Chapitre 10: anneau des entiers, arithmétique Ì Ð Ñ Ø Ö ½ È Ø ÈÈ Å ¾ ½º½ Ê ÔÔ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

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1 Chapitre 10: anneau des entiers, arithmétique ÌÐ ÑØÖ ½ È Ø ÈÈÅ ¾ ½º½ ÊÔÔÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Ú ÓÒ ÙÐÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º È Ø ÔÔÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÆÓÑÖ ÔÖÑÖ ÒØÖ ÙÜ ¾ ¾º½ ÒØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÖØÖ ØÓÒ ÖÐØÓÒ ÞÓÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÌÓÖÑ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÕÙØÓÒ ÓÔÒØÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÆÓÑÖ ÔÖÑÖ º½ ÒØÓÒ ÔÖÑÖ ÖØÖ ØÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒÒØ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ØÙÖ ÔÖÑÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒÒÙÜ Z/nZ º½ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ³ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÕÙÚÐÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ËØÖÙØÙÖ ³ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓÔÖØ Ð³ÒÒÙ Z/nZ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

2 ½ ½º½ È Ø ÈÈÅ ÊÔÔÐ ÒØÓÒ ½ ÇÒ ÖÔÔÐÐ ÕÙ Ð³Ò ÑÐ Z ÑÙÒ ÄÁ + Ø ÓÖÑ ÙÒ ÒÒÙ ÓÑÑÙØØ ³ÐÑÒØ ÒÙÐ 0 Ø ³ÐÑÒØ ÙÒØ 1º ÇÒ ÖÔÔÐÐ ÐÑÒØ ÕÙ Ð ÓÙ ÖÓÙÔ (Z,+) ÓÒØ ÜØÑÒØ Ð Ò ÑÐ a Z = {a p Z p Z} Ó a Ø ÙÒ ÒØÖº ÇÒ ÖÔÔÐÐ ÒÒ ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙ ÒØÖ a Ø b ÓÒ Ø ÕÙ a Ú b ÓÙ ÕÙ b Ø ÙÒ ÑÙÐØÔÐ a b a Z p Z b = a pµº ÜÑÔÐ ½ ÉÙÐ ÓÒØ ØÓÙ Ð Ú ÙÖ 0 ÉÙÐ ÓÒØ Ð ÒÚÖ Ð Ð³ÒÒÙ Z ½º¾ Ú ÓÒ ÙÐÒÒ ÌÓÖÑ ½ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒØÖ Ú b 0º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙ ÓÙÔÐ (q,r) ³ÒØÖ ØÐ ÕÙ a = b