh ha thaønh phaàn : a a τ + (.30) a a n Ga toá teáp tuyeán τ où theå aâm hoaë döông tuøy thuoä vaøo höôùng uûa veto ga toá. Neáu v onst thì ga toá teáp tuyeán baèng khoâng vaø ta où huyeån ñoäng ñeàu. Neáu v taêng daàn theo thôø gan thì ga toá teáp tuyeán lôùn hôn 0 vaø a τ uøng höôùng veto vaän toá. Neáu v gaûm daàn theo thôø gan thì ga toá teáp tuyeán aâm vaø höôùng ngöôï heàu veto vaän toá, huyeån ñoäng uûa haát ñeåm tong töôøng hôïp naøy laø huyeån ñoäng haäm daàn. Vaäy, ga toá teáp tuyeán ñaë töng ho söï thay ñoå veà ñoä lôùn uûa veto vaän toá. Ga toá phaùp tuyeán a n bao gôø uõng höôùng veà phía loõm uûa quó ñaïo, veà phía taâm uûa voøng toøn maät teáp taï ñeåm ñang xeùt. Ga toá phaùp tuyeán ñaë töng ho söï thay ñoå veà phöông uûa veto vaän toá. Tong töôøng hôïp eâng laø huyeån ñoäng thaúng, baùn kính hính khuù R, vaäy a n 0 vaø veto ga toá hæ oøn moät thaønh phaàn laø a τ vaø höôùng doï theo phöông uûa huyeån ñoäng thaúng. Kh haït huyeån ñoäng toøn ñeàu, ñoä lôùn uûa vaän toá khoâng ñoå, ga toá teáp tuyeán baèng khoâng, ga toá phaùp tuyeán seõ où ñoä lôùn khoâng ñoå, tyû leä nghòh vôù R vaø luoân luoân höôùng vaøo taâm ñöôøng toøn. Vì vaäy ga toá phaùp tuyeán tong huyeån ñoäng toøn oøn goï laø ga toá höôùng taâm.

25 Cô hoï Caù daïng huyeån ñoäng ñôn gaûn.5. Chuyeån ñoäng thaúng Quó ñaïo uûa haït laø moät ñöôøng thaúng, vaäy phöông uûa khoâng thay ñoå vaø a n luoân baèng khoâng. Ta où : dv a n 0 ; aτ a Kh a > 0 haát ñeåm huyeån ñoäng thaúng nhanh daàn, kh a < 0 haát ñeåm huyeån ñoäng haäm daàn vaø kh a a o onst haát ñeåm huyeån ñoäng thaúng beán ñoå ñeàu. Töôøng hôïp huyeån ñoäng thaúng beán ñoå ñeàu, ta où : v dv a at + C s ds v ( at + C) at + Ct + C Tong ñoù C vaø C laø nhöõng haèng soá tíh phaân ñöôï xaù ñònh töø ñeàu keän ñaàu. Gaû söû kh t 0 thì v v o C, s s o C. Vaäy : v v o + at (.3) s so + at + vot (.3) Khöû t ta où heä thöù : v vo a( s s o ) Neáu hoïn goá toïa ñoä luù t 0 où s s o 0 thì : v vo as Kh a 0, haát ñeåm huyeån ñoäng thaúng ñeàu..5. Chuyeån ñoäng beán ñoå ñeàu v (.33) (.34) Tong huyeån ñoäng beán ñoå ñeàu, ga toá teáp tuyeán a τ luoân luoân où gaù tò khoâng thay ñoå : dv a ao onst τ (.35) Chuyeån ñoäng beán ñoå ñeàu où theå laø huyeån ñoäng thaúng hay huyeån ñoäng ong baát kyø, töù a n où theå baèng khoâng hoaët khaù khoâng. Kh a τ > 0 haát ñeåm huyeån ñoäng nhanh daàn ñeàu. Kh a τ < 0 haát ñeåm huyeån ñoäng haäm daàn ñeàu. Caù phöông tình huyeån ñoäng beán ñoå ñeàu uûa haát ñeåm où daïng :

26 Cô hoï v dv a a t + τ τ C s ds v(t) ( aτ t + C) aτ t + Ct + C Gaû söû ôû thôø ñeåm t 0 haát ñeåm ôû vò tí s 0 vaø où vaän toá v 0. Kh ñoù ta où C v 0, C s 0. Vaän toá uûa haát ñeåm huyeån ñoäng beán ñoå ñeàu ôû thôø ñeåm t : v v 0 + a τ t (.36) Phöông tình huyeån ñoäng beán ñoå ñeàu uûa haát ñeåm où daïng s s0 + aτ t + v0t (.37) Töø ñoù ta suy a : v v0 aτ (s s0) Neáu hoïn goá toïa ñoä luù t 0 où s s 0 0 thì : v v 0 a Kh a τ a 0 onst, ñoå ñeàu. Kh a τ 0 thì haát ñeåm huyeån ñoäng toøn ñeàu..5.3 Chuyeån ñoäng toøn τ a s n v R (.38) (.39) vôù R onst thì ta où huyeån ñoäng toøn beán Xeùt moät haát ñeåm huyeån ñoäng teân moät ñöôøng toøn taâm O où baùn kính R. Vò tí uûa haát ñeåm M teân ñöôøng toøn ñöôï xaù ñònh bôû baùn kính veto R OM. Ngöôø ta thöôøng duøng aù ñaï löôïng vaän toá goù vaø ga toá goù ñeå ñaë töng ho huyeån ñoäng aáy. a) Vaän toá goù Chuyeån ñoäng uûa haát ñeåm M teân ñöôøng toøn ñöôï khaûo saùt nhö huyeån ñoäng quay uûa baùn kính veto R xung quanh tuï vuoâng goù vôù maët phaúng höùa ñöôøng toøn vaø qua taâm O. Tong khoaûng ' t t t gaû söû haát ñeåm ñ ñöôï Hình.5 ' quaõng ñöôøng s MM öùng vôù goù quay MOM ϕ. Theo ñònh nghóa ñaï ϕ löôïng goï laø vaän toá goù tung bình tong khoaûng t : t ' R O M ϕ M

27 Cô hoï ϕ ω (.40) t Gaù tò uûa ω beåu thò goù quay tung bình tong ñôn vò thôø gan. Neáu ho t 0 thì vaän toá goù uûa haát ñeåm taï thôø ñeåm t laø : ϕ dϕ ω lm t 0 (.4) t Vaäy, vaän toá goù où gaù tò baèng ñaïo haøm baä nhaát theo thôø gan uûa goù quay. Ñôn vò ño uûa ω laø ad/s. Noù hung ω ω (t) Ñoá vôù huyeån ñoäng toøn ñeàu thì ω onst, ngöôø ta ñònh nghóa hu kyø laø thôø gan haát ñeåm ñ ñöôï moät voøng : π π T hay ω (.4) ω T Taàn soá laø soá hu kì tong moät ñôn vò thôø gan : ω γ ω πγ T π Chuyeån ñoäng quay ñöôï ñaë töng baèng tuï quay, heàu quay vaø ñoä lôùn uûa vaän toá goù. Qu öôù : Neáu baùn kính vevto R vaø v quay theo heàu vaën ñnh oá thuaän dϕ thì ñnh oá teán theo heàu ω. R Gaû söû haát ñeåm dòh huyeån ñöôï M ung ds tong khoaûng, ta où : Hình.6 ds R dϕ ω (.43) v ds dϕ v R R ω (.44) Vaäy, töø ñònh nghóa tíh höõu höôùng uûa ha veto, ta où : dr v ω R (.45) a ( R ) v ω ω (.46) R R n R.

28 Cô hoï ω R v O Hình.7 Kh goá O uûa veto R töôït teân tuï quay ta vaãn où : d v ω (.47) b) Ga toá goù Ñeå ñaë töng ho söï thay ñoå uûa veto vaän toá goù, ngöôø ta ñöa vaøo khaù ' neäm ga toá goù. Gaû theát tong khoaûng thôø gan t t t vaän toá goù uûa ' ω huyeån ñoäng toøn beán theân moät löôïng ω ω ω. Theo ñònh nghóa goï t laø ga toá goù tung bình tong khoaûng thôø gan t vaø kí heäu : ω β (.48) t Neáu ho t 0 thì ga toá goù uûa haát ñeåm taï thôø ñeåm t laø : ω dω d ϕ β lm t 0 (.49) t Vaäy, ga toá goù où gaù tò baèng ñaïo haøm uûa vaän toá goù ñoá vôù thôø gan vaø baèng ñaïo haøm baä ha uûa goù quay ñoá vôù thôø gan. Ñôn vò uûa ga toá goù laø ad/s. Kh β > 0, ω taêng, huyeån ñoäng toøn nhanh daàn. β < 0, ω gaûm, huyeån ñoäng toøn haäm daàn β 0, ω Const, huyeån ñoäng toøn ñeàu. Töôøng hôïp β Const, ta où huyeån ñoäng toøn beán ñoå ñeàu. Ta où theå höùng mnh ñöôï aù heä thöù : ω βt + ω 0 (.50) ϕ βt + ω0 t + ϕ0 (.5)

29 Cô hoï ( ) ω ω0 β ϕ ϕ0 (.5) Neáu ta hoïn goá toïa ñoä kh t 0 où ϕ 0 0 thì : ω ω β 0 ϕ (.53 ) Thöôøng ngöôø ta beåu deãn ga toá goù baèng moät veto goï laø veto ga toá goù. Veto naøy où tính haát : - Naèm teân tuï uûa quó ñaïo toøn. - Cuøng heàu vôù ω kh β > 0 (nhanh daàn) vaø ngöôï heàu vôù ω kh β< 0 (haäm daàn). - où gaù tò baèng β. Vaäy où theå veát heä thöù veto sau : β dω (.54) Vaäy ga toá goù baèng ñaïo haøm baä nhaát theo thôø gan uûa veto vaän toá goù, xaù ñònh beán theân vaän toá goù. Laáy ñaïo haøm theo thôø gan ta où : a dv d d [ ] ω dr ω R R ω dω ; + dr Ta où : β v [ ω R] Ta où theå veát : a n Tong ñoù : a [ β R], a β. R a n τ (.55) a a τ + (.56) τ [ ω v] [ ω [ ω R ], a Rω n (.57) (.58)

