Æ ÄÁËÁË ÁÁ ÓÑÔÙØ Òµ Ë ÍÆ Ç Í ÌÊÁÅ ËÌÊ ¾¼¼ Æ ÄÁËÁË ÁÁ ÓÑÔÙØ Òµ ÈÖ Ø Áº Ê Ô Ó ÒØ Ö Ò Ò ÙÒ Ú Ö Ð ½º ÐÙÐ Ö µ sen xdxº µ 2π 0 sen xdxº µ Ð Ö ÒØÖ Ð ÙÖÚ y =

Bản ghi

1 ÆÄÁËÁË ÁÁ ÓÑÔÙØÒµ ËÍÆÇ ÍÌÊÁÅËÌÊ ¾¼¼ ÆÄÁËÁË ÁÁ ÓÑÔÙØÒµ ÈÖ Ø Áº ÊÔ Ó ÒØÖÒ Ò ÙÒ ÚÖÐ ½º ÐÙÐÖ µ sen xº µ π sen xº µ Ð Ö ÒØÖ Ð ÙÖÚ y = sen x, y =, x =, x = πº ¾º ÐÙÐÖ xsin x. b) sin xcos x. c) xe x. d) e x sin x. e) 3x x. f) + x lnx. º ÀÐÐÖ Ð Ö ÒÖÖ ÔÓÖ Ð ÙÖÚ µ y = x 3 y = xº µ y = x 3 x Ý Ð ÖØ ØÒÒØ Ø ÙÖÚ Ò x = º µ y = x 3 9x + x + Ý Ð ÖØ y = ÒØÖ x = Ý x = 3º º µ ÐÙÐÖ e x. µ ÀÐÐÖ Ð Ö ÒÖÖ ÔÓÖ Ð ÙÖÚ y = y = y = log x Ý x = º ËÙÖÒ ÙÖ Ð ÖÒ Ý Ù Ö º º ÐÙÐÖ 3 x b) 3 x c) 3 x + d) 4 x x e) x 3 π f) sen( x ) π ½

2 ÁÁº ÁÒØÖÐ ÑÔÖÓÔ º µ ÈÖ ØÓÓ ÐÓ ÚÐÓÖ ÖÐ p >, ØÙÖ Ð ÓÒÚÖÒ Ó ÚÖÒ Ð ÒØÖÐ º + x p º x p º + x p Ç ÖÚÒ ÚÖ ÐÓ ÚÐÓÖ p Ð ÙÒØ ÑÒÖ < p <, p = Ý p >. µ ÊÐÓÒÖ ÐÓ Ö ÙÐØÓ ÓØÒÓ ÓÒ Ð Ó ÕÙ ÔÖ x > x p Ý x p ÓÒ ÙÒÓÒ ÒÚÖ Ý ÔÓÖ ÐÓ ØÒØÓ Ð Ö Ó ÙÒ Ð Ð ÓØÖ ÖÓ Ö ÔØÓ Ð ÖØ y = xº º ÒÐÞÖ Ð ÓÒÚÖÒ Ð ÙÒØ ÒØÖÐ ÑÔÖÓÔ + x ln x b) x c) + e kx d) g) + + arctan x e) + x + x 3 h) x f) + x 3 i) + x 5 x + 4x + 9 ( x) 3 j) + sen x x + cosx k) + sen(x) l) 4 x x 4 Ò ÐÓ ØÑ i) k) Ý l) ØÙÖ Ñ Ð ÚÐÓÖ ÔÖÒÔк º Ë f : ÙÒ ÙÒÒº Ö ÓÒ ÚÖÖ Ó Ð Ð ÙÒØ ÖÑÓÒ + µ Ë f ÓÒØÒÙ Ý ÔÓ ØÚ ØÐ ÕÙ lím f(x) = a >, ÒØÓÒ f(x) = + x + µ Ë f ÓÒØÒÙ Ý ÔÓ ØÚ ØÐ ÕÙ lím f(x) = a >, ÒØÓÒ f(x) = x µ Ë f ÓÒØÒÙ Ý ÖÒØ ÓÒ µ Ë f ÙÒ ÓÒØÒÙ Ý ÔÓ ØÚ ÓÒ f(x) = 3, ÒØÓÒ Ð f(x) = 8, ÒØÓÒ Ð lím f(x) =. x + lím f(x) =. x + + µ Ë f ÓÒØÒÙ Ý ÔÓ ØÚ ÓÒ lím f(x) =, ÒØÓÒ f(x) < +. x + º ÈÖ ÐÓ ØÒØÓ ÚÐÓÖ p ÒÐÞÖ Ð ÓÒÚÖÒ + x p ( + x ). ¾

