Simulation of Complete Many-Body Quantum Dynamics Using Controlled Quantum-Semiclassical Hybrids

Bản ghi

1 ËÑÙÐØÓÒ Ó ÓÑÔÐØ ÑÒݹÓÝ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ù Ò ÓÒØÖÓÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÑÐ Ð ÝÖ arxiv:93.139v cond-mat.other 5 Sep 9 Ⱥ ÙÖ ½ ½ ÄÓÖØÓÖ ÈÝ ÕÙ ÌÓÖÕÙ Ø ÅÓÐ ËØØ ØÕÙ ÍÒÚÖ Ø ÈÖ ¹ËÙ ÆÊË ½¼ ÇÖ Ý ÖÒ Ø ¾ ËÔØÑÖ ¾¼¼µ ÓÒØÖÓÐÐ ÝÖÞØÓÒ ØÛÒ ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ò ÑÐ Ð ÔÔÖÓ ÑÒ¹ Ð Ò ØÖÙÒØ ÏÒÖµ ÑÔÐÑÒØ ÓÖ ÒØÖØÒ ÑÒÝ¹Ó ÓÒ Ý ØÑ º ÁØ ØÒ ÑÓÒ¹ ØÖØ ÓÛ ÑÙÐØÒ Ø Ö ÙÐØÒ ÝÖ ÚÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓØÒ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ ÓÖ ÑÙ ÐÓÒÖ ØÑ ØÒ ÔÓ Ð Ù Ò Ò ÜØ ØÖØÑÒØ ÖØÐݺ ÓÐÐ ÓÒ Ó ÓÙÑ ÛØ ØÓÑ ÑÙÐØ Ò ÖÑ ØØ ÙÐØ ØÓ Ö Ñ¹ Ð ÐÐݺ Ì ÙÒÖØÒØÝ Ó ÔÝ Ð ÕÙÒØØ ÔÒ ÓÒ Ø ØØ Ø Ó Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÔÖØÓÒº ÙØÓ Ö ÑÒÑ ØÓ ÖØÞØÓÒ Ó Ø ÀÑÐØÓÒÒº Ì ØÒÕÙ ÔÖ ÒØ ÕÙØ ÒÖÐ Ò ÜØÒ ÓÒ ØÓ ÓØÖ Ý ØÑ ÓÒ Öº ÈË ÒÙÑÖ ¼ ººÃ ¼º ¼º¹ ¼º½¼º ºº Ì ÐÙÐØÓÒ Ó Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ó ÑÒݹÓÝ ÒØÖØÒ Ý ØÑ ÖÓÑ Ø ÑÖÓ ÓÔ ¹ ÖÔØÓÒ ÐÓÒ¹ ØÒÒ ÙÐØ ÔÖÓÐÑ ÛØ ÔÓ¹ ØÒØÐ ÔÔÐØÓÒ Ò ÑÒÝ Ð Ó ÔÝ ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÙÐ Ñ Ø ÒÙÑÖÐÐÝ ØÖØк Ì ÙÐØÝ ØØ Ø Þ Ó Ø ÀÐÖØ Ô ÖÓÛ ÜÔÓÒÒØÐÐÝ ÛØ Ø ÒÙÑÖ Ó ÔÖØÐ ÓÖ ÓÖØÐ ÛÐ ÔØ Ò¹ ØÖÐ ÅÓÒØ ÖÐÓ ÓÐ Ý Ø ÖÔ ÔÔÖÒ Ó ÖÒÓÑ Ô º ÀÓÛ ÒÛ ÛÝ Ò Ø Ø ÔÖÓÐÑ Ò Ñ ÛÐÐ ÑÓÒ ØÖØ ÐÓÛº ÇÙØ Ó ÙÐÐÝ ÒØÖÐ Ý ØÑ ÓÖ ½ ÛÖ ÅÈË»Åʹ ÑØÓ Ö Ù ÙÐ ÑÔÐ ÖÔØÓÒ Ö Ù ºº ÑҹРØÓÖÝ ÓÓй ÙÓÚ ÓÒÐÞØÓÒ ÐÓÒ¹ÛÚÐÒØ ÓÖ ØÖÓÒ ÒØÖ¹ ØÓÒ ÜÔÒ ÓÒ Ò ÏÒÖ¹ ØÖÙØÓÒ ¹Ð ÑØÓ ½ ¾ º ÀÓÛÚÖ ÓÑ ÒØÖ ØÒ ÔÖÓÐÑ ÐÐ ÓÙØ Ø ÖÑ Ó ÚÐØÝ Ó Ø ØÝÔÐÐÝ ÛÖ ÚÖÐ ÓÑÔØÒ Ø Ö ÑÔÓÖØÒØ ÓÖ ØÖ ØÖÒ ØÓÒ ØÛÒ ÖÑ ØØ ÖÕÙÖ ÖÒØ Ô¹ ÔÖÓÜÑØÓÒ º ÁÒ ÕÙÒØÙÑ Ø ÓÙÖ ÛØ Ö Ò Ò ØÝ ÛÒ ÒØÖØÓÒ ØÛÒ Ø ÓÖÒØ ÓÑÔÓ¹ ÒÒØ Ò ÒÓÖÒØ ÔÖØÐ ÐÖÝ ÓÑ Ó Ò ÙÖÒ Ø ÚÓÐÙØÓÒ ÙØ Ø ÒÓØ ÝØ Ò ÒÓÙ ÓÖ Ø ¹Ð ÖÔØÓÒ ØÓ Ö Ø ÛØ ÓÒÐÝ ÐÝ ÓÙÔ ÑÓ º Ë ÓÖ ÓÑÔÖÒ Ú ÖÚÛ Ó ¹ Ð ÑØÓ Ò ØÖ ÚÐØݵº Ì ÑÝ ÓÙÖ ºº Ò ÕÙÒ Ó Ø ÓÐÐÒ ÝÒÑ Ó Ø ÓÓÐÒ Ò ØÖÔÔÒ Ó ÛÚ Ò Ø Ø Ó Ó ØÐ ÓÖ ÓÖÖ º Ì Ò Ó ÝÒÑ ÓØÒ ÑÒÐ ØÓ Ô ¹ Ô ÔÔÖÓ ØØ ÖÒÓÑÐÝ ÑÔÐ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ù ÔÓ ØڹȽ¼ ØÓ Ø ÛÚÙÒØÓÒ ½½ Ò ØÓ Ø Ù ½¾ º ÌÝ Ö Ù ÙÐ ÛÒ ÓÐÐØÚ ÚÓÙÖ ÑÔÓÖØÒØ ÙØ ÒØÖØÓÒ ØÛÒ ÒÚÙÐ ÔÖØÐ Ö ÒÓØ ØÓÓ ØÖÓÒº Ì Ò ØÝ ÑØÖÜ ρ Ó Ø Ý ØÑ Ö¹ Ö Ò ØÖÑ Ó ÔÖÓÐØÝ ØÖÙØÓÒ ρ = P( v) Λ( v)d v Ó ÓÔÖØÓÖ Λ ØØ Ù ÕÙÒØÐÝ ÖÒÓÑÐÝ Ñ¹ Ôк Ì ÑÔÐ v Ö ØÒ ÚÓÐÚ ÓÖÒ ØÓ ØÓ Ø ÚÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ØØ Ö Ó Ò ØÓ Ô Ø ÒØÖ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ó Ø ÑÖÓ ÓÔ ÖÔ¹ ØÓÒº ÖÓÙ ÐÑØØÓÒ Ø ÒÓ Ø ØÖÓÔ ¹ ØÖ ÓÑ ÒØ ØÑ Ò ÜÔÓÒÒØÐ ÓÖ ØÖµ ÖÓÛØ Ó Ø ÒÓ ÚÖÒ ÓÙÖ ÑÔÓ Ò ÑÜÑÙÑ ¹ Ð ÑÙÐØÓÒ ØÑ t sim ½ º ÏÐ ÓÑ ÔÒÓÑÒ Ò ÑÙÐؽ ½ ½ Ò ÜØÒ ÓÒ Ó t sim ÑÙ ÓÙعØÖ Ò ÛÐÐ ÑÓÒ ØÖØ Öº