30 Cô hoï ω β R a τ ω a τ β ω taêng ω gaûm Hình.8 Thaønh phaàn a où phöông uûa v goï laø ga toá quay, thöï haát laø ga toá τ teáp tuyeán tong huyeån ñoäng toøn uûa haát ñeåm teân ñöôøng toøn taâm O. Thaønh phaàn a höôùng vaøo tuï quay, thöï haát laø ga toá höôùng taâm tong n huyeån ñoäng toøn uûa haát ñeåm teân ñöôøng toøn taâm O, oøn goï laø ga toá höôùng taâm. R

31 Cô hoï CHÖÔNG II: ÑOÄNG LÖÏC HOÏC Tong höông töôù, huùng ñaõ ngheân öùu phöông phaùp moâ taû huyeån ñoäng uûa haát ñeåm maø khoâng xeùt ñeán nguyeân nhaân gaây neân huyeån ñoäng. Ñoäng löï hoï haát ñeåm ngheân öùu ñeán taù nhaân laøm thay ñoå huyeån ñoäng vaø aù qu luaät h phoá huyeån ñoäng. Quan saùt vaø ngheân öùu huyeån ñoäng aù vaät theå ta thaáy aù vaät hæ baét ñaàu huyeån ñoäng hoaë thay ñoå huyeån ñoäng kh hòu taù duïng uûa nhöõng vaät khaù. Caù ñònh luaät Ñoâäng löï hoï xaù ñònh moá quan heä göõa huyeån ñoäng vaø nguyeân nhaân gaây a hoaë laøm thay ñoå huyeån ñoäng. Caù ñònh luaät Ñoäng löï hoï laø nhöõng ñònh luaät veà quan heä göõa löï taù duïng leân vaät vaø huyeån ñoäng uûa vaät. Cô sôû uûa ñoäng löï hoï laø ba ñònh luaät Newton vaø nguyeân lyù töông ñoá Galleùo. Chuùng ta seõ ngheân öùu ba ñònh luaät naøy tong töôøng hôïp haát ñeåm.. Ñònh luaät I Newton.. Löï vaø huyeån ñoäng Tong töï nheân où nheàu loaï löï : löï haáp daãn, löï töø töôøng, löï haït nhaân tong höông naøy huùng ta ñeà aäp huû yeáu ñeán löï ô hoï. Löï (ô hoï) laø moät ñaï löôïng vaät lyù ñaë töng ho töông taù ô hoï göõa aù vaät. Hay, löï ô hoï laø nguyeân nhaân vaät lyù laøm beán daïng hoaë laøm thay ñoå taïng thaù huyeån ñoäng uûa aù vaät. Veà maët ô hoï, ta où theå phaân aù löï laøm ha loaï, loaï thöù nhaát goàm aù löï xuaát heän kh où teáp aän göõa aù vaät töông taù nhö löï ñaøn hoà, löï ma saùt... ; loaï thöù ha goàm aù löï xuaát heän kh aù vaät töông taù khoâng teáp aän vôù nhau, söï phaân ha nhö vaäy hæ mang tính haát qu öôù. Tong ô hoï huùng ta hæ huù yù xeùt tong töøng töôøng hôïp uï theå où nhöõng löï naøo xuaát heän, ñoä lôùn uûa aù löï ñoù vaø aûnh höôûng uûa huùng ñoá vôù huyeån ñoäng. Taù duïng uûa löï ñöôï ñaë töng bôû boán yeáu toá : ñeåm ñaët, phöông, heàu vaø öôøng ñoä. Taù duïng ñoàng thôø nheàu löï leân moät haát ñeåm töông ñöông vôù taù duïng uûa moät löï duy nhaát baèng toång hôïp veto uûa aù löï noù teân. Löï laø moät ñaï löôïng veto, ñöôï beåu deãn baèng moät veto vaø tuaân theo aù qu taé beán ñoå veà veto. Ngoaï löï taù duïng vaøo moät vaät où aûnh höôûng ñeán toá ñoä huyeån ñoäng uûa vaät, nhöng noù aèng vaän toá uûa vaät tæ leä vôù löï laø khoâng hính xaù. Kh ngheân öùu quan heä göõa löï taù duïng vaø huyeån ñoäng, Newton ñaõ phaùt beåu ba ñònh luaät ô baûn sau ñaây uûa ñoäng löï hoï, phaûn aùnh ñaày ñuû moá quan heä göõa löï taù duïng vaø huyeån ñoäng.