q +r 0 r < b º ÊÑÖÕÙ ½ ijÒØÖ q Ø Ð ÕÙÓØÒØ Ò Ð Ú ÓÒ ÙÐÒÒ a ÔÖ b Ø Ð³ÒØÖ r Ø Ð Ö Ø Ò ØØ Ú ÓÒ ÙÐÒÒº ÇÒ ÒÓØ ÔÖÓ a = r[b] ÔÓÙÖ ÒÖ ÕÙ b Ú a rº ½º È Ø ÔÔÑ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒØÖ º Ä³Ò ÑÐ a Z+b Z = {a p+b p (p,p ) Z 2 } ÓÖÑ ÙÒ ÓÙ ¹ÖÓÙÔ (Z,+)º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙ ÒØÖ d ÔÓ Ø ØÐ ÕÙ a Z+b Z = d Zº Ø ÒØÖ Ø ÔÔÐ Ô ÒÓÑÖ a Ø b Ø ÒÓØ d = a bº ÑÑ Ð³Ò ÑÐ a Z b Z ÓÖÑ ÙÒ ÓÙ ¹ÖÓÙÔ (Z,+)º ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÙÒÕÙ ÒØÖ m ÔÓ Ø ØÐ ÕÙ a Z b Z = m Zº Ø ÒØÖ Ø ÔÔÐ ÔÔÑ ÒÓÑÖ a Ø b Ø ÒÓØ m = a bº ÜÑÔÐ ¾ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ a ÓÒ 0 a = a Ø 0 a = 0º ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ a ÓÒ 1 a = 1 Ø 1 a = a º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ¾ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒØÖ ÒÓÒ ÒÙÐ º ËÓØ α ÙÒ Ú ÙÖ ÓÑÑÙÒ a Ø bº ÐÓÖ α (a b) Ø ÓÒ Ð Ô a b Ø Ð ÔÐÙ ÖÒ ÓÑÑÙÒ Ú ÙÖ a Ø bº ËÓØ β ÙÒ ÑÙÐØÔÐ ÓÑÑÙÒ a Ø bº ÐÓÖ (a b) β Ø ÓÒ Ð ÔÔÑ a b Ø Ð ÔÐÙ ÔØØ ÓÑÑÙÒ ÑÙÐØÔÐ a Ø bº ¾ ¾º½ ÆÓÑÖ ÔÖÑÖ ÒØÖ ÙÜ ÒØÓÒ ÒØÓÒ ¾ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒØÖ º ÇÒ Ø ÕÙ Ð ÒÓÑÖ a Ø b ÓÒØ ÔÖÑÖ ÒØÖ ÙÜ a b = 1º ¾

3 ¾º¾ ÖØÖ ØÓÒ ÖÐØÓÒ ÞÓÙØ ÌÓÖÑ ¾ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒØÖ º Ä ÒÓÑÖ a Ø b ÓÒØ ÔÖÑÖ ÒØÖ ÙÜ Ø ÙÐÑÒØ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÙÔÐ ³ÒØÖ (u,v) ØÐ ÕÙ a u+b v = 1. ÍÒ ØÐÐ ÖÐØÓÒ Ø ÔÔÐ ÖÐØÓÒ ÞÓÙغ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒØÖ ÒÓÒ ØÓÙ ÒÙÐ º ÐÓÖ Ð Ô d = a b Ø ÒÓÒ ÒÙÐ Ø Ò ÔÓ ÒØ a = a d Ø b = b d Ð ÒÓÑÖ a Ø b ÓÒØ ÙÜ ÒØÖ ÔÖÑÖ ÒØÖ Ùܺ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÖÐØÓÒ ÞÓÙØ ÒØÖ ÙÜ ÒØÖ ËÓÒØ a Ø b ÙÜ ÒØÖ ÒÓÒ ÒÙÐ º ÈÓÙÖ ØÖÓÙÚÖ u Ø v ÙÜ ÒØÖ ØÐ ÕÙ a u+b v = a b Ö Ð Ú ÓÒ ÙÐÒÒ q 0 = a ÔÖ q 1 = b Ö Ð Ú ÓÒ ÙÐÒÒ q n ÔÖ q n+1 Ø ÔÓ Ö q n+2 Ð Ö Ø ÓØÒÙ ÖÓÑÑÒÖ Ù ÕÙ³ ØÓÑÖ ÙÖ ÙÒ Ö Ø ÒÙÐ q s = 0 ÓÒÒÖ Ð Ô Ð ÖÒÖ Ö Ø ÒÓÒ ÒÙÐ q s 1 ÐÓÖØÑ ³ÙÐ ÜÔÖÑÖ q s 1 Ò ÓÒØÓÒ q s 2 Ø q s 3 Ò ÙØ Ò ÖÑÓÒØÒØ Ð ÐÙÐ ÓÙØÖ ÙÒ ÓÖÑÙÐ q s 1 Ò ÓÒØÓÒ q 0 = a Ø q 1 = bº ÜÑÔÐ ÎÓ ÙÒ ÖÔØ ÈÝØÓÒ ÔÓÙÖ Ð³ÑÔÐÑÒØØÓÒ Ð Ú ÓÒ ÙÐÒÒ ÚÙÐ µ Ö Õ µ ¼ ÛÐ Ö µ Ö¹ µ Õ ½ ¼ Ö Õ¹Ö ¹Õ Ö¼ Ö µ Õ¹½ ¼ Õ¹Õ ÖØÙÖÒ Õ Ö ÈÖ ÜÑÔÐ ¹ ÔÖÒØ ÚÙÐ µµ ¹¾ ½ ÎÓ ÙÒ ÖÔØ ÈÝØÓÒ ÔÓÙÖ Ð³ÑÔÐÑÒØØÓÒ ³ÙÒ ÓÑÒ ÓÒ ÐÒÖ ÒØÖ a b Ò ÓÒØÓÒ a Ø b ÞÓÙØ µ Ä ÛÐ ¼ Õ ÖÚÙÐ µ ĺÔÔÒ Õµ Ö Ð Ô Ø ÚÙØ ÓÒ ÖÑÓÒØ Ð ÐÙÐ

4 Ê ½ ¹Ä¹¾ ÓÖ Ò ÖÒ ÐÒ Äµ¹¾µ Ù ÚÊ Ê Ú Ù¹Ú Ä¹ ¹ ÖØÙÖÒ Ê ÈÖ ÜÑÔÐ ½ ¹½ ÔÖÒØ ÞÓÙØ µµ ¹ ¹ ÜÑÔÐ Ü Ø¹Ø¹Ð ÙÒ ÖÐØÓÒ ÞÓÙØ ÒØÖ 459 Ø 612 ØÖÑÒÖ ÙÒ ÖÐØÓÒ ÞÓÙØ ÒØÖ 17 Ø 235º ¾º ÌÓÖÑ Ù ÌÓÖÑ ËÓÒØ a b Ø c ØÖÓ ÒØÖ º ÐÓÖ a (b c) Ø a b = 1 ÐÓÖ a c a c = 1 Ø b c = 1 ÐÓÖ (a b) c = 1 a c b c Ø a b = 1 ÐÓÖ (a b) cº ¾º ÕÙØÓÒ ÓÔÒØÒÒ ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ÕÙØÓÒ ÓÔÒØÒÒ ØÓÙØ ÕÙØÓÒ ÒÓÒÒÙ ÒØÖ º ÅØÓ ÓÑÑÒØ Ö ÓÙÖ ÙÒ ÕÙØÓÒ ÓÔÒØÒÒ a x+b y = c ÈÓÙÖ Ö ÓÙÖ ÖÖÖ ³ÓÖ c Ø ÑÙÐØÔÐ a b c ÒÓÒ ÑÙÐØÔÐ ÙÙÒ ÓÐÙØÓÒ c ÑÙÐØÔÐ a b Ú Ö Ð³ÕÙØÓÒ ÔÖ a b a x+b y = c Ú a b = 1 ØÖÓÙÚÖ ÙÒ ÓÐÙØÓÒ ÔÖØÙÐÖ (x 0,y 0 ) ÔÖ Ð³ÐÓÖØÑ ³ÙÐ ÙØÐ Ö Ð ØÓÖÑ Ù Ò a (x x 0 ) = b (y y 0 ) ÔÓÙÖ ÖÖ x = x 0 kb Ø y = y 0 +ka Ú k ÙÒ ÒØÖ ÚÖÖ ÕÙ ÓÐÙØÓÒ ÑÖÒغ ÜÑÔÐ Ê ÓÙÖ Ð ÕÙØÓÒ ³ÒÓÒÒÙ (x,y) Z 2 23x 57y = x+98y = 14º ÆÓÑÖ ÔÖÑÖ º½ ÒØÓÒ ÔÖÑÖ ÖØÖ ØÓÒ

5 ÒØÓÒ ÇÒ ÔÔÐÐ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ ØÓÙØ ÒØÖ ÙÔÖÙÖ ÓÙ Ð 2 ÖÖÙØÐ Ò Ð³ÒÒÙ (Z,+, )º ÙØÖÑÒØ Ø ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ Ø ÙÒ ÒØÖ p 2 ÚÖÒØ Ð ÓÒØÓÒ ÙÚÒØ [ ] (a,b) Z 2, p = a b = a = ±1 ÓÙ b = ±1. ÍÒ ÒÓÑÖ ÒØÖ p Ø ÔÖÑÖ ÙÐ Ú ÙÖ ÔÓ Ø ÓÒØ 1 Ø pº ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ³ÙÒ ÒÓÑÖ Ø ÔÖÑÖ ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖÖ ÕÙ n Ø ÔÖÑÖ Ø ØÖ ÙÙÒ ÒØÖ ÒØÖ 2 Ø