shmeivseis.dvi

Bản ghi

1 Ã Ð Ó 4 Å Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier 4. ÇÖ Ñ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Fourier Ñ Ø ÔÓÙ Ò Ò Ô Ö Ó ÙÔ ÓÖ Ñ Ò ÔÖÓÔÓ ÔÓÙ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ô Ö ØÛ ÓÖÞ Ø Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier. F(ω) = f(t)e iωt dt. Ç ÙÒ Dirichlet Ü ÐÞÓÙÒ Ø Ò Ô ÖÜ ØÓÙ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Fourier: ÌÓ Ñ Ò Ô ÐÙØ ÓÐÓ Ð Öô ÑÓ Ð Ø Ö ØÓÙ f(t) dt <. Ë ÓÔÓ Ó ÔÓØ Ô Ô Ö Ñ ÒÓ Ø Ñ ØÓ Ñ Õ Ô Ô Ö Ñ Ò Ñ Ø ÓÐ º ÌÓ ÔÐ Ó ØÛÒ ÙÒ Õ ôò ØÓÙ Ñ ØÓ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓº Ô ÔÐ ÓÒ Ó ÙÒ Õ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ò Ô Ô Ö Ñ ÒÓÙ ÖÓÙº Ç ÒØ ØÖÓ Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ø Ô Ø Õ f(t) = F(ω)e iωt dω. 2π Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ø Ø ÒÓÑ Dirac Ò F(ω) =, ω. È Ö Ñ 4... ÌÓ Ñ Õ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier x(t) = e αt u(t) e (α+iω)t dt = α + iω, α >. È Ö Ñ ÌÓ Ñ x(t) = {, t T 2, T 2 < t 3

2 Õ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier T 2 T 2 e iωt dt = eiω T 2 e iω T 2 iω = T sinω T 2 ω T 2 = Tsinc ωt 2. ËØÓ ËÕ Ñ º½ Ø Ö ÙÒ ÖØ sinc ËÕ Ñ 4.: À ÙÒ ÖØ sinc 4.2 Á Ø Ø ØÓÙ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Fourier Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Õ Ø ÐÓÙ Ø Ø º Ö ÑÑ Ø Ø Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Ò Ö ÑÑ Ó ÙÒ Ù ÑÓ Ó Ñ ØÛÒ Ó Ø Ñ ØÓÒ Ó Ö ÑÑ ÙÒ Ù Ñ ØÛÒ ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑôÒ Fourier. ÉÖÓÒ Ñ Ø Ø Ô Ò F(ω) Ò Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ ØÓÙ Ñ ØÓ f(t) Ø Ø Ó Ñ Ø Õ ¹ Ñ Ø Ñ ØÓÙ Ñ ØÓ f(t t ) Ò e iωt F(ω). ÒØ ØÖÓ ØÓÙ ÕÖ ÒÓÙ Ò F(ω) Ò Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ ØÓÙ Ñ ØÓ f(t) Ø Ø Ó Ñ Ø Õ ¹ Ñ Ø Ñ ØÓÙ Ñ ØÓ f( t) Ò F( ω)º ËÕ ÙÞÙ ÔÖ Ñ Ø Ñ Ø f(t) Õ F( ω) = F(ω)º Ò ØÓ Ñ Ò Ô ÔÐ ÓÒ ÖØ Ó Ø Ø Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ò ÔÖ Ñ Ø Òô Ò ØÓ Ñ Ò Ô Ö ØØ Ø Ø Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ò Ö ÒØ Ø º ÐÐ Ø ÐÑ ØÓÙ ÕÖ ÒÓÙ Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ Ñ ØÓ f(αt) Ò ( ω ) α F. α Å Ø Ø Ô ÙÕÒ Ø Ø Ç ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ Ò Ñ ØÓ f(t) Ñ Ø ÒØ Ø Ø ÙÒ ÖØ e iω t ÙÒ Ô Ø Ø Ñ Ø Ø Ô Ø ÙÕÒ Ø Ø F(ω ω )º 32