32 Cô hoï Ñònh luaät I Newton Kh ngheân öùu huyeån ñoäng uûa haát ñeåm, ñaàu teân ta ngheân öùu huyeån ñoäng uûa haát ñeåm töï do (haát ñeåm oâ laäp). Quan saùt ñònh luaät huyeån ñoäng uûa haát ñeåm töï do tong nhöõng heä qu heáu khaù nhau laø khaù nhau. Tuy nheân, vaãn toàn taï heä qu heáu maø tong ñoù haát ñeåm töï do hoaë ñöùng yeân, hoaë huyeån ñoäng thaúng ñeàu töø moät vò tí ban ñaàu baát kì vôù moät vaän toá naøo ñoù, goï laø heä qu heáu quaùn tính. Heä nhaät taâm oøn ñöôï goï laø heä qu heáu Copen, goá ôû taâm maët tôø vaø ba tuï höôùng veà ba ngoâ sao oá ñònh, vôù ñoä hính xaù khaù ao où theå ñöôï xem laø heä qu heáu quaùn tính. Moï heä qu heáu huyeån ñoäng thaúng ñeàu töông ñoá vôù nhau ñeàu laø nhöõng heä qu heáu quaùn tính. Ñònh luaät I Newton phaùt beåu : Tong heä qu heáu quaùn tính haát ñeåm khoâng hòu taù duïng uûa ngoaï löï seõ göõ nguyeân taïng thaù ñöùng yeân hoaë huyeån ñoäng thaúng ñeàu. Ñònh luaät I Newton ñuùng ho moï heä qu heáu huyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoá vôù heä qu heáu quaùn tính. Noù moät aùh khaù, moï heä qu heáu huyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoá vôù heä qu heáu quaùn tính ñeàu laø nhöõng heä qu heáu quaùn tính...3 Heä qu heáu taù ñaát Heä qu heáu Copen hæ thuaän teän tong veä ngheân öùu huyeån ñoäng uûa theân theå, hoaë uûa on taøu vuõ tuï... maø khoâng thíh hôïp ho veä ngheân öùu aù huyeån ñoäng teân taù ñaát. Ñoá vôù nhöõng huyeån ñoäng naøy, ngöôø ta thöôøng duøng moät heä qu heáu gaén vôù taù ñaát. Do taù ñaát quay quanh tuï uûa noù vaø huyeån ñoäng hung quanh maët tôø, neân taù ñaát huyeån ñoäng où ga toá, khoâng phaû laø huyeån ñoäng thaúng ñeàu. Vaäy, noù thaät haët heõ thì heä qu heáu gaén vôù taù ñaát maø huùng ta thöôøng duøng khoâng phaû laø heä qu heáu quaùn tính. Tuy vaäy, huùng ta haõy khaûo saùt moät heä qu heáu gaén vôù taù ñaát tong höøng möï naøo thì où theå ñöôï xem laø heä qu heáu quaùn tính. Do söï quay uûa taù ñaát quanh tuï uûa noù vaø söï huyeån ñoäng uûa noù quanh maët tôø, ôû xíh ñaïo ga toá höôùng taâm uûa moät ñeåm teân maët ñaát laø : a ω. R π s. 6,4.0 8 m 3,4 Ga toá uûa taù ñaát huyeån ñoäng quanh maët tôø laø : m s

33 Cô hoï a v R ( 30 Km / s),5.0 8 Km Km s Ga toá naøy beù hôn aát nheàu so vôù ga toá ô töï do teân maët ñaát, vì vaäy où theå boû qua tong nheàu thí ngheäm, nheàu baø tính ô hoï. Caù ñeåm khaù nhau teân taù ñaát où veto vaän toá khaù nhau vaø luoân beán ñoå. Tuy nheân söï beán ñoå uûa vaän toá aáy, veà ñoä lôùn vaø veà phöông laø nhoû vaø haäm. Do ñoù, tong nhöõng huyeån ñoäng thoâng thöôøng uûa vaät, kh maø ga toá ôõ 3,4 m/s où theå boû qua ñöôï vaø tong khoaûng thôø gan huyeån ñoäng uûa vaät khoâng quaù vaø gôø thì heä qu heáu gaén leàn vôù taù ñaát gaàn ñuùng ñöôï o laø heä qu heáu quaùn tính.. Nguyeân lyù töông ñöông Maë duø toïa ñoä vaø vaän toá uûa haát ñeåm töï do tong nhöõng heä qu heáu quaùn tính K vaø K laø khaù nhau nhöng ga toá uûa noù tong heä K vaø K ñeàu baèng khoâng : ' d d 0 (.) Tong yù nghóa naøy, ta noù aèng moï heä qu heáu quaùn tính laø töông ñöông vôù nhau ñoá vôù ñònh luaät huyeån ñoäng thaúng ñeàu uûa haát ñeåm töï do. Moï huyeån ñoäng ô hoï, uõng nhö moï heän töôïng vaät lyù vaø töï nheân khaù, ñeàu xaûy a goáng nhau, theo nhöõng qu luaät nhö nhau tong nhöõng heä qu heáu quaùn tính khaù nhau. Noù aùh khaù, khoâng où moät heän töôïng vaät lyù hay töï nheân naøo où theå ho huùng ta khaû naêng phaân beät ñöôï aù heä qu heáu quaùn tính vôù nhau : huùng hoaøn toaøn töông ñöông, hoaøn toaøn bình ñaúng. Ñoù laø noä dung uûa nguyeân lyù töông ñoá huyeån ñoäng. Keát hôïp vôù teân ñeà veà khoaûng thôø gan toâ qua tong moï heä qu heáu quaùn tính laø nhö nhau ( tt ) vôù nguyeân lyù töông ñöông ta où nguyeân lyù töông ñoá Galleùo : Taát aû aù ñònh luaät ô hoï ñeàu goáng nhau tong moï heä qu heáu quaùn tính. Xeùt heä quaùn tính K huyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoá vôù heä quaùn tính K vôù vaän toá V v. Gaû söû ban ñaàu heä K tuøng vôù heä K :