n Ò Ú n Ø ØÖ Ð ÔÖØ Ð ÔÖÙÚ ÔÖ ÜÑÔÐ ÈÖÑ Ð ÒÓÑÖ ÙÚÒØ Ý ¹Ø¹Ð ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ n ÙÒ ÒØÖ ÙÔÖÙÖ ÓÙ Ð 2º ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ p Ú ÒØ nº ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ p ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖº ÐÓÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ n Z Ð ÒÓÑÖ p Ò Ú Ô n Ø ÙÐÑÒØ p n = 1º ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ p ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ Ú ÒØ ÙÒ ÔÖÓÙØ ³ÒØÖ a 1 a n º ÐÓÖ Ð³ÒØÖ p Ú Ù ÑÓÒ Ð³ÙÒ ØÖÑ a 1,,a n º ËÓØ p ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ Ú ÒØ ÙÒ ÔÖÓÙØ p 1 p n ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ º ÐÓÖ Ð ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ p Ø Ð Ð³ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ p 1,,p n º º¾ ÁÒÒØ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ Ä³Ò ÑÐ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ Ø ÒÒº ÊÑÖÕÙ ¾ Ä ÒÓÑÖ = Ò³ Ø Ô ÔÖÑÖº º ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ØÙÖ ÔÖÑÖ ÌÓÖÑ ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ n 2 Ð Ü Ø ÙÒ Ð Ø ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ ÙÒÕÙ ÓÖÖ ÔÖ (p 1,p 2,,p r ) ØÐÐ ÕÙ n = p 1 p 2 p r. ØØ ÓÑÔÓ ØÓÒ ³ÔÔÐÐ Ð ÓÑÔÓ ØÓÒ Ò ØÙÖ ÔÖÑÖ Ð³ÒØÖ nº Ò ÖÒÒØ Ð ØÙÖ ÔÖÑÖ ÙÜ ÓÒ ÔÙØ ÖÖ Ð ØÓÖ ØÓÒ ÓÑÑ ÙØ n = π α1 1 παs s, Ú Ð ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ π 1,,π s ØÓÙ ÖÒØ Ø Ð ÜÔÓ ÒØ α 1,,α s Ò N º

6 ÒØÓÒ ÇÒ Ø ÕÙ³ÙÒ { ÑÐÐ } ÓÑÔÐÜ (λ i ) i I Ø ÙÔÔÓÖØ Ò ÓÙ Ø ÙÒ ÑÐÐ ÔÖ ÕÙ ÒÙÐÐ Ð³Ò ÑÐ J = i I λ i 0 Ø Òº ËÓØ n N º Ò ÒÓØÒØ P Ð³Ò ÑÐ ÒÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÙÐ ÑÐÐ (α p ) p P ÙÔÔÓÖØ Ò ØÐÐ ÕÙ n = p αp. p P ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ p ÓÒ ÔÔÐÐ p¹úðùøóò n гÜÔÓ ÒØ α p Nº ØØ p¹úðùøóò Ø ÒÓØ ν p (n)º ØØ p¹úðùøóò Ø ÒÙÐÐ Ø ÙÐÑÒØ p Ò Ú Ô n Ø ÙÐÑÒØ p n = 1º ÜÑÔÐ Ë n Ø m ÓÒØ ÙÜ ÒØÖ Ò N ÓÑÑÒØ ÜÔÖÑÖ Ð³ ÚÐÙØÓÒ Ð Ø ÕٳРÓÒØ ÔÖÑÖ ÒØÖ ÙÜ Ð Ø ÕÙ n Ú m Ð Ø ÕÙ n ÓØ ÙÒ ÖÖ ÔÖØ ÈÖÓÔÓ Ö ÙÒ ÒÓÙÚÐÐ ÑÓÒ ØÖØÓÒ ÔÓÙÖ Ð ØÓÖÑ Ù º Ä ÒÓÑÖ 54 عРÖØÓÒÒÐ ÅØÓ ÓÑÑÒØ ÐÙÐÖ ÐÑÒØ Ð Ô ÓÙ ÔÔÑ ÙÜ ÒÓÑÖ Ë a Ø b ÓÒØ ÙÜ ÒØÖ ÓÒÒ ÓÙ ÓÖÑ ØÓÖ ÔÓÙÖ ÐÙÐÖ Ð Ô ÔÖÒÖ ÙÒ ÔÖÑÖ Ò Ð Ð Ø Ú ÙÖ ÔÖÑÖ a ÓÙ b ÔÖÒÖ Ð ÑÒÑÙÑ ÙÜ ÜÔÓ ÒØ Ò Ð ÙÜ Ð Ø Ð ÔÖÑÖ Ò³ÔÔÖØ Ô Ò ÙÒ Ð Ø Ð³ÜÔÓ ÒØ Ø ÒÙеº ÖÖ Ð ÑÑ Ó Ú ØÓÙ Ð ÒÓÑÖ ÔÖÑÖ ÙÜ Ð Ø Ú ÙÖ Ö Ð ÔÖÓÙØ ÔÖÑÖ ÔÓÖØ Ð³ÜÔÓ ÒØ ÑÒÑÙÑ ÓÒ ÓØÒØ Ð Ôº ÈÓÙÖ Ð ÔÔÑ ÖÖ Ð ÑÑ Ó Ò ÖÑÔÐÒØ ÑÒÑÙÑ ÔÖ ÑÜÑÙÑ º ÈÓÙÖ ÚÓÖ a Ø b ÓÒØ ÔÖÑÖ ÒØÖ ÙÜ ÖÖÖ Ð ÙÜ Ð Ø Ú ÙÖ Ò³ÓÒØ ÙÙÒ ÔÖÑÖ ÓÑÑÙÒº ÜÑÔÐ Ë a Ø b ÓÒØ Ò N ÑÔÐÖ (a b) (a b)º º½ ÒÒÙÜ Z/nZ ÓÒ ØÖÙØÓÒ ³ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÕÙÚÐÒ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ n 2 ÙÒ ÒØÖº ÇÒ ÒØ ÙÖ Z Ð ÖÐØÓÒ ÓÒÙÖÒ ÑÓÙÐÓ n (p,q) Z 2, prq n Ú p q. Ä ÖÐØÓÒ R Ò Ò Ø ÙÒ ÖÐØÓÒ ³ÕÙÚÐÒ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ p Z Ð Ð ³ÕÙÚÐÒ p гÒØÖ p ÑÓÙÐÓ R Ø p = p+nz. ÇÒ ÒÓØ Z/nZ Ð³Ò ÑÐ ÕÙÓØÒØ Ð ³ÕÙÚÐÒº ÇÒ Ð³ÐØ { } Z/nZ = 0,1,,n 1 Ø Ð³Ò ÑÐ Z/nZ ÓÑÔØ ÜØÑÒØ n Ð ³ÕÙÚÐÒº

7 º¾ ËØÖÙØÙÖ ³ÒÒÙ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ËÓØ n 2 ÙÒ ÒØÖº ÇÒ ÒØ ÙÜ ÐÓ ÓÑÔÓ ØÓÒ ÒØÖÒ ÙÖ Ð³Ò ÑÐ Z/nZ ÙÒ ØÓÒ (p,q) (Z/nZ) 2, p+q = p+q ÙÒ ÑÙÐØÔÐØÓÒ (p,q) (Z/nZ) 2, p q = p q. Ä³Ò ÑÐ Z/nZ ÑÙÒ ÙÜ ÐÓ + Ø ÓÖÑ ÙÒ ÒÒÙ ÓÑÑÙØغ º ÈÖÓÔÖØ Ð³ÒÒÙ Z/nZ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ½¼ ËÓØ n 2 ÙÒ ÒØÖº Ä ØÖÓ ÖØÓÒ ÙÚÒØ ÓÒØ ÕÙÚÐÒØ Ð³ÒÒÙ Z/nZ Ø ÙÒ ÓÖÔ Ð³ÒÒÙ Z/nZ Ø ÒØÖ Ð³ÒØÖ n Ø ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖº ÜÑÔÐ ØÖÑÒÖ ØÓÙ Ð ÒÚÖ ÐÑÒØ (Z/7Z) º ÔØØ ØÓÖÑ ÖÑØ ËÓØ n ÙÒ ÒÓÑÖ ÔÖÑÖº ÈÓÙÖ ØÓÙØ ÒØÖ a a n = 1 = a n 1 1 [n].