3 Ù Ø Ø Ò F(ω) Ò Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ ØÓÙ Ñ ØÓ f(t) Ø Ø Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ ØÓÙ Ñ ØÓ F(t) Ò 2πf( ω)º È Ö ô Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ø Ô Ö ô ÓÙ Ò Ñ ØÓ Ó Ø Ñ iωf(ω)º ÇÐÓ Ð ÖÛ Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ ÓÖ ØÓÙ ÓÐÓ Ð ÖôÑ ØÓ Ò Ñ ØÓ Ó Ø Ñ t f(τ)dτ F(ω) + πf()δ(ω). iω È Ö Ó Ñ Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ò Ô Ö Ó Ó Ñ ØÓ Ñ Ò ÔØÙ Ñ Ö Fourier f(t) = Ò F(ω) = 2π n= n= c(n)e inω t c(n)δ(ω nω ). ËÙÒ Ð Ü Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ø ÙÒ Ð Ü Ó Ñ ØÛÒ Ó Ø Ñ ØÓ Ò Ñ ÒÓ ØÛÒ Ó ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑôÒ Fourier. Ò Ñ ÒÓ Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ ÒÓÑ ÒÓÙ Ó Ñ ØÛÒ ÔÖÓ ÔØ Ô Ø ÙÒ Ð Ü ØÛÒ Ó ÒØ ØÓ ÕÛÒ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑôÒ Fourier, x(t)y(t)e iωt dt = 2π X(ν)Y (ω ν)dν Ò Ö À Ò Ö ØÓÙ Ñ ØÓ Ô Ö Ñ Ò Ò ÐÐÓÛØ Ñ ØÓ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ f 2 (t)dt = F(ω) 2 dω. 2π ÈÖ Ø Ø Õ ØÓÙ Parseval ÙÒ Õ Ñ Ø. ËÙÒ Ô ØÛÒ Ô Ö Ô ÒÛ ÓØ ØÛÒ Ò Ó ÐÓÙ Ó ÔÒ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑôÒ Fourier. f(t) F(ω) 2πδ(ω) e iω t 2πδ(ω ω ) cos ω t π(δ(ω ω ) + δ(ω + ω )) sinω t iπ(δ(ω + ω ) δ(ω ω )) È Ö Ñ Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ø ÑÓÒ Ñ Ø ÙÒ ÖØ u(t) Ò iω + πδ(ω), 33

4 Ó ÔÖÓ ÔØ Û ÓÐÓ Ð ÖÛÑ Ø Ø ÒÓÑ Dirac. Ã Ø ÙÒ Ô Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ Ñ ØÓ ÔÖ ÑÓ f(t) = 2u(t) Ò F(ω) = 2 iω. È Ö Ñ ÌÓ Ñ x(t) = e α t, α > Ö Ø x(t) = x (t) + x ( t) t ÔÓÙ x (t) = e αt u(t). ³ Ö Ð Û Ö ÑÑ Ø Ø Õ Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier α + iω + α iω = 2α α 2 + ω 2. ËØÓ ËÕ Ñ º¾ Ø Ø Ó ØÓ Ñ Ó Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ó Ø Ñ Ø Ô Ö Ñ ØÖÓÙ αº Ô Ò Ø ÔÓÑ ÒÛ Ø Ø Ø ÐÐ Ø ÐÑ ØÓÙ ÕÖ ÒÓÙº À Ñ Û Ø ÕÖÓÒ Ø ØÓÙ Ñ ØÓ ÙÒ Ô Ø Ñ Ð Ø ÖÓ ÖÓ ÙÕÒÓØ ØÛÒº Ã Ø exp( abs(t)) 2/(+ω 2 ) t exp( 2 abs(t)) ω 4/(4+ω 2 ) t ω ËÕ Ñ 4.2: Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ Ñ ØÓ ØÓÙ È Ö Ñ ØÓ Ó Ø Ñ ØÓÙ αº 34

