AW_09 «√ “√ ¡°

Bản ghi

1 ª Ÿª Àπ ß âπµ ß π«π µá π âªí À π ß Õßæπ ß π Õ «A Comparative Study of Integer Linear Programming Formulations for Solving the Bottleneck Traveling Salesman Problem æ Õ à µ 1 àõ ªí À π ß Õßæπ ß π Õ «(The Bottleneck Traveling Salesman Problem, BTSP) ªìπ Õ «ß π ß ºà π ÿ n µ Àπàß Õß ø ß Õß π ß À«à ß Ÿàµ Àπàß Ë à Ë ÿ µâõß Àâ à πâõ ÿ ªìπªí À Ë ªìπ âõ ªí À ÕÁπæ â πõ Ÿª µ» µ å 3 Ÿª æ ËÕÀ µõ Ë À Ë ÿ â µ «Õ à ß Ë Õ Ÿà Õâ ßÕ ß Õߪí À π ß Õßæπ ß π Ëߺ Õ àß Õ «à Ÿª µ» µ å Ë 2 âπà µõ â «Á«Ë ÿ Abstract The Bottleneck Traveling Salesman Problem is a cycle of length n in a graph on n nodes where the longest arc distance is minimized. This problem is another well known NP-Hard class. Three integer linear programming formulations have been implemented on a series of well-known benchmark problems for optimality. Additionally, results obtained from the second formulation provides the most efficient computation times for obtaining the global optimum. 1 Àπà««π πß π «««Õÿµ À µ å À «µ» µ å «µ ß π 98

2 π Àπ Àâ ø G ß π ß ºà π ÿ i ª j à c ij Àâ G=(V, A) V ={1,...,n} n Õ π«πª (Nodes) ÈßÀ A = {(i,j): i,j V, i j} ªìπ µ Õß âπ ËÕ (Arcs) ÈßÀ π À âπ ß πºà πª ÿ ª Õ à ßπâÕ 1 Èß ÿ Ë «à Õ Œ µ π Ë π (Hamiltonian Cycle, HAMC) â µâõß À HAMC Ë ßπâÕ Ë ÿ ªí À π È«à ªí À π ß Õßæπ ß π (Traveling Salesman Problem, TSP) ªí À π È ªìπ âõªí À ÕÁπæ (NP-Hard) æ à «Ë Õß «à âπà µõ â π «æàÿπ Ë πàπõπ (Deterministic Polynomial Time) â c ij = c ji π ÿ ÿ âπ ËÕ ªí À π È«à ªí À π ß Õßæπ ß π µ (Symmetric Traveling Salesman Problem, STSP) â c ij c ji π ß âπ ËÕ «à ªí À π ß Õßæπ ß π Õ µ (Asymmetric Traveling Salesman Problem, ATSP) Laporte [6] ß π«à âªí À TSP Àâ â µõ Ë Ë ÿ 2 «Õ «µ Ëß Õ µ (Branch-and-Bound, B&B) «µ Ëß æ Ë π µ (Branchand-Cut, B&C) B&B ªí À ß π (Assignment Problem) ËÕ Õ ËÕÀπ Ëß«à «ÕßÕ µå π (Eastmanûs Algorithm) ªí À π ß Õßæπ ß π Õ «(the Bottleneck Traveling Salesman Problem, BTSP) Õ À HAMC ˵âÕß Àâ ß Ë à Ÿß ÿ À«à ß Ÿàª µõ Ë â à πâõ ÿ à ß Ÿß ÿ À«à ߪ π È «à à Õ «(Bottleneck Value) Reinelt [8] âõ «à ªí À π È ªìπ âõªí À ÕÁπæ (NP-Hard) àπ «π â ÿ ß À«à ß âπ ËÕ Àâ à à B à Õ â«à ÿ âπ ËÕ Ë à ßπâÕ «à à B HAMC À Õ à µ «Õ ªí À BTSP Carpento et al. [2] â âªí À «µ Ëß Õ µ (Branch-and-Bound, B&B) π«õ µ à ß Õß à Õ «à Ë ÿ Õß âªí À µàõ ªπ È Õ ªí À ß π Õ «(Bottleneck Assignment Problem) ªí À âπ ß Õ «(Bottle neck Paths) ªí À ËÕ µàõ Õß ÿ Õ (Linkage of Vertices) ªí À ËÕ µàõ Õß Õ àõ (Linkage of Subtours) π ËÕß π«õ µ à ß Èß 4 «π È Àâ π«π µà Ëß Õß µ Ëß Õ µ à â ßπ Èπ æ å [1] ß â πõ«µ Ëß Õ µ Ë π«õ µ à ß «ß π Õ «µà æ ßÕ à ß «Ëß «à «ª ß ÕßÕ µå π ª ÿ µå âß π Õߪí À BTSP Garfinkel and Gilbert [5] ß Àâ ÀÁπ«à π ˵âÕß À µõ Õߪí À TSP Ë «à πàπõπ À«à ß à ß À«à ß Ÿàª ËÕ µâõßà Ë ß π ߺà π âπ ËÕ ËÕ à ß À«à ߪ ªí À π È ßµâÕß â π ªí À BTSP 99 Ë ªï Ë 18 π« Ø 2548

3 πß π«π È â Õ â«µ Ëß æ Ë π µ (Branch-and-Cut, B&C) π âªí À BTSP π ËÕß Fischetti and Toth [4] ß π «ª «à 3 π 4 Õß ªí À Ë Õ «B&C Àâ ««Á««à «B&B π âπà µõ Ëß Õ â «B&C Ÿª µ» µ å 3 Ÿª Ëß Õß ª π â π «âπà µõ à Õ «ËµË ÿ Ÿª µ» µ å Õߪí À π ß Õßæπ ß π Õ «Ÿª µ» µ å Õߪí À BTSP â æ π Ÿª µ» µ å Õߪí À TSP Ë â Õ Ë ÿ ªìπ Ÿª µ» µ å Õß Dantzig et al. [3] x ij ªìπµ «ª Ë à 1 â âπ ß À«à ß Ÿàª i,j ËÕ Ÿà π µõ c ij ªìπ ß À«à ߪ i,j S ªìπ π Õß Õ àõ Ë π π«µà Èß Ÿª Ë ß Àâ ÀÁππ È â â Èߪí À STSP ATSP µ «π È π«πµ «ª n 2 - n µ «ª (1) (2) (3) (4) (5) n Õ π«πª ÈßÀ V Õ µ Õß π«πª ÈßÀ T Õ à Õ «ËµâÕß Àâ à πâõ Ë ÿ ß ËÕπ ß Ë 4 «à ß ËÕπ ß Õ àõ (Subtour Elimination Constraints, SECs) æ Ë â ªÀ ß π«π µà Èß æ ËÕ Õ àõ Ë æ â æ Ë â ª À πµõπ π«π ß 2 n - 2 ß ËÕπ ß π Õߪí À BTSP «âπ Ë (1) π ß ËÕπ ß À à â ßπ È (6) (7) Ë (2)-(7) ªìπ Ÿª µ-» µ å Õߪí À BTSP Ÿª µ» µ å Ë πõπ È «π âªí À æ Ë Èπ «à ªí À TSP π ËÕß ß ËÕπ ß Ë (7) æ Ë µ â ßπ Èπ ß âπ πõ«ëºàõπª π â Àπ ß âπµ ß π«π µá æ Ë ß ËÕπ π Ë (1)-(5) ßπ È 100

