final exam February A 2017 solutions.dvi

Bản ghi

1 ÈÄË ÆÇÌ ÆËÏÊË ÌÇ ËÇÅ ÈÊÇÄÅË Ê ÆÇÌ ÍÆÁÉÍ ÏÆ ÄÒÖ ÐÖ ÒÐ ÜÑ ËÖ ÖÙÖÝ ¾¼½ ÈÐ Ù ÔÖØ Ø ÓÖ ÖÒØ ÔÖÓÐÑ º ÈÐ ÔÖÓÚ Ø ÓÐÐÓÛÒ Ø ÓÒ Ø ÒÑ ÙÖÒÑ Ò ÝÓÙÖ ØÙÒØ ÒÙÑÖ ÒÙÑÖ Ó ÝÓÙÖ ÖÓÙÔ ÒÙÑÖ Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒÒ ÔÖÓÐѺ ÈÖÓÐÑ ½º ÄØ v 1 Ô1,1,1,1Õ,v 2 Ô2,1,2,3Õ,v 3 Ô1,,1,tÕ ÚØÓÖ Ò R 4 º µ ÓÖ Û t È R ÚØÓÖ v 1,v 2,v 3 È R 4 Ö ÐÒÖÐÝ ÒÔÒÒØ µ Ò Ý ØÑ Ó ÐÒÖ ÕÙØÓÒ Û Ø Ó ÓÐÙØÓÒ ÕÙÐ ØÓ linôv 1,v 2,v 3 Õ ÓÖ t 3. ÈÙØ ÚØÓÖ ÓÖÞÓÒØÐÐÝ Ò ÑØÖÜ Ò ÔÖÓÖÑ ÐÑÒØÖÝ ÖÓÛ ÓÔÖØÓÒ ØÓ Ø Ò ÐÓÒ ÓÖѺ t r 2 2r 1 r 3 r t 1 r 1 r 2 r 3 r 2 Ô 1Õ r t 2 µ ÐÑÒØÖÝ ÓÔÖØÓÒ Ó ÒÓØ Ò ÐÒÖ ÔÒÒº Á t 2 ØÒ t 2 r 3ßÔt 2Õ r 2 r 3 r 1 2r ÚØÓÖ Ô1,,1,Õ, Ô,1,,Õ, Ô,,,1Õ Ö ÐÒÖÐÝ ÒÔÒÒØ Ó Ö v 1,v 2,v 3 º ÓÖ t 2 Û Ø Ø ÞÖÓ ÚØÓÖ Ó ÚØÓÖ v 1,v 2,v 3 Ö ÐÒÖÐÝ ÔÒÒغ Ò ÛÖ t 2 µ ÓÖ t 3 ÒÝ ÚØÓÖ Ò linôv 1,v 2,v 3 Õ ÕÙÐ ØÓ x 1 Ô1,,1,Õ x 2 Ô,1,,Õ x 4 Ô,,,1Õ Ôx 1,x 2,x 1,x 4 Õ ÓÖ ÓÑ x 1,x 2,x 4 È Rº Ì ÒÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛÒ Ý ØÑ ÓÒ ØÒ Ó ÒÐ ÐÒÖ ÕÙØÓÒ x 1 x 3 Ò ÛÖ x 1 x 3

2 ¾ ÈÖÓÐÑ ¾º ÄØ W R 5 Ù Ô ÚÒ Ý Ø ÓÑÓÒÓÙ Ý ØÑ Ó ÐÒÖ ÕÙØÓÒ ² x 1 x 2 2x 3 x 4 2x 5 x 1 x 2 3x 3 x 4 3x 5 ± 2x 1 3x 2 5x 3 3x 4 3x 5 µ Ò A Ó Ø Ù Ô W Ò Ø ÑÒ ÓÒ Ó W µ ÓÑÔÐØ Ø AØÓ B ÓR 5 Ò Ò ÓÓÖÒØ Ów Ô1,,,,Õ È R 5 ÖÐØÚ ØÓ Bº ËÓÐÚ Ø Ý ØÑ Ó ÐÒÖ ÕÙØÓÒ Ý ÖÒÒ Ø ÑØÖÜ Ó ÓÒØ ØÓ ÖÙ ÐÓÒ ÓÖÑ Ì ÒÖÐ ÓÐÙØÓÒ r 2 r 1 r 3 2r r2r3 ² x 1 2x 4 2x 5 x 2 3x 4 2x 5 ± x 3 2x 4 x 5 r1 r r 1 r 2 r 3 r 2 ØØ Ô2x 4 2x 5,3x 4 2x 5, 2x 4 x 5,x 4,x 5 Õ x 4 Ô2,3, 2,1,Õ x 5 Ô 2,2, 1,,1Õ, x 4,x 5 È Rº µ Ò ÛÖ Ì Ó W A ÔÔ2,3, 2,1,Õ, Ô 2,2, 1,,1ÕÕ Ò dimw 2º µ Ó ÖÚ ØØ Ø ÑØÖÜ Ò ÖÓÙØ Ý Ø ÐÑÒØÖÝ ÖÓÛ ÓÔÖØÓÒ ØÓ Ø ÒØØÝ ÑØÖÜ ÐØÖ¹ ÒØÚÐÝ Ø ØÖÑÒÒØ ÒÓÒÞÖÓµ ØÖÓÖ ÖÓÛ Ó Ø Ú Ó R 5 º ÁØ Ý ØÓ ØØ w 1Ô1,,,,Õ Ô,1,,,Õ Ô,,1,,Õ Ô2,3, 2,1,Õ Ô 2,2, 1,,1Õ Ò ÛÖ Ì B ÔÔ1,,,,Õ, Ô,1,,,Õ, Ô,,1,,Õ, Ô2,3, 2,1,Õ, Ô 2,2, 1,,1ÕÕ. Ì ÓÓÖÒØ Ó w ÖÐØÚ ØÓ B Ö 1,,,,. ÈÖÓÐÑ º ÄØ ϕ: R 3 R 3 ÐÒÖ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ÚÒ Ý Ø ÓÖÑÙÐ ϕôôx 1,x 2,x 3 ÕÕ Ô 4x 1 x 2 2x 3,tx 2, x 1 x 2 x 3 Õ. µ ÓÖ t 3 Ò ÑØÖÜ C È MÔ3 3;RÕ Ù ØØ ÑØÖÜ C 1 MÔϕÕ st stc ÓÒÐ