5 ÙÒ Ô Ð Û Ù Ø Ø Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ Ñ ØÓ Ò x(t) = α 2 + t 2 π α e α ω. È Ö Ñ Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ Ñ ØÓ Ò Ð Û Ù Ø Ø x(t) = sin αt t { π, ω α, ω > α È Ö Ñ Ç ÒØ ØÖÓ Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier ØÓÙ (α + iω) 2 ÔÖÓ ÔØ Û ÙÒ Ð Ü ØÓÙ Ñ ØÓ ØÓÙ È Ö Ñ ØÓ º½º½ Ñ ØÓÒ Ù ÙØ ØÓÙº ÇÔ Ø Ö ÓÙÑ t x(t) = e ατ dτ = te αt, α >. È Ö Ñ ÌÓ Ñ s(t) = m(t)cos ω c t ÙÒ Ø Ñ Ö Û ØÓÙ ÔÐ ØÓÙ Ò ÖÓÒØÓ Ñ ØÓÒÓ Ó Ñ ØÓ Ø Ñ Ø Ó ØÓÙ Ñ ØÓ m(t)º À ÙÕÒ Ø Ø ω c ØÓÙ ÖÓÒØÓ Ñ ØÓ Ò Ø ÔÓÐ Ñ Ð Ø Ö Ø Ñ Ø ÙÕÒ Ø Ø ØÓÙ Ñ ØÓ m(t)º ÌÙÔ ØÓ ÖÓ ÙÕÒÓØ ØÛÒ ØÓÙ Ñ ØÓ ÑÔÓÖÓ Ò Ò khz, Òô ÖÓÙ ÙÕÒ Ø Ø Ò ØÓÒØ khz. Ç Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ò S(ω) = 2 (M(ω ω c) + M(ω + ω c )). ³ ÕÓÙÑ ÔÓÑ ÒÛ Ñ Ø Ø Ô Ø ÙÕÒ Ø Ø º Ç Ø ÙØÓ ØÓÙ Ñ ØÓ ÙÒØÓÒÞ Ø Ø ÖÓÙ ÙÕÒ Ø Ø ÔÓÙ Ñ Ò Ø ÖÕ ÔÓÐÐ ÔÐ Þ Ñ ØÓ ÖÓÒ Ñ p(t) = s(t)cos ω c tº ³ Ö P(ω) = 2 M(ω) + 4 (M(ω 2ω c) + M(ω + 2ω c )). Å Ø ÐÐ ÐÓ ÐØÖÓ ÑÔÓÖ Ò Ü Õ ØÓ Ñ m(t)º 4.3 Å Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ö ÑÑ ÕÖÓÒ Ñ Ø Ð Ø Ù Ø Ñ Ø ÙÔÓ ÓÙÑ Ø Ø Ò Ó Ó Ò Ö ÑÑ Ó ÕÖÓÒ Ñ Ø Ð ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ø Ò Ö ÒØ Ø Ø Ñ Ñ ÙÕÒ Ø Ø ωº À Ô Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ò h(τ)ce iω(t τ) dτ = ce iωt H(ω). 35