Ì ÙÒÖÐÝÒ Ö ÓÒ ÛÝ Ô ¹ Ô ÑØÓ Ò ÓÚÖÓÑ Ø ÀÐÖØ Ô ÓÑÔÐÜØÝ Ö ØØ ÕÙÒع Ø Ó ÔÝ Ð ÒØÖ Ø Ù ÙÐÐÝ ÒÚÓÐÚ ÓÒØÖÙØÓÒ ÖÓÑ ÑÒÝ ÔÖØÐ Ò ØØ ÐÑØ ÔÖ ÓÒ ÙÒØ Ø ÛÐÐ ÓÒØÖÓÐк Ò ÅÓÒعÖÐÓ ÑØÓ ØÖ ÒÓ Ò ØÓ ÓÐÐÓÛ Ø ÑÔÐØÙ Ó ÐÐ ÔÓ Ð ÓÒ¹ ÙÖØÓÒ ÐÓÒ ÓÒ Ò ÔÖØ ÔÝ Ð ÕÙÒØØ ÛØ ÛÐйÓÒØÖÓÐÐ ÙÒÖØÒØݺ ÀÓÛÚÖ Ò ÒÓÛ Û ÓÑ ØÓ Ø ÒØÖÐ ØÓ ÑÓÒ ØÖØ Ö Ø Ò ØÒ ÙÖØÖ ÌÖ Ð Ó ÒÓ ØÖÙ Ò ØÓ ØÙÐÐÝ ÓÐÐÓÛ Ø ØÖÓÙÐ ÓÑ ÜØ ÕÙÒØÙÑ ÚÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ÔÖÓÚ ØØ ÓÒ Ò ØÐÐ ÔÖØ ÛØ ØÝ ÛÓÙÐ Ú ÛØ ÛÐйÓÒØÖÓÐÐ ÙÒÖØÒØݺ ÀÓÛ Ò Ù ÖÓÙÒÓÙØ ÔÖØÓÒ Ú Á ÓÒ Ø ÓÒ³ ÔÓ Ð ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ ÒÔÒÒØ Ô¹ ÔÖÓÜÑØ ÑØÓ ØØ ÔÖÓÙ ÚÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ A Ò B ÛØÓÙØ ÒÓ Ø ØÖÓÔ ÙØ Û Ö Ù¹ ÒØ Ö ÑÐÒ ØÓ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ ÕÙ¹ ØÓÒ Q ØÒ ÝÖ ÕÙØÓÒ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÔÓ ¹ ÐÝ ¹Óµ ÛØ ÓÒØÒÙÓÙ ÐÒÒ ÔÖÑØÖ λ Ò Ñ Ö ÑÐÒ H A = (1 λ)a + λq ; H B = (1 λ)b + λq. ÛÓ ØÐ ÛÐÐ ÒÓÒ¹ÙÒÚÖ Ðº ÀÖ λ = 1 Ú ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ò λ = Ø ÓÖÒÐ ÔÔÖÓÜÑØ ÑØÓ º Ì ÝÖ ÛÐÐ ØÐÐ ÓÒØÒ ÒÓ Ø ØÖÓ¹ Ô ÙØ Ø ÐØÖ ØÑ ØÒ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ØÖØÑÒØ Qº ÌÖÓÖ ÐÓÒ ØÑ t > t Q sim ØØ Ö ÒÓØ Ð Ý Q ÛÐÐ Ð Ý ÓÑ ÖÒ Ó λ, λ max (t)º

2 ¾ Á ÔÝ Ð ÕÙÒØØÝ ÚÖ ÑÓÓØÐÝ ÔÖÖÐÝ ÑÓÒÓØÓÒÐÐÝ ÙÒØÓÒ Ó λ ÓÖ ÝÖ H A (λ) ØÒ Ò ÜØÖÔÓÐØÓÒ Ò Ñ ØÓ λ = 1 ÓÒ Ú¹ ÖÐ ÐÙÐØÓÒ Ò Ø Ð ÖÒ, λ max (t) < 1 º ÇÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÒÓØ ÝØ ÚÖÝ ÓÒÚÒÒ ÓÛÚÖ Ø Ò Ù Ò Ø ÓØÖ ÒÔÒÒØ ÝÖ H B (λ),... º ÏÒ ØÝ ÐÐ Ö ÓÒ Ò ÒØÖÔÓ¹ ÐØÓÒ ØÛÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ØØ ÖÓÙ Ø Ò ÑÙ ÑÓÖ ÖÐк ÓÒÔØÙÐÐÝ Ø ØÔ ÑÐÖ ØÓ Óѹ ÔÖÒ Ö ÙÐØ ÓØÒ Ù Ò ÖÒØ ÙÑÑØÓÒ Ø¹ ÒÕÙ Ò ÖÑÑØ ÅÓÒعÖÐÓ ÐÙÐØÓÒ ½ º Ì ÖÑÒÖ Ó Ø ÐØØÖ ÛÐÐ ÑÓÒ ØÖØ Ø ÔÖÓ¹ ÙÖ ÓÒ Ý ØÑ Ó ÓÐÐÒ ÑØ ÓÛÒ Ò ½ µº Ì ÔÖÑØÖ Ö Ó Ò ØÓ ÐÓ ØÓ Ò ÖÐÝ ÜÔÖÑÒØ Ø ÅÁÌ ÙØ ÐÖØÐÝ ÛØ ÛÖ ØÓÑ ØÓ ÔÙØ Ø Ý ØÑ Ò Ø ÐÙØ ÝØ Ó ¹ ØÑÙÐØ ÖÑ ÛÖ ØÖÙÒØ ÏÒÖ Ò ÑÔÐ ÕÙ ÔÖØÐ ÑØÓ Ð Ò N = ØÓÑ Ó 3 Na ÔÖÔÖ Ò Ò ÐÓÒØ ÑÒØ ØÖÔ ÛØ ÖÕÙÒ 8 8 ÀÞ Ø ØÑÔÖØÙÖ ÐÓÛ ÒÓÙ ØÓ ÓÙÒØ Ø ØÖÑÐ ÓÑÔÓÒÒØ ÒÓØ ÙÒÙ ÙÐ Ò Ü¹ ÔÖÑÒØ µº Ö Ö Ð Ö ÔÙÐ ÓÖÒØÐÝ ÑÔÖØ ÚÐÓØÝ Ó v Q = 19.64mm/s ØÓ Ð Ø ØÓÑ ÐÓÒ Ø ÐÓÒ Üµ ÓÒÒ Ø Ü º Ì Ô Ó Ø ØÓÑ ÙÔÖ ÓÒ ÓÙÒ ÚÐÓØÝ Ò Ø ÐÓÙ 3.1 ÑÑ» µº Ì ØÖÔ ÑÙÐØÒÓÙ ÐÝ ØÙÖÒ Ó Ó ØØ Ø ÛÚ¹ÔØ ÓÐÐ ÖÐÝ ÔÖÓÙÒ ÐÓ Ó ØØÖ ØÓÑ ÔÖ ÑÓÚÒ Ø Ô v Q ÖÐØÚ ØÓ Ø ÓÚÖÐÐ ÒØÖ Ó Ñ º Ì ØØÖ ÐÓ ÜØ Ö ÚÓÙÖ Û Ò Ø ÖÔØ ÓÙ Ó ÜÔÖÑÒØ Ò ØÓÖݽ ½ ½ ¾¼ ¾½ ¾¾ ¾ º Ì ¹Ò ØÝ ÖÑ Ó ÑÐÖ Ý ØÑ Ò ØÖØ Ò ØÐ ÛØ ¹Ð ÑØÓ Ò ¾ º ÓÓÐÙÓÚ ÜÔÒ ÓÒ Ò»ÓÖ ÔÖ¹ÖØÓÒ ÑÔÐØÓÒ ØÖØ Ø ÔÓÒØÒÓÙ ÖÑ ÓÖ ÔÐ ÛÒ ÚÓÐÙ¹ ØÓÒ ÒÐÐ ÓÖ Ô ÐÝ ÙÔÖ ÓÒ¾¼ ¾½ ØÓ Ø ÓÓÐÙÓÚ ØÖØÑÒØ Ú ÔÖÓÑ Ò Ö¹ ÙÐØ Ò ÖÓÖ ¾ µº ÀÓÛÚÖ ÑÓÖ ÖÔÒ¹ ØÛÒ ÔÖØÓÒ ÓÖ ÐÓ Ò ØÝ Ò ÓÖÖй ØÓÒ Ö ÛÒ ÚÓÐÙØÓÒ ÓÖ Ó ØÑÙÐØÓÒ ÔÔÖк ÓÖÖÐØÓÒ ÔÒ ÓÒ Ø Þ Ó Ô ÖÒ ¾ Û ÚÐÓÔ ÓÑÔÐØ Ò ÔÓÓÖÐÝ ÙÒ¹ Ö ØÓÓ Ô½ ¾¾ Ò ÝÒÑ ½ ½ ¾ Ò Ø º ÈÖÐÐÐ ØÓ ÙÒÖ ÓÐÚ ÕÙ ØÓÒ Ò ÓØÖ Ð Ó ÔÝ Ú Ò ÒÓØ Ù Ø ÀÌ ÔÙÞÞÐ Ò ÚÝ ÓÒ ÓÐÐ ÓÒ ¾ º ÌÖÙ ØÛÓÖØÝ ÐÙÐØÓÒ ØØ Ö Ø Ò Ó Ø ÓÐÐ ÓÒ Ó ÖÚ Ò ÜÔÖÑÒØ ÙØ ÒÓØ Ö Ý ÔÓ ØڹȽ ½ µ ÓÙÐ ÐØ ÓÒ ÐÐ Ø Ù º º ½ ÒÐÙ ÔÖØÓÒ ÖÓÑ ÖÓ ¹ÈØÚ Èµ ÑÒ Ð ØÖÙÒØ ÏÒÖ Ò ÈÓ ØÚ¹È ÐÙй ØÓÒ º Ì ØÑ ÖÐ Ý ÔÓ ØÚ¹È t Q sim µ Ð ØÒ Ð Ó Ø ÓÐÐ ÓÒ ØÑ t coll 14µ Ò ÓØ È Ò ÏÒÖ Ú Ò ÖÖÓÖº Ì Ö Ø Ó ÒÓØ ØÖØ Ø¹ ØÖÒ ÛÐ ÓÖ ÐØØ Ò ÒÓÙ ØÓ ÒÓÑÔ ÐÐ ÔÝ Ø ÓÒ ÓÑ ÚÐ ÓÒÐÝ ÓÖ N 1 6 ØÓÑ scattered atoms 3 x 14 λ=.4 λ= (trunc Wigner) λ=.5 1 λ=.7 λ=1 full QD GP t units of ms 5 6 halo density mm/s 3.5 λ= (trunc Wigner) 1.5 λ=.4 1 λ=1 full QD.5 GP t units of ms 5 6 Áº ½ ÏÒÖ ÔÙÖÔе ÔÓ ØÚ¹È Öµ È µ Ò ÝÖ H A ÐÙÐØÓÒ Ø ÚÖÓÙ ÐÒÒ ÔÖÑØÖ λº ÌÓØÐ ÒÙÑÖ Ó ØØÖ ØÓÑ ÖÓÑ ÒØÖØÓÒ Ó ¹ Ô Ò ØÝ ÜÐÙÒ Ø ÒÖÖÓÛ ÖÓÒµº È Ò ØÝ Ó Ø ÐÓ Ø v x = v z = v y = 9.37ÑÑ» Ò ÚÐÓØÝ Ôµº ÌÖÔÐ ÐÒ ÓÛ ½σ ÙÒÖØÒØݺ ÓÒ Ò O(1) ØÓÑ ÔÖ ÐØØ Ø½ µº ƺº Ø k¹ôòòø ÖÒ ØÛÒ g Ò Ø ØÚ ÐØØ ÚÐÙ½ 3% Ö Ó Ø ÒÓØ Ò ÓÖÖØ ÓÖº ÆÓÛ ÐØ Ù ØÙÖÒ ØÓ ÓØÒÒ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒѹ ÓÖ ØÑ ÐÓÒÖ ØÒ ÛØ Ø ÔÓ ØڹȺ Ì ÝÒѹ ÕÙØÓÒ Ò Ø ØÖÙÒØ ÏÒÖ È Ò ÔÓ ØÚ¹ È ØÖØÑÒØ Ö Ø È ÖÒÐ ÛØ ÖØÒ ØÓÒ Ò ØÙÖÒ ÓÙØ ÑÐÖ ÒÓÙ ØÓ ÔÐÝ Ø ÖÓÐ Ó Ø A B Ò Qº Ì ÝÒÑÐ È ÕÙØÓÒ ÓÖ Ø ÓÑÔÐÜ Ð ψ(x, t) ÓÖÖ ÔÓÒÒ ØÓ Ø ÓÐ ØÓÑ ÀÑÐØÓÒÒ Ψ Ĥ = d 3 x (x)h sp (x) Ψ(x) + g Ψ (x) Ψ(x) i ψ(x) = Hsp (x) + g ψ(x) ψ(x)º Ò ÒØÐ ÓÒÒ Ø ÛÚ¹ ÙÒØÓÒ φ GP (x) ÒÓÖÑÐ ØÓ d 3 x φ GP (x) = N Ð ØÓ ÒØÐ ÓÒØÓÒ ψ(x, ) = φ GP (x)º ÜÔع ØÓÒ ÚÐÙ Ó Ó ÖÚÐ Ô Ö ÐÙÐØ Ý ÑÒ Ø ÖÔÐÑÒØ Ψ ψ Ò Ψ ψ Ò Ôº ÓÖ Üѹ ÔÐ Ø Ò ØÝ n(x) = ψ(x) º ÁÒ Ø ØÖÙÒØ ÏÒÖ ÑØÓ Ø ÝÒÑ Ó¹ ØÒ Ý ØÒÖ ÑØÓ ºº¾ µ ÓÒ Ø ÓÔÖØÓÖ ÒØØ x ÔÒÒ ÑÔе Ψ Λ = ψ 1 Λ ψ ; Ψ Λ = ψ + 1 Λ ψ ½µ ÛÓ ÑÔÓÖØÒ ÓÖ Ù ÛÐÐ Ò ÐÓÛº Ì ÕÙ¹ ØÓÒ Ó ÑÓØÓÒ ÓÖ È ÙØ ÛØ Ø ÖÔÐÑÒØ ψ ( ψ 1) ÓÒ Ø ÊÀ˺ ÀÓÛÚÖ Ò Ø ÒØÐ ÓÒ¹ ØÓÒ Ø ÓÒÒ Ø Ð ÑÜ ÛØ Ð ÚÖØÙÐ ÔÖØÐ ÔÖ ÑÓ ψ(x, ) = φ GP (x)+η(x)/ ÛÖ η(x) ÐÓÐ ÓÑÔÐÜ Ù Ò ÒÓ ÛØ Ø Ò ÑÐ ÚÖ η(x) = η(x)η(x ) = Ò η(x)η(x ) = δ 3 (x x )º ÌÓ ÐÙÐØ Ó ÖÚÐ ÓÒ Ò ÑÐ Ú¹ Ö ÑÓ ÜÔÖ ÓÒ fô ØØ ÓØÒ Ú Ô ρ Ô = Tr = d vp( v)trô Λ Ò Ù ÕÙÒØ Ö¹ ÔÐÑÒØ ½µ Û Ú d vp( v)f( v)º ºº n(x) = ψ(x) 1 º Ì ÔÓ ØÚ¹È ÑØÓ Ù ØÛÓ ÒÔÒÒØ Ð

3 ψ 1 (x, t) Ò ψ (x, t) Ò Ø ÒØØ Ψ Λ=ψ 1 Λ ; Ψ Λ= ψ + ψ 1 Λ, Λ Ψ =ψ Λ ¾µ ; Λ Ψ= ψ 1 + ψ Λ. Ì ψ j ÓÝ Ø ÁØÓ ØÓ Ø ÕÙØÓÒ i ψ 1 (x) = H sp (x) + gρ(x) ig ξ 1 (x, t) ψ 1 (x) i ψ (x) = H sp (x) + gρ(x) i ig ξ (x, t) ψ (x) ÛØ ÓÑÔÐÜ Ò ØÝ ρ(x) = ψ 1 (x)ψ (x) º ÀÖ Ø ξ j Ö ÐعÓÖÖÐØ ÖÐ Ù Ò ÒÓ Ð ÛØ Ø Ò ÑÐ ÚÖ ξ j (x, t) = Ò ξ i (x, t)ξ j (x, t ) = δ ij δ(t t )δ 3 (x x )º ÁÒØÐ ÓÒØÓÒ Ö ψ j (x, ) = φ GP (x) Ò Ó ÖÚÐ Ö ÓØÒ ÛØ Ø ÖÔй ÑÒØ Ψ ψ 1 Ò Ψ ψº Ì ÒÜØ ØÔ ÛÐÐ ØÓ ÝÖÞ Ø ØÖÙÒØ ÏÒÖ ÛØ Ø ÔÓ ØÚ¹È ÒØÓ ØÖØÑÒØ H A º ÁØ ÑÓ Ø ØÖØÓÖÛÖ ØÓ ÔÖÓ ÖÓÑ ÝÖ ÓÔÖØÓÖ ÒØØ ÓÖ Ò Ó¹ÓÒÐ ÜÔÒ ÓÒ Ψ Λ= ψ 1 1 λ ψ Λ ; Ψ Λ= ψ + 1+λ ψ 1 Λ Λ Ψ = ψ 1 λ ψ 1 Λ ; Λ Ψ= ψ λ ψ Λ µ ÇÒ ÓØÒ n(x) = ψ 1 (x)ψ (x) 1 λ Ò ÒØÐ 1 λ ψ j (x, ) = φ GP (x) + η(x) º Ì Ù ÙÐ ØÖÙÒع ÏÒֹРÖÒ Ó ¹ÓÖÖ ÖÚØÚ Ò Ø ÖÐÚÒØ ÓÖ¹ÈÐÒ ÕÙØÓÒ Ú ÝÒÑ i ψ 1 (x) = H sp (x) + gρ (x) igλξ 1 (x, t) ψ 1 (x) i ψ (x) = H sp (x) + gρ (x) i igλξ (x, t) ψ (x) ÛØ ρ (x) = ρ(x)+λ 1º Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÒ Ò Ó¹ÓÒÐ ÓÔÖØÓÖ Ù Ò s¹óöö¾ ÓÖÒعРØØ ÛØ s = λ Ë ½ ÓÖ ØÐ µº º ½ ÓÛ Ø ÔÖÓÖÑÒ Ó Ø ÝÖ ÓÖ ÚÖÐ ÚÐÙ Ó λ ÓÖ ØÛÓ ÐÓ ÕÙÒØØ Ó ÒØÖ Øº Ö λ < 1 ÐÙÐØÓÒ Ð Ø ÓÖ ÐÓÒÖ ØÒ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ º ÀÖ Ø ÑÙÐØÓÒ ØÑ Ð t sim 1/λ ÙØ Ø ÒÓØ ÙÒÚÖ Ðº ÀÝÖÞØÓÒ Ó Ø È Ò ÔÓ ØÚ¹È ÑØÓ ÒØÓ ØÖØÑÒØ H B ÑÔÐÝ ÒØÐ ÖÔÐÒ ig Ý igλ Ò Ø ÕÙØÓÒ µ Ò ÓÐÐÓÛÒ Ø ÔÓ ØÚ¹È ÔÖ ÖÔ¹ ØÓÒ ÖÓÑ ØÒ ÓÒº ÀÖ t sim 1/λ º ÏØ ÝÖ Ò Ò ÜØÖÔÓÐØÓÒ Ó Ø ØÓØÐ ÒÙѹ Ö Ó ØØÖ ØÓÑ ØÓ Ø ÙÐÐ É ÐÑØ λ = 1 Ö ÓÛÒ Ò º ¾ ÓÖ ÚÖÐ ØÑ t Q sim º ÀÐÓ Ô Ò¹ ØÝ Ò½ º Ò Ù Ö Ò ÙÔÓÒ ØØÒ ÙÒØÓÒ ÐÒ¹ Ö ÕÙÖØ ÓØÖÛ Ö ØÐÝ Ò ÔØÐ Ø ÑÙ Ø ÒÓØ Ú ÒÝ ØØ ØÐÐÝ ÒÒØ Ñ ÑØ ÛØ Ø Øº ËÓÒÐÝ ØÓ ÜÐÙ ÔÙÖÓÙ ÐйÓÒØÓÒ Ô¹ ÖÑØÖ ÓÒ ÓÙÐ ÓÓ Ø ØØ ÑÒÑ Ø ÙÒ¹ ÖØÒØÝ Ò Ø ÜØÖÔÓÐØ ÚÐÙ Ø λ = 1 ÐÓÛµº ÇÒ ÑÙ Ø Ð Ó ÛÖ Ó ÔÓ Ð ØÒ Ò Ø ÙÒ Ò number of scattered atoms t=63µs t=11µs circles: H A : twigner/+p 4 squares: t=11µs H :GP/+P t=63µs B λ full QD Áº ¾ λ¹ôòòø ÔÖØÓÒ ÓÖ ÚÖÐ ØÑ t Q sim ÝÑÓÐ µ Ò ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÕÙÖØ Ø ÐÒµº ع ØÒ Ú ÑÒÑ ØÓÒ Ó ÖÑ ÚØÓÒ Ò ÙÒØ Ó 1σ Ø ÙÒÖØÒØݺ Ø ÔÓÒØ Ù 3 1 ØÖØÓÖ º λ Ò Ò ØÚØÝ ØÓ Ø Ø ÔÖÑÖÝ Ö ÓÒ ÛÝ Ú¹ ÖÐ ÒÔÒÒØ ÝÖ Ö Òº ØÐ Ó º ¾ Ö ÓÒ ØÒØ ÛØ Ð Ó ØÒ Ò Ø ÙÒ ÑÙÐØ ÐÖ λ ÖÓÒ Ö ØÐÝ ÓÖ t Ø Û Ø ÛÓÐ λ ÕÙÒ Ò ØÖ Ö ÒÓ ÒØÓÒ º ËÓÒÐÝ Ø ØÛÓ ÝÖ ÔÔÖÓ Ø λ = 1 ÚÐÙ ÖÓÑ ÖÒØ ÙØ Öº Ð Ó ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÖÓÑ ÓÒÐÝ ÐÓÛ¹λ ÔÓÖØÓÒ Ó Ø ÚÐÐ Ø ÓÙÐ Ö ÛØ ÓÒ ØØ Ù Ø ÛÓÐ ÕÙÒº Ì ÓÒÖÑ Ò ½ º ÖÑÒØ ØÛÒ Ø H A Ò H B ÜØÖÔÓÐØÓÒ Ò º ¾ ÖØÖ ÓÓ Ø ÐÓÒ ØÑ ÙØ Ø ÖÑÒ ØÓ ÔÖÓÚ ÛÐÐ¹Ò ÙÒÖØÒØÝ ÓÖ Ø ÒÐ ÔÖ¹ ØÓÒº ÅØÓ ØÓ ÓØÒ Ø ØØ ØÐ ÙÒÖØÒØÝ Ó Ø λ = 1 ÜØÖÔÓÐØÓÒ Ö ÒÓÛÒ¾ º ÁÒ Ø ÒÚ¹ ÓÙÖ Ø ÚÖÝ ÐÔÙÐ ØÓ ÒÓÛ Ø ÙÒÖÐÝÒ ØÖÙØÓÒ Ó Ø Ø ÔÓÒØ v(λ) Û Ö Ò ÑÐ ÚÖ Ó ÖÚÐ º ÓÒÚÒÒØÐÝ Ø ÒÓÛÒ ØÓ Ù Ò Ý Ø ÒØÖÐ ÐÑØ ØÓÖÑ Ò Ø ÓÛÒ ½σ ÙÒÖ¹ ØÒØÝ v(λ) Ø ØÒÖ ÚØÓÒº ÇÒ ÖØÖ Ñ¹ ÔÐ ÛÝ ØÓ ÔÖÓ ØÓ ÒÖØ ÒÙÑÖ N S 1 Ó ÝÒØØ Ø Ø ÛÖ Ò Ø jø Ø ÓÒ ÒÖ¹ Ø v j (λ) = v(λ) + ξ j (λ) v(λ) ÛØ ξ j Ò Ù Ò ÖÒÓÑ ÚÖÐ Ó ÚÖÒ ½ ÑÒ ÞÖÓº Ì ÝÒ¹ ØØ Ø v j Ö ØÖÙØ ÛØ Ø Ñ ÑÒ Ø ÓÖÒÐ v ÙØ ÓÙÐ Ø ÚÖÒº ÆÓÛ ÓÒ ÐÙÐØ Ò ÜØÖÔÓÐØ É ÔÖØÓÒ v j (1) ÓÖ λ = 1 ÓÖ ÝÒØØ Ø j Ò Ù Ø ØÖÙØÓÒ Ó Ø v j (1) ØÓ ÓØÒ Ø ÒÐ ÙÒÖØÒØÝ v(1)º ÈÖØÓÒ ÖÓÑ H A Ò H B ØØ ÑØ ÛØÒ ØØ ØÐ ÙÒÖØÒØÝ Ö ØÖÙ ØÛÓÖØÝ ØÓ Ø ÙÖݺ Ì ÒÐ ÔÖØÓÒ ÖÓÑ ÓØ ÝÖ ÑØÓ ÓÖ Ø ÒÙÑÖ Ó ØØÖ ØÓÑ Ö ÓÛÒ Ò º Ò ÓÖ ÐÓ Ò ØÝ Ò ½ º ÇÒ ØØ Ø Ù ÙÐ ÑÙÐØÓÒ ØÑ Ò Ü¹ ØÒ ÚÖйÓÐ ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ Ö Ø Ò Ó Ø ÓÐÐ ÓÒ Ö Ò ØÖÑÒ Ø ØÓØÐ ØØÖ ØÓÑ ØÓ 88 ± 4 Ø t½ºñ µº Ì ÑÙ ÛÓÖ ÔÖ¹ ÓÒ Ó Ø H A Ö ÙÐØ ØÑ ÖÓÑ Ø ÒÖÒØ ÚÙÙÑ ÒÓ Ò ÏÒÖ ÐÙÐØÓÒ Ò ÓÖØÖ ÑÒØ Ó λ ÚÐÙ º ÀÓÛÚÖ ÓÖ ÐÓ Ò ØÝ Ø H B ØØ ÑÓÖ ÒÓ Ýº ÊÖÒ ÐÑØ Ó ÔÔÐÐØÝ Ø ÚÖÝ ÐÓÒ ØÑ Ø

4 scattered atoms µs λ=1 full QD 11µs λ= (trunc Wigner) prediction from H A 1895µs 4 prediction from H B GP t units of ms Áº ÈÖØÓÒ Ó ÖÓÑ ÝÖ H A Ò H B ÓÑÔÖ ÛØ ÓÖعØÑ ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ò ÔÔÖÓÜÑØ ÑØÓ º ÌÖÔÐ ÐÒ ÛÖ Ú Ð Ö 1σ ÙÒÖØÒØݺ Í 1 ÚÐÙ Ó λ ÔÖ º ¾º ÙÒÖØÒØÝ ÓÑ Ü Ú ÓÖ ÐÐ ÝÖ Ò Ø ÓÖØ λ ÒØÖÚÐ Ú ÐÝ ÓÒØÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ º ÀÒ Ø Ö ÑÙÐØÓÒ ØÑ Ò Ø Q ØÖØÑÒØ ÑÙ Ø ÒÓØ ØÓÓ ÑÐÐ ØÓ Ò ÙÖ ÙÒØÐÝ ÐÓÒ λ ÒØÖÚк ÁØ Ð Ó ÖÙÐ ØØ Ø ÐÒÒ λ ÒØÖ Ø ÝÒѹ Ò ÐÓÐ ÛÝ ÖØÐ ÓÙÒÖ ¾ ¾ ÓÙÐ Ñ Ó ÖÚÐ ÔÒ ØÝ ÓÒ Ø ÓÙÒÖÝ ÔÓ ¹ ØÓÒº ÓÖ ÓÐ ÐÓÛ Ò Ø Ò ØÖØ ÔÖØÙÖ¹ ØÚÐÝ ÛÐ Ø ÒÓÙ Ò Ø ¹Ð ØÖØÑÒØ Ö ÚÐ Ó ØØ ÓÒ ÜÔØ ØØ Ø ÐÒÒ ÑØÓ ÛÐÐ ÑÓ Ø Ù ÙÐ Ø ÒØÖÑØ Ò Ø ØØ ÐÐ ØÖÓÙ Ø Ö ØÛÒ Ø ØÛÓ ÑØÓ º Ì ÖÐØÚ ÑÔÐØÝ Ó ÒÓØ ÖÕÙÖÒ ÔÖÓØÓÒ ÓÒØÓ ÐÓÛ¹ ÒÖÝ ÑÓ ÑÝ Ð Ó Ñ ÐÒÒ ÔÔÐÒ Ò ÓØÖ ÖÑ º ÒÐÐÝ ÛÐ Ø ÑÔ Ò ÓÒ ÓÐ Ó¹ ÓÒ ÝÒÑ Ø ÒÖÐ ÕÙØÓÒ¹ÐÒÒ ÔÔÖÓ ÓÙÐ ÖÓÐÝ ÔÔÐк ÓÖ Ö¹ÓÖ Ó ÓÒ ÓÖ ÖÑÓÒ Ý ØÑ ÓØÖ ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÛÓÙÐ Ú ØÓ ÝÖ ÛØ ÖÒØ ÓÑÔÐØ Ô ¹ Ô ÖÔ¹ ØÓÒ Qº ÇÒ Ò Ð Ó ÝÖ ÑÒÖݹØÑ ÚÓÐÙ¹ ØÓÒ ÓÖ ØÖÑÐ ÕÙÐÖÙÑ ØØ ÓÖ ÅÓÒعÖÐÓ Ôع ÒØÖÐ ÛØ Ø Ñ Ó ÔÖØÒ Ø ¹ÒØÓ Ö ÙÐØ ÓÖ ÐÓÒÖ β = 1/T ØÒ ÒÓÖÑÐÐÝ ÐÐÓÛ Ý Ø ÖÑÓÒ Ò ÔÖÓÐѺ ÓÒÐÙÒ Ø Ò ÑÓÒ ØÖØ ÓÛ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ó ÑÖÓ ÓÔ ÒØÖØÒ Ý ¹ ØÑ Ò ÐÙÐØ ÓÖ ÑÙ ÐÓÒÖ ØÑ ØÒ Û ÔÓ Ð ÛØ Ø ÔÖÚÓÙ ÐÝ ÑÓ Ø ØÚ ÑØÓ Ø ÔÓ ØÚ¹È ÖÔÖ ÒØØÓÒº ÉÙÒØØØÚ ÔÖØÓÒ ÓÖ ÓÐÐ ÓÒ Ò Ø ÐÙØ ØÑÙÐØ ÖÑ ÛÖ Ó¹ ØÒº Ì ÝÖ ÝÒÑÐ ÕÙØÓÒ Ù ÛÐ ÒÓØ ØÙÐÐÝ ÑÙÐØÒ ÓÑÔÐØ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ ÔÖ Ò Ù ØÓ ÓÒÒØÐÝ ÔÖØ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ Ý¹ ÒÑ ÛØÒ ÚÒ ÙÖݵ ÛÒ ÚÖÐ ÑÐ Ó ÝÖ Ö ÚÐк Á Ñ ÖØÙÐ ØÓ ËÓØØ ÀÓÑÒÒ ÈØÖ ÖÙÑÑÓÒ ÓÖÝ ËÐÝÔÒÓÚ ÓÖ ËÚ ØÙÒÓÚ ÂÓÐ ÓÖÒÝ Ò¹ ØÓÐ ÈÓÐÓÚÒÓÚ Ò ÚÒÝ ÙÖÓÚ Ý ÓÖ ØÑÙÐØÒ Ù ÓÒ º Ì Ö Ö Û ÙÔÔÓÖØ Ý Ø Ù¹ ÖÓÔÒ ÓÑÑÙÒØÝ ÙÒÖ Ø ÓÒØÖØ ÅÁ¹Ì¹¾¼¼¹ ¼½ ¼º ÄÈÌÅË ÑÜ Ö Ö ÙÒØ ÆÓº ¾ Ó ÆÊË Ò ÍÒÚÖ Ø ÈÖ ¹ËÙº ÐØÖÓÒ Ö ÔÓØÖºÙÖÐÔØÑ ºÙ¹Ô ÙºÖ ÈÖ ÒØ Ö ÁÒ ØØÙØ Ó ÈÝ ÈÓÐ ÑÝ Ó ËÒ Ðº ÄÓØÒÛ ¾» ¼¾¹ ÏÖ Û ÈÓÐÒ ½ º ËÒØÖ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¾½¼¼ ¾¼¼½µº ¾ Ⱥ º Рź º Ú ÈÝ º ÊÚº ¾ ¼ ¼ ¾¼¼µº Ⱥ º Ð Ø Ðº Úº ÈÝ º ¾¼¼µº ĺ º ËÐÖ Ø Ðº ÆØÙÖ ½¾ ¾¼¼µº º Ⱥ ØÙÖ Ø ÐºÈÝ º ÊÚº ÄØØ ¾¼¼¼µº º ÈÖÖÒ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½¼¼ ¾¼¼µº º ź ÎÓÐ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¼¾¼¼½ ¾¼¼¾µº º ÙØØÓÒ Ø Ðº ËÒ ¾ ¾¼¼½µ º º Ò Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½¼½ ½¼¼ ¾¼¼µº ̺ ÈÙÐ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¾½¼¼¾ ¾¼¼µº ½¼ Ⱥ º ÖÙÑÑÓÒ º Ϻ ÖÒÖ Âº ÈÝ ½ ¾ ½¼µº ½½ Áº ÖÙ ÓØØÓ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ¼¾ ¼ ¾¼¼½µº ½¾ Ⱥ ÙÖ Èº º ÖÙÑÑÓÒ Âº ÈÝ º ¾¾ ¾¼¼µº ½ Ⱥ ÙÖ Èº º ÖÙÑÑÓÒ Âº ÈÝ º ½½ ¾¼¼µº ½ Ⱥ º ÖÙÑÑÓÒ Âº º ÓÖÒÝ ÈÝ º ÊÚº ¼ ʾ½ ½µ º ź ËÚ Ø ÐºÈÝ º ÊÚº ¼ ¾¼ ¾¼¼µº ½ Ⱥ ÙÖ Èº º ÖÙÑÑÓÒ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½¾¼¼¾ ¾¼¼µº ½ º ÈÖÖÒ Ø Ðº ÆÛ Âº ÈÝ º ½¼ ¼¼¾½ ¾¼¼µº ½ ƺ κ ÈÖÓÓ³Ú º κ ËÚ ØÙÒÓÚ ÈÝ º ÊÚº ¼¾¼¼ ʵ ¾¼¼µº ½ Ë ÈÈË ÓÙÑÒØ ÆÓº ½ ź ÖÒ Ãº κ ÃÖÙÒØ ÝÒ ÈÝ º ÊÚº ¼¾½¼ ʵ ¾¼¼µº ¾¼ º º Ò Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¾ ¾¼¼¼µ ʺ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ¼ ¼ ¾¼¼¾µº ¾½ Ⱥ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¾¼¼¼½ ¾¼¼µ Ⱥ Ø Ðº ÈÝ º ÖÚº ¼ ¼¾ ¾¼¼µ ú ÅÐÑÖ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ¼ ¼½ ¾¼¼µ º ÛÞÙ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½¼¼ ¾¼¼µº ¾¾ º ÛÞÙ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ¼ ¼ ¾¼¼µº ¾ º º ÆÓÖÖ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¼¼¼½ ¾¼¼µ ÈÝ º ÊÚº ¼ ½ ¾¼¼µº ¾ Ⱥ ÙÖ Ãº κ ÃÖÙÒØ ÝÒ Åº ÌÖÔÔÒ Èº Ò ÔÖÔÖØÓÒº ¾ ź Ä Ø Ðº ÒÒº ÊÚº ÆÙк ÈÖغ ˺ ¾¼¼µº ¾ ºÏº ÖÒÖ Èº ÓÐÐÖ ÉÙÒØÙÑ ÆÓ ËÔÖÒÖ ¾¼¼µº ¾ ú º ÐРʺ º ÐÙÖ ÈÝ º ÊÚº ½ ½ ½µ ú º ÐРʺ º ÐÙÖ ÈÝ º ÊÚº ½ ½¾ ½µº ¾ Ë ºº ϺÀº ÈÖ Ø Ðº ÆÙÑÖÐ ÖÔ Ö º ÑÖ ÍÒÚº ÈÖ ÑÖ ¾¼¼µº ¾ ˺º ÀÓÑÒÒ Ø Ðº ÈÝ º ÊÚº ¼½ ¾¾ ¾¼¼µº

5 ËÙÔÔÐÑÒØÖÝ ÑØÖÐ Ì ÓÐÐ ÓÒ original condensate v Q second condensate produced by Bragg optical transition atoms scattered into an spherical shell Ì Ý ØÑ ÑÙÐغ ËÑØ Ó Ø ÓÐÐ ÓÒ Ò ÖÐ Ô Ò Ø Ð ÖѺ ËÐ Ó Ø ÚÐÓØÝ ØÖÙØÓÒ ρ Ò Ø ÒØÖ¹Ó¹Ñ ÖÑ Ø v z = Ò t = 67µ ÐÙÐØ Ù Ò Ø ÔÓ ØÚ¹È ÑØÓº Ì ÓÙØ ØÖ Ó Ø ÓÐÐ ÓÒ ØÑ Ò Ø ÑÜÑÙÑ ØÑ ÚÐ ÛØ ØØ ÑØÓº Ì ÓÒÒ Ø Ö ÐÓØ ÖÓÙÒ v x = ±v Q = ±9.8ÑÑ» º Ì ÐÓ Ó ØØÖ ØÓÑ ÐÖÐÝ Ò Ö Ø ÓÖÒØ ÖÕÙÒÝ ÓÙÐÒ Ô Ø ±3v Q 3ÑÑ» º Ì ÓÐÐ ÓÒ ÐÓÒ Ø x Ü º

6 Ì ÖÐØÓÒ Ô Ó Ø ÝÖ H A ØÓ s¹óöö ÓÔÖØÓÖ Ö Ø Ö ÜÔÓ ØÓÒ Ó Ø ØÒÖ ÓÖÑÐ Ñ Ù Ò ÖÚÒ Ô ¹ Ô ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ ÛÐÐ Ò ¹ Öݺ ÏÖØÒ Ø ØØ Ó Ø Ý ØÑ Ò ØÝ ÑØÖÜ ρ Ø Ò Ð Ó ÜÔÖ ØÖÙØÓÒ ρ = d vp( v) Λ( v). ÓÚÖ ÑÐÝ Ó ÓÔÖØÓÖ Λ( v) ÔÖÑØÖ Ý ÚÖÐ Ò Ø Ø vº Á Ø ØÖÙØÓÒ P( v) ÖÐ Ò ÒÓÒ¹ÒØÚ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÙÖÒ ØÓ Ò Ò ÑÐ Ó S Ø Ó ÖÒÓÑ ÚÖÐ v ÓÒÙÖØÓÒ µ Ó Ò ÓÖÒ ØÓ Ø ØÖÙØÓÒ P Ò Ø ÐÑØ ÛÒ S º ÁÒ ÔÖØ ÓÒ ÓÑÔÙØ ÒØ ÙØ ÐÖ Ò ÑÐ S 1µ Ò ÒÓÛ ÔÖÓÔÖØ Ó ρ ØÓ ÛØÒ ØØ ØÐ ÙÒÖØÒØÝ ØØ Ò ÓÒÒØÐÝ ØÑØ ÖÓÑ Ø ÔÖÓÔÖØ Ó Ø ÒØ Ò Ñк Ì ÝÒÑ Ó Ø Ý ØÑ Ö Ý Ø Ñ ØÖ ÕÙØÓÒ i ρ t = Ĥ, ρ, ÛÐ ÜÔØØÓÒ ÚÐÙ Ó Ó ÖÚÐ Ö Ô = Tr Ô ρ. Ì Ö ÑÓ Ø ÖÐÝ ÖÐØ ØÓ Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ Ò¹ ÑÐ Ó ÖÒÓÑ ÚÖÐ ØÖÓÙ Ø Ù Ó Ø ÓÔÖ¹ ØÓÖ ÒØØ ØØ Ö Ô ØÓ ÓÖÑÙÐØÓÒº ÓÖ ÜÑÔÐ Ò Ø ÔÓ ØÚ¹È ÑØÓ ÓÒ ÓÓ Λ ØÓ Ò Ó¹ÓÒÐ ÓÖÒع ØØ ÓÔÖØÓÖº ÄØØÒ x ÐÐ ÖØ ÔÓÒØ Ò Ø