3 µ Ò ÐÐ t È R ÓÖ Û ØÖ Ü Ø A Ó R 3 Ù ØØ MÔϕÕ A A p p, ÛÖ p,q È Rº q µ MÔϕÕ st st , w ϕ ÔλÕ det 4 λ 2 w ϕ ÔλÕ Ô 1Õ 2 2 Ô 3 λõdet 1 1 λ 4 λ λ λ Ôλ 3Õ 2 Ôλ 2Õ. Ì ÒÚÐÙ Ö λ 2 Ò λ 3º ÓÑÔÙØ Ò Ô x 1 V Ô 2Õ : 1 x 2 x 2, x 1 x 3, x 3 È R x 3 V Ô 2Õ ØÔx 3,,x 3 Õ È R 3 x 3 È RÙ linôô1,,1õõ. V Ô 3Õ : x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 2x 3, x 2,x 3 È R V Ô 3Õ ØÔx 2 2x 3,x 2,x 3 Õ È R 3 x 2,x 3 È RÙ linôô1,1,õ, Ô2,,1ÕÕ ÌÖ Ü Ø A ÔÔ1,,1Õ, Ô1,1,Õ, Ô2,,1ÕÕ ÓÖ R 3 ÓÒ ØÒ Ó ÒÚØÓÖ Ó ϕº Ò ÛÖ C MÔidÕ st A µ Ý ÓÑÔÙØÒ Ø ÖØÖ Ø ÔÓÐÝÒÓÑÐ Ò aõ Û ØØ ØÖ t 2 ÓÖ t 3º ÓÖ t 3 ØÖ Ü Ø Ó R 3 ÓÒ ØÒ Ó ÒÚØÓÖ º ÁØ ÒÓÙ ØÓ ØØ ÓÖ t 2º V Ô 2Õ : x 1 x 2 x 3 V Ô 2Õ ØÔx 3,,x 3 Õ È R 3 x 3 È RÙ linôô1,,1õõ x 2, x 1 x 3, x 3 È R V Ô 3Õ : 1 x 1 x 2 x 3 x 2,x 1 2x 3, x 3 È R V Ô 3Õ ØÔ2x 3,,x 3 Õ È R 3 x 3 È RÙ linôô2,,1õõ ÓÖt 2 ØÖ ÒÓ Ó R 3 ÓÒ ØÒ Ó ÒÚØÓÖ Ó ϕ ØÓÓ Û ÐÒÖÐÝ ÒÔÒÒØ ÒÚØÓÖ µº Ò ÛÖ t 3