34 Cô hoï Hình. y y M O K z z x o OO' Vt O K x (.) ' V t Vaäy : ' t t Neáu K huyeån ñoäng thaúng ñeàu ñoá vôù K doï theo tuï x ; ta où : ' x x ' y y ' z z ' t t V t ' x x + Vt ' y y hay ' (.3) z z ' t t Caù oâng thöù (.) hay (.3) goï laø aù oâng thöù beán ñoå Galleùo. Chuù yù ta où : v' v V (.4) d Tong ñoù : v ' d ' vaø v laàn löôït laø vaän toá uûa haát ñeåm M ñoá vôù heä qu heáu quaùn tính K vaø K. Caù phöông tình moâ taû moät ñònh luaät ô hoï tong heä quaùn tính K vaø tong heä quaùn tính K laø où daïng goáng nhau. Vaäy où theå phaùt beåu nguyeân lyù töông ñoá Galleùo moät aùh khaù : Caù ñònh luaät ô hoï oå ñeån laø baát beán ñoá vôù aù pheùp beán ñoå Galleùo. Kh huyeån töø heä quaùn tính K sang heä quaùn tính K aù ñaï löôïng sau ñaây laø baát beán : Ga toá uûa haát ñeåm : dv' a dv a ' (.5) Vò tí töông ñoá göõa ha haát ñeåm : ' ' ' (.6) Vaän toá töông ñoá uûa ha haát ñeåm :

35 Cô hoï v ' v' v' v v v (.7).3- Ñònh luaät II Newton Ñònh luaät II Newton moâ taû taù duïng uûa löï leân huyeån ñoäng uûa vaät. Chuùng ta khaûo saùt tong heä qu heáu quaùn tính :.3. Löï vaø ga toá : Kh hòu taù duïng uûa ngoaï löï, huyeån ñoäng uûa vaät thay ñoå, noù aùh khaù vaät nhaän moät ga toá. Thöï ngheäm höùng toû aèng tong moät heä qu heáu quaùn tính löï taù duïng leân moät haát ñeåm laøm thay ñoå taïng thaù huyeån ñoäng uûa haát ñeåm ñoù, nghaõ laø laøm ho veto vaän toá uûa haát ñeåm thay ñoå. Hay noù aùh khaù : tong moät heä qu heáu quaùn tính löï taù duïng leân moät haát ñeåm laøm ho haát ñeåm ñoù huyeån ñoäng où ga toá. Thöï ngheäm höùng toû aèng : Ga toá maø moät vaät thu ñöôï taï töøng thôø ñeåm tæ leä vôù löï taù duïng leân vaät taï hính thôø ñeåm aáy. Vaäy neáu moät löï taù duïng leân moät haát ñeåm gaây a veto ga toá a thì :.3. Khoá löôïng : a ~ F Thöï ngheäm höùng toû aèng uøng moät löï F kh taù duïng leân aù haát ñeåm khaù nhau seõ gaây a nhöõng ga toá töông öùng khaù nhau. Vaäy ga toá huyeån ñoäng uûa haát ñeåm oøn phuï thuoä vaøo moät tính haát vaät lyù uûa baûn thaân haát ñeåm ñoù. Tính haát naøy ñöôï ñaë töng bôû moät ñaï löôïng m goï laø khoá löôïng uûa vaät. Thöï ngheäm ho ta keát quaû : Vôù moät löï taù duïng xaù ñònh, ga toá huyeån ñoäng uûa haát ñeåm tæ leä nghòh vôù khoá löôïng uûa noù. Töù : a ~ m Vì ga toá ñaë töng ho söï thay ñoå taïng thaù huyeån ñoäng, vaäy kh khoá löôïng m uûa haát ñeåm aøng lôùn thì ga toá a aøng nhoû nghaõ laø taïng thaù huyeån ñoäng uûa haát ñeåm thay ñoå aøng ít. Khoá löôïng xaù ñònh theo ga toá maø vaät thu ñöôï döôù taù duïng uûa moät löï laø khoá löôïng quaùn tính. Hay khoá löôïng quaùn tính laø moät ñaï löôïng ñoäng löï hoï ñaë töng ho khaû naêng thu ga toá uûa vaät. Ngöôø ta nhaän thaáy hæ kh vaät huyeån ñoäng vôù vaän toá (v) nhoû so vôù vaän toá () uûa aùnh saùng thì khoá löôïng uûa aù vaät theå laø moät ñaï löôïng khoâng ñoå. Kh vaät huyeån ñoäng vôù vaän toá aát lôùn, so saùnh ñöôï vôù vaän toá aùnh saùng, thì khoá löôïng uûa vaät phuï thuoä vaøo vaän toá :