ÓÑÔÙØØÓÒÐ ÐØØ ÛØ V ÚÓÐÙÑ ÔÖ ÔÓÒØ ÒÒ ÓÒ α j (x) = ψ j (x)/ V, Λ PP ( v) = x ÛÖ v = {α 1, α } α 1 (x) x α (x) x α (x) x α 1 (x) x, α x = e α / e αba x x ÓÖÒØ ØØ ÓÒ Ø x ÐØØ ÔÓÒØ ÛØ Ø ÓÑÔÐÜ ÑÔÐØÙ α Ò ÒÐØÓÒ ÓÔÖØÓÖ â x = Ψ(x) V º ÌÒ ÓÒ Ò ÓÑØØÒ ÙÕÙØÓÙ ÐÓÐ x ÔÒÒµ Ø ÓÔÖØÓÖ ÒØØ Ψ Λ PP = ψ 1 ΛPP ; Ψ ΛPP = ψ + ψ 1 Λ PP Ψ = ψ Λ PP ; ΛPP Ψ = ψ 1 + ψ Λ PP Λ PP, Û Ö Ø ÓÙÖ Ó Ø ÔÓ ØÚ¹È ÒØØ Ò Ø ÑÒ ØÜغ ÓÑÒ ÛØ Ò Ø ÐÐÓÛ ÓÒ ØÓ ÓØÒ ÔÖØÐ ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ ÓÖ P( v, t) ØØ ÕÙÚÐÒØ ØÓ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÚÓÐÙØÓÒ Ó ρ(t)º ÓÖ Ø ÔÓ ØÚ¹È ÖÔÖ ÒØØÓÒ Ø ÓÖ¹ÈÐÒ ÕÙ¹ ØÓÒ Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ÜØÐÝ ØÓ Ø ÄÒÚÒ ÕÙ¹ ØÓÒ ÚÒ Ò Ó Ø ÑÒ ØÜØ ÓÑÒÒ Ø Ò¹ ØØ ÛØ Ò Tr ΛPP = 1 ÓÒ Ò Ô = P( v)f O ( v)d v ÛØ ÙÒØÓÒ f O ØØ ÓØÒ ÖÓÑ Ô Ú Ø ÓÔÖ¹ ØÓÖ ÒØØ Ó ØØ Ò Ø ÐÙÐØÓÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Ò ÑÐ ÚÖ Ó f O º ÓÖ ÜÑÔÐ ÓÖ Ψ Ô = (x) Ψ(x) Ø ÙÒØÓÒ ½ f O = ψ(x)ψ 1 (x)º Ì Ò¹ ØÐ ÓÖÒØ ØØ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ P = x,j δ(3) (ψ j (x) φ GP (x))º ÁØ Ò ÓÛÒ ¾ ØØ Ø ÐÙÖ¹ËÙÖ Ò È ¹ ØÖÙØÓÒ Ö Ý ÓÖÒØ ØØ ÓÔÖØÓÖ Λ GSP (ψ) = x α(x) x α(x) x ÑÐÖ ØÓ Ø ÔÓ ØÚ¹È ÙØ ÓÒе Ò Ö Ø ÐÑØ Ó ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÚÖ s¹óöö ØØ Λ GSP = lim s 1 Λs ÛÖ s Ò Ø ÓÒ ÓÒØÒÙÓÙ ÚÐÙ ÖÓÑ ¹½ ØÓ ½ Ò ÀÖ Λ s (ψ) = x D(α) x T(, s)x D 1 (α) x. Tr D(α)x T(, s)x D 1 (α) x T(, s) x = 1 + s ( ) ba s 1 x bax 1 + s ÖÒÐ ÓÔÖØÓÖ ØØ ÓÑ Ø ÚÙÙÑ Ò Ø ÐÑØ Ó s 1 Ò Ø ÐÓÐ ÔÐÑÒØ ÓÔÖØÓÖ D(α) x = e α(x)ba x α(x) ba x. Ó ØØ ÓÖÒØ ØØ Ö α = D(α) º ÁØ Û Ð Ó ÓÛÒ ØÖ ØØ Ø ÏÒÖ ØÖÙØÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ s = Ò ÚÖØÓÒ Ó s ÖÓÑ ¼ ØÓ ½ ÐÓÓ Ð ÓÓ ÒØ ØÓ ÖØ Ø H A ÝÖ ÓÖÑÙÐØÓÒ ØÛÒ ØÖÙÒØ ÏÒÖ Ò ÔÓ ØڹȺ Ì ØÖÙÒØÓÒ ÖÖ ½ f O = ψ1 (x)ψ (x) Ò Ð Ó ÓØÒ ÙØ Ú Ø Ñ ÚÐÙ Ó O b Ò Ø S ÐÑغ ¾ ú º ÐÐ Ò Êº º ÐÙÖ ÈÝ º ÊÚº ½ ½ ½µ º ½ ½¾ ½µ

7 ØÓ ¹Ó ÖÑÓÚÐ Ó ØÖ ÓÖÖ ÔÖØÐ ÖÚØÚ Ó Ø ÏÒÖ ØÖÙØÓÒ P Ò Ø ÚÓÐÙØÓÒ ÕÙØÓÒ ØÓ Ñ Ø ÒØÖÔÖØÐ ÄÒÚÒ ØÓ Ø ÕÙØÓÒ Ó Ø ÑÔÐ º Ì ÖÑÓÚÐ Ø Ö ÓÒ ÛÝ ØÖÙÒØ ÏÒÖ ØÖØÑÒØ Ó ÒÓØ ÖÔÖÓÙ Ø ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ º Ö Ø ØÓÙ ÓÒ ÑÙ Ø Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ó¹ ÓÒÐØÝ ØØ Ö ÔÓÒ Ð ÓÖ Ø ÖÒ ØÛÒ Ø ÐÙÖ¹ËÙÖ Ò È Ò ÔÓ ØÚ¹È Λ PP Λ GSP º ÆÓØÐÝ ÓÒ Ó Ø ØØ ÖÔÖÓÙ Ø ÔÓ ØÚ¹È Λ PP ( v) = x = x d( v) x T(, 1)x d 1 ( v) x Tr d( v)x T(, 1)x d 1 ( v) x d( v) x T(, 1)x d 1 ( v) x ÛÖ Ø ÔÐÑÒعРÓÔÖØÓÖ d( v) x = e α1(x)ba x α(x) ba x. ½¼µ ÓØÒ Ý Ø ÖÔÐÑÒØ α α 1, α α Ò D(α) Ò Ø ÓÒ ÐÒ ÓÐÐÓÛ Ù Ø ØÖ Ò Ø ¹ ÒÓÑÒØÓÖ ÚÐÙØ ØÓ ÓÒº Ì Ö ÓÒ ÓÖ Ø ÔÖع ÙÐÖ ÖÔÐÑÒØ ØØ ÓÖ Ø ÔÓ ØÚ¹È ØÖÙØÓÒ ÓÒ ÖÕÙÖ Λ ØÓ ÔÒ ÒÐÝØÐÐÝ ÓÒ ØÛÓ ÔÖØ ÓÑÔÐÜ ÚÖÐ Ò ØÖ ÓÑÔÐÜ ÓÒÙØ ÑÙ Ø ÖÑÓÚº ÀÖ Ø ÒÐÝØ ÚÖÐ Ö α 1 Ò