4 ÈÖÓÐÑ º ÄØ A ÔÔ1,1,Õ, Ô,,1Õ, Ô2,3,ÕÕ Ò ÓÖÖ Ó R 3 º Ì ÐÒÖ ØÖÒ ÓÖ¹ 1 1 ÑØÓÒ ψ: R 3 R 3 ÚÒ Ý Ø ÑØÖÜ MÔψÕ A A 1 1º 1 µ Ò MÔψÕ st A µ Ò ÓÖÑÙÐ Ó ψ ψº µ Ý ÒØÓÒ Ó ÑØÖÜ Ó ÐÒÖ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ψôô1,1,õõ 1Ô1,1,Õ 1Ô,,1Õ Ô2,3,Õ Ô1,1, 1Õ, ψôô,,1õõ 1Ô1,1,Õ Ô,,1Õ 1Ô2,3,Õ Ô 1, 2,Õ, ψôô2,3,õõ Ô1,1,Õ 1Ô,,1Õ Ô2,3,Õ Ô,,1Õ. Ò ÛÖ MÔψÕ st A µ ÖÓÑ aõ ψôô,1,õõ ψôô2,3,õõ 2ψÔÔ1,1,ÕÕ Ô,,1Õ 2Ô1,1, 1Õ Ô 2, 2,3Õ. ÌÖÓÖ ψôô1,,õõ ψôô1,1,õõ ψôô,1,õõ Ô1,1, 1Õ Ô 2, 2,3Õ Ô3,3, 4Õ. Ò Ý ÒØÓÒ MÔψ ψõ st st MÔψÕ st st Ò ÛÖ Ôψ ψõôx 1,x 2,x 3 Õ Ô7x 1 5x 2 x 3,11x 1 8x 2 x 3, 3x 1 2x 2 2x 3 Õ ÈÖÓÐÑ º ÄØ V ØÔx 1,x 2,x 3 Õ È R 3 x 1 x 2 2x 3 Ù Ù Ô Ó R 3 º µ Ò Ò ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ó V Ã µ ÓÑÔÙØ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÔÖÓØÓÒ Ó w Ô3,,Õ ÓÒØÓ V º µ ØÖØÒ ÓÒØ Ó Ý ØÑ Ó ÐÒÖ ÕÙØÓÒ ÚØÓÖ ÔÒÒÒ Ù¹ Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ô Ò ÖÓÑ ÚØÓÖ Ô Ó ÓÐÙØÓÒ ØÓ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÓÑÔÐØÓÒº ÌÖÓÖ V Ã linôô1, 1,2ÕÕº Ò ÛÖ A Ô 1 6 Ô1, 1,2ÕÕ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ó V Ã

5 µ Ø Ö ØÓ ÔÖÓØ w ÓÒØÓ V Ã P V ÃÔÔ3,,ÕÕ Ô3,,Õ Ô1, 1,2Õ Ô1, 1,2Õ Ô1, 1,2Õ Ô1, 1,2Õ 1 Ô1, 1,2Õ. 2 ËÒ P V ÔwÕ P V ÃÔwÕ w Û Ú P V ÔÔ3,,ÕÕ Ô3,,Õ 1 2Ô1, 1,2Õ. Ò ÛÖ P V ÔÔ3,,ÕÕ 1 2Ô5,1, 2Õ ÈÖÓÐÑ º ÄØ A 1 µ ÓÑÔÙØ ÑØÖÜ AB µ ÓÑÔÙØ detôb 4 A 1 B 5 Õº B µ ÓÑÔÙØ A ÔA 1 Õ µ ÌÖÓÖ AB Ò ÛÖ AB Ý ÖÓÛ ÓÔÖØÓÒ detôb 4 A 1 B 5 Õ detôb 4 ÔA 1 BÕÕ ÔdetBÕ 4 det ÔdetBÕ 4 det Ò ÛÖ detôb 4 A 1 B 5 Õ Ô 1Õ 2 3 Ô 18 2Õ 16. ÈÖÓÐÑ º ÄØ L R 3 Ò Ò ÐÒ ÚÒ Ý Ø Ý ØÑ Ó ÐÒÖ ÕÙØÓÒ x1 x 3 2 2x 1 x 2 3 w3 4w2 µ Ò ÔÖÑØÖÞØÓÒ Ó L µ Ò Ò ÕÙØÓÒ Ó Ø Ò ÔÐÒ ÔÖÔÒÙÐÖ ØÓ L Ô Ò ØÖÓÙ Ô1,,Õº

6 µ Ø ÒÓÙ ØÓ ÓÐÚ Ø Ý ØÑ Ó ÐÒÖ ÕÙØÓÒ Û ØÖØÓÖÛÖ x2 2x 1 3, x x 3 x È R Ì ÒÖÐ ÓÐÙØÓÒ Ò ÔÖ ÒØ Ôx 1,2x 1 3,x 1 2Õ Ô, 3, 2Õ x 1 Ô1,2,1Õ, x 1 È R. Ò ÛÖ ÔÖÑØÖÞØÓÒ Ó L: Ô, 3, 2Õ tô1,2,1õ, t È R. µ Ò L linô1,2,1õ ØÒ L Ã ÕÙÐ ØÓ Ø Ø Ó ÓÐÙØÓÒ Ó Ø ÕÙØÓÒ x 1 2x 2 x 3 º Ï Ò ØÓ ÑÓÝ Ø ÓÒ ØÒØ ØÖÑ Ó Ø ÔÐÒ Ô ØÖÓÙ Ô1,,Õº Ò ÛÖ x 1 2x 2 x 3 1 ÈÖÓÐÑ º ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛÒ ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÒ ÔÖÓÐÑ 4x 1 3x 2 5x 3 2x 5 ÑÒ Ò Ø ØÒÖ ÓÖÑ ÛØ ÓÒ ØÖÒØ x1 x 2 x 3 x 4 3 Ò x 2x 1 x 2 2x 3 x 5 4 i ÓÖ i 1,...,5 µ Û Ó Ø Ø B 1 Ø1,3Ù,B 2 Ø2,3Ù,B 3 Ø4,5Ù Ö Ï Ø Ö Ð µ ÓÐÚ Ø ÐÒÖ ÔÖÓÖÑÑÒ ÔÖÓÐÑ Ù Ò ÑÔÐÜ ÑØÓº