36 Cô hoï m m 0 (.8) v m 0 : khoá löôïng uûa vaät kh vaän toá baèng khoâng, goï laø khoá löôïng nghæ. Vaän toá où gaù tò töông ñoá tuøy thuoä heä qu heáu. Do khoá löôïng phuï thuoä vaøo vaän toá, neân ñoá vôù aù heä qu heáu khaù nhau gaù tò uõng khaù nhau. TRONG CAÙC CHUYEÅN ÑOÄNG CÔ HOÏC THÖÔØNG GAËP TRONG KYÕ THUAÄT THÌ V << C. VAÄY MOÄT CAÙCH GAÀN ÑUÙNG COÙ THEÅ XEM KHOÁI LÖÔÏNG LAØ TUYEÄT ÑOÁI KHOÂNG PHUÏ THUOÄC HEÄ QUI CHIEÁU..3.3 Ñònh luaät II Newton TRONG MOÄT HEÄ QUI CHIEÁU QUAÙN TÍNH, VECTOR GIA TOÁC CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA MOÄT CHAÁT ÑIEÅM TÆ LEÄ VÔÙI LÖÏC TAÙC DUÏNG VAØ TÆ LEÄ NGHÒCH VÔÙI KHOÁI LÖÔÏNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM ÑOÙ. F a k m (.9) K LAØ HEÄ SOÁ TÆ LEÄ PHUÏ THUOÄC VAØO ÑÔN VÒ DUØNG ÑEÅ ÑO KHOÁI LÖÔÏNG, GIA TOÁC VAØ LÖÏC. Tong heä SI, ñôn vò ga toá laø m/s, ñôn vò khoá löôïng laø Kg thì k. Vaäy oâng thöù (.9) tôû thaønh : F ma (.0) COÂNG THÖÙC NAØY COØN ÑÖÔÏC GOÏI LAØ PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC. Löï laø moät ñaï löôïng daãn xuaát, ñôn vò ño löï laø Newton (N). Newton laø löï tuyeàn ho vaät où khoá löôïng kg nhaän ñöôï ga toá m/s. Tong töôøng hôïp haát ñeåm hòu taù duïng ñoàng thôø uûa nheàu löï, ta vaãn où phöông tình daïng (.0) tong ñoù F laø toång hôïp aù löï taù duïng leân haát ñeåm..3.4 Daïng khaù quaùt ñònh luaät II Newton TRONG TRÖÔØNG HÔÏP TOÅNG QUAÙT, KHOÁI LÖÔÏNG THAY ÑOÅI THEO VAÄN TOÁC. DÖÔÙI TAÙC DUÏNG CUÛA MOÄT NGOAÏI LÖC, KHOÂNG NHÖÕNG VAÄN TOÁC CUÛA CHAÁT ÑIEÅM THAY ÑOÅI, MAØ DO VAÄN TOÁC THAY ÑOÅI NEÂN KHOÁI LÖÔÏNG CUÕNG THAY ÑOÅI, TRAÏNG THAÙI CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM THAY ÑOÅI. ÑEÅ ÑAËC TRÖNG CHO TRAÏNG THAÙI

37 Cô hoï CHUYEÅN ÑOÄNG CÔ HOÏC TRONG TRÖÔØNG HÔÏP NAØY NGÖÔØI TA DUØNG ÑAÏI LÖÔÏNG ÑOÄNG LÖÔÏNG. ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA MOÄT VAÄT CHUYEÅN ÑOÄNG TÒNH TIEÁN LAØ MOÄT ÑAÏI LÖÔÏNG VECTOR VEÀ TRÒ SOÁ BAÈNG TÍCH SOÁ CUÛA KHOÁI LÖÔÏNG VÔÙI VAÄN TOÁC, COÙ PHÖÔNG VAØ CHIEÀU TRUØNG VÔÙI PHÖÔNG VAØ CHIEÀU CUÛA VAÄN TOÁC. P mv (.) TRONG HEÄ SI, ÑÔN VÒ ÑOÄNG LÖÔÏNG LAØ KG.M/S. TOÅNG QUAÙT : Kh v << thì : P P m 0 v v (.) m v 0 (.3) Laáy ñaïo haøm ha veá (.3) vaø huù yù aèng theo ñònh luaät II Newton dv m0 m0a F ta thu ñöôï : dp F (.4) VAÄY, ÑAÏO HAØM CUÛA ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA CHAÁT ÑIEÅM THEO THÔØI GIAN BAÈNG LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN NOÙ. Tong töôøng hôïp toång quaùt où theå veát : F d m 0 v v (.5) Kh noù ñònh luaät II Newton, neáu beát daïng uûa haøm F beåu deãn töông taù göõa haát ñeåm vaø aù vaät theå xung quanh, vaø beát ñeàu keän ñaàu, töù vò tí vaø vaän toá uûa haát ñeåm ôû thôø ñeåm ban ñaàu, thì phöông tình huyeån ñoäng seõ ho pheùp xaù ñònh vò tí vaø vaän toá uûa haát ñeåm ôû thôø ñeåm t baát kyø, nghaõ laø ho pheùp xaù ñònh quõ ñaïo uûa huyeån ñoäng. dv F Ta où : a dv a m

38 Cô hoï VAÄY, VAÄN TOÁC CHAÁT ÑIEÅM ÔÛ THÔØI ÑIEÅM T BAÁT KÌ : Maø t v( t) F. + v0 (.6) m 0 d v., huùng ta xaù ñònh ñöôï ôû thôø ñeåm t : t ( t) v. + 0 (.7).4. Ñònh luaät III Newton 0 TREÂN ÑAÂY CHUÙNG TA CHÆ MÔÙI XEÙT ÑEÁN MOÁI LIEÂN HEÄ GIÖÕA LÖÏC TAÙC DUÏNG VAØ GIA TOÁC MAØ VAÄT CHÒU TAÙC DUÏNG THU ÑÖÔÏC. THÖÏC RA KHI CAÙC VAÄT BEÂN NGOAØI TAÙC DUÏNG LEÂN CHAÁT ÑIEÅM THÌ CHAÁT ÑIEÅM CUÕNG TAÙC DUÏNG LEÂN VAÄT NGOAØI. MOÏI SÖÏ THAY ÑOÅI TRAÏNG THAÙI CHUYEÅN ÑOÄNG TRONG CAÙC HEÄ QUI CHIEÁU QUAÙN TÍNH ÑEÀU XAÛY RA DO KEÁT QUAÛ TÖÔNG TAÙC GIÖÕA CAÙC VAÄT. Ñònh luaät III Newton xeùt ñeán söï töông taù göõa aù vaät : Kh haát ñeåm A taù duïng leân haát ñeåm B moät löï F AB thì haát ñeåm B uõng taù duïng leân haát ñeåm A moät löï F BA uøng phöông, ngöôï heàu vaø uøng ñoä lôùn. (.8) F AB F BA ÑÒNH LUAÄT III NEWTON KHOÂNG CHÖÙA ÑAÏI LÖÔÏNG NAØO MÔÙI, THÖÏC NGHIEÄM XAÙC NHAÄN ÑAÀY ÑUÛ SÖÏ ÑUÙNG ÑAÉN CUÛA ÑÒNH LUAÄT NAØY. ÑAÂY CUÕNG LAØ ÑÒNH LUAÄT CÔ BAÛN CUÛA ÑOÄNG LÖÏC HOÏC. Töôøng hôïp toång quaùt : Xeùt moät heä haát ñeåm oâ laäp, nghóa laø moät heä khoâng hòu taù duïng uûa aù ngoaï löï, tong heä hæ où aù noä löï töông taù göõa aù haát ñeåm uûa heä. Neáu xeùt töøng ñoâ haát ñeåm uûa heä thì toång ha löï töông taù göõa huùng baèng khoâng. Neáu laáy toång uûa taát aû aù löï ñoù, ta ñöôï : Toång hôïp aù noä löï uûa moät heä haát ñeåm oâ laäp (heä kín ) baèng khoâng.

39 Cô hoï Khoá taâm CHÖÔNG III CÔ HOÏC HEÄ CHAÁT ÑIEÅM CAÙC ÑÒNH LUAÄT BAÛO TOAØN 3.. Ñònh nghóa Gaû söû où moät heä goàm ha haát ñeåm M vaø M khoá löôïng töông öùng laø m vaø m ñaët tong M G M toïng töôøng ñeàu. Toïng löï taù duïng leân aù haát ñeåm M vaø M m g g M G M G Hình 3. m laø ha veto m g vaø m g song m song uøng heàu. Ñeåm ñaët uûa toång hôïp ha toïng löï ñoù laø moät ñeåm G naèm teân M M sao ho : g m (3.) mg m MG + m MG Hay : m 0 (3.) Coù theå veát (3.) döôù daïng veto : m MG + mmg 0 (3.3) Ñeåm G thoûa maõn (3.3) ñöôï goï laø khoá taâm uûa heä ha haát ñeåm M M. Töôøng hôïp toång quaùt, ta ñònh nghóa khoá taâm uûa heä nhö sau : Khoá taâm uûa moät heä haát ñeåm M, M,, M n laàn löôït où khoá löôïng m, m,, m n laø moät ñeåm G xaù ñònh bôû heä thöù : m MG + m MG m MnG n 0 n (3.4) Hay : m M G 0 (3.5) Haõy xaù ñònh toïa ñoä khoá taâm G ñoá vôù goá toïa ñoä O naøo ñoù ta où : OG OM + MG (3.6) Nhaân ha veá (3.6) vôù m oà oäng aù phöông tình nhaän ñöôï veá vôù veá töø ñeán n ta ñöôï :

40 Cô hoï n n n G m M m OM OG m (3.7) Hay theo (3.5 ) : n n OM m OG m. Suy a : n n m OM m OG. (3.8) Ñaët R OG vôù ba toïa ñoä X, Y, Z ; OM vôù ba toïa ñoä laø x, y, z thì (3.8 ) tôû thaønh : n n m m R. (3.9) Neáu heáu teân ba tuï toïa ñoä : n n m x m X ; n n m y m Y ; n n m z m Z (3.0) Caù oâng thöù (3.9) hay (3.0) ho pheùp ta tính toïa ñoä khoá taâm uûa moät heä haát ñeåm. 3.. Vaän toá uûa khoá taâm Veto vaän toá uûa khoá taâm ñöôï xaù ñònh : dr V (3.) Hay theo (3.9) :