6 ÔÓÑ ÒÛ Ô Ö Ò Ô Ò Ö ÒØ Ø Ø Ñ Ñ Ø Ò ÙÕÒ Ø Ø ÐÐ Þ Ó ÙÒØ Ð Ø ÔÓÙ Ò ÔÓÐÐ ÔÐ Ñ ÒÓ Ñ H(ω)º ³ Ö Ò ÙÔ ÖÕ ÐÐ Ø ÙÕÒ Ø Ø ÐÐ ØÓÙ ÔÐ ØÓÙ Ø Ò ÐÓ Ñ Ø ÙÕÒ Ø Ø º Ë Ñ ôòóùñ Ø Ô ÖÜ ØÓÙ Ñ Ø Õ Ñ Ø ÑÓ Fourier ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ÔÖÓÔÓ Ø Ø Ò Ù Ø ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº Ò Ø Ò Ó Ó Ò Ö ÑÑ Ó ÕÖÓÒ Ñ Ø Ð ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ó Ò Ô Ö Ó Ñ Ñ Ò ÔØÙ Ñ Ö Fourier x(t) = n= Ô Ö Ò Ô Ò Ô Ö Ó Ñ y(t) = n= c(n)e inω t, c(n)h(nω )e inω t. Ì ÐÓ Ô Ò ÖÕ Ñ Ø Ø Ò Õ Ø ÙÒ Ð Ü Ø Õ ÔÓÙ ÙÒ Ø Ò Ó Ó Ø Ò ÜÓ Ó ØÓ Ô Ó ØÛÒ ÙÕÒÓØ ØÛÒ Y (ω) = H(ω)X(ω). ÔÓÑ ÒÛ Ó Ñ Ø Õ Ñ Ø Ñ Fourier Ø ÖÓÙ Ø Ô Ö H(ω) ÕÒ Ø ØÓ Ö Ñ¹ Ñ ÕÖÓÒ Ñ Ø Ð ØÓ Ø Ñ Ð ØÓÙÖ Û ÐØÖÓ Ø ÙÕÒ Ø Ø º À Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø ÓÒÓÑ Þ Ø Ô Ñ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº ÓÒ ØÓ Ñ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ò Ñ Ñ ÙÒ ÖØ ÑÔÓÖ Ò Ô Ö Ø Ñ ØÓ Ñ ØÖÓ ØÓ Ö Ñ ÔÓÙ ÓÖÞ Ø ÙÒ ÖØ Ø º È Ö ÓÖ Þ Ñ ÒÓ ÔÖ Ñ Ø Ñ Ø ÒÛÖÞÓÙÑ Ø Ø ÖÒ Ø ÙÕÒ Ø Ø Ô Ö Ò ÙÞÙ ÙØ ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ø ÒØ ØÓ Õ Ø ÙÕÒ Ø Ø º ÔÓÑ ÒÛ ØÓ Ñ ØÖÓ Ò Ñ ÖØ ÙÒ ÖØ Ò Ñ Ô Ö ØØ ÙÒ ÖØ º Ã Ø Ó Ò Ö Ø Ò Ô Ö Ø Ó Ò Ñ ÒÓ Ø Ø ÙÕÒ Ø Ø º ÌÓ H(ω) 2 ÓÒÓÑ Þ Ø Ñ Õ Ó ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº À ÔÐ ÖÓ ÓÖ ÔÓÙ Ô Ö Õ Ø Ø Ò ÔÓÐ Ñ ÒØ º ËØÓ ËÕ Ñ º Ø Ñ Ò ÔÓÙ ÔÓ Ø Ø Ñ ÒÓ Ñ Ø Ò ÔÐ ÖÓ ÓÖ Ø ÔÓÙ Ò Ø Ø Ø Ô Ö Õ Ø ÔÐ ÖÓ ÓÖ Ø Ô ØÓÑ ÐÐ ØÓÙ Ñ ØÓ Ø Ò º ËÙÕÒ Ò ÔÖÓØ Ñ Ø ÖÓ ØÓ Ñ ØÓÙ Ñ ØÓ Ò Ô Ö Ø Ö Ò ÐÓ Ö Ñ Ö ÑÑ Ø Ó Ø ÔÓ Ö Ó Ø ÙÕÒ Ø Ø º ÙØ Ó ØÖ ÔÓ Ô Ö Ø Ù ÓÐ Ò Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ ÙÒ Ù ÞÓÒØ Ù Ø Ñ Ø Ø Ö º ËÙ Ö Ñ Ò ØÓ Ñ ØÖÓ Ø Ö Ô Ö Ø ØÓÙ 2 log H(ω) À ÔÓ Ø Ø ÙØ Ñ ØÖ Ø decibels (db) Ô Ö Ø Ò Ø ÐÓ Ö Ñ ÜÓÒ Ø ÙÕÒ Ø Ø º À Ö Ô Ö Ø ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ ÓÒÓÑ Þ Ø Ö ÑÑ Bode. È Ö Ñ Ò ÖÓÙ Ø Ô Ö Ò Ù Ø Ñ ØÓ Ò h(t) = e αt u(t), α >, Ø Ø Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø Ò Ð Ô È Ö Ñ º½º½µ H(ω) = 36 α + iω.

7 ËÕ Ñ 4.3: Å Ò Ò Ô Ö Ø Ø Ñ ÒÓ Ñ Ø Ò ÔÐ ÖÓ ÓÖ Ø º ÌÓ Ñ ØÖÓ Ò H(ω) = α 2 + ω 2 ϕ(ω) = arctan ω α. ÌÓ Ñ ØÖÓ Ô Ö Ø ÒÓÒØ Ö ØÓ ËÕ Ñ º º ÓÒØ Ñ Ø Ö ÑÑ Ø Bode ØÓ ËÕ Ñ 4.5. /sqrt(+ω 2 ) atan(ω) ω ω ËÕ Ñ 4.4: ÌÓ Ñ ØÖÓ Ø Ô Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ØÓÙ È Ö Ñ ØÓ ³ Ò ÐØÖÓ ÓÒÓÑ Þ Ø Ò Ò Ø Ö Ò ÐÐÓÛØ ÓÖ Ñ Ò ÙÕÒ Ø Ø Ò Õ Ñ Ò Ñ Ö ÑÑ Ñ Ø ÓÐ Ø Òô ÔÓ ÔØ Ø Ð Ð Ø ÐÐ ÙÕÒ Ø Ø º ³ Ò Ò ÙÔ Ö Ø ÐØÖÓ Ñ ÙÕÒ Ø Ø ÔÓ ÓÔ ω c Õ Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø {, ω ωc H(ω) =, ω > ω c 37

8 5.5 Magnitude (db) 5 Phase log(alpha*omega) log(alpha*omega) ËÕ Ñ 4.5: ÌÓ Ö ÑÑ Bode ØÓ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ô Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ØÓÙ È Ö Ñ ØÓ ÔÓÑ ÒÛ ÖÓÙ Ø Ô Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ò h(t) = sinω ct. πt À ÖÓÙ Ø ÙØ Ô Ö Ò ÙÐÓÔÓ Ø Ö ôº Ë Õ Ñ ÔÖÓ ÙØ Ø Ô Ö Ò ÔÖÓØ Ñ Ø ÖÓ Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò ÐÐ ÐØÖ ÔÓÙ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÙÐÓÔÓ Ó Ò Ö ô Ô ÔÐ ÓÒ Ò Ò Ø Ø Ò ÙØ Ô Ø Ø º Ë ÙØ Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÙÕÒ Ø Ø ÔÓ ÓÔ ØÓÙ ÙÔ Ö ØÓ ÐØÖÓÙ ÓÖÞ Ø ÔÓÙ Ô Ö Ò 3 decibels Û ÔÖÓ Ø Ò Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø ¼ Ð Ñ ôò Ø Ø ØÓ Ñ Ùº ØÓ Ø Ñ ØÓÙ È ¹ Ö Ñ ØÓ 4.3. ÙÕÒ Ø Ø ÔÓ ÓÔ Ò αº Ë Ñ ôò Ø Ø Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø ¼ Ò H() = h(t)dt. ËÙ Ø Ñ Ø ÔÛ ÙØ ÔÓÙ Ô ÖÓÙ ÞÓÒØ Ø ÙÒ Õ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò Ø Ò ÙÐÓÔÓ Ò ÙÔ Ö ØÓ ÐØÖÓÙº ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø Õ ÓÙ¹ Ü ÓÙ ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ø Ñ Û Ñ ÓÖ Ü Û N k= a(k) dk y(t) dt k = M k= b(k) dk x(t) dt k. Ì Ø Õ ³ Ö N M a(k)(iω) k Y (ω) = b(k)(iω) k X(ω). k= H(ω) = Y (ω) k= M k= b(k)(iω)k N k= a(k)(iω)k.  ÛÖ ÓÙÑ Ø Ö Ø Ò Ô ÖÔØÛ ÔÓÙ b() =, b(k) =, k M ÓÔ Ø Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø ÔÖÓ ÔØ Û ØÓ ÒØ ØÖÓ Ó Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ ØÓÙ iωº Ç Ñ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ Ø ÙØÞ Ø Ñ Ø Ò Ø Ü Ø ÓÖ Ü Û Ø³ Ô Ø ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓº 38