3 ½¼º ÒÐÞÖ Ð ÓÒÚÖÒ Ð ÙÒØ ÒØÖÐ + ln(x) + (x ) ËÙÖÒ ÐÙÐÖ ÐÓ ÔÖÑÖÓ ØÖÑÒÓ Ð ÔÓÐÒÓÑÓ ÌÝÐÓÖ ln(x) Ò x = º ½½º ÒÐÞÖ Ð Ü ØÒ Ð ÙÒØ ÒØÖÐ ÑÔÖÓÔ e x x3 + 3x x ½¾º ÍÒ ÔÐÒ ÖØÖÓ ÒØÖÐ ÙÝ ÔÖ Ö ÒÙÑÖ º Ë (a n ) n ÙÒ Ù Ò ÖÒØ ØÖÑÒÓ ÒÓ ÒØÚÓ Ý f : [, + ) ÙÒ ÙÒÒ ÖÒØ ØÐ ÕÙ f(n) = a n n N. µ ÈÖÓÖ ÕÙ n > : a n µ ÙÖ ÕÙ S n a µ ÈÖÓÖ Ù ÒÓ µ ÕÙ n n n f(x) a n f(x) S n a n < + n= + f(x) < +. ½ º ØÙÖ Ð ÓÒÚÖÒ Ð Ö Ô¹ÖÑÒ n= n p (p ). ½º ÈÖÓÖ Ð ÓÒÚÖÒ Ð Ö º ËÙÖÒ Ù Ö ÙÒ Ù ØØÙÒ Ù ÔÖ lnnln n n= ÖÙÖ Ð ÔÖÓÐÑ ÔÖÓÖ ÕÙ Ð ÒØÖÐ (e/x)x Ü Øºµ ½º µ ÒÓÒØÖÖ ÙÒ ÙÒÒ f : > ÒÓ ÒØÚ ØÐ ÕÙ Ð ÒØÖÐ ÙÒÕÙ ÒÓ Ð Ö f(n)º úðò ÓÒØÓ ÓÒ Ð ÖØÖÓ Ð ÒØÖÐ f(x) ÓÒÚÖ µ ÓÒÐÙÖ ÕÙ Ò Ð ÔØ ÓÖ Ð ÖÑÒØÓ Ð ÙÒÒ Ð ÖØÖÓ Ð ÒØÖÐ ÒÓ Ò ÖÑÒØ Ö ÙÐØ Ú ÐÓº µ ÅÓ ØÖÖ ÕÙ Ð ÙÒÒ Ð ØÑ µ ÔÙ ÐÖ ÓÒØÒÙº ËÙÖÒ ÁÒ ÔÖÖ Ò Ð Ö Óºµ a a a 3 b b 3 4 b 3

4 ÁÁÁº ÁÒØÖÐ ÓÐ ½º ÚÐÙÖ ÙÒ Ð ÒØÖÐ ÙÒØ = [, ] [, ] (x 3 + y )dy b) ye xy dy c) e) g) (xy) cosx 3 dy d) (x m y n )dy, ÓÒ m, n > f) sen(x + y)dy h) ln[(x + )(y + )] dy (ax + by + c)dy (x + xy + yx / )dy ½º ÐÙÐÖ Ð ÚÓÐÙÑÒ Ð ÐÓ ÓØÓ ÔÓÖ Ð ÔÐÒÓ xz Ð ÔÐÒÓ yz Ð ÔÐÒÓ xy ÐÓ ÔÐÒÓ x = Ý y = Ý Ð ÙÔÖ z = x + y 4 º ½º ËÒ f Ý g Ó ÙÒÓÒ ÓÒØÒÙ Ò [a, b] Ý [c, d] Ö ÔØÚÑÒغ ÅÓ ØÖÖ ÕÙ ÓÒ ÖÑÓ Ð ÖØ ÒÙÐÓ = [a, b] [c, d] ÒØÓÒ b d [f(x)g(y)] dy = f(x) g(y) dy. ½º ÐÙÐÖ Ð ÚÓÐÙÑÒ Ð ÐÓ ÓØÓ ÔÓÖ Ð ÙÔÖ z = sen y ÐÓ ÔÐÒÓ x =, x = y =, y = π/ Ý Ð ÔÐÒÓ xyº ¾¼º ÐÙÐÖ Ð ÚÓÐÙÑÒ Ð ÐÓ ÓØÓ ÔÓÖ Ð Ö z = x + y Ð ÖØ ÒÙÐÓ = [, ] [, ] Ý ÐÓ ÐÓ ÚÖØÐ º ¾½º ËÒ F C Ý f(x, y) = F (x, y)º ÐÙÐÖ x y a b d a c c f(x, y)dy Ò ØÖÑÒÓ F º ¾¾º ÖÖ Ð ÖÓÒ ØÖÑÒ ÔÓÖ ÐÓ ÐÑØ ÒØÖÒ Ð ÙÒØ ÒØÖÐ Ý ÐÙÐÖ Ð ÒØÖÐ ØÖ º x dy b) 3x+ x dy c) e) e x y 3 (x + y)dy d) (x + y)dy f) x x x 3 y dy x e x+y dy g) ( x ) / dy h) π/ cos x y senxdy i) k) y y (x n + y m )dy (m, n > ) j) π sen y y dy l) ( x ) / x+ x 3 xdy (y + )dy