41 Cô hoï taâm laø : Tong ñoù : Vaäy : Maët khaù d n d m V n (3.) m v : veto vaän toá uûa haát ñeåm M. V n n m.v V m P p. v m m (3.3) laø toång ñoäng löôïng P uûa heä, do ñoù vaän toá khoá (3.4) Töø (3.4) suy a : P m V (3.5) VAÄY TOÅNG ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA HEÄ BAÈNG ÑOÄNG LÖÔÏNG CUÛA MOÄT CHAÁT ÑIEÅM ÑAËT TAÏI KHOÁI TAÂM CUÛA HEÄ, COÙ KHOÁI LÖÔÏNG BAÈNG TOÅNG KHOÁI LÖÔÏNG CUÛA HEÄ VAØ COÙ VAÄN TOÁC BAÈNG VAÄN TOÁC KHOÁI TAÂM CUÛA HEÄ. Ñoá vôù heä haát ñeåm oâ laäp, toång ñoäng löôïng uûa heä baûo toaøn : Vaäy theo (3.4) : P onst V onst KHOÁI TAÂM CUÛA MOÄT HEÄ CHAÁT ÑIEÅM COÂ LAÄP COÙ VECTOR VAÄN TOÁC KHOÂNG ÑOÅI. Thí duï, xeùt moät sao keùp töù laø moät heä ha sao huyeån ñoäng quanh khoá taâm uûa huùng; neáu huùng ôû khaù xa aù sao khaù thì où theå o nhö huùng hôïp thaønh moät heä oâ laäp, do ñoù khoá taâm uûa huùng hoaë ñöùng yeân hoaë huyeån ñoäng thaúng ñeàu. Caù quan saùt theân vaên höùng toû où nhöõng sao keùp nhö vaäy.

42 Cô hoï Phöông tình huyeån ñoäng uûa khoá taâm Gaû theát aù haát ñeåm M, M,, M n uûa heä laàn löôït hòu taù duïng uûa aù löï : F,F,..., Fn vaø huyeån ñoäng vôù nhöõng veto ga toá a, a,..., thoûa maõn aù phöông tình : an m a F, m a F,... mn an Fn (3.6) Ñeå tìm phöông tình huyeån ñoäng uûa khoá taâm, ñaïo haøm (3.3) theo t dv n m n dv m (3.7) dv Hay : m m a F (3.8) Hay : m Γ F (3.9) dv Tong ñoù Γ laø veto ga toá uûa khoá taâm. Töø (3.9) où theå keát luaän : Khoá taâm uûa moät heä huyeån ñoäng nhö moät haát ñeåm où khoá löôïng baèng toång khoá löôïng uûa heä vaø hòu taù duïng uûa moät löï baèng toång hôïp ngoaï löï taù duïng leân heä. Chuyeån ñoäng khoá taâm uûa heä ñöôï xem laø huyeån ñoäng toaøn theå uûa heä. 3. Chuyeån ñoäng uûa vaät aén Vaät aén laø moät heä haát ñeåm tong ñoù khoaûng aùh göõa aù haát ñeåm luoân luoân khoâng ñoå. Ngöôø ta höùng mnh ñöôï aèng huyeån ñoäng uûa vaät aén bao gôø uõng où theå qu veà tíh uûa ha huyeån ñoäng ô baûn : Chuyeån ñoäng tònh teán vaø huyeån ñoäng quay. 3.. Chuyeån ñoäng tònh teán Kh vaät aén huyeån ñoäng tònh teán, moï haát ñeåm uûa noù huyeån ñoäng goáng nhau; taï moã thôø ñeåm, aù haát ñeåm uûa vaät aén ñeàu où uøng veto vaän toá vaø veto ga toá. Gaû theát a laø veto ga toá hung uûa aù haát ñeåm M, M,, M n uûa vaät aén, laàn löôït où khoá löôïng m, m,, m n vaø laàn löôït hòu taù duïng uûa nhöõng ngoaï löï F, F,...,. Fn Theo ñònh luaät II Newton ta où :

43 Cô hoï F huyeån ñoäng tònh teán. Töø (3.0) ta où : m m a F, a F,... m a (3.0) n F n Caù phöông tình naøy höùng toû nhöõng ngoaï löï taù duïng leân vaät aén, F,..., F n song song vaø uøng heàu, ñaây laø ñeàu keän aàn ñeå moät vaät aén m a F (3.) Ñoù laø phöông tình huyeån ñoäng uûa vaät aén tònh teán; noù goáng nhö phöông tình huyeån ñoäng uûa moät haát ñeåm où khoá löôïng baèng khoá löôïng toång oäng uûa vaät aén vaø hòu taù duïng moät löï baèng toång ngoaï löï taù duïng leân vaät aén. Ñaây uõng laø phöông tình huyeån ñoäng uûa khoá taâm vaät aén. Vaäy, muoán khaûo saùt huyeån ñoäng tònh teán uûa moät vaät aén ta hæ aàn xeùt huyeån ñoäng uûa khoá taâm uûa noù. 3.. Chuyeån ñoäng quay Kh moät vaät aén huyeån ñoäng quay hung quanh moät tuï oá ñònh thì : β β ω v a t Hình 3.