4 (8) UBT Õ à Õ «Ë ªìπ Õ µ π Õß BTSP π À à Õ «Ë Ë ÿ µâõß âªí À â Ë (1)-(5) π«π À Õ µ «ª Ë «à UBT Ë â π µà Õ Ëß â âªí À π Õ â Õ µàõ ««Á«π â ªí À æ Ë Èπ æ µ «ª Ÿ æ Ë Èπ π ËÕß à Õ «Ë ß Ÿª µ» µ å ºàÕπª πõ Ÿª Àπ Ëß π âªí À BTSP ß â ßπ È b j (9) (10) (11) Ÿª µ» µ å ß Ë (9)-(11) π È æ Ë µ «ª (Artificial Variables) Ëß Á Õ a i b j i,j ªÑ À µâõß µõ Ë ªìπ ª â Õߪí À TSP à π Èπ Ëß Á Õº «Õßµ «ª à ªìπ»Ÿπ å ËÕ «Ë (4)-(5) (8) ªìπ Ÿª µ» µ å Õߪí À BTSP Ëß â ªí À â Ë (4)-(5) (8)-(11) µà Õ µ «ª Ë «à à Õ «Ë ªìπ Õ µ π àπ «Ÿª µ» µ å (2)-(5) (6)-(8) µ Ëß Õ µ Õߪí À π ß Õßæπ ß π Õ «Carpento et al. [2] â πõ âªí À BTSP µ Ëß Õ µ - æ å [1] ⪠ÿ µå πõ ªìπ ÈπµÕπ â ªí À ßµàÕ ªπ È Èπ Ë 1 Ë µâπ âªí À ß π Õ «(Bottleneck Assignment Problem, BAP) à ß À«à ß âπ ËÕ Ë Ë ÿ Ë â Õ ªìπ Õ µ à ß (LB) Èπ Ë 2 â «ß Õ àõ Èπ Àâ ª Èπ Ë 3 â à «ß Õ àõ Õ«à â µõ Õß BTSP Èπ Ë 3 Õ «ß Õ àõ Ë π«πª πâõ ÿ µ ÕÕ ªìπªí À àõ µà ªí À àõ Õ âπ ËÕ À«à ߪ 1 âπ Àâ Ÿ ÕÕ (Exclude) Õ âπ ËÕ À«à ߪ Ë À Õ Àâ ªìπ Õß Õ µ π (Include) â àæ «ß Õ àõ Õ«à ªìπ Õ µ π (UB) ªí À àõ Õ Ëπ Ë À ÕÕ Ÿà µà â æ «ß Õ àõ Àâ ª Èπ Ë 4 Èπ Ë 4 ªí À àõ π Èπ Ë 3 «Àå æ ËÕÀ à Õ µ à ß Õߪí À àõ Ë q (LB q ) æ à ßµàÕ ªπ È. à Ë Ë ÿ Õß à ß âπ ËÕ ËπâÕ Ë ÿ ËÕÕ µà «ß Õ àõ. à ËπâÕ ÿ Õß Õß ß Ë Èπ Ë ÿ (Shortest Path) ª Àπ Ëß ª ÿ ª. à ß ËπâÕ Ë ÿ ªí À BAP Õ à Ë Ë ÿ... ªìπ Õ µ à ß ª Èπ Ë Ë ªï Ë 18 π« Ø 2548

5 Èπ Ë 5 â Õ µ à ß à Õ µ π Õ«à â µõ Õß BTSP â à à Àâ ª ÈπµÕπ Ë 3 ª ÿ µå âß π ªí À BTSP æ πõÿµ À ª Õ Èπ à«π ß ºß«ß Õ Á Õπ å ËÕπ Ë Õß ºß«ß ªìπ ø (Chebychev) Õ (12) c ij Õ ß π ËÕπ Ë Õß π X-Y À«à ß ÿ æ µ Àπàß i ß j x i Õ æ æ π X µ Àπàß i y i Õ æ æ π Y µ Àπàß i π ª Õ ºß«ß µâõß «ª Õ Ë Á«Ë ÿ µà «æ π å À«à ß ß ËÕπ Ë Õß ºß«ß «Ë â à ß π øíß å π ß âπ ß µ» µ å â ËÕπ Ë Ë â ß Èπ «ËÕπ Ë æ Ë Èπ ªìπ à«π Ë ËÕ ß ËπâÕ «à ßπ Èπ π π«ß à π ß ß ß «ËπâÕ ÿ µà π ß ß ß Ë Ë ÿ Àâ à πâõ ÿ Ëß ªìπªí À BTSP Õÿª å «Õø å «å Ë â π âªí À Àπ ß âπµ ß π«π µá Õ LINGO6.0 ËÕ µàõ ª Borland C π ªØ µ Windows XP ËÕß Õ æ «µõ å à«π ÿ PENTIUM IV 2.4 GHz. RAM 256 MB. âªí À BTSP Ÿª µ-» µ å Èß 3 Ÿª «Ëπ πõ âà µ «ª Ë ªìπ âπ ËÕ Ë ß «à Õ µ π Õߪí À BTSP Õ µ π Ë â âªí À TSP «ÕÕ å Àâ À Ë ÿ π ÈπÀ ß Ë ÿ âπ ß Ë â ß Ë à «à À Õ à ß Ë â À µõ Õß TSP À à ÈπµÕπ ÈßÀ π È Õ π à«π ª «Ëπ πõ π Ÿª µ» µ å ªí À BTSP ºàÕπª π Ë µâπ âªí À TSP Àâ â µõ ª â«õõ å Àâ À Ë ÿ Õ Laporte [5] «π È ÿ àπµ ß Ë â â Èߪí À ATSP STSP µõ Ë â «ÕÕ å Àâ À Ë ÿ ß Ë à «à à Õ «Ë â µõ ÕÕ À µõ À à â à µõ Ë ªìπ ª â Õ«à à Õ «ÿ â Ë Àâ µõ Ë ªìπ ª â ªìπ µõ Õ µ π Õߪí À BTSP ËÕ â Õ µ π π À µõ Ë Ë ÿ «Àπ ß âπµ ß π«π µá µ Ÿª µ» µ å Èß 3 Ÿª ßπ È Ÿª µ» µ å Ë 1 Ë (2)- (5) (6)-(8) 102

6 Ÿª µ» µ å Ë 2 Ë (1)- (5) (8) Ÿª µ» µ å Ë 3 Ë (4)- (5) (8)-(11) ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ À BTSP πõ Èß πªï æ.» ÕÕ å (Or. I.) â À âªí À Ë ªìπ Èß STSP ATSP Miller and Penky [7] âπ â π À Õ µ π Õߪí À ATSP π «à 1,000 ª À Õß«π È Ë µõ Ë ªìπ ª â Ë ß π π«πàπ Ëß π ª π Ÿà Õ Ëπ Ë À Õ Õ Ë Èπ À à â Àâ â ß «ß «à Àâ γ Õ µ Àπàß Ë Ë µâπ Õß â ª δ Õ π«πª Ë â η Õ µ Àπàß Ë â ª ÈπµÕπ«ßµàÕ ªπ È Èπ Ë 1 Ë µâπ âπ ß Ë ªìπ ª â Àπ æ µõ å γ δ ÀâπâÕ «à π«π ª ÈßÀ Èπ Ë 2 ª ËÕ Ÿàµ π ªìπ π«π δ ˵ Àπàß η Èπ Ë 3 ª π«π δ ß ª π µà âπ ËÕ Ë À ÕÕ Ÿà π HAMC â Àâ à «µ ÿª ß å ß Àâ η=γ â à à Àâ η=η+1 Èπ Ë 4 â η > π«πª ÈßÀ - δ Àâ η=γ δ=δ - 1 Èπ Ë 5 â δ > 0 ª Èπ Ë 2 â à à Àâ ÿµ ÈπµÕπ ÕÕ å Àâ À Ë ÿ π ª â π âªí À BTSP µ Èπ µõ𫪠ßπ È ÈπµÕπ«âªí À BTSP ÈπµÕππ È Ë µâπ À à Õ «Ë ªìπ Õ µ π Õߪí À BTSP â ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ Õß BTSP ËÕ â à Õ «Ë ªìπ Õ µ π π ªìπ ±å π µ «ª Àπ ß âπµ ß π«π µá æ ËÕ Àâ âªí À ««Á«Èπ à º µàõ à Õ «ËπâÕ Ë ÿ Èπ Ë 0 Àâ w ij ªìπ ß ª i ª ª j Èπ Ë 1 âªí À TSP å w ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ Õß BTSP Àâ b-value ªìπ à Õ «µõ Ë â Èπ Ë 2 â à b-value à à à Õπ πµå ª Èπ Ë 3 â à à Àπ Àâ à w ij Ë «à à à b-value à ªìπ à Õπ πµå ⫪ Èπ Ë 1 Èπ Ë 3 âªí À TSP Àπ ß âπµ ß π«π µá (ILP) µ Ÿª µ» µ å Èß 3 Ÿª å w µ «ª Ë ª Ï ß à à Õπ πµåõõ Àπ ß âπµ ß π«π µá (ILP) Èπ Ë 4 µõ Ë â ILP Àâ c- value ªìπ à Õ «Õß µõ Ë â Èπ Ë 5 â c-value à ªìπ à Õπ πµå ÿµ π«à Õ «Ë â Õ b-value â c- value à à à Õπ πµå π Ÿª µ» µ å Ë 1 ÿµ π«à c-value Õ à Õ «Ë â π Ÿª µ» µ å Ë 2 À Õ 3 Àπ Àâ à w ij Ë à «à à c-value 103 Ë ªï Ë 18 π« Ø 2548

7 à ªìπ à Õπ πµå ª Èπ Ë 3 Àπ ß âπµ ß π«π µá Ë πõ Àâ à Õ «ËµË ÿ π ËÕß ÈπµÕπ Ë 1-2 µ «ª Ë ª Ï ß «à µõ à Õ «ËµË Ë ÿ Àâ âπà µõ π µ Õßµ «ª Ë À ÕÕ Ÿà Ë ª Ï ß Ë ªìπ à Õ «ËµË ÿ ß à Ÿ ÕÕ ª º Õß âªí À BTSP À º Õߪí À BTSP π È â à Õ µ π Õß à Õ «Õߪí À âπ ËÕ Ë à πè Àπ «à À Õ à à Õ µ π Õß à Õ «â º æ å πµ ß Ë 1 â«à µõ ª «ÕÕ å Àâ À Ë ÿ ªí À π TSPLIB ( iwr/comopt) Ë ÿ µ «Õ à ß π µ Èß µà 100 ª Èπ ª µ ß Ë 1 ªí À Rbg 443 Rbg403 Rbg358 æ Ÿ πå â«à â µõ Ë À Ë ÿ â ÈπµÕπ«ÕÕ å æ ËÕ à Õ «Ë ªìπ Õ µ π Ë â à À µõ â Ë (1)-(5) (8) πªí À Rbg323 Pcb442 Att532 π ËÕß π«πµ «ª À ß ÕÕ â à Õ «Õ µ π ß π«π âπà µõ ß à Èπ ÿ π «Ë Àπ ß ßº â µà Õ µ π ªí À Pcb442 Att532 π«π«øíß å π ß À«à ß ÿ - ÕÕ å πµ π ËÕß æ Èπ ËÀπà««Ë ß à â Á à ß «â π ª µà â π«à à ÿ Èß ß Àâ «à â π À à Õ µ π à«πªí À Kro124p FTV ËÕ µ «ª Ë à Õ ««à Õ µ π ÕÕ À µõ Ë Ë ÿ â â Ÿª µ» µ å Ë 2 ßµ ß Ë 2 µ «Õ «Ÿ µâõß Õß π«ª º Õß Õß æ å[1] àõπ Àπâ â à µõ à π ß ß πµ ß Ë 3 «å ÿªº Õß π âªí À BTSP «Ëπ πõ â ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ π ߪí À Àâ µõ Ë À Ë ÿ â ßµ ß Ë 1 à«πªí À Ë ß à æ Ÿ πå â«à Àâ µõ Ë Ë ÿ ËÕπ â Àπ ß âπµ ß π«π µá π ª π À«à ß Ÿª µ» µ å Èß 3 Ÿª â«à Ÿª µ» µ å Ë 2 ª æ «à Ÿª µ» µ å Ë 1 3 π â π ««Á«π âπà µõ Àµÿ ªìπ æ 1. Ÿª µ» µ å Ë 1 ß ËÕπ ß Ë æ Ë µ â ß n ß ËÕπ Àâ â «π B&C «à B&C π Õ Õß Ÿª µ» µ å Ë 2 ß â π«πµ «ª à π Áµ 2. Ÿª µ» µ å Ë 3 Õ àõ âªí À ILP à Ÿ ß º «ß ÈßÀ Õß µõ Õß TSP ßπ Èπ Õ àõ Ë º «ß ÈßÀ «à à µõ Õß TSP Èπ â Àâ π«π Õ àõ ÈßÀ Ë ªìπ ª â π«π «à π«π Õ àõ 104