α º Ì ÜØÒ ÓÒ Ó Ø Λ ÓÒØÓ ÑÐÝ Ó s¹óöö ÇÒ ÓØÒ Ø ÒØØ Ψ Λ A s = ψ 1 1 s ψ Ψ ΛA s = ψ s ψ 1 Λ A Ψ s = ψ 1 s ψ 1 Λ A Ψ s = ψ s ψ Λ A s Λ A s Λ A s Λ A s Û Ö ÜØÐÝ Ø Ñ Û ÓØÒ Ý ÒÚ ÐÒÒ Ó Ø ÓÔÖØÓÖ ÒØØ Ò Ø ÑÒ ØÜØ ÔÖÓ¹ Ú Û ÒØÝ λ = sº ÊÖÒ ÒØÐ ÓÒØÓÒ Ø ÓÒÐ s¹óöö ÖÔÖ ÒØØÓÒ ÓÖ ÓÖÒØ ØØ φ GP Û ÓÙÒ Ý ÐÐ Ò ÐÙÖ ØÓ Ù Ò P(ψ) = x 1 s exp ( ψ(x) φ GP(x) V (1 s) ). ½¾µ ÏÒ ÓÒ ØÓÒÐÐÝ ÑÔÓ ψ 1 = ψ = ψ ÓÒ Ò Ø ÑÒ ØÜØ Ø ÕÙÚÐÒØ ØÓ ½½µ Ù ØÝÒ Ø ÒØÐ ÓÒØÓÒ ÚÒ Ò Ø ÑÒ ØÜØ ØØ ÓÒØÒ ÓÑÔÐÜ Ù Ò ÒÓ Ó ÚÖÒ (1 s)/º Λ A s ( v) = x = x d( v) x T(, s)x d 1 ( v) x Tr d( v)x T(, s)x d 1 ( v) x d( v) x T(, s) d 1 x ( v) x. ½½µ Ì ØÒ ÒØÖÔÓÐØ ØÓÛÖ Ø ÏÒÖ ÖÔÖ Òع ØÓÒº ÆÓØ ØØ Ò Ø ØÖÙÒØ ÏÒÖ ÚÓÐÙØÓÒ ØÖÑÒ Ø ØÒ ÓÒ Ø Ø ÓÖÑÐÐÝ Ó¹ÓÒÐ Ø ÛØ s = ÙØ ÑÔÓ δ(ψ 1 ψ ) Ò Ø Ò¹ ØÐ ÓÒØÓÒ Ø ÛÐÐ ÖÑÒ ÜØÐÝ ÕÙÚÐÒØ ØÓ Ø ÒÓÖÑÐ ØÖÙÒØ ÏÒÖ ÓÖÑÙÐØÓÒ Ó ÛØ s = º Ò Ö ÓÖÖ ØÖÑ Ò ÖÝ ÐØÓÙ ÓÖ Ø ÓÐ ØÓÑ ÀÑÐØÓÒÒ ÓÒ Ö Ò Ø ÐØØÖ ÓÒÐÝ ÔÖØÐ ÖÚØÚ ÙÔ ØÓ ØÖ ÓÖÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÏÒÖ ÖÔÖ ÒØØÓÒº ÌÓÙ ÒÓØ Ø ÓÒÐÝ ÓÒº ÇØÖ ÛÝ Ó ÛÖØÒ Λ Ù ºº bd(α 1 ) bt(, 1) bd(α )/ Tr bd(α 1 ) bt(, 1) bd(α ) Ò Ð Ó ÖÔÖÓ¹ Ù Ø ÔÓ ØÚ¹È ÓÖÑÙÐØÓÒ ÙØ Ö ÒÓØ Ù ÙÐ ÓÖ ÒÖй ØÓÒ ØÓ s < 1 Ò Ó ÒÓØ ÖÔÖÓÙ Ø Ñ ØÖÑØ ÓÔÖØÓÖ ÒØØ º ÓÖ ÜÑÔÐ Ý ÓÑÔÖ ÓÒ Ó ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ ÄÀË Ò ÊÀË ÛÒ b T(, s) ÜÔÒ Ò ÒÙÑÖ ØØ º

8 ÀÐÓ Ò ØÝ ÐÙÐØÓÒ ÜØÖÔÓÐØÓÒ ÖÓÑ ÔÖØÐ λ ÑÒØ t=11µs 1 halo density mm/s circles: H A :twigner/+p t=63µs t=11µs t=63µs squares: H B :GP/+P predicted scattered atoms t=11µs t=63µs λ full QD λ¹ôòòø ÔÖØÓÒ Ó ÐÓ Ò ØÝ Ø v x = v z = v y = 9.37ÑÑ» Ò ÚÐÓØÝ Ôµ ÓÖ ÚÖÐ ØÑ ÖÐ µ ÛØ ÙÒÖØÒØÝ ÓÛÒ ÚÖØÐ Ö Ø Ø Ñ ÐÓØÓÒº Ì ÓÖÖ ÔÓÒÒ Ø µ Ö ÕÙÖØ ÓÖ Ø H B ݹ Ö Ò ÓÒ ØÒعÚÐÙ ÓÖ H Aº ØØÒ Ú ÑÒÑ ØÓÒ Ó ÖÑ ÚØÓÒ Ò ÙÒØ Ó 1σ Ø ÙÒÖØÒØݺ ÄÒÖ ÓÖ ÕÙÖØ Ø ØÓ Ø H A ÝÖ Ø Ö ÒÓØ ÑÓÖ ØØ Ø¹ ÐÐÝ ÒÒØ ØÒ Ø ÓÒ ØÒعÚÐÙ Ø Ò Ò ÛÓÙÐ ÔÓÓÖÐÝ ÓÒØÓÒº λ max ÈÖØÓÒ Ó Ø ÒÙÑÖ Ó ØØÖ ØÓÑ Ø ÚÖÐ ØÑ ÙÒØÓÒ Ó Ø λ ÑÒØ λ, λ max Ù ÓÖ ÜØÖÔÓ¹ ÐØÓÒ ÖÓÑ ÕÙÖØ Ø ØÓ H A Ö ÙÐØ º ÌÖÔÐ ÐÒ ÛÖ Ú Ð Ö 1σ ÙÒÖØÒØݺ ÐÒ ÒØ Ø ÒÐ ÔÖ¹ ØÓÒ Ù Ò ÐÐ Ø ÚÐÐ λ ÚÐÙ º Ø Ù Û ÖÓÑ Ø Ñ ÑÙÐØÓÒ Ò º ¾ Ó Ø ÑÒ ØÜغ ÌÖ ÒÓ ØØ ØÐÐÝ ÒÒØ ØÖÒ ÛØ λ max Ú Ð Ù ØÒ ØØ Ø ØØÒ ÙÒØÓÒ ØØ ÕÙÖØ ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ò λ ÔÔÖÓÔÖØ ÛØÒ ØØ ØÐ ÔÖ ÓÒº halo density units of (mm/s) λ= (trunc Wigner) 63µs 11µs λ=1 full QD prediction from H A prediction from H B GP 1895µs t units of ms ÈÖØÓÒ Ó ÐÓ Ò ØÝ Ø v x = v z = v y = 9.37ÑÑ» Ò ÚÐÓØÝ Ôµ ÖÓÑ ÝÖ H A Ò H B ÓÑÔÖ ÛØ ÓÖعØÑ ÙÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ Ò ÔÔÖÓÜÑØ ÑØÓ º ÌÖÔÐ ÐÒ ÛÖ Ú Ð Ö 1σ ÙÒÖØÒØݺ ÈÖØÓÒ Ø ÓÒ 1 ÚÐÙ Ó λ ÛØ 3 1 ØÖØÓÖ Ò ÕÙÖØ» ÓÒ ØÒعÚÐÙ ØØÒ ÓÖ H A» H B ÝÖ Ö ÔØÚÐݺ ÆÓØ Ø ÖÑÒØ ÛØ ØÖÙÒØ ÏÒÖ ØÓ ÛØÒ ØØ ØÐ ÙÒÖØÒØݺ ÌÑ ØÐ Ò Ø ÔÖÚÓÙ ÙÖ ÓÚµ Ö Ðغ