5 ¾ º Ë f : [, ] [, ] Ò ÔÓÖ {, x ÖÓÒÐ f(x, y) = y, x ÒÓ ÖÓÒÐ ÅÓ ØÖÖ ÕÙ Ð ÒØÖÐ ØÖ ÒØÖÐ ØÖ [ ] f(x, y)dy Ü Ø ÔÖÓ f ÒÓ ÒØÖк úü Ø Ð ÓØÖ ¾º Í Ö ÒØÖÐ ÓÐ ÔÖ ÐÙÐÖ Ð Ö ÙÒ ÖÙÐÓ ÖÓ r Ý Ð Ö ÙÒ ÐÔ ÓÒ Ñ ÐÓÒØÙ a Ý bº ¾º ÐÙÐÖ Ð Ö µ Ð ÖÒ ÐÑØ ÔÓÖ Ð ÖØ y = x Ý ÔÓÖ Ð ÙÖÚ y = x. µ Ð ÖÒ ÓÖÑ ÔÓÖ ØÓÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ (x, y) ØÐ ÕÙ x + y a, a. µ Ð ÖÒ ÓÖÑ ÔÓÖ ØÓÓ ÐÓ ÔÙÒØÓ (x, y) ØÐ ÕÙ x, x + y, x + y. ¾º ÐÙÐÖ T (xsen x + y sen(x + y))dy ÒÓ T Ð ØÖ ÒÙÐÓ ÚÖØ (, ) (, ) Ý (3, 3)º ¾º Ë Ð ÖÒ ÓØ ÔÓÖ ÐÓ Ñ ÔÓ ØÚÓ x y Ý Ð ÖØ 3x + 4y = º ÐÙÐÖ (x + y )dy ¾º Ë Ð ÖÒ ÓØ ÔÓÖ Ð y Ý Ð ÔÖ ÓÐ x = 4y + 3º ÐÙÐÖ x 3 y dy ¾º ÐÙÐÖ Ð ÚÓÐÙÑÒ ÙÒ ÓÒÓ ÖÓ r Ý ÐØÙÖ hº ¼º ÐÙÐÖ Ð ÚÓÐÙÑÒ Ð ÙÒØ ÖÓÒ µ ÒÖÖ ÔÓÖ Ð ÙÔÖ z = x + y Ý Ð ÔÐÒÓ z = º µ ÒÖÖ ÔÓÖ Ð ÓÒÓ ÐØÙÖ 4 Ó ÔÓÖ z = x + y º µ ÒÖÖ ÔÓÖ Ð ÙÔÖ x + y = z Ý x + y + z = º µ ÐÔ Ó ÓÒ Ñ a b Ý cº µ ØÖÑÒ ÔÓÖ x + y + z Ý z º ½º Ò Ð ÒØÖÐ ÙÒØ ÑÖ Ð ÓÖÒ ÒØÖÒ ÖÖ Ð ÖÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒÒØ Ý ÚÐÙÖ Ð ÒØÖÐ ÔÓÖ ÐÓ Ó ÑÒÓ º c) e) x 3x x 3 (9 y ) / 3 xy dy b) x y dy d) (9 y ) / x dy y y (x + y) dy (x + y) dy

6 ¾º ÐÙÐÖ y x / dy ÓÒ = {(x, y) : x >, y > x, y < x } º Ë Ð ÖÒ ÐÑØ ÔÓÖ Ð ÖØ y = y = x y = x y = º ÐÙÐÖ Ð ÙÒØ ÒØÖÐ x y da º Ë = {(x, y) : x ; x y } ÐÙÐÖ Ð ÙÒØ ÒØÖÐ º ÐÙÐÖ T cos ( ) x y e x y dy ÓÒ T Ð ØÖ ÒÙÐÓ ÓÒ ÚÖØ (, ) (, 3) Ý (, )º º Ë T Ð ÖÒ ØÖÒÙÐÖ ÐÑØ ÔÓÖ Ð ÖØ y = x y = Ý Ð ÙÖÚ y = xº ÐÙÐÖ e x y da º ÌÒÒÓ Ò ÙÒØ ÕÙ Ý ØÒ f(x) = f() + f (s) = f () + f(x) = f() + f ()x + ÑÖ Ð ÓÖÒ ÒØÖÒ ÔÖ ÑÓ ØÖÖ ÕÙ f(x) = f() + f ()x + Í ÒÓ Ð Ñ Ñ ÑÓ ØÖÖ Ð ÖÑÙÐ ÒÖÐ x s da f (s)ds f (t)dt x s x f(x) = f() + f ()x + + f (n) () xn n! + f (t)dtds f (t)(x t)dt x f (n+) (x t)n (t) dt n!