8 µ ß Ë 1 º π«ªí À BTSP µ «Õ à ߪí À TSPLIB ªí À n 1 Or-Opt 2 «(«π ) Att ,156 Pcb ,804 Rbg ,854 Rbg ,725 Rbg Rbg FTV FTV FTV FTV Kro124p π«πª Õߪí À ªí À Ë Õ «πå À TSPLIB 2 µõ ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ 3 À µõ ªí À ß π π å w Ë à Ë «à à µõ ÈπµÕπ«ÕÕ å Àâ À Ë ÿ µ ß Ë 2 º ª «π À à Õ «Õß Ÿª µ» µ åªí À BTSP «π À µõ («π ) à Õ «ËµË Ë ÿ Õß Ÿª µ» µ å Èß 3 ªí À π«πª Kro124p 100 >3, >3, FTV >3, >3, FTV >3, >3, FTV >3, >3, FTV >10,800 7, >10, Õß µ Èß«µ ÿª ß å µ Ÿª µ» µ å Ë 2 Àâ Ÿª µ» µ å Ë 2 â «π â ß ß ËÕπ Õ àõ πâõ «à ß π«ëπà π» µàõ ªìπ π«µàõ Õ æ «µõ å π π (Parallel Computing) π À à Õ «ËµË Ë ÿ àß à«ß Õß à Õ «À«à ß à Õ «Ë ªìπ à Õ µ π à ß âπà µõ π µà Àπ૪ «º π µà à«ß Ë àß «µÿª ß å æ ËÕ «π π«õ Õâ ßÕ ß [1] æ å π Õß. (2544). â ªí À π ß Õß å π Õ ««105 Ë ªï Ë 18 π« Ø 2548

9 µ ß Ë 3 ß à Õ «Ë â «Ëπ πõ π π à Õ «Ë â «B&B æ å [1] à Õ «ªí À π«π æ «B&B π«ÿª µ» µ å Ë 2 br Ftv Ftv Ftv P Ftv Ftv Ft Ftv Ftv Ft Ftv ª ß ÕßÕ µå π. «π æπ å µ À ± µ («Õÿµ - À ) ««Õÿµ À. π π æ Õ â æ π Àπ Õ. [2] Carpaneto, G. and P. Toth. (1981) An Algorithm for the bottleneck traveling salesman problem. Computing. 26 : [3] Dantzig, G.B., D.R. Fulkerson and S.M. Johnson. (1954). Solution of a Large Scale Travelling-Salesman Problem. Operations Research. 2: [4] Fischetti, M. and P. Toth. (1997) A Polyhedral Approach to the Asymmetric Traveling Salesman Problem. Management Science. 43 : [5] Garfinkel, R.S. and K.C. Gilbert. (1978). The Bottleneck Traveling Salesman Problem: Algorithms and Probabilistic. Journal of ACM. 25 : [6] Laporte, G. (1992). The Traveling Salesman Problem: An overview of exact and approximate algorithms. European Journal of Operational Research. 59 : [7] Miller, D.L. and J.F., Penky. (1989). Result from a parallel branch and bound algorithm for solving large asymmetric traveling salesman problems. Operation Research Letter. 8 : [8] Reinelt, G. (1994). The Traveling Salesman : Computational Solution for TSP Applications. Springer-Verlag, New York, U.S.A