9 ÌÓ Ø Ñ ÔÖôØ Ø Ü Ô ÖÓÙ ØÓ È Ö Ñ Â Ü Ø ÓÙÑ ØÓ ÐÓÙ Ó Ô Ö Ñ Ø Ò Ô ÖÔØÛ Ò Ù Ø Ñ ØÓ Ø Ö Ø Ü º È Ö Ñ Ò H(ω) = ω 2 n ω 2 n + 2ζω n (iω) + (iω) 2, Ñ ζ > Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø Ò Ù Ø Ñ ØÓº Ò ζ = ÓÔ Ø ÖÓÙ Ø Ô Ö Ò H(ω) = ω 2 n (ω n + iω) 2, h(t) = ω 2 nte ωnt u(t). Ò ζ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ Ô Ö ÒÓÑ Ø Õ Ó Ö Ø ÖÞ ÅÔÓÖÓ Ñ ÙÒ Ôô Ò Ö ÝÓÙÑ c = ζω n + ω n ζ 2 c 2 = ζω n ω n ζ 2. H(ω) = ω 2 n (iω c )(iω c 2 ) = ( ω n 2 ζ 2 iω c Ò ζ > Ó ÖÞ Ò ÔÖ Ñ Ø ÖÓÙ Ø Ô Ö Ò h(t) = ω n 2 ( e c t e c 2t ) u(t). ζ 2 iω c 2 Ò < ζ < Ó ÖÞ Ò Ñ ÖÓÙ Ø Ô Ö Ò h(t) = ω ne ζωnt ζ 2 sin(ω n ζ 2 t)u(t). ). ËØÓ ËÕ Ñ 4.6 Ø Ü ÖÓÙ Ø Ô Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ Ø Ö Ô Ô ÒÛ ÔÖÓ Ø ØÛ Ø Ø Ñ ØÓÙ ζ =.25,.5,,.4º Ø Ø Ñ Ñ Ø Ò Ö Ø ØÓ Ñ ØÖÓ Ø Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø Ö Ø Ö ØÓ Ó ËÕ Ñ º ËØÓ ËÕ Ñ 4.7 ÓÒØ Ø Ö ÑÑ Ø Bode ØÓ Ñ ØÖÓ Ü µ Ø Ö Ø Ö µº 39

10 .5 (exp(.4 t) exp( 2.4 t)) /sqrt(( ω 2 ) 2 +8 ω 2 ) t ω ËÕ Ñ 4.6: À ÖÓÙ Ø Ô Ö ØÓ Ñ ØÖÓ Ø Ô Ö Ø ÙÕÒ Ø Ø ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ØÓÙ È Ö Ñ ØÓ ÓÖ Ø Ø Ñ ØÓÙ ζº.5 Magnitude (db) 2 Phase log(omega/omega ) n log(omega/omega ) n ËÕ Ñ 4.7: ÌÓ Ö ÑÑ Bode ØÓ Ñ ØÖÓ Ø Ø Ô Ö ØÓÙ Ù Ø Ñ ØÓ ØÓÙ È Ö Ñ ØÓ