7 Áκ ÁÒØÖÐ ØÖÔÐ º ÐÙÐÖ µ (xyz + x y z )dv ÓÒ C = [, ] [ 3, ] [, ]º C µ (xcos z + y cosx + z cosy)dv ÓÒ C = [, π] [, π] [, π]º C º ÐÙÐÖ Ð ÚÓÐÙÑÒ ÙÒ Ö ÖÓ rº ¼º ÐÙÐÖ µ xdv ÓÒ Ð ÖÒ ÐÑØ ÔÓÖ x = y = z = z = x + y º µ x cosz dv ÓÒ Ð ÖÒ ÐÑØ ÔÓÖ z = z = π y = x = x + y = º µ dv ÓÒ Ð ÖÒ ÐÑØ ÔÓÖ z = x + 3y Ý z = 9 x º µ (x + y + z)dv ÓÒ = {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }º µ (x 3 + y + z)dv ÓÒ = {(x, y, z) 3 : z [, ], x + y }º ½º ÐÙÐÖ x x +y x+y dzdy Ý ÖÖ Ð ÖÒ ÒØÖÒº ¾º ÑÖ Ð ÓÖÒ ÒØÖÒ Ò x y f(x, y, z)dzdy ÔÖ ÓØÒÖ ÓØÖ ÒÓ ÓÖÑ ÖÐÞÖ Ð Ñ Ñ ÒØÖÒº ÖÖ Ð ÖÒ ÒØÖÒº º Ë B = {(x, y, z) 3 : (x, y, z) }º ÑÓ ØÖÖ ÕÙ f ÙÒ ÙÒÒ ÓÒØÒÙ Ò B ÑÔÖ Ö ÔØÓ z Ö f(x, y, z) = f(x, y, z)µ ÒØÓÒ f(x, y, z)dv = º úèö ÕÙ ÓØÖ B ÖÓÒ ÚÐ Ø Ö ÙÐØÓ Ö ÑÔÐÓ µº º Ë Ð ÖÒ ØÖÑÒ ÔÓÖ Ð ÓÒÓÒ x y Ý z xyº ÀÐÐÖ Ð ÚÓÐÙÑÒ b) ÐÙÐÖ xdydz c) ÐÙÐÖ y dydz d) ÐÙÐÖ z dydz e) ÐÙÐÖ xy dydz

8 κ ÔÐÓÒ Ð ÒØÖÐ ÑÐØÔÐ º ÀÐÐÖ Ð ÔÖÓÑÓ f(x, y) = y sen xy ÓÖ = [, π] [, π]º º ÀÐÐÖ Ð ÒØÖÓ Ñ ÙÒ ØÖ ÒÙÐÓ ÓÒ Ò ÓÒ ØÒغ º ÀÐÐÖ Ð ÒØÖÓ Ñ Ð ÖÒ ÒØÖ y = x Ý y = x Ð Ò x + yº º µ ÀÐÐÖ Ð Ñ Ð [, ] [, ] [, ] ÙÔÓÒÒÓ ÕÙ Ð Ò ÓÒ ØÒØ = ρµº µ ÄÓ Ñ ÑÓ ÕÙ Ò Ð ÔÖØ µ ÔÖÓ ÙÔÓÒÒÓ ÓÖ ÕÙ Ð Ò Ø ÔÓÖ ρ(x, y, z) = x + 3y + z + º º ÀÐÐÖ Ð ÒØÖÓ Ñ Ð ÖÒ ÓØ ÔÓÖ x + y + z = x = y = Ý z = º ¼º ÍÒ ÔÐ ÖØÒÙÐÖ ÙÒÓÖÑ ÖÓ ÐÓ a Ý b Ö ÐÖÓÖ Ù ÒØÖÓ ÖÚ ÕÙ ÙÔÓÒÑÓ Ò (, )µ ÓÒ ÚÐÓ ÒÙÐÖ ÓÒ ØÒØ ωº µ ÒÐÞÖ Ý Ù ØÖ Ð ÖÑÙÐ ÔÖ Ð ÒÖ ÒØ E.C. = ρ ω (x + y )dy ÒÓ Ð ÖØ ÒÙÐÓ [ a/, a/] [ b/, b/] ÕÙ Ö Ð Ôк µ ÐÙÐÖ Ð ÒÖ ÒØ Ò ØÖÑÒÓ ρ ω a Ý bº